Theorem subrecd 12159

Description: Subtraction of reciprocals. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
subrecd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
subrecd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subrecd.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
subrecd.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
subrecd	⊢ (𝜑 → ((1 / 𝐴) − (1 / 𝐵)) = ((𝐵 − 𝐴) / (𝐴 · 𝐵)))

Proof of Theorem subrecd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1cnd 11315	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
2		subrecd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		subrecd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4		subrecd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
5		subrecd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
6	1, 2, 1, 3, 4, 5	divsubdivd 12151	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝐴) − (1 / 𝐵)) = (((1 · 𝐵) − (1 · 𝐴)) / (𝐴 · 𝐵)))
7	3	mullidd 11340	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐵) = 𝐵)
8	2	mullidd 11340	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐴) = 𝐴)
9	7, 8	oveq12d 7448	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1 · 𝐵) − (1 · 𝐴)) = (𝐵 − 𝐴))
10	9	oveq1d 7445	. 2 ⊢ (𝜑 → (((1 · 𝐵) − (1 · 𝐴)) / (𝐴 · 𝐵)) = ((𝐵 − 𝐴) / (𝐴 · 𝐵)))
11	6, 10	eqtrd 2798	1 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝐴) − (1 / 𝐵)) = ((𝐵 − 𝐴) / (𝐴 · 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2959  (class class class)co 7430  ℂcc 11211  0cc0 11213  1c1 11214   · cmul 11218   − cmin 11554   / cdiv 11986

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-er 8731  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-div 11987

This theorem is used by:  subrec  12160  lgamgulmlem3  27373