MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supfirege Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem supfirege 12150
Description: The supremum of a finite set of real numbers is greater than or equal to all the real numbers of the set. (Contributed by AV, 1-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
supfirege.1 (𝜑𝐵 ⊆ ℝ)
supfirege.2 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
supfirege.3 (𝜑𝐶𝐵)
supfirege.4 (𝜑𝑆 = sup(𝐵, ℝ, < ))
Assertion
Ref Expression
supfirege (𝜑𝐶𝑆)

Proof of Theorem supfirege
StepHypRef Expression
1 ltso 11243 . . . 4 < Or ℝ
21a1i 11 . . 3 (𝜑 → < Or ℝ)
3 supfirege.1 . . 3 (𝜑𝐵 ⊆ ℝ)
4 supfirege.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
5 supfirege.3 . . 3 (𝜑𝐶𝐵)
6 supfirege.4 . . 3 (𝜑𝑆 = sup(𝐵, ℝ, < ))
72, 3, 4, 5, 6supgtoreq 9414 . 2 (𝜑 → (𝐶 < 𝑆𝐶 = 𝑆))
83, 5sseldd 3949 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
95ne0d 4299 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ≠ ∅)
10 fisupcl 9413 . . . . . 6 (( < Or ℝ ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ)) → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ 𝐵)
112, 4, 9, 3, 10syl13anc 1373 . . . . 5 (𝜑 → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ 𝐵)
126, 11eqeltrd 2834 . . . 4 (𝜑𝑆𝐵)
133, 12sseldd 3949 . . 3 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
148, 13leloed 11306 . 2 (𝜑 → (𝐶𝑆 ↔ (𝐶 < 𝑆𝐶 = 𝑆)))
157, 14mpbird 257 1 (𝜑𝐶𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 846   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2940  wss 3914  c0 4286   class class class wbr 5109   Or wor 5548  Fincfn 8889  supcsup 9384  cr 11058   < clt 11197  cle 11198
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-resscn 11116  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-om 7807  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-sup 9386  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203
This theorem is referenced by:  fsuppmapnn0fiub  13905  ssuzfz  43674
  Copyright terms: Public domain W3C validator