Theorem subscan1d 28083

Description: Cancellation law for surreal subtraction. (Contributed by Scott Fenton, 7-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
subscand.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
subscand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
subscand.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )

Assertion

Ref	Expression
subscan1d	⊢ (𝜑 → ((𝐶 -s 𝐴) = (𝐶 -s 𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem subscan1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subscand.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
2		subscand.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
3	1, 2	subsvald 28041	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 -s 𝐴) = (𝐶 +s ( -us ‘𝐴)))
4		subscand.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
5	1, 4	subsvald 28041	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 -s 𝐵) = (𝐶 +s ( -us ‘𝐵)))
6	3, 5	eqeq12d 2753	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 -s 𝐴) = (𝐶 -s 𝐵) ↔ (𝐶 +s ( -us ‘𝐴)) = (𝐶 +s ( -us ‘𝐵))))
7	2	negscld 28017	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( -us ‘𝐴) ∈ No )
8	4	negscld 28017	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( -us ‘𝐵) ∈ No )
9	7, 8, 1	addscan1d 27980	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 +s ( -us ‘𝐴)) = (𝐶 +s ( -us ‘𝐵)) ↔ ( -us ‘𝐴) = ( -us ‘𝐵)))
10		negs11 28029	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (( -us ‘𝐴) = ( -us ‘𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))
11	2, 4, 10	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → (( -us ‘𝐴) = ( -us ‘𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))
12	6, 9, 11	3bitrd 305	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 -s 𝐴) = (𝐶 -s 𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358   No csur 27591   +_s cadds 27939   -u_s cnegs 27999   -_s csubs 28000

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-ot 4577  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-1o 8396  df-2o 8397  df-nadd 8593  df-no 27594  df-lts 27595  df-bday 27596  df-les 27697  df-slts 27738  df-cuts 27740  df-0s 27787  df-made 27807  df-old 27808  df-left 27810  df-right 27811  df-norec 27918  df-norec2 27929  df-adds 27940  df-negs 28001  df-subs 28002

This theorem is referenced by: (None)