Theorem subrecd 11950

Description: Subtraction of reciprocals. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
subrecd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
subrecd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subrecd.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
subrecd.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
subrecd	⊢ (𝜑 → ((1 / 𝐴) − (1 / 𝐵)) = ((𝐵 − 𝐴) / (𝐴 · 𝐵)))

Proof of Theorem subrecd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1cnd 11107	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
2		subrecd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		subrecd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4		subrecd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
5		subrecd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
6	1, 2, 1, 3, 4, 5	divsubdivd 11942	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝐴) − (1 / 𝐵)) = (((1 · 𝐵) − (1 · 𝐴)) / (𝐴 · 𝐵)))
7	3	mullidd 11130	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐵) = 𝐵)
8	2	mullidd 11130	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐴) = 𝐴)
9	7, 8	oveq12d 7364	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1 · 𝐵) − (1 · 𝐴)) = (𝐵 − 𝐴))
10	9	oveq1d 7361	. 2 ⊢ (𝜑 → (((1 · 𝐵) − (1 · 𝐴)) / (𝐴 · 𝐵)) = ((𝐵 − 𝐴) / (𝐴 · 𝐵)))
11	6, 10	eqtrd 2766	1 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝐴) − (1 / 𝐵)) = ((𝐵 − 𝐴) / (𝐴 · 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  (class class class)co 7346  ℂcc 11004  0cc0 11006  1c1 11007   · cmul 11011   − cmin 11344   / cdiv 11774

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-po 5524  df-so 5525  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775

This theorem is referenced by:  subrec  11951  lgamgulmlem3  26969