MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  negscld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem negscld 27491
Description: The surreals are closed under negation. Theorem 6(ii) of [Conway] p. 18. (Contributed by Scott Fenton, 3-Feb-2025.)
Hypothesis
Ref Expression
negscld.1 (𝜑𝐴 No )
Assertion
Ref Expression
negscld (𝜑 → ( -us𝐴) ∈ No )

Proof of Theorem negscld
StepHypRef Expression
1 negscld.1 . 2 (𝜑𝐴 No )
2 negscl 27490 . 2 (𝐴 No → ( -us𝐴) ∈ No )
31, 2syl 17 1 (𝜑 → ( -us𝐴) ∈ No )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2107  cfv 6540   No csur 27123   -us cnegs 27474
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-1o 8461  df-2o 8462  df-no 27126  df-slt 27127  df-bday 27128  df-sslt 27263  df-scut 27265  df-0s 27305  df-made 27322  df-old 27323  df-left 27325  df-right 27326  df-norec 27402  df-negs 27476
This theorem is referenced by:  negsid  27495  negnegs  27498  negsdi  27504  negsunif  27509  subadds  27518  negsubsdi2d  27527  addsubsassd  27528  addsubsd  27529  sltsubsubbd  27530  subsubs4d  27540  mulnegs1d  27595  mulnegs2d  27596  mul2negsd  27597  sltmulneg1d  27608  mulscan2d  27611  recsex  27645
  Copyright terms: Public domain W3C validator