Theorem negscld 28051

Description: The surreals are closed under negation. Theorem 6(ii) of [Conway] p. 18. (Contributed by Scott Fenton, 3-Feb-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
negscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )

Assertion

Ref	Expression
negscld	⊢ (𝜑 → ( -us ‘𝐴) ∈ No )

Proof of Theorem negscld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		negscl 28050	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( -us ‘𝐴) ∈ No )
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → ( -us ‘𝐴) ∈ No )

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2121  ‘cfv 6489   No csur 27625   -u_s cnegs 28033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4842  df-int 4881  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-1o 8399  df-2o 8400  df-no 27628  df-lts 27629  df-bday 27630  df-slts 27772  df-cuts 27774  df-0s 27821  df-made 27841  df-old 27842  df-left 27844  df-right 27845  df-norec 27952  df-negs 28035

This theorem is referenced by:  negsid  28055  negnegs  28058  negsdi  28064  negsunif  28069  negleft  28072  negright  28073  subadds  28084  negsubsdi2d  28094  addsubsassd  28095  addsubsd  28096  ltsubsubsbd  28097  subsubs4d  28108  subscan1d  28117  subscan2d  28118  mulnegs1d  28174  mulnegs2d  28175  mul2negsd  28176  ltmulnegs1d  28190  mulscan2d  28193  recsex  28233  absmuls  28258  onsbnd2  28296  zcuts0  28422  pw2divsnegd  28463  recut  28508  1reno  28511  renegscl  28512  readdscl  28513