Theorem submaeval 21731

Description: An entry of a submatrix of a square matrix. (Contributed by AV, 28-Dec-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
submafval.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
submafval.q	⊢ 𝑄 = (𝑁 subMat 𝑅)
submafval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
submaeval	⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝐽 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}))) → (𝐼(𝐾(𝑄‘𝑀)𝐿)𝐽) = (𝐼𝑀𝐽))

Proof of Theorem submaeval

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		submafval.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		submafval.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (𝑁 subMat 𝑅)
3		submafval.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
4	1, 2, 3	submaval 21730	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) → (𝐾(𝑄‘𝑀)𝐿) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)))
5	4	3expb 1119	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁)) → (𝐾(𝑄‘𝑀)𝐿) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)))
6	5	3adant3 1131	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝐽 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}))) → (𝐾(𝑄‘𝑀)𝐿) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)))
7		simp3l 1200	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝐽 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}))) → 𝐼 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}))
8		simpl3r 1228	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝐽 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}))) ∧ 𝑖 = 𝐼) → 𝐽 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}))
9		ovexd 7310	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝐽 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}))) ∧ (𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑗 = 𝐽)) → (𝑖𝑀𝑗) ∈ V)
10		oveq12 7284	. . . 4 ⊢ ((𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑗 = 𝐽) → (𝑖𝑀𝑗) = (𝐼𝑀𝐽))
11	10	adantl 482	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝐽 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}))) ∧ (𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑗 = 𝐽)) → (𝑖𝑀𝑗) = (𝐼𝑀𝐽))
12	7, 8, 9, 11	ovmpodv2 7431	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝐽 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}))) → ((𝐾(𝑄‘𝑀)𝐿) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)) → (𝐼(𝐾(𝑄‘𝑀)𝐿)𝐽) = (𝐼𝑀𝐽)))
13	6, 12	mpd 15	1 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝐽 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}))) → (𝐼(𝐾(𝑄‘𝑀)𝐿)𝐽) = (𝐼𝑀𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  Vcvv 3432   ∖ cdif 3884  {csn 4561  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   ∈ cmpo 7277  Basecbs 16912   Mat cmat 21554   subMat csubma 21725

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-1cn 10929  ax-addcl 10931

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-en 8734  df-fin 8737  df-nn 11974  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-mat 21555  df-subma 21726

This theorem is referenced by: (None)