Theorem submaval 22537

Description: Third substitution for a submatrix. (Contributed by AV, 28-Dec-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
submafval.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
submafval.q	⊢ 𝑄 = (𝑁 subMat 𝑅)
submafval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
submaval	⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) → (𝐾(𝑄‘𝑀)𝐿) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑁,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗   𝑖,𝑀,𝑗   𝑖,𝐾,𝑗   𝑖,𝐿,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗)   𝐵(𝑖,𝑗)   𝑄(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem submaval

Dummy variables 𝑘 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		submafval.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		submafval.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝑁 subMat 𝑅)
3		submafval.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
4	1, 2, 3	submaval0 22536	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝑄‘𝑀) = (𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝑘}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝑙}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))))
5	4	3ad2ant1 1134	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) → (𝑄‘𝑀) = (𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝑘}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝑙}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))))
6		simp2 1138	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) → 𝐾 ∈ 𝑁)
7		simpl3 1195	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 = 𝐾) → 𝐿 ∈ 𝑁)
8	1, 3	matrcl 22368	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
9	8	simpld 494	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑁 ∈ Fin)
10		diffi 9111	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (𝑁 ∖ {𝑘}) ∈ Fin)
11	9, 10	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∖ {𝑘}) ∈ Fin)
12		diffi 9111	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (𝑁 ∖ {𝑙}) ∈ Fin)
13	9, 12	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∖ {𝑙}) ∈ Fin)
14	11, 13	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → ((𝑁 ∖ {𝑘}) ∈ Fin ∧ (𝑁 ∖ {𝑙}) ∈ Fin))
15	14	3ad2ant1 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) → ((𝑁 ∖ {𝑘}) ∈ Fin ∧ (𝑁 ∖ {𝑙}) ∈ Fin))
16	15	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ (𝑘 = 𝐾 ∧ 𝑙 = 𝐿)) → ((𝑁 ∖ {𝑘}) ∈ Fin ∧ (𝑁 ∖ {𝑙}) ∈ Fin))
17		mpoexga 8031	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∖ {𝑘}) ∈ Fin ∧ (𝑁 ∖ {𝑙}) ∈ Fin) → (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝑘}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝑙}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)) ∈ V)
18	16, 17	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ (𝑘 = 𝐾 ∧ 𝑙 = 𝐿)) → (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝑘}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝑙}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)) ∈ V)
19		sneq 4592	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → {𝑘} = {𝐾})
20	19	difeq2d 4080	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (𝑁 ∖ {𝑘}) = (𝑁 ∖ {𝐾}))
21	20	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 = 𝐾 ∧ 𝑙 = 𝐿) → (𝑁 ∖ {𝑘}) = (𝑁 ∖ {𝐾}))
22		sneq 4592	. . . . . . 7 ⊢ (𝑙 = 𝐿 → {𝑙} = {𝐿})
23	22	difeq2d 4080	. . . . . 6 ⊢ (𝑙 = 𝐿 → (𝑁 ∖ {𝑙}) = (𝑁 ∖ {𝐿}))
24	23	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 = 𝐾 ∧ 𝑙 = 𝐿) → (𝑁 ∖ {𝑙}) = (𝑁 ∖ {𝐿}))
25		eqidd 2738	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 = 𝐾 ∧ 𝑙 = 𝐿) → (𝑖𝑀𝑗) = (𝑖𝑀𝑗))
26	21, 24, 25	mpoeq123dv 7443	. . . 4 ⊢ ((𝑘 = 𝐾 ∧ 𝑙 = 𝐿) → (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝑘}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝑙}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)))
27	26	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ (𝑘 = 𝐾 ∧ 𝑙 = 𝐿)) → (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝑘}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝑙}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)))
28	6, 7, 18, 27	ovmpodv2 7526	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) → ((𝑄‘𝑀) = (𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝑘}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝑙}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))) → (𝐾(𝑄‘𝑀)𝐿) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))))
29	5, 28	mpd 15	1 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) → (𝐾(𝑄‘𝑀)𝐿) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442   ∖ cdif 3900  {csn 4582  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ∈ cmpo 7370  Fincfn 8895  Basecbs 17148   Mat cmat 22363   subMat csubma 22532

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-1cn 11096  ax-addcl 11098

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-en 8896  df-fin 8899  df-nn 12158  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-mat 22364  df-subma 22533

This theorem is referenced by:  submaeval  22538  1marepvsma1  22539  smadiadet  22626  submat1n  33982  submatres  33983  madjusmdetlem1  34004