Theorem addsub4d 11719

Description: Rearrangement of 4 terms in a mixed addition and subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
addsub4d.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
addsub4d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐴 − 𝐶) + (𝐵 − 𝐷)))

Proof of Theorem addsub4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subaddd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		addsub4d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
5		addsub4 11604	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐴 − 𝐶) + (𝐵 − 𝐷)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl22anc 852	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐴 − 𝐶) + (𝐵 − 𝐷)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7420  ℂcc 11201   + caddc 11206   − cmin 11544

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-ltxr 11351  df-sub 11546

This theorem is used by:  cjadd  15313  sadaddlem  16641  bezoutlem3  16719  pcqmul  17036  mul4sqlem  17136  4sqlem14  17141  4sqlem15  17142  4sqlem16  17143  4sqlem17  17144  blcvx  25122  ovolicc2lem4  25846  itgaddlem2  26149  dvaddbr  26263  ang180lem2  27143  mcubic  27180  quart1lem  27188  atanlogsublem  27248  mumullem2  27512  2lgslem3c  27730  2lgslem3d  27731  2sqlem8  27758  chpdifbndlem1  27885  pntrlog2bndlem2  27910  axcontlem8  29554  constrrtlc1  34410  constrrtcclem  34412  ballotlemgun  35203  itgaddnclem2  38690  cntotbnd  38823  lcmineqlem18  43189  2np3bcnp1  43287  sticksstones12  43301  bcle2d  43322  pellexlem6  43934  congadd  44066  subadd4b  46392  addlimc  46751  fourierdlem42  47252  smfmullem1  47894  sin3t  48010  sin5tlem5  48016  crossp3d  51135