Theorem negscld 28050

Description: The surreals are closed under negation. Theorem 6(ii) of [Conway] p. 18. (Contributed by Scott Fenton, 3-Feb-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
negscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )

Assertion

Ref	Expression
negscld	⊢ (𝜑 → ( -us ‘𝐴) ∈ No )

Proof of Theorem negscld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		negscl 28049	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( -us ‘𝐴) ∈ No )
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → ( -us ‘𝐴) ∈ No )

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6502   No csur 27624   -u_s cnegs 28032

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-se 5588  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-1o 8409  df-2o 8410  df-no 27627  df-lts 27628  df-bday 27629  df-slts 27771  df-cuts 27773  df-0s 27820  df-made 27840  df-old 27841  df-left 27843  df-right 27844  df-norec 27951  df-negs 28034

This theorem is referenced by:  negsid  28054  negnegs  28057  negsdi  28063  negsunif  28068  negleft  28071  negright  28072  subadds  28083  negsubsdi2d  28093  addsubsassd  28094  addsubsd  28095  ltsubsubsbd  28096  subsubs4d  28107  subscan1d  28116  subscan2d  28117  mulnegs1d  28173  mulnegs2d  28174  mul2negsd  28175  ltmulnegs1d  28189  mulscan2d  28192  recsex  28232  absmuls  28257  onsbnd2  28295  zcuts0  28421  pw2divsnegd  28462  recut  28507  1reno  28510  renegscl  28511  readdscl  28512