Theorem subscan1d 28104

Description: Cancellation law for surreal subtraction. (Contributed by Scott Fenton, 7-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
subscand.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
subscand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
subscand.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )

Assertion

Ref	Expression
subscan1d	⊢ (𝜑 → ((𝐶 -s 𝐴) = (𝐶 -s 𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem subscan1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subscand.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
2		subscand.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
3	1, 2	subsvald 28062	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 -s 𝐴) = (𝐶 +s ( -us ‘𝐴)))
4		subscand.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
5	1, 4	subsvald 28062	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 -s 𝐵) = (𝐶 +s ( -us ‘𝐵)))
6	3, 5	eqeq12d 2753	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 -s 𝐴) = (𝐶 -s 𝐵) ↔ (𝐶 +s ( -us ‘𝐴)) = (𝐶 +s ( -us ‘𝐵))))
7	2	negscld 28038	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( -us ‘𝐴) ∈ No )
8	4	negscld 28038	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( -us ‘𝐵) ∈ No )
9	7, 8, 1	addscan1d 28001	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 +s ( -us ‘𝐴)) = (𝐶 +s ( -us ‘𝐵)) ↔ ( -us ‘𝐴) = ( -us ‘𝐵)))
10		negs11 28050	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (( -us ‘𝐴) = ( -us ‘𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))
11	2, 4, 10	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → (( -us ‘𝐴) = ( -us ‘𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))
12	6, 9, 11	3bitrd 305	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 -s 𝐴) = (𝐶 -s 𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361   No csur 27612   +_s cadds 27960   -u_s cnegs 28020   -_s csubs 28021

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7683

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-ot 4590  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-1o 8400  df-2o 8401  df-nadd 8597  df-no 27615  df-lts 27616  df-bday 27617  df-les 27718  df-slts 27759  df-cuts 27761  df-0s 27808  df-made 27828  df-old 27829  df-left 27831  df-right 27832  df-norec 27939  df-norec2 27950  df-adds 27961  df-negs 28022  df-subs 28023

This theorem is referenced by: (None)