Theorem subrecd 12068

Description: Subtraction of reciprocals. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
subrecd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
subrecd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subrecd.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
subrecd.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
subrecd	⊢ (𝜑 → ((1 / 𝐴) − (1 / 𝐵)) = ((𝐵 − 𝐴) / (𝐴 · 𝐵)))

Proof of Theorem subrecd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1cnd 11228	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
2		subrecd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		subrecd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4		subrecd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
5		subrecd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
6	1, 2, 1, 3, 4, 5	divsubdivd 12060	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝐴) − (1 / 𝐵)) = (((1 · 𝐵) − (1 · 𝐴)) / (𝐴 · 𝐵)))
7	3	mullidd 11251	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐵) = 𝐵)
8	2	mullidd 11251	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐴) = 𝐴)
9	7, 8	oveq12d 7421	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1 · 𝐵) − (1 · 𝐴)) = (𝐵 − 𝐴))
10	9	oveq1d 7418	. 2 ⊢ (𝜑 → (((1 · 𝐵) − (1 · 𝐴)) / (𝐴 · 𝐵)) = ((𝐵 − 𝐴) / (𝐴 · 𝐵)))
11	6, 10	eqtrd 2770	1 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝐴) − (1 / 𝐵)) = ((𝐵 − 𝐴) / (𝐴 · 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  (class class class)co 7403  ℂcc 11125  0cc0 11127  1c1 11128   · cmul 11132   − cmin 11464   / cdiv 11892

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-po 5561  df-so 5562  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-er 8717  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-div 11893

This theorem is referenced by:  subrec  12069  lgamgulmlem3  26991