MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supfirege Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem supfirege 12253
Description: The supremum of a finite set of real numbers is greater than or equal to all the real numbers of the set. (Contributed by AV, 1-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
supfirege.1 (𝜑𝐵 ⊆ ℝ)
supfirege.2 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
supfirege.3 (𝜑𝐶𝐵)
supfirege.4 (𝜑𝑆 = sup(𝐵, ℝ, < ))
Assertion
Ref Expression
supfirege (𝜑𝐶𝑆)

Proof of Theorem supfirege
StepHypRef Expression
1 ltso 11339 . . . 4 < Or ℝ
21a1i 11 . . 3 (𝜑 → < Or ℝ)
3 supfirege.1 . . 3 (𝜑𝐵 ⊆ ℝ)
4 supfirege.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
5 supfirege.3 . . 3 (𝜑𝐶𝐵)
6 supfirege.4 . . 3 (𝜑𝑆 = sup(𝐵, ℝ, < ))
72, 3, 4, 5, 6supgtoreq 9508 . 2 (𝜑 → (𝐶 < 𝑆𝐶 = 𝑆))
83, 5sseldd 3996 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
95ne0d 4348 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ≠ ∅)
10 fisupcl 9507 . . . . . 6 (( < Or ℝ ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ)) → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ 𝐵)
112, 4, 9, 3, 10syl13anc 1371 . . . . 5 (𝜑 → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ 𝐵)
126, 11eqeltrd 2839 . . . 4 (𝜑𝑆𝐵)
133, 12sseldd 3996 . . 3 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
148, 13leloed 11402 . 2 (𝜑 → (𝐶𝑆 ↔ (𝐶 < 𝑆𝐶 = 𝑆)))
157, 14mpbird 257 1 (𝜑𝐶𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 847   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wss 3963  c0 4339   class class class wbr 5148   Or wor 5596  Fincfn 8984  supcsup 9478  cr 11152   < clt 11293  cle 11294
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-om 7888  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299
This theorem is referenced by:  fsuppmapnn0fiub  14029  ssuzfz  45299
  Copyright terms: Public domain W3C validator