Theorem supfirege 12231

Description: The supremum of a finite set of real numbers is greater than or equal to all the real numbers of the set. (Contributed by AV, 1-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
supfirege.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ)
supfirege.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
supfirege.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
supfirege.4	⊢ (𝜑 → 𝑆 = sup(𝐵, ℝ, < ))

Assertion

Ref	Expression
supfirege	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ 𝑆)

Proof of Theorem supfirege

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltso 11324	. . . 4 ⊢ < Or ℝ
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → < Or ℝ)
3		supfirege.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ)
4		supfirege.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
5		supfirege.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
6		supfirege.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = sup(𝐵, ℝ, < ))
7	2, 3, 4, 5, 6	supgtoreq 9493	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 < 𝑆 ∨ 𝐶 = 𝑆))
8	3, 5	sseldd 3981	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
9	5	ne0d 4336	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ ∅)
10		fisupcl 9492	. . . . . 6 ⊢ (( < Or ℝ ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ)) → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ 𝐵)
11	2, 4, 9, 3, 10	syl13anc 1370	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ 𝐵)
12	6, 11	eqeltrd 2829	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐵)
13	3, 12	sseldd 3981	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)
14	8, 13	leloed 11387	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ≤ 𝑆 ↔ (𝐶 < 𝑆 ∨ 𝐶 = 𝑆)))
15	7, 14	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 846   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2937   ⊆ wss 3947  ∅c0 4323   class class class wbr 5148   Or wor 5589  Fincfn 8963  supcsup 9463  ℝcr 11137   < clt 11278   ≤ cle 11279

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-resscn 11195  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-om 7871  df-er 8724  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-sup 9465  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284

This theorem is referenced by:  fsuppmapnn0fiub  13988  ssuzfz  44731