Theorem 1marepvsma1 22859

Description: The submatrix of the identity matrix with the ith column replaced by the vector obtained by removing the ith row and the ith column is an identity matrix. (Contributed by AV, 14-Feb-2019.) (Revised by AV, 27-Feb-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
1marepvsma1.v	⊢ 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
1marepvsma1.1	⊢ 1 = (1r‘(𝑁 Mat 𝑅))
1marepvsma1.x	⊢ 𝑋 = (( 1 (𝑁 matRepV 𝑅)𝑍)‘𝐼)

Assertion

Ref	Expression
1marepvsma1	⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → (𝐼((𝑁 subMat 𝑅)‘𝑋)𝐼) = (1r‘((𝑁 ∖ {𝐼}) Mat 𝑅)))

Proof of Theorem 1marepvsma1

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1marepvsma1.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (( 1 (𝑁 matRepV 𝑅)𝑍)‘𝐼)
2	1	oveqi 7421	. . . . 5 ⊢ (𝑖𝑋𝑗) = (𝑖(( 1 (𝑁 matRepV 𝑅)𝑍)‘𝐼)𝑗)
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → (𝑖𝑋𝑗) = (𝑖(( 1 (𝑁 matRepV 𝑅)𝑍)‘𝐼)𝑗))
4		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 Mat 𝑅) = (𝑁 Mat 𝑅)
5		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) = (Base‘(𝑁 Mat 𝑅))
6		1marepvsma1.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 = (1r‘(𝑁 Mat 𝑅))
7	4, 5, 6	mat1bas 22725	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 1 ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
8	7	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → 1 ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
9		simprr 785	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → 𝑍 ∈ 𝑉)
10		simprl 783	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → 𝐼 ∈ 𝑁)
11	8, 9, 10	3jca 1146	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → ( 1 ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁))
12	11	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → ( 1 ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁))
13		eldifi 4077	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) → 𝑖 ∈ 𝑁)
14		eldifi 4077	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) → 𝑗 ∈ 𝑁)
15	13, 14	anim12i 625	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁))
16	15	3adant1 1148	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁))
17		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 matRepV 𝑅) = (𝑁 matRepV 𝑅)
18		1marepvsma1.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
19	4, 5, 17, 18	marepveval 22844	. . . . 5 ⊢ ((( 1 ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖(( 1 (𝑁 matRepV 𝑅)𝑍)‘𝐼)𝑗) = if(𝑗 = 𝐼, (𝑍‘𝑖), (𝑖 1 𝑗)))
20	12, 16, 19	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → (𝑖(( 1 (𝑁 matRepV 𝑅)𝑍)‘𝐼)𝑗) = if(𝑗 = 𝐼, (𝑍‘𝑖), (𝑖 1 𝑗)))
21		eldifsni 4752	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) → 𝑗 ≠ 𝐼)
22	21	neneqd 2960	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) → ¬ 𝑗 = 𝐼)
23	22	3ad2ant3 1153	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → ¬ 𝑗 = 𝐼)
24	23	iffalsed 4492	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → if(𝑗 = 𝐼, (𝑍‘𝑖), (𝑖 1 𝑗)) = (𝑖 1 𝑗))
25		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
26		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
27		simp1lr 1256	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → 𝑁 ∈ Fin)
28		simp1ll 1255	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → 𝑅 ∈ Ring)
29	13	3ad2ant2 1152	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → 𝑖 ∈ 𝑁)
30	14	3ad2ant3 1153	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → 𝑗 ∈ 𝑁)
31	4, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 6	mat1ov 22724	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → (𝑖 1 𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
32	24, 31	eqtrd 2795	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → if(𝑗 = 𝐼, (𝑍‘𝑖), (𝑖 1 𝑗)) = if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
33	3, 20, 32	3eqtrd 2799	. . 3 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → (𝑖𝑋𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
34	33	mpoeq3dva 7485	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑖𝑋𝑗)) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
35	4, 5, 18, 6	ma1repvcl 22846	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁)) → (( 1 (𝑁 matRepV 𝑅)𝑍)‘𝐼) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
36	35	ancom2s 663	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → (( 1 (𝑁 matRepV 𝑅)𝑍)‘𝐼) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
37	1, 36	eqeltrid 2864	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → 𝑋 ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
38		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (𝑁 subMat 𝑅) = (𝑁 subMat 𝑅)
39	4, 38, 5	submaval 22857	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) → (𝐼((𝑁 subMat 𝑅)‘𝑋)𝐼) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑖𝑋𝑗)))
40	37, 10, 10, 39	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → (𝐼((𝑁 subMat 𝑅)‘𝑋)𝐼) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑖𝑋𝑗)))
41		diffi 9168	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (𝑁 ∖ {𝐼}) ∈ Fin)
42	41	anim2i 629	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∈ Fin))
43	42	ancomd 467	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((𝑁 ∖ {𝐼}) ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
44	43	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → ((𝑁 ∖ {𝐼}) ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
45		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∖ {𝐼}) Mat 𝑅) = ((𝑁 ∖ {𝐼}) Mat 𝑅)
46	45, 25, 26	mat1 22723	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∖ {𝐼}) ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r‘((𝑁 ∖ {𝐼}) Mat 𝑅)) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
47	44, 46	syl 18	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → (1r‘((𝑁 ∖ {𝐼}) Mat 𝑅)) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
48	34, 40, 47	3eqtr4d 2805	1 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → (𝐼((𝑁 subMat 𝑅)‘𝑋)𝐼) = (1r‘((𝑁 ∖ {𝐼}) Mat 𝑅)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∖ cdif 3895  ifcif 4481  {csn 4583  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408   ∈ cmpo 7410   ↑_m cmap 8825  Fincfn 8951  Basecbs 17348  0_gc0g 17571  1_rcur 20368  Ringcrg 20420   Mat cmat 22683   matRepV cmatrepV 22833   subMat csubma 22852

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-ot 4592  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-isom 6536  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7676  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-map 8827  df-ixp 8904  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-fsupp 9332  df-sup 9412  df-oi 9482  df-card 9991  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-nn 12305  df-2 12374  df-3 12375  df-4 12376  df-5 12377  df-6 12378  df-7 12379  df-8 12380  df-9 12381  df-n0 12576  df-z 12663  df-dec 12784  df-uz 12935  df-fz 13609  df-fzo 13757  df-seq 14113  df-hash 14442  df-struct 17286  df-sets 17303  df-slot 17321  df-ndx 17333  df-base 17349  df-ress 17370  df-plusg 17402  df-mulr 17403  df-sca 17405  df-vsca 17406  df-ip 17407  df-tset 17408  df-ple 17409  df-ds 17411  df-hom 17413  df-cco 17414  df-0g 17573  df-gsum 17574  df-prds 17579  df-pws 17581  df-mre 17717  df-mrc 17718  df-acs 17720  df-mgm 18777  df-sgrp 18869  df-mnd 18885  df-mhm 18939  df-submnd 18940  df-grp 19108  df-minusg 19109  df-sbg 19110  df-mulg 19239  df-subg 19294  df-ghm 19389  df-cntz 19492  df-cmn 19957  df-abl 19958  df-mgp 20322  df-rng 20336  df-ur 20369  df-ring 20422  df-subrg 20783  df-lmod 21098  df-lss 21168  df-sra 21409  df-rgmod 21410  df-dsmm 21999  df-frlm 22014  df-mamu 22667  df-mat 22684  df-marepv 22835  df-subma 22853

This theorem is used by:  cramerimplem1  22962