Theorem submaeval 22547

Description: An entry of a submatrix of a square matrix. (Contributed by AV, 28-Dec-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
submafval.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
submafval.q	⊢ 𝑄 = (𝑁 subMat 𝑅)
submafval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
submaeval	⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝐽 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}))) → (𝐼(𝐾(𝑄‘𝑀)𝐿)𝐽) = (𝐼𝑀𝐽))

Proof of Theorem submaeval

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		submafval.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		submafval.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (𝑁 subMat 𝑅)
3		submafval.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
4	1, 2, 3	submaval 22546	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) → (𝐾(𝑄‘𝑀)𝐿) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)))
5	4	3expb 1121	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁)) → (𝐾(𝑄‘𝑀)𝐿) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)))
6	5	3adant3 1133	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝐽 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}))) → (𝐾(𝑄‘𝑀)𝐿) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)))
7		simp3l 1203	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝐽 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}))) → 𝐼 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}))
8		simpl3r 1231	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝐽 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}))) ∧ 𝑖 = 𝐼) → 𝐽 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}))
9		ovexd 7402	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝐽 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}))) ∧ (𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑗 = 𝐽)) → (𝑖𝑀𝑗) ∈ V)
10		oveq12 7376	. . . 4 ⊢ ((𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑗 = 𝐽) → (𝑖𝑀𝑗) = (𝐼𝑀𝐽))
11	10	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝐽 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}))) ∧ (𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑗 = 𝐽)) → (𝑖𝑀𝑗) = (𝐼𝑀𝐽))
12	7, 8, 9, 11	ovmpodv2 7525	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝐽 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}))) → ((𝐾(𝑄‘𝑀)𝐿) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)) → (𝐼(𝐾(𝑄‘𝑀)𝐿)𝐽) = (𝐼𝑀𝐽)))
13	6, 12	mpd 15	1 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝐽 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}))) → (𝐼(𝐾(𝑄‘𝑀)𝐿)𝐽) = (𝐼𝑀𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   ∖ cdif 3887  {csn 4568  ‘cfv 6499  (class class class)co 7367   ∈ cmpo 7369  Basecbs 17179   Mat cmat 22372   subMat csubma 22541

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-1cn 11096  ax-addcl 11098

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6266  df-ord 6327  df-on 6328  df-lim 6329  df-suc 6330  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-en 8894  df-fin 8897  df-nn 12175  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-mat 22373  df-subma 22542

This theorem is referenced by: (None)