MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgamgulmlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgamgulmlem3 26542
Description: Lemma for lgamgulm 26546. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lgamgulm.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„•)
lgamgulm.u ๐‘ˆ = {๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆฃ ((absโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘… โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘˜)))}
lgamgulm.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
lgamgulm.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘ˆ)
lgamgulm.l (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐‘…) โ‰ค ๐‘)
Assertion
Ref Expression
lgamgulmlem3 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘) + 1)))) โ‰ค (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘โ†‘2))))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘   ๐‘ฅ,๐‘˜,๐‘…   ๐ด,๐‘˜,๐‘ฅ   ๐œ‘,๐‘ฅ
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘˜)   ๐‘ˆ(๐‘ฅ,๐‘˜)   ๐‘(๐‘˜)

Proof of Theorem lgamgulmlem3
StepHypRef Expression
1 lgamgulm.r . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„•)
2 lgamgulm.u . . . . . . . 8 ๐‘ˆ = {๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆฃ ((absโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘… โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘˜)))}
31, 2lgamgulmlem1 26540 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โŠ† (โ„‚ โˆ– (โ„ค โˆ– โ„•)))
4 lgamgulm.a . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘ˆ)
53, 4sseldd 3983 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– (โ„ค โˆ– โ„•)))
65eldifad 3960 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
7 lgamgulm.n . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
87peano2nnd 12231 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„•)
98nnrpd 13016 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„+)
107nnrpd 13016 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
119, 10rpdivcld 13035 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ + 1) / ๐‘) โˆˆ โ„+)
1211relogcld 26138 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) โˆˆ โ„)
1312recnd 11244 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) โˆˆ โ„‚)
146, 13mulcld 11236 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))) โˆˆ โ„‚)
157nncnd 12230 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
167nnne0d 12264 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โ‰  0)
176, 15, 16divcld 11992 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ด / ๐‘) โˆˆ โ„‚)
18 1cnd 11211 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
1917, 18addcld 11235 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด / ๐‘) + 1) โˆˆ โ„‚)
205, 7dmgmdivn0 26539 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด / ๐‘) + 1) โ‰  0)
2119, 20logcld 26086 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘) + 1)) โˆˆ โ„‚)
2214, 21subcld 11573 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘) + 1))) โˆˆ โ„‚)
2322abscld 15385 . 2 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘) + 1)))) โˆˆ โ„)
2414, 17subcld 11573 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))) โˆ’ (๐ด / ๐‘)) โˆˆ โ„‚)
2524abscld 15385 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))) โˆ’ (๐ด / ๐‘))) โˆˆ โ„)
2617, 21subcld 11573 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด / ๐‘) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘) + 1))) โˆˆ โ„‚)
2726abscld 15385 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜((๐ด / ๐‘) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘) + 1)))) โˆˆ โ„)
2825, 27readdcld 11245 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))) โˆ’ (๐ด / ๐‘))) + (absโ€˜((๐ด / ๐‘) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘) + 1))))) โˆˆ โ„)
291nnred 12229 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„)
30 2re 12288 . . . . . 6 2 โˆˆ โ„
3130a1i 11 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„)
32 1red 11217 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„)
3329, 32readdcld 11245 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… + 1) โˆˆ โ„)
3431, 33remulcld 11246 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (๐‘… + 1)) โˆˆ โ„)
357nnsqcld 14209 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘โ†‘2) โˆˆ โ„•)
3634, 35nndivred 12268 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘โ†‘2)) โˆˆ โ„)
3729, 36remulcld 11246 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘โ†‘2))) โˆˆ โ„)
3814, 21, 17abs3difd 15409 . 2 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘) + 1)))) โ‰ค ((absโ€˜((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))) โˆ’ (๐ด / ๐‘))) + (absโ€˜((๐ด / ๐‘) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘) + 1))))))
397nnrecred 12265 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (1 / ๐‘) โˆˆ โ„)
408nnrecred 12265 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (1 / (๐‘ + 1)) โˆˆ โ„)
4139, 40resubcld 11644 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((1 / ๐‘) โˆ’ (1 / (๐‘ + 1))) โˆˆ โ„)
4229, 41remulcld 11246 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… ยท ((1 / ๐‘) โˆ’ (1 / (๐‘ + 1)))) โˆˆ โ„)
4331, 29remulcld 11246 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐‘…) โˆˆ โ„)
447nnred 12229 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
451nnrpd 13016 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„+)
4629, 45ltaddrpd 13051 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… < (๐‘… + ๐‘…))
471nncnd 12230 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„‚)
48472timesd 12457 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐‘…) = (๐‘… + ๐‘…))
4946, 48breqtrrd 5176 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… < (2 ยท ๐‘…))
50 lgamgulm.l . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐‘…) โ‰ค ๐‘)
5129, 43, 44, 49, 50ltletrd 11376 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… < ๐‘)
52 difrp 13014 . . . . . . . . 9 ((๐‘… โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘… < ๐‘ โ†” (๐‘ โˆ’ ๐‘…) โˆˆ โ„+))
5329, 44, 52syl2anc 584 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… < ๐‘ โ†” (๐‘ โˆ’ ๐‘…) โˆˆ โ„+))
5451, 53mpbid 231 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘…) โˆˆ โ„+)
5554rprecred 13029 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (1 / (๐‘ โˆ’ ๐‘…)) โˆˆ โ„)
5655, 39resubcld 11644 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((1 / (๐‘ โˆ’ ๐‘…)) โˆ’ (1 / ๐‘)) โˆˆ โ„)
5729, 56remulcld 11246 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… ยท ((1 / (๐‘ โˆ’ ๐‘…)) โˆ’ (1 / ๐‘))) โˆˆ โ„)
5842, 57readdcld 11245 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘… ยท ((1 / ๐‘) โˆ’ (1 / (๐‘ + 1)))) + (๐‘… ยท ((1 / (๐‘ โˆ’ ๐‘…)) โˆ’ (1 / ๐‘)))) โˆˆ โ„)
596, 15, 16divrecd 11995 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ด / ๐‘) = (๐ด ยท (1 / ๐‘)))
6059oveq2d 7427 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))) โˆ’ (๐ด / ๐‘)) = ((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))) โˆ’ (๐ด ยท (1 / ๐‘))))
6139recnd 11244 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (1 / ๐‘) โˆˆ โ„‚)
626, 13, 61subdid 11672 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ((logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) โˆ’ (1 / ๐‘))) = ((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))) โˆ’ (๐ด ยท (1 / ๐‘))))
6360, 62eqtr4d 2775 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))) โˆ’ (๐ด / ๐‘)) = (๐ด ยท ((logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) โˆ’ (1 / ๐‘))))
6463fveq2d 6895 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))) โˆ’ (๐ด / ๐‘))) = (absโ€˜(๐ด ยท ((logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) โˆ’ (1 / ๐‘)))))
6513, 61subcld 11573 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) โˆ’ (1 / ๐‘)) โˆˆ โ„‚)
666, 65absmuld 15403 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐ด ยท ((logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) โˆ’ (1 / ๐‘)))) = ((absโ€˜๐ด) ยท (absโ€˜((logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) โˆ’ (1 / ๐‘)))))
6764, 66eqtrd 2772 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))) โˆ’ (๐ด / ๐‘))) = ((absโ€˜๐ด) ยท (absโ€˜((logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) โˆ’ (1 / ๐‘)))))
686abscld 15385 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
6965abscld 15385 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜((logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) โˆ’ (1 / ๐‘))) โˆˆ โ„)
706absge0d 15393 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (absโ€˜๐ด))
7165absge0d 15393 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (absโ€˜((logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) โˆ’ (1 / ๐‘))))
72 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (absโ€˜๐‘ฅ) = (absโ€˜๐ด))
7372breq1d 5158 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ((absโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘… โ†” (absโ€˜๐ด) โ‰ค ๐‘…))
74 fvoveq1 7434 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (absโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘˜)) = (absโ€˜(๐ด + ๐‘˜)))
7574breq2d 5160 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ((1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘˜)) โ†” (1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐ด + ๐‘˜))))
7675ralbidv 3177 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘˜)) โ†” โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐ด + ๐‘˜))))
7773, 76anbi12d 631 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (((absโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘… โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘˜))) โ†” ((absโ€˜๐ด) โ‰ค ๐‘… โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐ด + ๐‘˜)))))
7877, 2elrab2 3686 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ ๐‘ˆ โ†” (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ((absโ€˜๐ด) โ‰ค ๐‘… โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐ด + ๐‘˜)))))
7978simprbi 497 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ ๐‘ˆ โ†’ ((absโ€˜๐ด) โ‰ค ๐‘… โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐ด + ๐‘˜))))
804, 79syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜๐ด) โ‰ค ๐‘… โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐ด + ๐‘˜))))
8180simpld 495 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐ด) โ‰ค ๐‘…)
829, 10relogdivd 26141 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) = ((logโ€˜(๐‘ + 1)) โˆ’ (logโ€˜๐‘)))
83 logdifbnd 26505 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„+ โ†’ ((logโ€˜(๐‘ + 1)) โˆ’ (logโ€˜๐‘)) โ‰ค (1 / ๐‘))
8410, 83syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((logโ€˜(๐‘ + 1)) โˆ’ (logโ€˜๐‘)) โ‰ค (1 / ๐‘))
8582, 84eqbrtrd 5170 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) โ‰ค (1 / ๐‘))
8612, 39, 85abssuble0d 15381 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜((logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) โˆ’ (1 / ๐‘))) = ((1 / ๐‘) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))))
87 logdiflbnd 26506 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„+ โ†’ (1 / (๐‘ + 1)) โ‰ค ((logโ€˜(๐‘ + 1)) โˆ’ (logโ€˜๐‘)))
8810, 87syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (1 / (๐‘ + 1)) โ‰ค ((logโ€˜(๐‘ + 1)) โˆ’ (logโ€˜๐‘)))
8988, 82breqtrrd 5176 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (1 / (๐‘ + 1)) โ‰ค (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)))
9040, 12, 39, 89lesub2dd 11833 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((1 / ๐‘) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))) โ‰ค ((1 / ๐‘) โˆ’ (1 / (๐‘ + 1))))
9186, 90eqbrtrd 5170 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜((logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) โˆ’ (1 / ๐‘))) โ‰ค ((1 / ๐‘) โˆ’ (1 / (๐‘ + 1))))
9268, 29, 69, 41, 70, 71, 81, 91lemul12ad 12158 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜๐ด) ยท (absโ€˜((logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) โˆ’ (1 / ๐‘)))) โ‰ค (๐‘… ยท ((1 / ๐‘) โˆ’ (1 / (๐‘ + 1)))))
9367, 92eqbrtrd 5170 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))) โˆ’ (๐ด / ๐‘))) โ‰ค (๐‘… ยท ((1 / ๐‘) โˆ’ (1 / (๐‘ + 1)))))
941, 2, 7, 4, 50lgamgulmlem2 26541 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜((๐ด / ๐‘) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘) + 1)))) โ‰ค (๐‘… ยท ((1 / (๐‘ โˆ’ ๐‘…)) โˆ’ (1 / ๐‘))))
9525, 27, 42, 57, 93, 94le2addd 11835 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))) โˆ’ (๐ด / ๐‘))) + (absโ€˜((๐ด / ๐‘) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘) + 1))))) โ‰ค ((๐‘… ยท ((1 / ๐‘) โˆ’ (1 / (๐‘ + 1)))) + (๐‘… ยท ((1 / (๐‘ โˆ’ ๐‘…)) โˆ’ (1 / ๐‘)))))
9615, 47subcld 11573 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘…) โˆˆ โ„‚)
9715, 18addcld 11235 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„‚)
9829, 51gtned 11351 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โ‰  ๐‘…)
9915, 47, 98subne0d 11582 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘…) โ‰  0)
1008nnne0d 12264 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ + 1) โ‰  0)
10196, 97, 99, 100subrecd 12047 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((1 / (๐‘ โˆ’ ๐‘…)) โˆ’ (1 / (๐‘ + 1))) = (((๐‘ + 1) โˆ’ (๐‘ โˆ’ ๐‘…)) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘…) ยท (๐‘ + 1))))
10215, 18, 47pnncand 11612 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ + 1) โˆ’ (๐‘ โˆ’ ๐‘…)) = (1 + ๐‘…))
10318, 47, 102comraddd 11430 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ + 1) โˆ’ (๐‘ โˆ’ ๐‘…)) = (๐‘… + 1))
104103oveq1d 7426 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘ + 1) โˆ’ (๐‘ โˆ’ ๐‘…)) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘…) ยท (๐‘ + 1))) = ((๐‘… + 1) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘…) ยท (๐‘ + 1))))
105101, 104eqtr2d 2773 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘… + 1) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘…) ยท (๐‘ + 1))) = ((1 / (๐‘ โˆ’ ๐‘…)) โˆ’ (1 / (๐‘ + 1))))
106105oveq2d 7427 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… ยท ((๐‘… + 1) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘…) ยท (๐‘ + 1)))) = (๐‘… ยท ((1 / (๐‘ โˆ’ ๐‘…)) โˆ’ (1 / (๐‘ + 1)))))
10797, 100reccld 11985 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (1 / (๐‘ + 1)) โˆˆ โ„‚)
10896, 99reccld 11985 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (1 / (๐‘ โˆ’ ๐‘…)) โˆˆ โ„‚)
10961, 107, 108npncan3d 11609 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((1 / ๐‘) โˆ’ (1 / (๐‘ + 1))) + ((1 / (๐‘ โˆ’ ๐‘…)) โˆ’ (1 / ๐‘))) = ((1 / (๐‘ โˆ’ ๐‘…)) โˆ’ (1 / (๐‘ + 1))))
110109eqcomd 2738 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((1 / (๐‘ โˆ’ ๐‘…)) โˆ’ (1 / (๐‘ + 1))) = (((1 / ๐‘) โˆ’ (1 / (๐‘ + 1))) + ((1 / (๐‘ โˆ’ ๐‘…)) โˆ’ (1 / ๐‘))))
111110oveq2d 7427 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… ยท ((1 / (๐‘ โˆ’ ๐‘…)) โˆ’ (1 / (๐‘ + 1)))) = (๐‘… ยท (((1 / ๐‘) โˆ’ (1 / (๐‘ + 1))) + ((1 / (๐‘ โˆ’ ๐‘…)) โˆ’ (1 / ๐‘)))))
11241recnd 11244 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((1 / ๐‘) โˆ’ (1 / (๐‘ + 1))) โˆˆ โ„‚)
11356recnd 11244 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((1 / (๐‘ โˆ’ ๐‘…)) โˆ’ (1 / ๐‘)) โˆˆ โ„‚)
11447, 112, 113adddid 11240 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… ยท (((1 / ๐‘) โˆ’ (1 / (๐‘ + 1))) + ((1 / (๐‘ โˆ’ ๐‘…)) โˆ’ (1 / ๐‘)))) = ((๐‘… ยท ((1 / ๐‘) โˆ’ (1 / (๐‘ + 1)))) + (๐‘… ยท ((1 / (๐‘ โˆ’ ๐‘…)) โˆ’ (1 / ๐‘)))))
115106, 111, 1143eqtrd 2776 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… ยท ((๐‘… + 1) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘…) ยท (๐‘ + 1)))) = ((๐‘… ยท ((1 / ๐‘) โˆ’ (1 / (๐‘ + 1)))) + (๐‘… ยท ((1 / (๐‘ โˆ’ ๐‘…)) โˆ’ (1 / ๐‘)))))
11654, 9rpmulcld 13034 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘…) ยท (๐‘ + 1)) โˆˆ โ„+)
11733, 116rerpdivcld 13049 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘… + 1) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘…) ยท (๐‘ + 1))) โˆˆ โ„)
11845rpge0d 13022 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐‘…)
119 2z 12596 . . . . . . . . . 10 2 โˆˆ โ„ค
120119a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
12110, 120rpexpcld 14212 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘โ†‘2) โˆˆ โ„+)
122121rphalfcld 13030 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘โ†‘2) / 2) โˆˆ โ„+)
123 0le1 11739 . . . . . . . . 9 0 โ‰ค 1
124123a1i 11 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค 1)
12529, 32, 118, 124addge0d 11792 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (๐‘… + 1))
12615sqvald 14110 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘โ†‘2) = (๐‘ ยท ๐‘))
127126oveq1d 7426 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘โ†‘2) / 2) = ((๐‘ ยท ๐‘) / 2))
12831recnd 11244 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
129 2ne0 12318 . . . . . . . . . . 11 2 โ‰  0
130129a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 2 โ‰  0)
13115, 15, 128, 130div23d 12029 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘) / 2) = ((๐‘ / 2) ยท ๐‘))
132127, 131eqtrd 2772 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘โ†‘2) / 2) = ((๐‘ / 2) ยท ๐‘))
13344rehalfcld 12461 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ / 2) โˆˆ โ„)
13444, 29resubcld 11644 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘…) โˆˆ โ„)
13544, 32readdcld 11245 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„)
136 2rp 12981 . . . . . . . . . . 11 2 โˆˆ โ„+
137136a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„+)
13810rpge0d 13022 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐‘)
13944, 137, 138divge0d 13058 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (๐‘ / 2))
14029, 44, 137lemuldiv2d 13068 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘…) โ‰ค ๐‘ โ†” ๐‘… โ‰ค (๐‘ / 2)))
14150, 140mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โ‰ค (๐‘ / 2))
142152halvesd 12460 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ / 2) + (๐‘ / 2)) = ๐‘)
143133recnd 11244 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ / 2) โˆˆ โ„‚)
14415, 143, 143subaddd 11591 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ โˆ’ (๐‘ / 2)) = (๐‘ / 2) โ†” ((๐‘ / 2) + (๐‘ / 2)) = ๐‘))
145142, 144mpbird 256 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ (๐‘ / 2)) = (๐‘ / 2))
146141, 145breqtrrd 5176 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โ‰ค (๐‘ โˆ’ (๐‘ / 2)))
14729, 44, 133, 146lesubd 11820 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ / 2) โ‰ค (๐‘ โˆ’ ๐‘…))
14844lep1d 12147 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โ‰ค (๐‘ + 1))
149133, 134, 44, 135, 139, 138, 147, 148lemul12ad 12158 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ / 2) ยท ๐‘) โ‰ค ((๐‘ โˆ’ ๐‘…) ยท (๐‘ + 1)))
150132, 149eqbrtrd 5170 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘โ†‘2) / 2) โ‰ค ((๐‘ โˆ’ ๐‘…) ยท (๐‘ + 1)))
151122, 116, 33, 125, 150lediv2ad 13040 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘… + 1) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘…) ยท (๐‘ + 1))) โ‰ค ((๐‘… + 1) / ((๐‘โ†‘2) / 2)))
1521peano2nnd 12231 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… + 1) โˆˆ โ„•)
153152nncnd 12230 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… + 1) โˆˆ โ„‚)
15435nncnd 12230 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
15535nnne0d 12264 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘โ†‘2) โ‰  0)
156153, 154, 128, 155, 130divdiv2d 12024 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘… + 1) / ((๐‘โ†‘2) / 2)) = (((๐‘… + 1) ยท 2) / (๐‘โ†‘2)))
157153, 128mulcomd 11237 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘… + 1) ยท 2) = (2 ยท (๐‘… + 1)))
158157oveq1d 7426 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘… + 1) ยท 2) / (๐‘โ†‘2)) = ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘โ†‘2)))
159156, 158eqtr2d 2773 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘โ†‘2)) = ((๐‘… + 1) / ((๐‘โ†‘2) / 2)))
160151, 159breqtrrd 5176 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘… + 1) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘…) ยท (๐‘ + 1))) โ‰ค ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘โ†‘2)))
161117, 36, 29, 118, 160lemul2ad 12156 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… ยท ((๐‘… + 1) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘…) ยท (๐‘ + 1)))) โ‰ค (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘โ†‘2))))
162115, 161eqbrtrrd 5172 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘… ยท ((1 / ๐‘) โˆ’ (1 / (๐‘ + 1)))) + (๐‘… ยท ((1 / (๐‘ โˆ’ ๐‘…)) โˆ’ (1 / ๐‘)))) โ‰ค (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘โ†‘2))))
16328, 58, 37, 95, 162letrd 11373 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))) โˆ’ (๐ด / ๐‘))) + (absโ€˜((๐ด / ๐‘) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘) + 1))))) โ‰ค (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘โ†‘2))))
16423, 28, 37, 38, 163letrd 11373 1 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘) + 1)))) โ‰ค (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘โ†‘2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940  โˆ€wral 3061  {crab 3432   โˆ– cdif 3945   class class class wbr 5148  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   < clt 11250   โ‰ค cle 11251   โˆ’ cmin 11446   / cdiv 11873  โ„•cn 12214  2c2 12269  โ„•0cn0 12474  โ„คcz 12560  โ„+crp 12976  โ†‘cexp 14029  abscabs 15183  logclog 26070
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-ioo 13330  df-ioc 13331  df-ico 13332  df-icc 13333  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-mod 13837  df-seq 13969  df-exp 14030  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-shft 15016  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-limsup 15417  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-sum 15635  df-ef 16013  df-sin 16015  df-cos 16016  df-tan 16017  df-pi 16018  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-hom 17223  df-cco 17224  df-rest 17370  df-topn 17371  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-topgen 17391  df-pt 17392  df-prds 17395  df-xrs 17450  df-qtop 17455  df-imas 17456  df-xps 17458  df-mre 17532  df-mrc 17533  df-acs 17535  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18674  df-mulg 18953  df-cntz 19183  df-cmn 19652  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-fbas 20947  df-fg 20948  df-cnfld 20951  df-top 22403  df-topon 22420  df-topsp 22442  df-bases 22456  df-cld 22530  df-ntr 22531  df-cls 22532  df-nei 22609  df-lp 22647  df-perf 22648  df-cn 22738  df-cnp 22739  df-haus 22826  df-cmp 22898  df-tx 23073  df-hmeo 23266  df-fil 23357  df-fm 23449  df-flim 23450  df-flf 23451  df-xms 23833  df-ms 23834  df-tms 23835  df-cncf 24401  df-limc 25390  df-dv 25391  df-log 26072
This theorem is referenced by:  lgamgulmlem5  26544
  Copyright terms: Public domain W3C validator