MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgamgulmlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgamgulmlem3 27074
Description: Lemma for lgamgulm 27078. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lgamgulm.r (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
lgamgulm.u 𝑈 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))}
lgamgulm.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
lgamgulm.a (𝜑𝐴𝑈)
lgamgulm.l (𝜑 → (2 · 𝑅) ≤ 𝑁)
Assertion
Ref Expression
lgamgulmlem3 (𝜑 → (abs‘((𝐴 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1)))) ≤ (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑁↑2))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝑘,𝑅   𝐴,𝑘,𝑥   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝑈(𝑥,𝑘)   𝑁(𝑘)

Proof of Theorem lgamgulmlem3
StepHypRef Expression
1 lgamgulm.r . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
2 lgamgulm.u . . . . . . . 8 𝑈 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))}
31, 2lgamgulmlem1 27072 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
4 lgamgulm.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝑈)
53, 4sseldd 3984 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
65eldifad 3963 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
7 lgamgulm.n . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
87peano2nnd 12283 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
98nnrpd 13075 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℝ+)
107nnrpd 13075 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℝ+)
119, 10rpdivcld 13094 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑁 + 1) / 𝑁) ∈ ℝ+)
1211relogcld 26665 . . . . . 6 (𝜑 → (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) ∈ ℝ)
1312recnd 11289 . . . . 5 (𝜑 → (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) ∈ ℂ)
146, 13mulcld 11281 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) ∈ ℂ)
157nncnd 12282 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
167nnne0d 12316 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ≠ 0)
176, 15, 16divcld 12043 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℂ)
18 1cnd 11256 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
1917, 18addcld 11280 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 / 𝑁) + 1) ∈ ℂ)
205, 7dmgmdivn0 27071 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 / 𝑁) + 1) ≠ 0)
2119, 20logcld 26612 . . . 4 (𝜑 → (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1)) ∈ ℂ)
2214, 21subcld 11620 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1))) ∈ ℂ)
2322abscld 15475 . 2 (𝜑 → (abs‘((𝐴 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1)))) ∈ ℝ)
2414, 17subcld 11620 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − (𝐴 / 𝑁)) ∈ ℂ)
2524abscld 15475 . . 3 (𝜑 → (abs‘((𝐴 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − (𝐴 / 𝑁))) ∈ ℝ)
2617, 21subcld 11620 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 / 𝑁) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1))) ∈ ℂ)
2726abscld 15475 . . 3 (𝜑 → (abs‘((𝐴 / 𝑁) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1)))) ∈ ℝ)
2825, 27readdcld 11290 . 2 (𝜑 → ((abs‘((𝐴 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − (𝐴 / 𝑁))) + (abs‘((𝐴 / 𝑁) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1))))) ∈ ℝ)
291nnred 12281 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
30 2re 12340 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
3130a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
32 1red 11262 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
3329, 32readdcld 11290 . . . . 5 (𝜑 → (𝑅 + 1) ∈ ℝ)
3431, 33remulcld 11291 . . . 4 (𝜑 → (2 · (𝑅 + 1)) ∈ ℝ)
357nnsqcld 14283 . . . 4 (𝜑 → (𝑁↑2) ∈ ℕ)
3634, 35nndivred 12320 . . 3 (𝜑 → ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑁↑2)) ∈ ℝ)
3729, 36remulcld 11291 . 2 (𝜑 → (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑁↑2))) ∈ ℝ)
3814, 21, 17abs3difd 15499 . 2 (𝜑 → (abs‘((𝐴 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1)))) ≤ ((abs‘((𝐴 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − (𝐴 / 𝑁))) + (abs‘((𝐴 / 𝑁) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1))))))
397nnrecred 12317 . . . . . 6 (𝜑 → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
408nnrecred 12317 . . . . . 6 (𝜑 → (1 / (𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
4139, 40resubcld 11691 . . . . 5 (𝜑 → ((1 / 𝑁) − (1 / (𝑁 + 1))) ∈ ℝ)
4229, 41remulcld 11291 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 · ((1 / 𝑁) − (1 / (𝑁 + 1)))) ∈ ℝ)
4331, 29remulcld 11291 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 · 𝑅) ∈ ℝ)
447nnred 12281 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
451nnrpd 13075 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
4629, 45ltaddrpd 13110 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 < (𝑅 + 𝑅))
471nncnd 12282 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ ℂ)
48472timesd 12509 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 · 𝑅) = (𝑅 + 𝑅))
4946, 48breqtrrd 5171 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 < (2 · 𝑅))
50 lgamgulm.l . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 · 𝑅) ≤ 𝑁)
5129, 43, 44, 49, 50ltletrd 11421 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 < 𝑁)
52 difrp 13073 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑅 < 𝑁 ↔ (𝑁𝑅) ∈ ℝ+))
5329, 44, 52syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑅 < 𝑁 ↔ (𝑁𝑅) ∈ ℝ+))
5451, 53mpbid 232 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁𝑅) ∈ ℝ+)
5554rprecred 13088 . . . . . 6 (𝜑 → (1 / (𝑁𝑅)) ∈ ℝ)
5655, 39resubcld 11691 . . . . 5 (𝜑 → ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁)) ∈ ℝ)
5729, 56remulcld 11291 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁))) ∈ ℝ)
5842, 57readdcld 11290 . . 3 (𝜑 → ((𝑅 · ((1 / 𝑁) − (1 / (𝑁 + 1)))) + (𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁)))) ∈ ℝ)
596, 15, 16divrecd 12046 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 / 𝑁) = (𝐴 · (1 / 𝑁)))
6059oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − (𝐴 / 𝑁)) = ((𝐴 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − (𝐴 · (1 / 𝑁))))
6139recnd 11289 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 / 𝑁) ∈ ℂ)
626, 13, 61subdid 11719 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 · ((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) − (1 / 𝑁))) = ((𝐴 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − (𝐴 · (1 / 𝑁))))
6360, 62eqtr4d 2780 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − (𝐴 / 𝑁)) = (𝐴 · ((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) − (1 / 𝑁))))
6463fveq2d 6910 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘((𝐴 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − (𝐴 / 𝑁))) = (abs‘(𝐴 · ((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) − (1 / 𝑁)))))
6513, 61subcld 11620 . . . . . . 7 (𝜑 → ((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) − (1 / 𝑁)) ∈ ℂ)
666, 65absmuld 15493 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(𝐴 · ((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) − (1 / 𝑁)))) = ((abs‘𝐴) · (abs‘((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) − (1 / 𝑁)))))
6764, 66eqtrd 2777 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘((𝐴 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − (𝐴 / 𝑁))) = ((abs‘𝐴) · (abs‘((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) − (1 / 𝑁)))))
686abscld 15475 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
6965abscld 15475 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) − (1 / 𝑁))) ∈ ℝ)
706absge0d 15483 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐴))
7165absge0d 15483 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) − (1 / 𝑁))))
72 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝐴 → (abs‘𝑥) = (abs‘𝐴))
7372breq1d 5153 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝐴 → ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ↔ (abs‘𝐴) ≤ 𝑅))
74 fvoveq1 7454 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝐴 → (abs‘(𝑥 + 𝑘)) = (abs‘(𝐴 + 𝑘)))
7574breq2d 5155 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝐴 → ((1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)) ↔ (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝐴 + 𝑘))))
7675ralbidv 3178 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝐴 → (∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝐴 + 𝑘))))
7773, 76anbi12d 632 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝐴 → (((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘))) ↔ ((abs‘𝐴) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝐴 + 𝑘)))))
7877, 2elrab2 3695 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑈 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝐴 + 𝑘)))))
7978simprbi 496 . . . . . . . 8 (𝐴𝑈 → ((abs‘𝐴) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝐴 + 𝑘))))
804, 79syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((abs‘𝐴) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝐴 + 𝑘))))
8180simpld 494 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘𝐴) ≤ 𝑅)
829, 10relogdivd 26668 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) = ((log‘(𝑁 + 1)) − (log‘𝑁)))
83 logdifbnd 27037 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℝ+ → ((log‘(𝑁 + 1)) − (log‘𝑁)) ≤ (1 / 𝑁))
8410, 83syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((log‘(𝑁 + 1)) − (log‘𝑁)) ≤ (1 / 𝑁))
8582, 84eqbrtrd 5165 . . . . . . . 8 (𝜑 → (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) ≤ (1 / 𝑁))
8612, 39, 85abssuble0d 15471 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) − (1 / 𝑁))) = ((1 / 𝑁) − (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))))
87 logdiflbnd 27038 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℝ+ → (1 / (𝑁 + 1)) ≤ ((log‘(𝑁 + 1)) − (log‘𝑁)))
8810, 87syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 / (𝑁 + 1)) ≤ ((log‘(𝑁 + 1)) − (log‘𝑁)))
8988, 82breqtrrd 5171 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 / (𝑁 + 1)) ≤ (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)))
9040, 12, 39, 89lesub2dd 11880 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 / 𝑁) − (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) ≤ ((1 / 𝑁) − (1 / (𝑁 + 1))))
9186, 90eqbrtrd 5165 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) − (1 / 𝑁))) ≤ ((1 / 𝑁) − (1 / (𝑁 + 1))))
9268, 29, 69, 41, 70, 71, 81, 91lemul12ad 12210 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘𝐴) · (abs‘((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) − (1 / 𝑁)))) ≤ (𝑅 · ((1 / 𝑁) − (1 / (𝑁 + 1)))))
9367, 92eqbrtrd 5165 . . . 4 (𝜑 → (abs‘((𝐴 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − (𝐴 / 𝑁))) ≤ (𝑅 · ((1 / 𝑁) − (1 / (𝑁 + 1)))))
941, 2, 7, 4, 50lgamgulmlem2 27073 . . . 4 (𝜑 → (abs‘((𝐴 / 𝑁) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1)))) ≤ (𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁))))
9525, 27, 42, 57, 93, 94le2addd 11882 . . 3 (𝜑 → ((abs‘((𝐴 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − (𝐴 / 𝑁))) + (abs‘((𝐴 / 𝑁) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1))))) ≤ ((𝑅 · ((1 / 𝑁) − (1 / (𝑁 + 1)))) + (𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁)))))
9615, 47subcld 11620 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁𝑅) ∈ ℂ)
9715, 18addcld 11280 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
9829, 51gtned 11396 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁𝑅)
9915, 47, 98subne0d 11629 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁𝑅) ≠ 0)
1008nnne0d 12316 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 + 1) ≠ 0)
10196, 97, 99, 100subrecd 12098 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / (𝑁 + 1))) = (((𝑁 + 1) − (𝑁𝑅)) / ((𝑁𝑅) · (𝑁 + 1))))
10215, 18, 47pnncand 11659 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁 + 1) − (𝑁𝑅)) = (1 + 𝑅))
10318, 47, 102comraddd 11475 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁 + 1) − (𝑁𝑅)) = (𝑅 + 1))
104103oveq1d 7446 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑁 + 1) − (𝑁𝑅)) / ((𝑁𝑅) · (𝑁 + 1))) = ((𝑅 + 1) / ((𝑁𝑅) · (𝑁 + 1))))
105101, 104eqtr2d 2778 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑅 + 1) / ((𝑁𝑅) · (𝑁 + 1))) = ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / (𝑁 + 1))))
106105oveq2d 7447 . . . . 5 (𝜑 → (𝑅 · ((𝑅 + 1) / ((𝑁𝑅) · (𝑁 + 1)))) = (𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / (𝑁 + 1)))))
10797, 100reccld 12036 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 / (𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
10896, 99reccld 12036 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 / (𝑁𝑅)) ∈ ℂ)
10961, 107, 108npncan3d 11656 . . . . . . 7 (𝜑 → (((1 / 𝑁) − (1 / (𝑁 + 1))) + ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁))) = ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / (𝑁 + 1))))
110109eqcomd 2743 . . . . . 6 (𝜑 → ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / (𝑁 + 1))) = (((1 / 𝑁) − (1 / (𝑁 + 1))) + ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁))))
111110oveq2d 7447 . . . . 5 (𝜑 → (𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / (𝑁 + 1)))) = (𝑅 · (((1 / 𝑁) − (1 / (𝑁 + 1))) + ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁)))))
11241recnd 11289 . . . . . 6 (𝜑 → ((1 / 𝑁) − (1 / (𝑁 + 1))) ∈ ℂ)
11356recnd 11289 . . . . . 6 (𝜑 → ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁)) ∈ ℂ)
11447, 112, 113adddid 11285 . . . . 5 (𝜑 → (𝑅 · (((1 / 𝑁) − (1 / (𝑁 + 1))) + ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁)))) = ((𝑅 · ((1 / 𝑁) − (1 / (𝑁 + 1)))) + (𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁)))))
115106, 111, 1143eqtrd 2781 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 · ((𝑅 + 1) / ((𝑁𝑅) · (𝑁 + 1)))) = ((𝑅 · ((1 / 𝑁) − (1 / (𝑁 + 1)))) + (𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁)))))
11654, 9rpmulcld 13093 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁𝑅) · (𝑁 + 1)) ∈ ℝ+)
11733, 116rerpdivcld 13108 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑅 + 1) / ((𝑁𝑅) · (𝑁 + 1))) ∈ ℝ)
11845rpge0d 13081 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ 𝑅)
119 2z 12649 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℤ
120119a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
12110, 120rpexpcld 14286 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁↑2) ∈ ℝ+)
122121rphalfcld 13089 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑁↑2) / 2) ∈ ℝ+)
123 0le1 11786 . . . . . . . . 9 0 ≤ 1
124123a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ 1)
12529, 32, 118, 124addge0d 11839 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ (𝑅 + 1))
12615sqvald 14183 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁↑2) = (𝑁 · 𝑁))
127126oveq1d 7446 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁↑2) / 2) = ((𝑁 · 𝑁) / 2))
12831recnd 11289 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
129 2ne0 12370 . . . . . . . . . . 11 2 ≠ 0
130129a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 2 ≠ 0)
13115, 15, 128, 130div23d 12080 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁 · 𝑁) / 2) = ((𝑁 / 2) · 𝑁))
132127, 131eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁↑2) / 2) = ((𝑁 / 2) · 𝑁))
13344rehalfcld 12513 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
13444, 29resubcld 11691 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁𝑅) ∈ ℝ)
13544, 32readdcld 11290 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
136 2rp 13039 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ+
137136a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
13810rpge0d 13081 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ 𝑁)
13944, 137, 138divge0d 13117 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ (𝑁 / 2))
14029, 44, 137lemuldiv2d 13127 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((2 · 𝑅) ≤ 𝑁𝑅 ≤ (𝑁 / 2)))
14150, 140mpbid 232 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ≤ (𝑁 / 2))
142152halvesd 12512 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑁 / 2) + (𝑁 / 2)) = 𝑁)
143133recnd 11289 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁 / 2) ∈ ℂ)
14415, 143, 143subaddd 11638 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑁 − (𝑁 / 2)) = (𝑁 / 2) ↔ ((𝑁 / 2) + (𝑁 / 2)) = 𝑁))
145142, 144mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁 − (𝑁 / 2)) = (𝑁 / 2))
146141, 145breqtrrd 5171 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ≤ (𝑁 − (𝑁 / 2)))
14729, 44, 133, 146lesubd 11867 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁 / 2) ≤ (𝑁𝑅))
14844lep1d 12199 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ≤ (𝑁 + 1))
149133, 134, 44, 135, 139, 138, 147, 148lemul12ad 12210 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁 / 2) · 𝑁) ≤ ((𝑁𝑅) · (𝑁 + 1)))
150132, 149eqbrtrd 5165 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑁↑2) / 2) ≤ ((𝑁𝑅) · (𝑁 + 1)))
151122, 116, 33, 125, 150lediv2ad 13099 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑅 + 1) / ((𝑁𝑅) · (𝑁 + 1))) ≤ ((𝑅 + 1) / ((𝑁↑2) / 2)))
1521peano2nnd 12283 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑅 + 1) ∈ ℕ)
153152nncnd 12282 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑅 + 1) ∈ ℂ)
15435nncnd 12282 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁↑2) ∈ ℂ)
15535nnne0d 12316 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁↑2) ≠ 0)
156153, 154, 128, 155, 130divdiv2d 12075 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑅 + 1) / ((𝑁↑2) / 2)) = (((𝑅 + 1) · 2) / (𝑁↑2)))
157153, 128mulcomd 11282 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑅 + 1) · 2) = (2 · (𝑅 + 1)))
158157oveq1d 7446 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑅 + 1) · 2) / (𝑁↑2)) = ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑁↑2)))
159156, 158eqtr2d 2778 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑁↑2)) = ((𝑅 + 1) / ((𝑁↑2) / 2)))
160151, 159breqtrrd 5171 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑅 + 1) / ((𝑁𝑅) · (𝑁 + 1))) ≤ ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑁↑2)))
161117, 36, 29, 118, 160lemul2ad 12208 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 · ((𝑅 + 1) / ((𝑁𝑅) · (𝑁 + 1)))) ≤ (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑁↑2))))
162115, 161eqbrtrrd 5167 . . 3 (𝜑 → ((𝑅 · ((1 / 𝑁) − (1 / (𝑁 + 1)))) + (𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁)))) ≤ (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑁↑2))))
16328, 58, 37, 95, 162letrd 11418 . 2 (𝜑 → ((abs‘((𝐴 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − (𝐴 / 𝑁))) + (abs‘((𝐴 / 𝑁) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1))))) ≤ (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑁↑2))))
16423, 28, 37, 38, 163letrd 11418 1 (𝜑 → (abs‘((𝐴 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1)))) ≤ (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑁↑2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  {crab 3436  cdif 3948   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492   / cdiv 11920  cn 12266  2c2 12321  0cn0 12526  cz 12613  +crp 13034  cexp 14102  abscabs 15273  logclog 26596
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-sin 16105  df-cos 16106  df-tan 16107  df-pi 16108  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-cmp 23395  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902  df-log 26598
This theorem is referenced by:  lgamgulmlem5  27076
  Copyright terms: Public domain W3C validator