Theorem submaval 22608

Description: Third substitution for a submatrix. (Contributed by AV, 28-Dec-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
submafval.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
submafval.q	⊢ 𝑄 = (𝑁 subMat 𝑅)
submafval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
submaval	⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) → (𝐾(𝑄‘𝑀)𝐿) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑁,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗   𝑖,𝑀,𝑗   𝑖,𝐾,𝑗   𝑖,𝐿,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗)   𝐵(𝑖,𝑗)   𝑄(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem submaval

Dummy variables 𝑘 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		submafval.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		submafval.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝑁 subMat 𝑅)
3		submafval.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
4	1, 2, 3	submaval0 22607	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝑄‘𝑀) = (𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝑘}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝑙}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))))
5	4	3ad2ant1 1133	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) → (𝑄‘𝑀) = (𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝑘}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝑙}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))))
6		simp2 1137	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) → 𝐾 ∈ 𝑁)
7		simpl3 1193	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 = 𝐾) → 𝐿 ∈ 𝑁)
8	1, 3	matrcl 22437	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
9	8	simpld 494	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑁 ∈ Fin)
10		diffi 9242	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (𝑁 ∖ {𝑘}) ∈ Fin)
11	9, 10	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∖ {𝑘}) ∈ Fin)
12		diffi 9242	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (𝑁 ∖ {𝑙}) ∈ Fin)
13	9, 12	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∖ {𝑙}) ∈ Fin)
14	11, 13	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → ((𝑁 ∖ {𝑘}) ∈ Fin ∧ (𝑁 ∖ {𝑙}) ∈ Fin))
15	14	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) → ((𝑁 ∖ {𝑘}) ∈ Fin ∧ (𝑁 ∖ {𝑙}) ∈ Fin))
16	15	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ (𝑘 = 𝐾 ∧ 𝑙 = 𝐿)) → ((𝑁 ∖ {𝑘}) ∈ Fin ∧ (𝑁 ∖ {𝑙}) ∈ Fin))
17		mpoexga 8118	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∖ {𝑘}) ∈ Fin ∧ (𝑁 ∖ {𝑙}) ∈ Fin) → (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝑘}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝑙}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)) ∈ V)
18	16, 17	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ (𝑘 = 𝐾 ∧ 𝑙 = 𝐿)) → (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝑘}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝑙}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)) ∈ V)
19		sneq 4658	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → {𝑘} = {𝐾})
20	19	difeq2d 4149	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (𝑁 ∖ {𝑘}) = (𝑁 ∖ {𝐾}))
21	20	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 = 𝐾 ∧ 𝑙 = 𝐿) → (𝑁 ∖ {𝑘}) = (𝑁 ∖ {𝐾}))
22		sneq 4658	. . . . . . 7 ⊢ (𝑙 = 𝐿 → {𝑙} = {𝐿})
23	22	difeq2d 4149	. . . . . 6 ⊢ (𝑙 = 𝐿 → (𝑁 ∖ {𝑙}) = (𝑁 ∖ {𝐿}))
24	23	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 = 𝐾 ∧ 𝑙 = 𝐿) → (𝑁 ∖ {𝑙}) = (𝑁 ∖ {𝐿}))
25		eqidd 2741	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 = 𝐾 ∧ 𝑙 = 𝐿) → (𝑖𝑀𝑗) = (𝑖𝑀𝑗))
26	21, 24, 25	mpoeq123dv 7525	. . . 4 ⊢ ((𝑘 = 𝐾 ∧ 𝑙 = 𝐿) → (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝑘}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝑙}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)))
27	26	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ (𝑘 = 𝐾 ∧ 𝑙 = 𝐿)) → (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝑘}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝑙}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)))
28	6, 7, 18, 27	ovmpodv2 7608	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) → ((𝑄‘𝑀) = (𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝑘}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝑙}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))) → (𝐾(𝑄‘𝑀)𝐿) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))))
29	5, 28	mpd 15	1 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) → (𝐾(𝑄‘𝑀)𝐿) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488   ∖ cdif 3973  {csn 4648  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ∈ cmpo 7450  Fincfn 9003  Basecbs 17258   Mat cmat 22432   subMat csubma 22603

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-1cn 11242  ax-addcl 11244

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-en 9004  df-fin 9007  df-nn 12294  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-mat 22433  df-subma 22604

This theorem is referenced by:  submaeval  22609  1marepvsma1  22610  smadiadet  22697  submat1n  33751  submatres  33752  madjusmdetlem1  33773