MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgamgulmlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgamgulmlem3 26535
Description: Lemma for lgamgulm 26539. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lgamgulm.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„•)
lgamgulm.u ๐‘ˆ = {๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆฃ ((absโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘… โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘˜)))}
lgamgulm.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
lgamgulm.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘ˆ)
lgamgulm.l (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐‘…) โ‰ค ๐‘)
Assertion
Ref Expression
lgamgulmlem3 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘) + 1)))) โ‰ค (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘โ†‘2))))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘   ๐‘ฅ,๐‘˜,๐‘…   ๐ด,๐‘˜,๐‘ฅ   ๐œ‘,๐‘ฅ
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘˜)   ๐‘ˆ(๐‘ฅ,๐‘˜)   ๐‘(๐‘˜)

Proof of Theorem lgamgulmlem3
StepHypRef Expression
1 lgamgulm.r . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„•)
2 lgamgulm.u . . . . . . . 8 ๐‘ˆ = {๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆฃ ((absโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘… โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘˜)))}
31, 2lgamgulmlem1 26533 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โŠ† (โ„‚ โˆ– (โ„ค โˆ– โ„•)))
4 lgamgulm.a . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘ˆ)
53, 4sseldd 3984 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– (โ„ค โˆ– โ„•)))
65eldifad 3961 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
7 lgamgulm.n . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
87peano2nnd 12229 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„•)
98nnrpd 13014 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„+)
107nnrpd 13014 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
119, 10rpdivcld 13033 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ + 1) / ๐‘) โˆˆ โ„+)
1211relogcld 26131 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) โˆˆ โ„)
1312recnd 11242 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) โˆˆ โ„‚)
146, 13mulcld 11234 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))) โˆˆ โ„‚)
157nncnd 12228 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
167nnne0d 12262 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โ‰  0)
176, 15, 16divcld 11990 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ด / ๐‘) โˆˆ โ„‚)
18 1cnd 11209 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
1917, 18addcld 11233 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด / ๐‘) + 1) โˆˆ โ„‚)
205, 7dmgmdivn0 26532 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด / ๐‘) + 1) โ‰  0)
2119, 20logcld 26079 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘) + 1)) โˆˆ โ„‚)
2214, 21subcld 11571 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘) + 1))) โˆˆ โ„‚)
2322abscld 15383 . 2 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘) + 1)))) โˆˆ โ„)
2414, 17subcld 11571 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))) โˆ’ (๐ด / ๐‘)) โˆˆ โ„‚)
2524abscld 15383 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))) โˆ’ (๐ด / ๐‘))) โˆˆ โ„)
2617, 21subcld 11571 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด / ๐‘) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘) + 1))) โˆˆ โ„‚)
2726abscld 15383 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜((๐ด / ๐‘) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘) + 1)))) โˆˆ โ„)
2825, 27readdcld 11243 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))) โˆ’ (๐ด / ๐‘))) + (absโ€˜((๐ด / ๐‘) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘) + 1))))) โˆˆ โ„)
291nnred 12227 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„)
30 2re 12286 . . . . . 6 2 โˆˆ โ„
3130a1i 11 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„)
32 1red 11215 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„)
3329, 32readdcld 11243 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… + 1) โˆˆ โ„)
3431, 33remulcld 11244 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (๐‘… + 1)) โˆˆ โ„)
357nnsqcld 14207 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘โ†‘2) โˆˆ โ„•)
3634, 35nndivred 12266 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘โ†‘2)) โˆˆ โ„)
3729, 36remulcld 11244 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘โ†‘2))) โˆˆ โ„)
3814, 21, 17abs3difd 15407 . 2 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘) + 1)))) โ‰ค ((absโ€˜((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))) โˆ’ (๐ด / ๐‘))) + (absโ€˜((๐ด / ๐‘) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘) + 1))))))
397nnrecred 12263 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (1 / ๐‘) โˆˆ โ„)
408nnrecred 12263 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (1 / (๐‘ + 1)) โˆˆ โ„)
4139, 40resubcld 11642 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((1 / ๐‘) โˆ’ (1 / (๐‘ + 1))) โˆˆ โ„)
4229, 41remulcld 11244 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… ยท ((1 / ๐‘) โˆ’ (1 / (๐‘ + 1)))) โˆˆ โ„)
4331, 29remulcld 11244 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐‘…) โˆˆ โ„)
447nnred 12227 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
451nnrpd 13014 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„+)
4629, 45ltaddrpd 13049 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… < (๐‘… + ๐‘…))
471nncnd 12228 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„‚)
48472timesd 12455 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐‘…) = (๐‘… + ๐‘…))
4946, 48breqtrrd 5177 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… < (2 ยท ๐‘…))
50 lgamgulm.l . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐‘…) โ‰ค ๐‘)
5129, 43, 44, 49, 50ltletrd 11374 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… < ๐‘)
52 difrp 13012 . . . . . . . . 9 ((๐‘… โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘… < ๐‘ โ†” (๐‘ โˆ’ ๐‘…) โˆˆ โ„+))
5329, 44, 52syl2anc 585 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… < ๐‘ โ†” (๐‘ โˆ’ ๐‘…) โˆˆ โ„+))
5451, 53mpbid 231 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘…) โˆˆ โ„+)
5554rprecred 13027 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (1 / (๐‘ โˆ’ ๐‘…)) โˆˆ โ„)
5655, 39resubcld 11642 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((1 / (๐‘ โˆ’ ๐‘…)) โˆ’ (1 / ๐‘)) โˆˆ โ„)
5729, 56remulcld 11244 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… ยท ((1 / (๐‘ โˆ’ ๐‘…)) โˆ’ (1 / ๐‘))) โˆˆ โ„)
5842, 57readdcld 11243 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘… ยท ((1 / ๐‘) โˆ’ (1 / (๐‘ + 1)))) + (๐‘… ยท ((1 / (๐‘ โˆ’ ๐‘…)) โˆ’ (1 / ๐‘)))) โˆˆ โ„)
596, 15, 16divrecd 11993 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ด / ๐‘) = (๐ด ยท (1 / ๐‘)))
6059oveq2d 7425 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))) โˆ’ (๐ด / ๐‘)) = ((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))) โˆ’ (๐ด ยท (1 / ๐‘))))
6139recnd 11242 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (1 / ๐‘) โˆˆ โ„‚)
626, 13, 61subdid 11670 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ((logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) โˆ’ (1 / ๐‘))) = ((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))) โˆ’ (๐ด ยท (1 / ๐‘))))
6360, 62eqtr4d 2776 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))) โˆ’ (๐ด / ๐‘)) = (๐ด ยท ((logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) โˆ’ (1 / ๐‘))))
6463fveq2d 6896 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))) โˆ’ (๐ด / ๐‘))) = (absโ€˜(๐ด ยท ((logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) โˆ’ (1 / ๐‘)))))
6513, 61subcld 11571 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) โˆ’ (1 / ๐‘)) โˆˆ โ„‚)
666, 65absmuld 15401 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐ด ยท ((logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) โˆ’ (1 / ๐‘)))) = ((absโ€˜๐ด) ยท (absโ€˜((logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) โˆ’ (1 / ๐‘)))))
6764, 66eqtrd 2773 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))) โˆ’ (๐ด / ๐‘))) = ((absโ€˜๐ด) ยท (absโ€˜((logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) โˆ’ (1 / ๐‘)))))
686abscld 15383 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
6965abscld 15383 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜((logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) โˆ’ (1 / ๐‘))) โˆˆ โ„)
706absge0d 15391 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (absโ€˜๐ด))
7165absge0d 15391 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (absโ€˜((logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) โˆ’ (1 / ๐‘))))
72 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (absโ€˜๐‘ฅ) = (absโ€˜๐ด))
7372breq1d 5159 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ((absโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘… โ†” (absโ€˜๐ด) โ‰ค ๐‘…))
74 fvoveq1 7432 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (absโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘˜)) = (absโ€˜(๐ด + ๐‘˜)))
7574breq2d 5161 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ((1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘˜)) โ†” (1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐ด + ๐‘˜))))
7675ralbidv 3178 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘˜)) โ†” โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐ด + ๐‘˜))))
7773, 76anbi12d 632 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (((absโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘… โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘˜))) โ†” ((absโ€˜๐ด) โ‰ค ๐‘… โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐ด + ๐‘˜)))))
7877, 2elrab2 3687 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ ๐‘ˆ โ†” (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ((absโ€˜๐ด) โ‰ค ๐‘… โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐ด + ๐‘˜)))))
7978simprbi 498 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ ๐‘ˆ โ†’ ((absโ€˜๐ด) โ‰ค ๐‘… โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐ด + ๐‘˜))))
804, 79syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜๐ด) โ‰ค ๐‘… โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐ด + ๐‘˜))))
8180simpld 496 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐ด) โ‰ค ๐‘…)
829, 10relogdivd 26134 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) = ((logโ€˜(๐‘ + 1)) โˆ’ (logโ€˜๐‘)))
83 logdifbnd 26498 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„+ โ†’ ((logโ€˜(๐‘ + 1)) โˆ’ (logโ€˜๐‘)) โ‰ค (1 / ๐‘))
8410, 83syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((logโ€˜(๐‘ + 1)) โˆ’ (logโ€˜๐‘)) โ‰ค (1 / ๐‘))
8582, 84eqbrtrd 5171 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) โ‰ค (1 / ๐‘))
8612, 39, 85abssuble0d 15379 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜((logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) โˆ’ (1 / ๐‘))) = ((1 / ๐‘) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))))
87 logdiflbnd 26499 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„+ โ†’ (1 / (๐‘ + 1)) โ‰ค ((logโ€˜(๐‘ + 1)) โˆ’ (logโ€˜๐‘)))
8810, 87syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (1 / (๐‘ + 1)) โ‰ค ((logโ€˜(๐‘ + 1)) โˆ’ (logโ€˜๐‘)))
8988, 82breqtrrd 5177 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (1 / (๐‘ + 1)) โ‰ค (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)))
9040, 12, 39, 89lesub2dd 11831 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((1 / ๐‘) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))) โ‰ค ((1 / ๐‘) โˆ’ (1 / (๐‘ + 1))))
9186, 90eqbrtrd 5171 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜((logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) โˆ’ (1 / ๐‘))) โ‰ค ((1 / ๐‘) โˆ’ (1 / (๐‘ + 1))))
9268, 29, 69, 41, 70, 71, 81, 91lemul12ad 12156 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜๐ด) ยท (absโ€˜((logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) โˆ’ (1 / ๐‘)))) โ‰ค (๐‘… ยท ((1 / ๐‘) โˆ’ (1 / (๐‘ + 1)))))
9367, 92eqbrtrd 5171 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))) โˆ’ (๐ด / ๐‘))) โ‰ค (๐‘… ยท ((1 / ๐‘) โˆ’ (1 / (๐‘ + 1)))))
941, 2, 7, 4, 50lgamgulmlem2 26534 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜((๐ด / ๐‘) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘) + 1)))) โ‰ค (๐‘… ยท ((1 / (๐‘ โˆ’ ๐‘…)) โˆ’ (1 / ๐‘))))
9525, 27, 42, 57, 93, 94le2addd 11833 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))) โˆ’ (๐ด / ๐‘))) + (absโ€˜((๐ด / ๐‘) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘) + 1))))) โ‰ค ((๐‘… ยท ((1 / ๐‘) โˆ’ (1 / (๐‘ + 1)))) + (๐‘… ยท ((1 / (๐‘ โˆ’ ๐‘…)) โˆ’ (1 / ๐‘)))))
9615, 47subcld 11571 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘…) โˆˆ โ„‚)
9715, 18addcld 11233 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„‚)
9829, 51gtned 11349 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โ‰  ๐‘…)
9915, 47, 98subne0d 11580 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘…) โ‰  0)
1008nnne0d 12262 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ + 1) โ‰  0)
10196, 97, 99, 100subrecd 12045 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((1 / (๐‘ โˆ’ ๐‘…)) โˆ’ (1 / (๐‘ + 1))) = (((๐‘ + 1) โˆ’ (๐‘ โˆ’ ๐‘…)) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘…) ยท (๐‘ + 1))))
10215, 18, 47pnncand 11610 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ + 1) โˆ’ (๐‘ โˆ’ ๐‘…)) = (1 + ๐‘…))
10318, 47, 102comraddd 11428 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ + 1) โˆ’ (๐‘ โˆ’ ๐‘…)) = (๐‘… + 1))
104103oveq1d 7424 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘ + 1) โˆ’ (๐‘ โˆ’ ๐‘…)) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘…) ยท (๐‘ + 1))) = ((๐‘… + 1) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘…) ยท (๐‘ + 1))))
105101, 104eqtr2d 2774 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘… + 1) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘…) ยท (๐‘ + 1))) = ((1 / (๐‘ โˆ’ ๐‘…)) โˆ’ (1 / (๐‘ + 1))))
106105oveq2d 7425 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… ยท ((๐‘… + 1) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘…) ยท (๐‘ + 1)))) = (๐‘… ยท ((1 / (๐‘ โˆ’ ๐‘…)) โˆ’ (1 / (๐‘ + 1)))))
10797, 100reccld 11983 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (1 / (๐‘ + 1)) โˆˆ โ„‚)
10896, 99reccld 11983 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (1 / (๐‘ โˆ’ ๐‘…)) โˆˆ โ„‚)
10961, 107, 108npncan3d 11607 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((1 / ๐‘) โˆ’ (1 / (๐‘ + 1))) + ((1 / (๐‘ โˆ’ ๐‘…)) โˆ’ (1 / ๐‘))) = ((1 / (๐‘ โˆ’ ๐‘…)) โˆ’ (1 / (๐‘ + 1))))
110109eqcomd 2739 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((1 / (๐‘ โˆ’ ๐‘…)) โˆ’ (1 / (๐‘ + 1))) = (((1 / ๐‘) โˆ’ (1 / (๐‘ + 1))) + ((1 / (๐‘ โˆ’ ๐‘…)) โˆ’ (1 / ๐‘))))
111110oveq2d 7425 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… ยท ((1 / (๐‘ โˆ’ ๐‘…)) โˆ’ (1 / (๐‘ + 1)))) = (๐‘… ยท (((1 / ๐‘) โˆ’ (1 / (๐‘ + 1))) + ((1 / (๐‘ โˆ’ ๐‘…)) โˆ’ (1 / ๐‘)))))
11241recnd 11242 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((1 / ๐‘) โˆ’ (1 / (๐‘ + 1))) โˆˆ โ„‚)
11356recnd 11242 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((1 / (๐‘ โˆ’ ๐‘…)) โˆ’ (1 / ๐‘)) โˆˆ โ„‚)
11447, 112, 113adddid 11238 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… ยท (((1 / ๐‘) โˆ’ (1 / (๐‘ + 1))) + ((1 / (๐‘ โˆ’ ๐‘…)) โˆ’ (1 / ๐‘)))) = ((๐‘… ยท ((1 / ๐‘) โˆ’ (1 / (๐‘ + 1)))) + (๐‘… ยท ((1 / (๐‘ โˆ’ ๐‘…)) โˆ’ (1 / ๐‘)))))
115106, 111, 1143eqtrd 2777 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… ยท ((๐‘… + 1) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘…) ยท (๐‘ + 1)))) = ((๐‘… ยท ((1 / ๐‘) โˆ’ (1 / (๐‘ + 1)))) + (๐‘… ยท ((1 / (๐‘ โˆ’ ๐‘…)) โˆ’ (1 / ๐‘)))))
11654, 9rpmulcld 13032 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘…) ยท (๐‘ + 1)) โˆˆ โ„+)
11733, 116rerpdivcld 13047 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘… + 1) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘…) ยท (๐‘ + 1))) โˆˆ โ„)
11845rpge0d 13020 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐‘…)
119 2z 12594 . . . . . . . . . 10 2 โˆˆ โ„ค
120119a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
12110, 120rpexpcld 14210 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘โ†‘2) โˆˆ โ„+)
122121rphalfcld 13028 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘โ†‘2) / 2) โˆˆ โ„+)
123 0le1 11737 . . . . . . . . 9 0 โ‰ค 1
124123a1i 11 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค 1)
12529, 32, 118, 124addge0d 11790 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (๐‘… + 1))
12615sqvald 14108 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘โ†‘2) = (๐‘ ยท ๐‘))
127126oveq1d 7424 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘โ†‘2) / 2) = ((๐‘ ยท ๐‘) / 2))
12831recnd 11242 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
129 2ne0 12316 . . . . . . . . . . 11 2 โ‰  0
130129a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 2 โ‰  0)
13115, 15, 128, 130div23d 12027 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘) / 2) = ((๐‘ / 2) ยท ๐‘))
132127, 131eqtrd 2773 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘โ†‘2) / 2) = ((๐‘ / 2) ยท ๐‘))
13344rehalfcld 12459 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ / 2) โˆˆ โ„)
13444, 29resubcld 11642 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘…) โˆˆ โ„)
13544, 32readdcld 11243 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„)
136 2rp 12979 . . . . . . . . . . 11 2 โˆˆ โ„+
137136a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„+)
13810rpge0d 13020 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐‘)
13944, 137, 138divge0d 13056 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (๐‘ / 2))
14029, 44, 137lemuldiv2d 13066 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘…) โ‰ค ๐‘ โ†” ๐‘… โ‰ค (๐‘ / 2)))
14150, 140mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โ‰ค (๐‘ / 2))
142152halvesd 12458 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ / 2) + (๐‘ / 2)) = ๐‘)
143133recnd 11242 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ / 2) โˆˆ โ„‚)
14415, 143, 143subaddd 11589 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ โˆ’ (๐‘ / 2)) = (๐‘ / 2) โ†” ((๐‘ / 2) + (๐‘ / 2)) = ๐‘))
145142, 144mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ (๐‘ / 2)) = (๐‘ / 2))
146141, 145breqtrrd 5177 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โ‰ค (๐‘ โˆ’ (๐‘ / 2)))
14729, 44, 133, 146lesubd 11818 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ / 2) โ‰ค (๐‘ โˆ’ ๐‘…))
14844lep1d 12145 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โ‰ค (๐‘ + 1))
149133, 134, 44, 135, 139, 138, 147, 148lemul12ad 12156 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ / 2) ยท ๐‘) โ‰ค ((๐‘ โˆ’ ๐‘…) ยท (๐‘ + 1)))
150132, 149eqbrtrd 5171 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘โ†‘2) / 2) โ‰ค ((๐‘ โˆ’ ๐‘…) ยท (๐‘ + 1)))
151122, 116, 33, 125, 150lediv2ad 13038 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘… + 1) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘…) ยท (๐‘ + 1))) โ‰ค ((๐‘… + 1) / ((๐‘โ†‘2) / 2)))
1521peano2nnd 12229 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… + 1) โˆˆ โ„•)
153152nncnd 12228 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… + 1) โˆˆ โ„‚)
15435nncnd 12228 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
15535nnne0d 12262 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘โ†‘2) โ‰  0)
156153, 154, 128, 155, 130divdiv2d 12022 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘… + 1) / ((๐‘โ†‘2) / 2)) = (((๐‘… + 1) ยท 2) / (๐‘โ†‘2)))
157153, 128mulcomd 11235 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘… + 1) ยท 2) = (2 ยท (๐‘… + 1)))
158157oveq1d 7424 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘… + 1) ยท 2) / (๐‘โ†‘2)) = ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘โ†‘2)))
159156, 158eqtr2d 2774 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘โ†‘2)) = ((๐‘… + 1) / ((๐‘โ†‘2) / 2)))
160151, 159breqtrrd 5177 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘… + 1) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘…) ยท (๐‘ + 1))) โ‰ค ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘โ†‘2)))
161117, 36, 29, 118, 160lemul2ad 12154 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… ยท ((๐‘… + 1) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘…) ยท (๐‘ + 1)))) โ‰ค (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘โ†‘2))))
162115, 161eqbrtrrd 5173 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘… ยท ((1 / ๐‘) โˆ’ (1 / (๐‘ + 1)))) + (๐‘… ยท ((1 / (๐‘ โˆ’ ๐‘…)) โˆ’ (1 / ๐‘)))) โ‰ค (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘โ†‘2))))
16328, 58, 37, 95, 162letrd 11371 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))) โˆ’ (๐ด / ๐‘))) + (absโ€˜((๐ด / ๐‘) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘) + 1))))) โ‰ค (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘โ†‘2))))
16423, 28, 37, 38, 163letrd 11371 1 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘) + 1)))) โ‰ค (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘โ†‘2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941  โˆ€wral 3062  {crab 3433   โˆ– cdif 3946   class class class wbr 5149  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  โ„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   ยท cmul 11115   < clt 11248   โ‰ค cle 11249   โˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871  โ„•cn 12212  2c2 12267  โ„•0cn0 12472  โ„คcz 12558  โ„+crp 12974  โ†‘cexp 14027  abscabs 15181  logclog 26063
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-ef 16011  df-sin 16013  df-cos 16014  df-tan 16015  df-pi 16016  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-cmp 22891  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384  df-log 26065
This theorem is referenced by:  lgamgulmlem5  26537
  Copyright terms: Public domain W3C validator