Theorem submaval 22940

Description: Third substitution for a submatrix. (Contributed by AV, 28-Dec-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
submafval.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
submafval.q	⊢ 𝑄 = (𝑁 subMat 𝑅)
submafval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
submaval	⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) → (𝐾(𝑄‘𝑀)𝐿) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑁,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗   𝑖,𝑀,𝑗   𝑖,𝐾,𝑗   𝑖,𝐿,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖, 𝑗)   𝐵(𝑖, 𝑗)   𝑄(𝑖, 𝑗)

Proof of Theorem submaval

Dummy variables 𝑘 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		submafval.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		submafval.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝑁 subMat 𝑅)
3		submafval.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
4	1, 2, 3	submaval0 22939	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝑄‘𝑀) = (𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝑘}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝑙}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))))
5	4	3ad2ant1 1151	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) → (𝑄‘𝑀) = (𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝑘}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝑙}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))))
6		simp2 1155	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) → 𝐾 ∈ 𝑁)
7		simpl3 1212	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 = 𝐾) → 𝐿 ∈ 𝑁)
8	1, 3	matrcl 22771	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
9	8	simpld 500	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑁 ∈ Fin)
10		diffi 9226	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (𝑁 ∖ {𝑘}) ∈ Fin)
11	9, 10	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∖ {𝑘}) ∈ Fin)
12		diffi 9226	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (𝑁 ∖ {𝑙}) ∈ Fin)
13	9, 12	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∖ {𝑙}) ∈ Fin)
14	11, 13	jca 521	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → ((𝑁 ∖ {𝑘}) ∈ Fin ∧ (𝑁 ∖ {𝑙}) ∈ Fin))
15	14	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) → ((𝑁 ∖ {𝑘}) ∈ Fin ∧ (𝑁 ∖ {𝑙}) ∈ Fin))
16	15	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ (𝑘 = 𝐾 ∧ 𝑙 = 𝐿)) → ((𝑁 ∖ {𝑘}) ∈ Fin ∧ (𝑁 ∖ {𝑙}) ∈ Fin))
17		mpoexga 8123	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∖ {𝑘}) ∈ Fin ∧ (𝑁 ∖ {𝑙}) ∈ Fin) → (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝑘}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝑙}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)) ∈ V)
18	16, 17	syl 18	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ (𝑘 = 𝐾 ∧ 𝑙 = 𝐿)) → (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝑘}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝑙}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)) ∈ V)
19		sneq 4594	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → {𝑘} = {𝐾})
20	19	difeq2d 4066	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (𝑁 ∖ {𝑘}) = (𝑁 ∖ {𝐾}))
21	20	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 = 𝐾 ∧ 𝑙 = 𝐿) → (𝑁 ∖ {𝑘}) = (𝑁 ∖ {𝐾}))
22		sneq 4594	. . . . . . 7 ⊢ (𝑙 = 𝐿 → {𝑙} = {𝐿})
23	22	difeq2d 4066	. . . . . 6 ⊢ (𝑙 = 𝐿 → (𝑁 ∖ {𝑙}) = (𝑁 ∖ {𝐿}))
24	23	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 = 𝐾 ∧ 𝑙 = 𝐿) → (𝑁 ∖ {𝑙}) = (𝑁 ∖ {𝐿}))
25		eqidd 2764	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 = 𝐾 ∧ 𝑙 = 𝐿) → (𝑖𝑀𝑗) = (𝑖𝑀𝑗))
26	21, 24, 25	mpoeq123dv 7524	. . . 4 ⊢ ((𝑘 = 𝐾 ∧ 𝑙 = 𝐿) → (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝑘}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝑙}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)))
27	26	adantl 487	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ (𝑘 = 𝐾 ∧ 𝑙 = 𝐿)) → (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝑘}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝑙}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)))
28	6, 7, 18, 27	ovmpodv2 7608	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) → ((𝑄‘𝑀) = (𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝑘}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝑙}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))) → (𝐾(𝑄‘𝑀)𝐿) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))))
29	5, 28	mpd 16	1 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) → (𝐾(𝑄‘𝑀)𝐿) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   ∖ cdif 4048  {csn 4588  ‘cfv 6564  (class class class)co 7449   ∈ cmpo 7451  Fincfn 9009  Basecbs 17428   Mat cmat 22766   subMat csubma 22935

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7781  ax-cnex 11293  ax-1cn 11295  ax-addcl 11297

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6328  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fn 6567  df-f 6568  df-f1 6569  df-fo 6570  df-f1o 6571  df-fv 6572  df-ov 7452  df-oprab 7453  df-mpo 7454  df-om 7910  df-1st 8033  df-2nd 8034  df-frecs 8335  df-wrecs 8366  df-recs 8415  df-rdg 8454  df-1o 8512  df-en 9010  df-fin 9013  df-nn 12374  df-slot 17401  df-ndx 17413  df-base 17429  df-mat 22767  df-subma 22936

This theorem is used by:  submaeval  22941  1marepvsma1  22942  smadiadet  23029  submat1n  34541  submatres  34542  madjusmdetlem1  34563