MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgamgulmlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgamgulmlem3 26417
Description: Lemma for lgamgulm 26421. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lgamgulm.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„•)
lgamgulm.u ๐‘ˆ = {๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆฃ ((absโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘… โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘˜)))}
lgamgulm.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
lgamgulm.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘ˆ)
lgamgulm.l (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐‘…) โ‰ค ๐‘)
Assertion
Ref Expression
lgamgulmlem3 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘) + 1)))) โ‰ค (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘โ†‘2))))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘   ๐‘ฅ,๐‘˜,๐‘…   ๐ด,๐‘˜,๐‘ฅ   ๐œ‘,๐‘ฅ
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘˜)   ๐‘ˆ(๐‘ฅ,๐‘˜)   ๐‘(๐‘˜)

Proof of Theorem lgamgulmlem3
StepHypRef Expression
1 lgamgulm.r . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„•)
2 lgamgulm.u . . . . . . . 8 ๐‘ˆ = {๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆฃ ((absโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘… โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘˜)))}
31, 2lgamgulmlem1 26415 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โŠ† (โ„‚ โˆ– (โ„ค โˆ– โ„•)))
4 lgamgulm.a . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘ˆ)
53, 4sseldd 3948 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– (โ„ค โˆ– โ„•)))
65eldifad 3925 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
7 lgamgulm.n . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
87peano2nnd 12179 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„•)
98nnrpd 12964 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„+)
107nnrpd 12964 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
119, 10rpdivcld 12983 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ + 1) / ๐‘) โˆˆ โ„+)
1211relogcld 26015 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) โˆˆ โ„)
1312recnd 11192 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) โˆˆ โ„‚)
146, 13mulcld 11184 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))) โˆˆ โ„‚)
157nncnd 12178 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
167nnne0d 12212 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โ‰  0)
176, 15, 16divcld 11940 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ด / ๐‘) โˆˆ โ„‚)
18 1cnd 11159 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
1917, 18addcld 11183 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด / ๐‘) + 1) โˆˆ โ„‚)
205, 7dmgmdivn0 26414 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด / ๐‘) + 1) โ‰  0)
2119, 20logcld 25963 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘) + 1)) โˆˆ โ„‚)
2214, 21subcld 11521 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘) + 1))) โˆˆ โ„‚)
2322abscld 15333 . 2 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘) + 1)))) โˆˆ โ„)
2414, 17subcld 11521 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))) โˆ’ (๐ด / ๐‘)) โˆˆ โ„‚)
2524abscld 15333 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))) โˆ’ (๐ด / ๐‘))) โˆˆ โ„)
2617, 21subcld 11521 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด / ๐‘) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘) + 1))) โˆˆ โ„‚)
2726abscld 15333 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜((๐ด / ๐‘) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘) + 1)))) โˆˆ โ„)
2825, 27readdcld 11193 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))) โˆ’ (๐ด / ๐‘))) + (absโ€˜((๐ด / ๐‘) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘) + 1))))) โˆˆ โ„)
291nnred 12177 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„)
30 2re 12236 . . . . . 6 2 โˆˆ โ„
3130a1i 11 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„)
32 1red 11165 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„)
3329, 32readdcld 11193 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… + 1) โˆˆ โ„)
3431, 33remulcld 11194 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (๐‘… + 1)) โˆˆ โ„)
357nnsqcld 14157 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘โ†‘2) โˆˆ โ„•)
3634, 35nndivred 12216 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘โ†‘2)) โˆˆ โ„)
3729, 36remulcld 11194 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘โ†‘2))) โˆˆ โ„)
3814, 21, 17abs3difd 15357 . 2 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘) + 1)))) โ‰ค ((absโ€˜((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))) โˆ’ (๐ด / ๐‘))) + (absโ€˜((๐ด / ๐‘) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘) + 1))))))
397nnrecred 12213 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (1 / ๐‘) โˆˆ โ„)
408nnrecred 12213 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (1 / (๐‘ + 1)) โˆˆ โ„)
4139, 40resubcld 11592 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((1 / ๐‘) โˆ’ (1 / (๐‘ + 1))) โˆˆ โ„)
4229, 41remulcld 11194 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… ยท ((1 / ๐‘) โˆ’ (1 / (๐‘ + 1)))) โˆˆ โ„)
4331, 29remulcld 11194 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐‘…) โˆˆ โ„)
447nnred 12177 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
451nnrpd 12964 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„+)
4629, 45ltaddrpd 12999 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… < (๐‘… + ๐‘…))
471nncnd 12178 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„‚)
48472timesd 12405 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐‘…) = (๐‘… + ๐‘…))
4946, 48breqtrrd 5138 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… < (2 ยท ๐‘…))
50 lgamgulm.l . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐‘…) โ‰ค ๐‘)
5129, 43, 44, 49, 50ltletrd 11324 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… < ๐‘)
52 difrp 12962 . . . . . . . . 9 ((๐‘… โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘… < ๐‘ โ†” (๐‘ โˆ’ ๐‘…) โˆˆ โ„+))
5329, 44, 52syl2anc 584 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… < ๐‘ โ†” (๐‘ โˆ’ ๐‘…) โˆˆ โ„+))
5451, 53mpbid 231 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘…) โˆˆ โ„+)
5554rprecred 12977 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (1 / (๐‘ โˆ’ ๐‘…)) โˆˆ โ„)
5655, 39resubcld 11592 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((1 / (๐‘ โˆ’ ๐‘…)) โˆ’ (1 / ๐‘)) โˆˆ โ„)
5729, 56remulcld 11194 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… ยท ((1 / (๐‘ โˆ’ ๐‘…)) โˆ’ (1 / ๐‘))) โˆˆ โ„)
5842, 57readdcld 11193 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘… ยท ((1 / ๐‘) โˆ’ (1 / (๐‘ + 1)))) + (๐‘… ยท ((1 / (๐‘ โˆ’ ๐‘…)) โˆ’ (1 / ๐‘)))) โˆˆ โ„)
596, 15, 16divrecd 11943 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ด / ๐‘) = (๐ด ยท (1 / ๐‘)))
6059oveq2d 7378 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))) โˆ’ (๐ด / ๐‘)) = ((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))) โˆ’ (๐ด ยท (1 / ๐‘))))
6139recnd 11192 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (1 / ๐‘) โˆˆ โ„‚)
626, 13, 61subdid 11620 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ((logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) โˆ’ (1 / ๐‘))) = ((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))) โˆ’ (๐ด ยท (1 / ๐‘))))
6360, 62eqtr4d 2774 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))) โˆ’ (๐ด / ๐‘)) = (๐ด ยท ((logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) โˆ’ (1 / ๐‘))))
6463fveq2d 6851 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))) โˆ’ (๐ด / ๐‘))) = (absโ€˜(๐ด ยท ((logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) โˆ’ (1 / ๐‘)))))
6513, 61subcld 11521 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) โˆ’ (1 / ๐‘)) โˆˆ โ„‚)
666, 65absmuld 15351 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐ด ยท ((logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) โˆ’ (1 / ๐‘)))) = ((absโ€˜๐ด) ยท (absโ€˜((logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) โˆ’ (1 / ๐‘)))))
6764, 66eqtrd 2771 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))) โˆ’ (๐ด / ๐‘))) = ((absโ€˜๐ด) ยท (absโ€˜((logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) โˆ’ (1 / ๐‘)))))
686abscld 15333 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
6965abscld 15333 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜((logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) โˆ’ (1 / ๐‘))) โˆˆ โ„)
706absge0d 15341 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (absโ€˜๐ด))
7165absge0d 15341 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (absโ€˜((logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) โˆ’ (1 / ๐‘))))
72 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (absโ€˜๐‘ฅ) = (absโ€˜๐ด))
7372breq1d 5120 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ((absโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘… โ†” (absโ€˜๐ด) โ‰ค ๐‘…))
74 fvoveq1 7385 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (absโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘˜)) = (absโ€˜(๐ด + ๐‘˜)))
7574breq2d 5122 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ((1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘˜)) โ†” (1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐ด + ๐‘˜))))
7675ralbidv 3170 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘˜)) โ†” โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐ด + ๐‘˜))))
7773, 76anbi12d 631 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (((absโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘… โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘˜))) โ†” ((absโ€˜๐ด) โ‰ค ๐‘… โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐ด + ๐‘˜)))))
7877, 2elrab2 3651 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ ๐‘ˆ โ†” (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ((absโ€˜๐ด) โ‰ค ๐‘… โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐ด + ๐‘˜)))))
7978simprbi 497 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ ๐‘ˆ โ†’ ((absโ€˜๐ด) โ‰ค ๐‘… โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐ด + ๐‘˜))))
804, 79syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜๐ด) โ‰ค ๐‘… โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐ด + ๐‘˜))))
8180simpld 495 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐ด) โ‰ค ๐‘…)
829, 10relogdivd 26018 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) = ((logโ€˜(๐‘ + 1)) โˆ’ (logโ€˜๐‘)))
83 logdifbnd 26380 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„+ โ†’ ((logโ€˜(๐‘ + 1)) โˆ’ (logโ€˜๐‘)) โ‰ค (1 / ๐‘))
8410, 83syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((logโ€˜(๐‘ + 1)) โˆ’ (logโ€˜๐‘)) โ‰ค (1 / ๐‘))
8582, 84eqbrtrd 5132 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) โ‰ค (1 / ๐‘))
8612, 39, 85abssuble0d 15329 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜((logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) โˆ’ (1 / ๐‘))) = ((1 / ๐‘) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))))
87 logdiflbnd 26381 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„+ โ†’ (1 / (๐‘ + 1)) โ‰ค ((logโ€˜(๐‘ + 1)) โˆ’ (logโ€˜๐‘)))
8810, 87syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (1 / (๐‘ + 1)) โ‰ค ((logโ€˜(๐‘ + 1)) โˆ’ (logโ€˜๐‘)))
8988, 82breqtrrd 5138 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (1 / (๐‘ + 1)) โ‰ค (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)))
9040, 12, 39, 89lesub2dd 11781 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((1 / ๐‘) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))) โ‰ค ((1 / ๐‘) โˆ’ (1 / (๐‘ + 1))))
9186, 90eqbrtrd 5132 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜((logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) โˆ’ (1 / ๐‘))) โ‰ค ((1 / ๐‘) โˆ’ (1 / (๐‘ + 1))))
9268, 29, 69, 41, 70, 71, 81, 91lemul12ad 12106 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜๐ด) ยท (absโ€˜((logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘)) โˆ’ (1 / ๐‘)))) โ‰ค (๐‘… ยท ((1 / ๐‘) โˆ’ (1 / (๐‘ + 1)))))
9367, 92eqbrtrd 5132 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))) โˆ’ (๐ด / ๐‘))) โ‰ค (๐‘… ยท ((1 / ๐‘) โˆ’ (1 / (๐‘ + 1)))))
941, 2, 7, 4, 50lgamgulmlem2 26416 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜((๐ด / ๐‘) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘) + 1)))) โ‰ค (๐‘… ยท ((1 / (๐‘ โˆ’ ๐‘…)) โˆ’ (1 / ๐‘))))
9525, 27, 42, 57, 93, 94le2addd 11783 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))) โˆ’ (๐ด / ๐‘))) + (absโ€˜((๐ด / ๐‘) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘) + 1))))) โ‰ค ((๐‘… ยท ((1 / ๐‘) โˆ’ (1 / (๐‘ + 1)))) + (๐‘… ยท ((1 / (๐‘ โˆ’ ๐‘…)) โˆ’ (1 / ๐‘)))))
9615, 47subcld 11521 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘…) โˆˆ โ„‚)
9715, 18addcld 11183 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„‚)
9829, 51gtned 11299 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โ‰  ๐‘…)
9915, 47, 98subne0d 11530 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘…) โ‰  0)
1008nnne0d 12212 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ + 1) โ‰  0)
10196, 97, 99, 100subrecd 11995 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((1 / (๐‘ โˆ’ ๐‘…)) โˆ’ (1 / (๐‘ + 1))) = (((๐‘ + 1) โˆ’ (๐‘ โˆ’ ๐‘…)) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘…) ยท (๐‘ + 1))))
10215, 18, 47pnncand 11560 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ + 1) โˆ’ (๐‘ โˆ’ ๐‘…)) = (1 + ๐‘…))
10318, 47, 102comraddd 11378 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ + 1) โˆ’ (๐‘ โˆ’ ๐‘…)) = (๐‘… + 1))
104103oveq1d 7377 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘ + 1) โˆ’ (๐‘ โˆ’ ๐‘…)) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘…) ยท (๐‘ + 1))) = ((๐‘… + 1) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘…) ยท (๐‘ + 1))))
105101, 104eqtr2d 2772 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘… + 1) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘…) ยท (๐‘ + 1))) = ((1 / (๐‘ โˆ’ ๐‘…)) โˆ’ (1 / (๐‘ + 1))))
106105oveq2d 7378 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… ยท ((๐‘… + 1) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘…) ยท (๐‘ + 1)))) = (๐‘… ยท ((1 / (๐‘ โˆ’ ๐‘…)) โˆ’ (1 / (๐‘ + 1)))))
10797, 100reccld 11933 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (1 / (๐‘ + 1)) โˆˆ โ„‚)
10896, 99reccld 11933 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (1 / (๐‘ โˆ’ ๐‘…)) โˆˆ โ„‚)
10961, 107, 108npncan3d 11557 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((1 / ๐‘) โˆ’ (1 / (๐‘ + 1))) + ((1 / (๐‘ โˆ’ ๐‘…)) โˆ’ (1 / ๐‘))) = ((1 / (๐‘ โˆ’ ๐‘…)) โˆ’ (1 / (๐‘ + 1))))
110109eqcomd 2737 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((1 / (๐‘ โˆ’ ๐‘…)) โˆ’ (1 / (๐‘ + 1))) = (((1 / ๐‘) โˆ’ (1 / (๐‘ + 1))) + ((1 / (๐‘ โˆ’ ๐‘…)) โˆ’ (1 / ๐‘))))
111110oveq2d 7378 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… ยท ((1 / (๐‘ โˆ’ ๐‘…)) โˆ’ (1 / (๐‘ + 1)))) = (๐‘… ยท (((1 / ๐‘) โˆ’ (1 / (๐‘ + 1))) + ((1 / (๐‘ โˆ’ ๐‘…)) โˆ’ (1 / ๐‘)))))
11241recnd 11192 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((1 / ๐‘) โˆ’ (1 / (๐‘ + 1))) โˆˆ โ„‚)
11356recnd 11192 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((1 / (๐‘ โˆ’ ๐‘…)) โˆ’ (1 / ๐‘)) โˆˆ โ„‚)
11447, 112, 113adddid 11188 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… ยท (((1 / ๐‘) โˆ’ (1 / (๐‘ + 1))) + ((1 / (๐‘ โˆ’ ๐‘…)) โˆ’ (1 / ๐‘)))) = ((๐‘… ยท ((1 / ๐‘) โˆ’ (1 / (๐‘ + 1)))) + (๐‘… ยท ((1 / (๐‘ โˆ’ ๐‘…)) โˆ’ (1 / ๐‘)))))
115106, 111, 1143eqtrd 2775 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… ยท ((๐‘… + 1) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘…) ยท (๐‘ + 1)))) = ((๐‘… ยท ((1 / ๐‘) โˆ’ (1 / (๐‘ + 1)))) + (๐‘… ยท ((1 / (๐‘ โˆ’ ๐‘…)) โˆ’ (1 / ๐‘)))))
11654, 9rpmulcld 12982 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘…) ยท (๐‘ + 1)) โˆˆ โ„+)
11733, 116rerpdivcld 12997 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘… + 1) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘…) ยท (๐‘ + 1))) โˆˆ โ„)
11845rpge0d 12970 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐‘…)
119 2z 12544 . . . . . . . . . 10 2 โˆˆ โ„ค
120119a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
12110, 120rpexpcld 14160 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘โ†‘2) โˆˆ โ„+)
122121rphalfcld 12978 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘โ†‘2) / 2) โˆˆ โ„+)
123 0le1 11687 . . . . . . . . 9 0 โ‰ค 1
124123a1i 11 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค 1)
12529, 32, 118, 124addge0d 11740 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (๐‘… + 1))
12615sqvald 14058 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘โ†‘2) = (๐‘ ยท ๐‘))
127126oveq1d 7377 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘โ†‘2) / 2) = ((๐‘ ยท ๐‘) / 2))
12831recnd 11192 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
129 2ne0 12266 . . . . . . . . . . 11 2 โ‰  0
130129a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 2 โ‰  0)
13115, 15, 128, 130div23d 11977 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘) / 2) = ((๐‘ / 2) ยท ๐‘))
132127, 131eqtrd 2771 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘โ†‘2) / 2) = ((๐‘ / 2) ยท ๐‘))
13344rehalfcld 12409 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ / 2) โˆˆ โ„)
13444, 29resubcld 11592 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘…) โˆˆ โ„)
13544, 32readdcld 11193 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„)
136 2rp 12929 . . . . . . . . . . 11 2 โˆˆ โ„+
137136a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„+)
13810rpge0d 12970 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐‘)
13944, 137, 138divge0d 13006 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (๐‘ / 2))
14029, 44, 137lemuldiv2d 13016 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘…) โ‰ค ๐‘ โ†” ๐‘… โ‰ค (๐‘ / 2)))
14150, 140mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โ‰ค (๐‘ / 2))
142152halvesd 12408 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ / 2) + (๐‘ / 2)) = ๐‘)
143133recnd 11192 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ / 2) โˆˆ โ„‚)
14415, 143, 143subaddd 11539 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ โˆ’ (๐‘ / 2)) = (๐‘ / 2) โ†” ((๐‘ / 2) + (๐‘ / 2)) = ๐‘))
145142, 144mpbird 256 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ (๐‘ / 2)) = (๐‘ / 2))
146141, 145breqtrrd 5138 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โ‰ค (๐‘ โˆ’ (๐‘ / 2)))
14729, 44, 133, 146lesubd 11768 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ / 2) โ‰ค (๐‘ โˆ’ ๐‘…))
14844lep1d 12095 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โ‰ค (๐‘ + 1))
149133, 134, 44, 135, 139, 138, 147, 148lemul12ad 12106 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ / 2) ยท ๐‘) โ‰ค ((๐‘ โˆ’ ๐‘…) ยท (๐‘ + 1)))
150132, 149eqbrtrd 5132 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘โ†‘2) / 2) โ‰ค ((๐‘ โˆ’ ๐‘…) ยท (๐‘ + 1)))
151122, 116, 33, 125, 150lediv2ad 12988 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘… + 1) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘…) ยท (๐‘ + 1))) โ‰ค ((๐‘… + 1) / ((๐‘โ†‘2) / 2)))
1521peano2nnd 12179 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… + 1) โˆˆ โ„•)
153152nncnd 12178 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… + 1) โˆˆ โ„‚)
15435nncnd 12178 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
15535nnne0d 12212 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘โ†‘2) โ‰  0)
156153, 154, 128, 155, 130divdiv2d 11972 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘… + 1) / ((๐‘โ†‘2) / 2)) = (((๐‘… + 1) ยท 2) / (๐‘โ†‘2)))
157153, 128mulcomd 11185 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘… + 1) ยท 2) = (2 ยท (๐‘… + 1)))
158157oveq1d 7377 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘… + 1) ยท 2) / (๐‘โ†‘2)) = ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘โ†‘2)))
159156, 158eqtr2d 2772 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘โ†‘2)) = ((๐‘… + 1) / ((๐‘โ†‘2) / 2)))
160151, 159breqtrrd 5138 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘… + 1) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘…) ยท (๐‘ + 1))) โ‰ค ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘โ†‘2)))
161117, 36, 29, 118, 160lemul2ad 12104 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… ยท ((๐‘… + 1) / ((๐‘ โˆ’ ๐‘…) ยท (๐‘ + 1)))) โ‰ค (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘โ†‘2))))
162115, 161eqbrtrrd 5134 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘… ยท ((1 / ๐‘) โˆ’ (1 / (๐‘ + 1)))) + (๐‘… ยท ((1 / (๐‘ โˆ’ ๐‘…)) โˆ’ (1 / ๐‘)))) โ‰ค (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘โ†‘2))))
16328, 58, 37, 95, 162letrd 11321 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))) โˆ’ (๐ด / ๐‘))) + (absโ€˜((๐ด / ๐‘) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘) + 1))))) โ‰ค (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘โ†‘2))))
16423, 28, 37, 38, 163letrd 11321 1 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜((๐ด ยท (logโ€˜((๐‘ + 1) / ๐‘))) โˆ’ (logโ€˜((๐ด / ๐‘) + 1)))) โ‰ค (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘โ†‘2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2939  โˆ€wral 3060  {crab 3405   โˆ– cdif 3910   class class class wbr 5110  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11058  โ„cr 11059  0cc0 11060  1c1 11061   + caddc 11063   ยท cmul 11065   < clt 11198   โ‰ค cle 11199   โˆ’ cmin 11394   / cdiv 11821  โ„•cn 12162  2c2 12217  โ„•0cn0 12422  โ„คcz 12508  โ„+crp 12924  โ†‘cexp 13977  abscabs 15131  logclog 25947
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9586  ax-cnex 11116  ax-resscn 11117  ax-1cn 11118  ax-icn 11119  ax-addcl 11120  ax-addrcl 11121  ax-mulcl 11122  ax-mulrcl 11123  ax-mulcom 11124  ax-addass 11125  ax-mulass 11126  ax-distr 11127  ax-i2m1 11128  ax-1ne0 11129  ax-1rid 11130  ax-rnegex 11131  ax-rrecex 11132  ax-cnre 11133  ax-pre-lttri 11134  ax-pre-lttrn 11135  ax-pre-ltadd 11136  ax-pre-mulgt0 11137  ax-pre-sup 11138  ax-addf 11139  ax-mulf 11140
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9356  df-sup 9387  df-inf 9388  df-oi 9455  df-card 9884  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-xr 11202  df-ltxr 11203  df-le 11204  df-sub 11396  df-neg 11397  df-div 11822  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12423  df-z 12509  df-dec 12628  df-uz 12773  df-q 12883  df-rp 12925  df-xneg 13042  df-xadd 13043  df-xmul 13044  df-ioo 13278  df-ioc 13279  df-ico 13280  df-icc 13281  df-fz 13435  df-fzo 13578  df-fl 13707  df-mod 13785  df-seq 13917  df-exp 13978  df-fac 14184  df-bc 14213  df-hash 14241  df-shft 14964  df-cj 14996  df-re 14997  df-im 14998  df-sqrt 15132  df-abs 15133  df-limsup 15365  df-clim 15382  df-rlim 15383  df-sum 15583  df-ef 15961  df-sin 15963  df-cos 15964  df-tan 15965  df-pi 15966  df-struct 17030  df-sets 17047  df-slot 17065  df-ndx 17077  df-base 17095  df-ress 17124  df-plusg 17160  df-mulr 17161  df-starv 17162  df-sca 17163  df-vsca 17164  df-ip 17165  df-tset 17166  df-ple 17167  df-ds 17169  df-unif 17170  df-hom 17171  df-cco 17172  df-rest 17318  df-topn 17319  df-0g 17337  df-gsum 17338  df-topgen 17339  df-pt 17340  df-prds 17343  df-xrs 17398  df-qtop 17403  df-imas 17404  df-xps 17406  df-mre 17480  df-mrc 17481  df-acs 17483  df-mgm 18511  df-sgrp 18560  df-mnd 18571  df-submnd 18616  df-mulg 18887  df-cntz 19111  df-cmn 19578  df-psmet 20825  df-xmet 20826  df-met 20827  df-bl 20828  df-mopn 20829  df-fbas 20830  df-fg 20831  df-cnfld 20834  df-top 22280  df-topon 22297  df-topsp 22319  df-bases 22333  df-cld 22407  df-ntr 22408  df-cls 22409  df-nei 22486  df-lp 22524  df-perf 22525  df-cn 22615  df-cnp 22616  df-haus 22703  df-cmp 22775  df-tx 22950  df-hmeo 23143  df-fil 23234  df-fm 23326  df-flim 23327  df-flf 23328  df-xms 23710  df-ms 23711  df-tms 23712  df-cncf 24278  df-limc 25267  df-dv 25268  df-log 25949
This theorem is referenced by:  lgamgulmlem5  26419
  Copyright terms: Public domain W3C validator