Theorem negscld 28239

Description: The surreals are closed under negation. Theorem 6(ii) of [Conway] p. 18. (Contributed by Scott Fenton, 3-Feb-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
negscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )

Assertion

Ref	Expression
negscld	⊢ (𝜑 → ( -us ‘𝐴) ∈ No )

Proof of Theorem negscld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		negscl 28238	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( -us ‘𝐴) ∈ No )
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → ( -us ‘𝐴) ∈ No )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2143  ‘cfv 6536   No csur 27813   -u_s cnegs 28221

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-1o 8449  df-2o 8450  df-no 27816  df-lts 27817  df-bday 27818  df-slts 27960  df-cuts 27962  df-0s 28009  df-made 28029  df-old 28030  df-left 28032  df-right 28033  df-norec 28140  df-negs 28223

This theorem is used by:  negsid  28243  negnegs  28246  negsdi  28252  negsunif  28257  negleft  28260  negright  28261  subadds  28272  negsubsdi2d  28282  addsubsassd  28283  addsubsd  28284  ltsubsubsbd  28285  subsubs4d  28296  subscan1d  28305  subscan2d  28306  mulnegs1d  28362  mulnegs2d  28363  mul2negsd  28364  ltmulnegs1d  28378  mulscan2d  28381  recsex  28421  absmuls  28446  onsbnd2  28484  zcuts0  28610  pw2divsnegd  28651  recut  28696  1reno  28699  renegscl  28700  readdscl  28701