Theorem submaval 22497

Description: Third substitution for a submatrix. (Contributed by AV, 28-Dec-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
submafval.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
submafval.q	⊢ 𝑄 = (𝑁 subMat 𝑅)
submafval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
submaval	⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) → (𝐾(𝑄‘𝑀)𝐿) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑁,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗   𝑖,𝑀,𝑗   𝑖,𝐾,𝑗   𝑖,𝐿,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗)   𝐵(𝑖,𝑗)   𝑄(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem submaval

Dummy variables 𝑘 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		submafval.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		submafval.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝑁 subMat 𝑅)
3		submafval.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
4	1, 2, 3	submaval0 22496	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝑄‘𝑀) = (𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝑘}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝑙}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))))
5	4	3ad2ant1 1133	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) → (𝑄‘𝑀) = (𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝑘}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝑙}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))))
6		simp2 1137	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) → 𝐾 ∈ 𝑁)
7		simpl3 1194	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ 𝑘 = 𝐾) → 𝐿 ∈ 𝑁)
8	1, 3	matrcl 22328	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
9	8	simpld 494	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑁 ∈ Fin)
10		diffi 9091	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (𝑁 ∖ {𝑘}) ∈ Fin)
11	9, 10	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∖ {𝑘}) ∈ Fin)
12		diffi 9091	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (𝑁 ∖ {𝑙}) ∈ Fin)
13	9, 12	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∖ {𝑙}) ∈ Fin)
14	11, 13	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → ((𝑁 ∖ {𝑘}) ∈ Fin ∧ (𝑁 ∖ {𝑙}) ∈ Fin))
15	14	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) → ((𝑁 ∖ {𝑘}) ∈ Fin ∧ (𝑁 ∖ {𝑙}) ∈ Fin))
16	15	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ (𝑘 = 𝐾 ∧ 𝑙 = 𝐿)) → ((𝑁 ∖ {𝑘}) ∈ Fin ∧ (𝑁 ∖ {𝑙}) ∈ Fin))
17		mpoexga 8015	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∖ {𝑘}) ∈ Fin ∧ (𝑁 ∖ {𝑙}) ∈ Fin) → (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝑘}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝑙}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)) ∈ V)
18	16, 17	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ (𝑘 = 𝐾 ∧ 𝑙 = 𝐿)) → (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝑘}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝑙}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)) ∈ V)
19		sneq 4585	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → {𝑘} = {𝐾})
20	19	difeq2d 4075	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (𝑁 ∖ {𝑘}) = (𝑁 ∖ {𝐾}))
21	20	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 = 𝐾 ∧ 𝑙 = 𝐿) → (𝑁 ∖ {𝑘}) = (𝑁 ∖ {𝐾}))
22		sneq 4585	. . . . . . 7 ⊢ (𝑙 = 𝐿 → {𝑙} = {𝐿})
23	22	difeq2d 4075	. . . . . 6 ⊢ (𝑙 = 𝐿 → (𝑁 ∖ {𝑙}) = (𝑁 ∖ {𝐿}))
24	23	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 = 𝐾 ∧ 𝑙 = 𝐿) → (𝑁 ∖ {𝑙}) = (𝑁 ∖ {𝐿}))
25		eqidd 2734	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 = 𝐾 ∧ 𝑙 = 𝐿) → (𝑖𝑀𝑗) = (𝑖𝑀𝑗))
26	21, 24, 25	mpoeq123dv 7427	. . . 4 ⊢ ((𝑘 = 𝐾 ∧ 𝑙 = 𝐿) → (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝑘}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝑙}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)))
27	26	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) ∧ (𝑘 = 𝐾 ∧ 𝑙 = 𝐿)) → (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝑘}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝑙}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)))
28	6, 7, 18, 27	ovmpodv2 7510	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) → ((𝑄‘𝑀) = (𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝑘}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝑙}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))) → (𝐾(𝑄‘𝑀)𝐿) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}) ↦ (𝑖𝑀𝑗))))
29	5, 28	mpd 15	1 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) → (𝐾(𝑄‘𝑀)𝐿) = (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}), 𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐿}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3437   ∖ cdif 3895  {csn 4575  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352   ∈ cmpo 7354  Fincfn 8875  Basecbs 17122   Mat cmat 22323   subMat csubma 22492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-1cn 11071  ax-addcl 11073

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-en 8876  df-fin 8879  df-nn 12133  df-slot 17095  df-ndx 17107  df-base 17123  df-mat 22324  df-subma 22493

This theorem is referenced by:  submaeval  22498  1marepvsma1  22499  smadiadet  22586  submat1n  33839  submatres  33840  madjusmdetlem1  33861