Theorem negscld 28198

Description: The surreals are closed under negation. Theorem 6(ii) of [Conway] p. 18. (Contributed by Scott Fenton, 3-Feb-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
negscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )

Assertion

Ref	Expression
negscld	⊢ (𝜑 → ( -us ‘𝐴) ∈ No )

Proof of Theorem negscld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		negscl 28197	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( -us ‘𝐴) ∈ No )
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → ( -us ‘𝐴) ∈ No )

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2149  ‘cfv 6539   No csur 27772   -u_s cnegs 28180

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5273  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7735

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-se 5618  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-1o 8455  df-2o 8456  df-no 27775  df-lts 27776  df-bday 27777  df-slts 27919  df-cuts 27921  df-0s 27968  df-made 27988  df-old 27989  df-left 27991  df-right 27992  df-norec 28099  df-negs 28182

This theorem is referenced by:  negsid  28202  negnegs  28205  negsdi  28211  negsunif  28216  negleft  28219  negright  28220  subadds  28231  negsubsdi2d  28241  addsubsassd  28242  addsubsd  28243  ltsubsubsbd  28244  subsubs4d  28255  subscan1d  28264  subscan2d  28265  mulnegs1d  28321  mulnegs2d  28322  mul2negsd  28323  ltmulnegs1d  28337  mulscan2d  28340  recsex  28380  absmuls  28405  onsbnd2  28443  zcuts0  28569  pw2divsnegd  28610  recut  28655  1reno  28658  renegscl  28659  readdscl  28660