Theorem subscan1d 28519

Description: Cancellation law for surreal subtraction. (Contributed by Scott Fenton, 7-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
subscand.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No)
subscand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No)
subscand.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No)

Assertion

Ref	Expression
subscan1d	⊢ (𝜑 → ((𝐶 −s 𝐴) = (𝐶 −s 𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem subscan1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subscand.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No)
2		subscand.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No)
3	1, 2	subsvald 28477	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 −s 𝐴) = (𝐶 +s ( -s‘𝐴)))
4		subscand.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No)
5	1, 4	subsvald 28477	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 −s 𝐵) = (𝐶 +s ( -s‘𝐵)))
6	3, 5	eqeq12d 2779	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 −s 𝐴) = (𝐶 −s 𝐵) ↔ (𝐶 +s ( -s‘𝐴)) = (𝐶 +s ( -s‘𝐵))))
7	2	negscld 28453	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( -s‘𝐴) ∈ No)
8	4	negscld 28453	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( -s‘𝐵) ∈ No)
9	7, 8, 1	addscan1d 28416	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 +s ( -s‘𝐴)) = (𝐶 +s ( -s‘𝐵)) ↔ ( -s‘𝐴) = ( -s‘𝐵)))
10		negs11 28465	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) → (( -s‘𝐴) = ( -s‘𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))
11	2, 4, 10	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (( -s‘𝐴) = ( -s‘𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))
12	6, 9, 11	3bitrd 308	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 −s 𝐴) = (𝐶 −s 𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  Nocsur 28027   +_s cadds 28375   -_scnegs 28435   −_s csubs 28436

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-ot 4862  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-1o 8504  df-2o 8505  df-nadd 8703  df-no 28030  df-lts 28031  df-bday 28032  df-les 28132  df-slts 28174  df-cuts 28176  df-0s 28223  df-made 28243  df-old 28244  df-left 28246  df-right 28247  df-norec 28354  df-norec2 28365  df-adds 28376  df-negs 28437  df-subs 28438

This theorem is used by: (None)