Theorem supfirege 12220

Description: The supremum of a finite set of real numbers is greater than or equal to all the real numbers of the set. (Contributed by AV, 1-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
supfirege.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ)
supfirege.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
supfirege.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
supfirege.4	⊢ (𝜑 → 𝑆 = sup(𝐵, ℝ, < ))

Assertion

Ref	Expression
supfirege	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ 𝑆)

Proof of Theorem supfirege

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltso 11308	. . . 4 ⊢ < Or ℝ
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → < Or ℝ)
3		supfirege.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ)
4		supfirege.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
5		supfirege.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
6		supfirege.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = sup(𝐵, ℝ, < ))
7	2, 3, 4, 5, 6	supgtoreq 9441	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 < 𝑆 ∨ 𝐶 = 𝑆))
8	3, 5	sseldd 3941	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
9	5	ne0d 4298	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ ∅)
10		fisupcl 9440	. . . . . 6 ⊢ (( < Or ℝ ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ)) → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ 𝐵)
11	2, 4, 9, 3, 10	syl13anc 1399	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ 𝐵)
12	6, 11	eqeltrd 2866	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐵)
13	3, 12	sseldd 3941	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)
14	8, 13	leloed 11371	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ≤ 𝑆 ↔ (𝐶 < 𝑆 ∨ 𝐶 = 𝑆)))
15	7, 14	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ 𝑆)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961   ⊆ wss 3908  ∅c0 4289   class class class wbr 5114   Or wor 5573  Fincfn 8952  supcsup 9410  ℝcr 11117   < clt 11261   ≤ cle 11262

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-resscn 11175  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-om 7872  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267

This theorem is used by:  fsuppmapnn0fiub  14047  ssuzfz  46098