Theorem 1marepvsma1 22491

Description: The submatrix of the identity matrix with the ith column replaced by the vector obtained by removing the ith row and the ith column is an identity matrix. (Contributed by AV, 14-Feb-2019.) (Revised by AV, 27-Feb-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
1marepvsma1.v	⊢ 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
1marepvsma1.1	⊢ 1 = (1r‘(𝑁 Mat 𝑅))
1marepvsma1.x	⊢ 𝑋 = (( 1 (𝑁 matRepV 𝑅)𝑍)‘𝐼)

Assertion

Ref	Expression
1marepvsma1	⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → (𝐼((𝑁 subMat 𝑅)‘𝑋)𝐼) = (1r‘((𝑁 ∖ {𝐼}) Mat 𝑅)))

Proof of Theorem 1marepvsma1

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1marepvsma1.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (( 1 (𝑁 matRepV 𝑅)𝑍)‘𝐼)
2	1	oveqi 7354	. . . . 5 ⊢ (𝑖𝑋𝑗) = (𝑖(( 1 (𝑁 matRepV 𝑅)𝑍)‘𝐼)𝑗)
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → (𝑖𝑋𝑗) = (𝑖(( 1 (𝑁 matRepV 𝑅)𝑍)‘𝐼)𝑗))
4		eqid 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 Mat 𝑅) = (𝑁 Mat 𝑅)
5		eqid 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) = (Base‘(𝑁 Mat 𝑅))
6		1marepvsma1.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 = (1r‘(𝑁 Mat 𝑅))
7	4, 5, 6	mat1bas 22357	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 1 ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
8	7	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → 1 ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
9		simprr 772	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → 𝑍 ∈ 𝑉)
10		simprl 770	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → 𝐼 ∈ 𝑁)
11	8, 9, 10	3jca 1128	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → ( 1 ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁))
12	11	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → ( 1 ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁))
13		eldifi 4079	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) → 𝑖 ∈ 𝑁)
14		eldifi 4079	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) → 𝑗 ∈ 𝑁)
15	13, 14	anim12i 613	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁))
16	15	3adant1 1130	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁))
17		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 matRepV 𝑅) = (𝑁 matRepV 𝑅)
18		1marepvsma1.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
19	4, 5, 17, 18	marepveval 22476	. . . . 5 ⊢ ((( 1 ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖(( 1 (𝑁 matRepV 𝑅)𝑍)‘𝐼)𝑗) = if(𝑗 = 𝐼, (𝑍‘𝑖), (𝑖 1 𝑗)))
20	12, 16, 19	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → (𝑖(( 1 (𝑁 matRepV 𝑅)𝑍)‘𝐼)𝑗) = if(𝑗 = 𝐼, (𝑍‘𝑖), (𝑖 1 𝑗)))
21		eldifsni 4740	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) → 𝑗 ≠ 𝐼)
22	21	neneqd 2931	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) → ¬ 𝑗 = 𝐼)
23	22	3ad2ant3 1135	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → ¬ 𝑗 = 𝐼)
24	23	iffalsed 4484	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → if(𝑗 = 𝐼, (𝑍‘𝑖), (𝑖 1 𝑗)) = (𝑖 1 𝑗))
25		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
26		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
27		simp1lr 1238	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → 𝑁 ∈ Fin)
28		simp1ll 1237	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → 𝑅 ∈ Ring)
29	13	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → 𝑖 ∈ 𝑁)
30	14	3ad2ant3 1135	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → 𝑗 ∈ 𝑁)
31	4, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 6	mat1ov 22356	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → (𝑖 1 𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
32	24, 31	eqtrd 2765	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → if(𝑗 = 𝐼, (𝑍‘𝑖), (𝑖 1 𝑗)) = if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
33	3, 20, 32	3eqtrd 2769	. . 3 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∧ 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → (𝑖𝑋𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
34	33	mpoeq3dva 7418	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑖𝑋𝑗)) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
35	4, 5, 18, 6	ma1repvcl 22478	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁)) → (( 1 (𝑁 matRepV 𝑅)𝑍)‘𝐼) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
36	35	ancom2s 650	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → (( 1 (𝑁 matRepV 𝑅)𝑍)‘𝐼) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
37	1, 36	eqeltrid 2833	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → 𝑋 ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
38		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (𝑁 subMat 𝑅) = (𝑁 subMat 𝑅)
39	4, 38, 5	submaval 22489	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) → (𝐼((𝑁 subMat 𝑅)‘𝑋)𝐼) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑖𝑋𝑗)))
40	37, 10, 10, 39	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → (𝐼((𝑁 subMat 𝑅)‘𝑋)𝐼) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑖𝑋𝑗)))
41		diffi 9079	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (𝑁 ∖ {𝐼}) ∈ Fin)
42	41	anim2i 617	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∈ Fin))
43	42	ancomd 461	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((𝑁 ∖ {𝐼}) ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
44	43	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → ((𝑁 ∖ {𝐼}) ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
45		eqid 2730	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∖ {𝐼}) Mat 𝑅) = ((𝑁 ∖ {𝐼}) Mat 𝑅)
46	45, 25, 26	mat1 22355	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∖ {𝐼}) ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r‘((𝑁 ∖ {𝐼}) Mat 𝑅)) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
47	44, 46	syl 17	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → (1r‘((𝑁 ∖ {𝐼}) Mat 𝑅)) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
48	34, 40, 47	3eqtr4d 2775	1 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → (𝐼((𝑁 subMat 𝑅)‘𝑋)𝐼) = (1r‘((𝑁 ∖ {𝐼}) Mat 𝑅)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2110   ∖ cdif 3897  ifcif 4473  {csn 4574  ‘cfv 6477  (class class class)co 7341   ∈ cmpo 7343   ↑_m cmap 8745  Fincfn 8864  Basecbs 17112  0_gc0g 17335  1_rcur 20092  Ringcrg 20144   Mat cmat 22315   matRepV cmatrepV 22465   subMat csubma 22484

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-tp 4579  df-op 4581  df-ot 4583  df-uni 4858  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-isom 6486  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-of 7605  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-supp 8086  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-2o 8381  df-er 8617  df-map 8747  df-ixp 8817  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-fsupp 9241  df-sup 9321  df-oi 9391  df-card 9824  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-nn 12118  df-2 12180  df-3 12181  df-4 12182  df-5 12183  df-6 12184  df-7 12185  df-8 12186  df-9 12187  df-n0 12374  df-z 12461  df-dec 12581  df-uz 12725  df-fz 13400  df-fzo 13547  df-seq 13901  df-hash 14230  df-struct 17050  df-sets 17067  df-slot 17085  df-ndx 17097  df-base 17113  df-ress 17134  df-plusg 17166  df-mulr 17167  df-sca 17169  df-vsca 17170  df-ip 17171  df-tset 17172  df-ple 17173  df-ds 17175  df-hom 17177  df-cco 17178  df-0g 17337  df-gsum 17338  df-prds 17343  df-pws 17345  df-mre 17480  df-mrc 17481  df-acs 17483  df-mgm 18540  df-sgrp 18619  df-mnd 18635  df-mhm 18683  df-submnd 18684  df-grp 18841  df-minusg 18842  df-sbg 18843  df-mulg 18973  df-subg 19028  df-ghm 19118  df-cntz 19222  df-cmn 19687  df-abl 19688  df-mgp 20052  df-rng 20064  df-ur 20093  df-ring 20146  df-subrg 20478  df-lmod 20788  df-lss 20858  df-sra 21100  df-rgmod 21101  df-dsmm 21662  df-frlm 21677  df-mamu 22299  df-mat 22316  df-marepv 22467  df-subma 22485

This theorem is referenced by:  cramerimplem1  22591