Theorem mvllmuld 11184

Description: Move LHS left multiplication to RHS. (Contributed by David A. Wheeler, 15-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
mvllmuld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mvllmuld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
mvllmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
mvllmuld.4	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
mvllmuld	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝐶 / 𝐴))

Proof of Theorem mvllmuld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mvllmuld.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
2		mvllmuld.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		mvllmuld.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
4	1, 2, 3	divcan4d 11134	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐴) = 𝐵)
5	2, 1	mulcomd 10379	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
6		mvllmuld.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) = 𝐶)
7	5, 6	eqtr3d 2864	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐴) = 𝐶)
8	7	oveq1d 6921	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐴) = (𝐶 / 𝐴))
9	4, 8	eqtr3d 2864	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝐶 / 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1658   ∈ wcel 2166   ≠ wne 3000  (class class class)co 6906  ℂcc 10251  0cc0 10253   · cmul 10258   / cdiv 11010

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4660  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-id 5251  df-po 5264  df-so 5265  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-er 8010  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-div 11011

This theorem is referenced by:  exprec  13196  abs1m  14453  fsumkthpow  15160  efneg  15201  abvrec  19193  nminvr  22844  cxpneg  24827  cxprec  24832  atantan  25064  atantayl2  25079  rmxyneg  38329  itgpowd  38643  bccm1k  39382  stoweidlem13  41025  eenglngeehlnmlem2  43290  i2linesd  43422