MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  submaeval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem submaeval 22512
Description: An entry of a submatrix of a square matrix. (Contributed by AV, 28-Dec-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
submafval.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
submafval.q 𝑄 = (𝑁 subMat 𝑅)
submafval.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
Assertion
Ref Expression
submaeval ((𝑀𝐵 ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁) ∧ (𝐼 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝐽 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}))) → (𝐼(𝐾(𝑄𝑀)𝐿)𝐽) = (𝐼𝑀𝐽))

Proof of Theorem submaeval
Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 submafval.a . . . . 5 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2 submafval.q . . . . 5 𝑄 = (𝑁 subMat 𝑅)
3 submafval.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐴)
41, 2, 3submaval 22511 . . . 4 ((𝑀𝐵𝐾𝑁𝐿𝑁) → (𝐾(𝑄𝑀)𝐿) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)))
543expb 1117 . . 3 ((𝑀𝐵 ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁)) → (𝐾(𝑄𝑀)𝐿) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)))
653adant3 1129 . 2 ((𝑀𝐵 ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁) ∧ (𝐼 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝐽 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}))) → (𝐾(𝑄𝑀)𝐿) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)))
7 simp3l 1198 . . 3 ((𝑀𝐵 ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁) ∧ (𝐼 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝐽 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}))) → 𝐼 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}))
8 simpl3r 1226 . . 3 (((𝑀𝐵 ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁) ∧ (𝐼 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝐽 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}))) ∧ 𝑖 = 𝐼) → 𝐽 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}))
9 ovexd 7461 . . 3 (((𝑀𝐵 ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁) ∧ (𝐼 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝐽 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}))) ∧ (𝑖 = 𝐼𝑗 = 𝐽)) → (𝑖𝑀𝑗) ∈ V)
10 oveq12 7435 . . . 4 ((𝑖 = 𝐼𝑗 = 𝐽) → (𝑖𝑀𝑗) = (𝐼𝑀𝐽))
1110adantl 480 . . 3 (((𝑀𝐵 ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁) ∧ (𝐼 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝐽 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}))) ∧ (𝑖 = 𝐼𝑗 = 𝐽)) → (𝑖𝑀𝑗) = (𝐼𝑀𝐽))
127, 8, 9, 11ovmpodv2 7586 . 2 ((𝑀𝐵 ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁) ∧ (𝐼 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝐽 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}))) → ((𝐾(𝑄𝑀)𝐿) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)) → (𝐼(𝐾(𝑄𝑀)𝐿)𝐽) = (𝐼𝑀𝐽)))
136, 12mpd 15 1 ((𝑀𝐵 ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁) ∧ (𝐼 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝐽 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}))) → (𝐼(𝐾(𝑄𝑀)𝐿)𝐽) = (𝐼𝑀𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  Vcvv 3473  cdif 3946  {csn 4632  cfv 6553  (class class class)co 7426  cmpo 7428  Basecbs 17189   Mat cmat 22335   subMat csubma 22506
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-1cn 11206  ax-addcl 11208
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-en 8973  df-fin 8976  df-nn 12253  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-mat 22336  df-subma 22507
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator