MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgamgulmlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgamgulmlem3 25541
Description: Lemma for lgamgulm 25545. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lgamgulm.r (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
lgamgulm.u 𝑈 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))}
lgamgulm.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
lgamgulm.a (𝜑𝐴𝑈)
lgamgulm.l (𝜑 → (2 · 𝑅) ≤ 𝑁)
Assertion
Ref Expression
lgamgulmlem3 (𝜑 → (abs‘((𝐴 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1)))) ≤ (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑁↑2))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝑘,𝑅   𝐴,𝑘,𝑥   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝑈(𝑥,𝑘)   𝑁(𝑘)

Proof of Theorem lgamgulmlem3
StepHypRef Expression
1 lgamgulm.r . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
2 lgamgulm.u . . . . . . . 8 𝑈 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))}
31, 2lgamgulmlem1 25539 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
4 lgamgulm.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝑈)
53, 4sseldd 3972 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
65eldifad 3952 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
7 lgamgulm.n . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
87peano2nnd 11649 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
98nnrpd 12424 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℝ+)
107nnrpd 12424 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℝ+)
119, 10rpdivcld 12443 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑁 + 1) / 𝑁) ∈ ℝ+)
1211relogcld 25138 . . . . . 6 (𝜑 → (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) ∈ ℝ)
1312recnd 10663 . . . . 5 (𝜑 → (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) ∈ ℂ)
146, 13mulcld 10655 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) ∈ ℂ)
157nncnd 11648 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
167nnne0d 11681 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ≠ 0)
176, 15, 16divcld 11410 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℂ)
18 1cnd 10630 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
1917, 18addcld 10654 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 / 𝑁) + 1) ∈ ℂ)
205, 7dmgmdivn0 25538 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 / 𝑁) + 1) ≠ 0)
2119, 20logcld 25086 . . . 4 (𝜑 → (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1)) ∈ ℂ)
2214, 21subcld 10991 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1))) ∈ ℂ)
2322abscld 14791 . 2 (𝜑 → (abs‘((𝐴 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1)))) ∈ ℝ)
2414, 17subcld 10991 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − (𝐴 / 𝑁)) ∈ ℂ)
2524abscld 14791 . . 3 (𝜑 → (abs‘((𝐴 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − (𝐴 / 𝑁))) ∈ ℝ)
2617, 21subcld 10991 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 / 𝑁) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1))) ∈ ℂ)
2726abscld 14791 . . 3 (𝜑 → (abs‘((𝐴 / 𝑁) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1)))) ∈ ℝ)
2825, 27readdcld 10664 . 2 (𝜑 → ((abs‘((𝐴 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − (𝐴 / 𝑁))) + (abs‘((𝐴 / 𝑁) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1))))) ∈ ℝ)
291nnred 11647 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
30 2re 11705 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
3130a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
32 1red 10636 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
3329, 32readdcld 10664 . . . . 5 (𝜑 → (𝑅 + 1) ∈ ℝ)
3431, 33remulcld 10665 . . . 4 (𝜑 → (2 · (𝑅 + 1)) ∈ ℝ)
357nnsqcld 13600 . . . 4 (𝜑 → (𝑁↑2) ∈ ℕ)
3634, 35nndivred 11685 . . 3 (𝜑 → ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑁↑2)) ∈ ℝ)
3729, 36remulcld 10665 . 2 (𝜑 → (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑁↑2))) ∈ ℝ)
3814, 21, 17abs3difd 14815 . 2 (𝜑 → (abs‘((𝐴 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1)))) ≤ ((abs‘((𝐴 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − (𝐴 / 𝑁))) + (abs‘((𝐴 / 𝑁) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1))))))
397nnrecred 11682 . . . . . 6 (𝜑 → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
408nnrecred 11682 . . . . . 6 (𝜑 → (1 / (𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
4139, 40resubcld 11062 . . . . 5 (𝜑 → ((1 / 𝑁) − (1 / (𝑁 + 1))) ∈ ℝ)
4229, 41remulcld 10665 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 · ((1 / 𝑁) − (1 / (𝑁 + 1)))) ∈ ℝ)
4331, 29remulcld 10665 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 · 𝑅) ∈ ℝ)
447nnred 11647 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
451nnrpd 12424 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
4629, 45ltaddrpd 12459 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 < (𝑅 + 𝑅))
471nncnd 11648 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ ℂ)
48472timesd 11874 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 · 𝑅) = (𝑅 + 𝑅))
4946, 48breqtrrd 5091 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 < (2 · 𝑅))
50 lgamgulm.l . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 · 𝑅) ≤ 𝑁)
5129, 43, 44, 49, 50ltletrd 10794 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 < 𝑁)
52 difrp 12422 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑅 < 𝑁 ↔ (𝑁𝑅) ∈ ℝ+))
5329, 44, 52syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑅 < 𝑁 ↔ (𝑁𝑅) ∈ ℝ+))
5451, 53mpbid 233 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁𝑅) ∈ ℝ+)
5554rprecred 12437 . . . . . 6 (𝜑 → (1 / (𝑁𝑅)) ∈ ℝ)
5655, 39resubcld 11062 . . . . 5 (𝜑 → ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁)) ∈ ℝ)
5729, 56remulcld 10665 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁))) ∈ ℝ)
5842, 57readdcld 10664 . . 3 (𝜑 → ((𝑅 · ((1 / 𝑁) − (1 / (𝑁 + 1)))) + (𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁)))) ∈ ℝ)
596, 15, 16divrecd 11413 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 / 𝑁) = (𝐴 · (1 / 𝑁)))
6059oveq2d 7166 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − (𝐴 / 𝑁)) = ((𝐴 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − (𝐴 · (1 / 𝑁))))
6139recnd 10663 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 / 𝑁) ∈ ℂ)
626, 13, 61subdid 11090 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 · ((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) − (1 / 𝑁))) = ((𝐴 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − (𝐴 · (1 / 𝑁))))
6360, 62eqtr4d 2864 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − (𝐴 / 𝑁)) = (𝐴 · ((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) − (1 / 𝑁))))
6463fveq2d 6673 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘((𝐴 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − (𝐴 / 𝑁))) = (abs‘(𝐴 · ((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) − (1 / 𝑁)))))
6513, 61subcld 10991 . . . . . . 7 (𝜑 → ((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) − (1 / 𝑁)) ∈ ℂ)
666, 65absmuld 14809 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(𝐴 · ((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) − (1 / 𝑁)))) = ((abs‘𝐴) · (abs‘((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) − (1 / 𝑁)))))
6764, 66eqtrd 2861 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘((𝐴 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − (𝐴 / 𝑁))) = ((abs‘𝐴) · (abs‘((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) − (1 / 𝑁)))))
686abscld 14791 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
6965abscld 14791 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) − (1 / 𝑁))) ∈ ℝ)
706absge0d 14799 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐴))
7165absge0d 14799 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) − (1 / 𝑁))))
72 fveq2 6669 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝐴 → (abs‘𝑥) = (abs‘𝐴))
7372breq1d 5073 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝐴 → ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ↔ (abs‘𝐴) ≤ 𝑅))
74 fvoveq1 7173 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝐴 → (abs‘(𝑥 + 𝑘)) = (abs‘(𝐴 + 𝑘)))
7574breq2d 5075 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝐴 → ((1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)) ↔ (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝐴 + 𝑘))))
7675ralbidv 3202 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝐴 → (∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝐴 + 𝑘))))
7773, 76anbi12d 630 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝐴 → (((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘))) ↔ ((abs‘𝐴) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝐴 + 𝑘)))))
7877, 2elrab2 3687 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑈 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝐴 + 𝑘)))))
7978simprbi 497 . . . . . . . 8 (𝐴𝑈 → ((abs‘𝐴) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝐴 + 𝑘))))
804, 79syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((abs‘𝐴) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝐴 + 𝑘))))
8180simpld 495 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘𝐴) ≤ 𝑅)
829, 10relogdivd 25141 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) = ((log‘(𝑁 + 1)) − (log‘𝑁)))
83 logdifbnd 25504 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℝ+ → ((log‘(𝑁 + 1)) − (log‘𝑁)) ≤ (1 / 𝑁))
8410, 83syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((log‘(𝑁 + 1)) − (log‘𝑁)) ≤ (1 / 𝑁))
8582, 84eqbrtrd 5085 . . . . . . . 8 (𝜑 → (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) ≤ (1 / 𝑁))
8612, 39, 85abssuble0d 14787 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) − (1 / 𝑁))) = ((1 / 𝑁) − (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))))
87 logdiflbnd 25505 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℝ+ → (1 / (𝑁 + 1)) ≤ ((log‘(𝑁 + 1)) − (log‘𝑁)))
8810, 87syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 / (𝑁 + 1)) ≤ ((log‘(𝑁 + 1)) − (log‘𝑁)))
8988, 82breqtrrd 5091 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 / (𝑁 + 1)) ≤ (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)))
9040, 12, 39, 89lesub2dd 11251 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 / 𝑁) − (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) ≤ ((1 / 𝑁) − (1 / (𝑁 + 1))))
9186, 90eqbrtrd 5085 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) − (1 / 𝑁))) ≤ ((1 / 𝑁) − (1 / (𝑁 + 1))))
9268, 29, 69, 41, 70, 71, 81, 91lemul12ad 11576 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘𝐴) · (abs‘((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) − (1 / 𝑁)))) ≤ (𝑅 · ((1 / 𝑁) − (1 / (𝑁 + 1)))))
9367, 92eqbrtrd 5085 . . . 4 (𝜑 → (abs‘((𝐴 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − (𝐴 / 𝑁))) ≤ (𝑅 · ((1 / 𝑁) − (1 / (𝑁 + 1)))))
941, 2, 7, 4, 50lgamgulmlem2 25540 . . . 4 (𝜑 → (abs‘((𝐴 / 𝑁) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1)))) ≤ (𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁))))
9525, 27, 42, 57, 93, 94le2addd 11253 . . 3 (𝜑 → ((abs‘((𝐴 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − (𝐴 / 𝑁))) + (abs‘((𝐴 / 𝑁) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1))))) ≤ ((𝑅 · ((1 / 𝑁) − (1 / (𝑁 + 1)))) + (𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁)))))
9615, 47subcld 10991 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁𝑅) ∈ ℂ)
9715, 18addcld 10654 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
9829, 51gtned 10769 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁𝑅)
9915, 47, 98subne0d 11000 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁𝑅) ≠ 0)
1008nnne0d 11681 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 + 1) ≠ 0)
10196, 97, 99, 100subrecd 11465 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / (𝑁 + 1))) = (((𝑁 + 1) − (𝑁𝑅)) / ((𝑁𝑅) · (𝑁 + 1))))
10215, 18, 47pnncand 11030 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁 + 1) − (𝑁𝑅)) = (1 + 𝑅))
10318, 47, 102comraddd 10848 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁 + 1) − (𝑁𝑅)) = (𝑅 + 1))
104103oveq1d 7165 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑁 + 1) − (𝑁𝑅)) / ((𝑁𝑅) · (𝑁 + 1))) = ((𝑅 + 1) / ((𝑁𝑅) · (𝑁 + 1))))
105101, 104eqtr2d 2862 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑅 + 1) / ((𝑁𝑅) · (𝑁 + 1))) = ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / (𝑁 + 1))))
106105oveq2d 7166 . . . . 5 (𝜑 → (𝑅 · ((𝑅 + 1) / ((𝑁𝑅) · (𝑁 + 1)))) = (𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / (𝑁 + 1)))))
10797, 100reccld 11403 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 / (𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
10896, 99reccld 11403 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 / (𝑁𝑅)) ∈ ℂ)
10961, 107, 108npncan3d 11027 . . . . . . 7 (𝜑 → (((1 / 𝑁) − (1 / (𝑁 + 1))) + ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁))) = ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / (𝑁 + 1))))
110109eqcomd 2832 . . . . . 6 (𝜑 → ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / (𝑁 + 1))) = (((1 / 𝑁) − (1 / (𝑁 + 1))) + ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁))))
111110oveq2d 7166 . . . . 5 (𝜑 → (𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / (𝑁 + 1)))) = (𝑅 · (((1 / 𝑁) − (1 / (𝑁 + 1))) + ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁)))))
11241recnd 10663 . . . . . 6 (𝜑 → ((1 / 𝑁) − (1 / (𝑁 + 1))) ∈ ℂ)
11356recnd 10663 . . . . . 6 (𝜑 → ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁)) ∈ ℂ)
11447, 112, 113adddid 10659 . . . . 5 (𝜑 → (𝑅 · (((1 / 𝑁) − (1 / (𝑁 + 1))) + ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁)))) = ((𝑅 · ((1 / 𝑁) − (1 / (𝑁 + 1)))) + (𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁)))))
115106, 111, 1143eqtrd 2865 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 · ((𝑅 + 1) / ((𝑁𝑅) · (𝑁 + 1)))) = ((𝑅 · ((1 / 𝑁) − (1 / (𝑁 + 1)))) + (𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁)))))
11654, 9rpmulcld 12442 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁𝑅) · (𝑁 + 1)) ∈ ℝ+)
11733, 116rerpdivcld 12457 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑅 + 1) / ((𝑁𝑅) · (𝑁 + 1))) ∈ ℝ)
11845rpge0d 12430 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ 𝑅)
119 2z 12008 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℤ
120119a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
12110, 120rpexpcld 13603 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁↑2) ∈ ℝ+)
122121rphalfcld 12438 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑁↑2) / 2) ∈ ℝ+)
123 0le1 11157 . . . . . . . . 9 0 ≤ 1
124123a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ 1)
12529, 32, 118, 124addge0d 11210 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ (𝑅 + 1))
12615sqvald 13502 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁↑2) = (𝑁 · 𝑁))
127126oveq1d 7165 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁↑2) / 2) = ((𝑁 · 𝑁) / 2))
12831recnd 10663 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
129 2ne0 11735 . . . . . . . . . . 11 2 ≠ 0
130129a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 2 ≠ 0)
13115, 15, 128, 130div23d 11447 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁 · 𝑁) / 2) = ((𝑁 / 2) · 𝑁))
132127, 131eqtrd 2861 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁↑2) / 2) = ((𝑁 / 2) · 𝑁))
13344rehalfcld 11878 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
13444, 29resubcld 11062 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁𝑅) ∈ ℝ)
13544, 32readdcld 10664 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
136 2rp 12389 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ+
137136a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
13810rpge0d 12430 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ 𝑁)
13944, 137, 138divge0d 12466 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ (𝑁 / 2))
14029, 44, 137lemuldiv2d 12476 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((2 · 𝑅) ≤ 𝑁𝑅 ≤ (𝑁 / 2)))
14150, 140mpbid 233 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ≤ (𝑁 / 2))
142152halvesd 11877 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑁 / 2) + (𝑁 / 2)) = 𝑁)
143133recnd 10663 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁 / 2) ∈ ℂ)
14415, 143, 143subaddd 11009 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑁 − (𝑁 / 2)) = (𝑁 / 2) ↔ ((𝑁 / 2) + (𝑁 / 2)) = 𝑁))
145142, 144mpbird 258 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁 − (𝑁 / 2)) = (𝑁 / 2))
146141, 145breqtrrd 5091 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ≤ (𝑁 − (𝑁 / 2)))
14729, 44, 133, 146lesubd 11238 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁 / 2) ≤ (𝑁𝑅))
14844lep1d 11565 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ≤ (𝑁 + 1))
149133, 134, 44, 135, 139, 138, 147, 148lemul12ad 11576 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁 / 2) · 𝑁) ≤ ((𝑁𝑅) · (𝑁 + 1)))
150132, 149eqbrtrd 5085 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑁↑2) / 2) ≤ ((𝑁𝑅) · (𝑁 + 1)))
151122, 116, 33, 125, 150lediv2ad 12448 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑅 + 1) / ((𝑁𝑅) · (𝑁 + 1))) ≤ ((𝑅 + 1) / ((𝑁↑2) / 2)))
1521peano2nnd 11649 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑅 + 1) ∈ ℕ)
153152nncnd 11648 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑅 + 1) ∈ ℂ)
15435nncnd 11648 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁↑2) ∈ ℂ)
15535nnne0d 11681 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁↑2) ≠ 0)
156153, 154, 128, 155, 130divdiv2d 11442 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑅 + 1) / ((𝑁↑2) / 2)) = (((𝑅 + 1) · 2) / (𝑁↑2)))
157153, 128mulcomd 10656 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑅 + 1) · 2) = (2 · (𝑅 + 1)))
158157oveq1d 7165 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑅 + 1) · 2) / (𝑁↑2)) = ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑁↑2)))
159156, 158eqtr2d 2862 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑁↑2)) = ((𝑅 + 1) / ((𝑁↑2) / 2)))
160151, 159breqtrrd 5091 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑅 + 1) / ((𝑁𝑅) · (𝑁 + 1))) ≤ ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑁↑2)))
161117, 36, 29, 118, 160lemul2ad 11574 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 · ((𝑅 + 1) / ((𝑁𝑅) · (𝑁 + 1)))) ≤ (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑁↑2))))
162115, 161eqbrtrrd 5087 . . 3 (𝜑 → ((𝑅 · ((1 / 𝑁) − (1 / (𝑁 + 1)))) + (𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁)))) ≤ (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑁↑2))))
16328, 58, 37, 95, 162letrd 10791 . 2 (𝜑 → ((abs‘((𝐴 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − (𝐴 / 𝑁))) + (abs‘((𝐴 / 𝑁) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1))))) ≤ (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑁↑2))))
16423, 28, 37, 38, 163letrd 10791 1 (𝜑 → (abs‘((𝐴 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1)))) ≤ (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑁↑2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3021  wral 3143  {crab 3147  cdif 3937   class class class wbr 5063  cfv 6354  (class class class)co 7150  cc 10529  cr 10530  0cc0 10531  1c1 10532   + caddc 10534   · cmul 10536   < clt 10669  cle 10670  cmin 10864   / cdiv 11291  cn 11632  2c2 11686  0cn0 11891  cz 11975  +crp 12384  cexp 13424  abscabs 14588  logclog 25070
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-inf2 9098  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-addf 10610  ax-mulf 10611
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-iin 4920  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-om 7574  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-supp 7827  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-2o 8099  df-oadd 8102  df-er 8284  df-map 8403  df-pm 8404  df-ixp 8456  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fsupp 8828  df-fi 8869  df-sup 8900  df-inf 8901  df-oi 8968  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12385  df-xneg 12502  df-xadd 12503  df-xmul 12504  df-ioo 12737  df-ioc 12738  df-ico 12739  df-icc 12740  df-fz 12888  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-mod 13233  df-seq 13365  df-exp 13425  df-fac 13629  df-bc 13658  df-hash 13686  df-shft 14421  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-limsup 14823  df-clim 14840  df-rlim 14841  df-sum 15038  df-ef 15416  df-sin 15418  df-cos 15419  df-tan 15420  df-pi 15421  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-starv 16575  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-unif 16583  df-hom 16584  df-cco 16585  df-rest 16691  df-topn 16692  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-topgen 16712  df-pt 16713  df-prds 16716  df-xrs 16770  df-qtop 16775  df-imas 16776  df-xps 16778  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-acs 16855  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-submnd 17952  df-mulg 18170  df-cntz 18392  df-cmn 18844  df-psmet 20472  df-xmet 20473  df-met 20474  df-bl 20475  df-mopn 20476  df-fbas 20477  df-fg 20478  df-cnfld 20481  df-top 21437  df-topon 21454  df-topsp 21476  df-bases 21489  df-cld 21562  df-ntr 21563  df-cls 21564  df-nei 21641  df-lp 21679  df-perf 21680  df-cn 21770  df-cnp 21771  df-haus 21858  df-cmp 21930  df-tx 22105  df-hmeo 22298  df-fil 22389  df-fm 22481  df-flim 22482  df-flf 22483  df-xms 22864  df-ms 22865  df-tms 22866  df-cncf 23420  df-limc 24398  df-dv 24399  df-log 25072
This theorem is referenced by:  lgamgulmlem5  25543
  Copyright terms: Public domain W3C validator