Theorem submaeval 22718

Description: An entry of a submatrix of a square matrix. (Contributed by AV, 28-Dec-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
submafval.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
submafval.q	⊢ 𝑄 = (𝑁 subMat 𝑅)
submafval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
submaeval	⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝐽 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}))) → (𝐼(𝐾(𝑄‘𝑀)𝐿)𝐽) = (𝐼𝑀𝐽))

Proof of Theorem submaeval

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		submafval.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		submafval.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (𝑁 subMat 𝑅)
3		submafval.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
4	1, 2, 3	submaval 22717	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) → (𝐾(𝑄‘𝑀)𝐿) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)))
5	4	3expb 1136	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁)) → (𝐾(𝑄‘𝑀)𝐿) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)))
6	5	3adant3 1148	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝐽 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}))) → (𝐾(𝑄‘𝑀)𝐿) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)))
7		simp3l 1218	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝐽 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}))) → 𝐼 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}))
8		simpl3r 1246	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝐽 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}))) ∧ 𝑖 = 𝐼) → 𝐽 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}))
9		ovexd 7445	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝐽 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}))) ∧ (𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑗 = 𝐽)) → (𝑖𝑀𝑗) ∈ V)
10		oveq12 7419	. . . 4 ⊢ ((𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑗 = 𝐽) → (𝑖𝑀𝑗) = (𝐼𝑀𝐽))
11	10	adantl 486	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝐽 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}))) ∧ (𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑗 = 𝐽)) → (𝑖𝑀𝑗) = (𝐼𝑀𝐽))
12	7, 8, 9, 11	ovmpodv2 7568	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝐽 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}))) → ((𝐾(𝑄‘𝑀)𝐿) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)) → (𝐼(𝐾(𝑄‘𝑀)𝐿)𝐽) = (𝐼𝑀𝐽)))
13	6, 12	mpd 16	1 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝐽 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}))) → (𝐼(𝐾(𝑄‘𝑀)𝐿)𝐽) = (𝐼𝑀𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  Vcvv 3453   ∖ cdif 3901  {csn 4588  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ∈ cmpo 7412  Basecbs 17268   Mat cmat 22543   subMat csubma 22712

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-1cn 11157  ax-addcl 11159

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-en 8943  df-fin 8946  df-nn 12233  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-mat 22544  df-subma 22713

This theorem is referenced by: (None)