Theorem addsub4d 11552

Description: Rearrangement of 4 terms in a mixed addition and subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
addsub4d.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
addsub4d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐴 − 𝐶) + (𝐵 − 𝐷)))

Proof of Theorem addsub4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subaddd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		addsub4d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
5		addsub4 11437	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐴 − 𝐶) + (𝐵 − 𝐷)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl22anc 839	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐴 − 𝐶) + (𝐵 − 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7367  ℂcc 11036   + caddc 11041   − cmin 11377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-ltxr 11184  df-sub 11379

This theorem is referenced by:  cjadd  15103  sadaddlem  16435  bezoutlem3  16510  pcqmul  16824  mul4sqlem  16924  4sqlem14  16929  4sqlem15  16930  4sqlem16  16931  4sqlem17  16932  blcvx  24763  ovolicc2lem4  25487  itgaddlem2  25791  dvaddbr  25905  ang180lem2  26774  mcubic  26811  quart1lem  26819  atanlogsublem  26879  mumullem2  27143  2lgslem3c  27361  2lgslem3d  27362  2sqlem8  27389  chpdifbndlem1  27516  pntrlog2bndlem2  27541  axcontlem8  29040  constrrtlc1  33876  constrrtcclem  33878  ballotlemgun  34669  itgaddnclem2  38000  cntotbnd  38117  lcmineqlem18  42485  2np3bcnp1  42583  sticksstones12  42597  bcle2d  42618  pellexlem6  43262  congadd  43394  subadd4b  45716  addlimc  46076  fourierdlem42  46577  smfmullem1  47219  sin3t  47319  sin5tlem5  47325