Theorem submaeval 22649

Description: An entry of a submatrix of a square matrix. (Contributed by AV, 28-Dec-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
submafval.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
submafval.q	⊢ 𝑄 = (𝑁 subMat 𝑅)
submafval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
submaeval	⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝐽 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}))) → (𝐼(𝐾(𝑄‘𝑀)𝐿)𝐽) = (𝐼𝑀𝐽))

Proof of Theorem submaeval

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		submafval.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		submafval.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (𝑁 subMat 𝑅)
3		submafval.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
4	1, 2, 3	submaval 22648	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) → (𝐾(𝑄‘𝑀)𝐿) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)))
5	4	3expb 1134	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁)) → (𝐾(𝑄‘𝑀)𝐿) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)))
6	5	3adant3 1146	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝐽 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}))) → (𝐾(𝑄‘𝑀)𝐿) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)))
7		simp3l 1216	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝐽 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}))) → 𝐼 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}))
8		simpl3r 1244	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝐽 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}))) ∧ 𝑖 = 𝐼) → 𝐽 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}))
9		ovexd 7431	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝐽 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}))) ∧ (𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑗 = 𝐽)) → (𝑖𝑀𝑗) ∈ V)
10		oveq12 7405	. . . 4 ⊢ ((𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑗 = 𝐽) → (𝑖𝑀𝑗) = (𝐼𝑀𝐽))
11	10	adantl 485	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝐽 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}))) ∧ (𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑗 = 𝐽)) → (𝑖𝑀𝑗) = (𝐼𝑀𝐽))
12	7, 8, 9, 11	ovmpodv2 7554	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝐽 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}))) → ((𝐾(𝑄‘𝑀)𝐿) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)) → (𝐼(𝐾(𝑄‘𝑀)𝐿)𝐽) = (𝐼𝑀𝐽)))
13	6, 12	mpd 15	1 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝐽 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}))) → (𝐼(𝐾(𝑄‘𝑀)𝐿)𝐽) = (𝐼𝑀𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1099   = wceq 1561   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455   ∖ cdif 3902  {csn 4583  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396   ∈ cmpo 7398  Basecbs 17255   Mat cmat 22474   subMat csubma 22643

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7718  ax-cnex 11140  ax-1cn 11142  ax-addcl 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-en 8928  df-fin 8931  df-nn 12221  df-slot 17228  df-ndx 17240  df-base 17256  df-mat 22475  df-subma 22644

This theorem is referenced by: (None)