Theorem negscld 28342

Description: The surreals are closed under negation. Theorem 6(ii) of [Conway] p. 18. (Contributed by Scott Fenton, 3-Feb-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
negscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )

Assertion

Ref	Expression
negscld	⊢ (𝜑 → ( -us ‘𝐴) ∈ No )

Proof of Theorem negscld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		negscl 28341	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( -us ‘𝐴) ∈ No )
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → ( -us ‘𝐴) ∈ No )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6528   No csur 27916   -u_s cnegs 28324

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-se 5602  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-1o 8455  df-2o 8456  df-no 27919  df-lts 27920  df-bday 27921  df-slts 28063  df-cuts 28065  df-0s 28112  df-made 28132  df-old 28133  df-left 28135  df-right 28136  df-norec 28243  df-negs 28326

This theorem is used by:  negsid  28346  negnegs  28349  negsdi  28355  negsunif  28360  negleft  28363  negright  28364  subadds  28375  negsubsdi2d  28385  addsubsassd  28386  addsubsd  28387  ltsubsubsbd  28388  subsubs4d  28399  subscan1d  28408  subscan2d  28409  mulnegs1d  28465  mulnegs2d  28466  mul2negsd  28467  ltmulnegs1d  28481  mulscan2d  28484  recsex  28524  absmuls  28549  onsbnd2  28587  zcuts0  28713  pw2divsnegd  28754  recut  28799  1reno  28802  renegscl  28803  readdscl  28804