Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  negscld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem negscld 34323
Description: The surreals are closed under negation. Theorem 6(ii) of [Conway] p. 18. (Contributed by Scott Fenton, 3-Feb-2025.)
Hypothesis
Ref Expression
negscld.1 (𝜑𝐴 No )
Assertion
Ref Expression
negscld (𝜑 → ( -us ‘𝐴) ∈ No )

Proof of Theorem negscld
StepHypRef Expression
1 negscld.1 . 2 (𝜑𝐴 No )
2 negscl 34322 . 2 (𝐴 No → ( -us ‘𝐴) ∈ No )
31, 2syl 17 1 (𝜑 → ( -us ‘𝐴) ∈ No )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2106  cfv 6493   No csur 26939   -us cnegs 34306
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-2nd 7914  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-1o 8404  df-2o 8405  df-no 26942  df-slt 26943  df-bday 26944  df-sslt 27072  df-scut 27074  df-0s 27114  df-made 27128  df-old 27129  df-left 27131  df-right 27132  df-norec 34246  df-negs 34308
This theorem is referenced by:  negsid  34327  negnegs  34329  subadds  34340
  Copyright terms: Public domain W3C validator