Theorem negscld 28298

Description: The surreals are closed under negation. Theorem 6(ii) of [Conway] p. 18. (Contributed by Scott Fenton, 3-Feb-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
negscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )

Assertion

Ref	Expression
negscld	⊢ (𝜑 → ( -us ‘𝐴) ∈ No )

Proof of Theorem negscld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		negscl 28297	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( -us ‘𝐴) ∈ No )
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → ( -us ‘𝐴) ∈ No )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6537   No csur 27872   -u_s cnegs 28280

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-1o 8458  df-2o 8459  df-no 27875  df-lts 27876  df-bday 27877  df-slts 28019  df-cuts 28021  df-0s 28068  df-made 28088  df-old 28089  df-left 28091  df-right 28092  df-norec 28199  df-negs 28282

This theorem is used by:  negsid  28302  negnegs  28305  negsdi  28311  negsunif  28316  negleft  28319  negright  28320  subadds  28331  negsubsdi2d  28341  addsubsassd  28342  addsubsd  28343  ltsubsubsbd  28344  subsubs4d  28355  subscan1d  28364  subscan2d  28365  mulnegs1d  28421  mulnegs2d  28422  mul2negsd  28423  ltmulnegs1d  28437  mulscan2d  28440  recsex  28480  absmuls  28505  onsbnd2  28543  zcuts0  28669  pw2divsnegd  28710  recut  28755  1reno  28758  renegscl  28759  readdscl  28760