Theorem supfirege 11962

Description: The supremum of a finite set of real numbers is greater than or equal to all the real numbers of the set. (Contributed by AV, 1-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
supfirege.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ)
supfirege.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
supfirege.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
supfirege.4	⊢ (𝜑 → 𝑆 = sup(𝐵, ℝ, < ))

Assertion

Ref	Expression
supfirege	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ 𝑆)

Proof of Theorem supfirege

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltso 11055	. . . 4 ⊢ < Or ℝ
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → < Or ℝ)
3		supfirege.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ)
4		supfirege.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
5		supfirege.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
6		supfirege.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = sup(𝐵, ℝ, < ))
7	2, 3, 4, 5, 6	supgtoreq 9229	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 < 𝑆 ∨ 𝐶 = 𝑆))
8	3, 5	sseldd 3922	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
9	5	ne0d 4269	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ ∅)
10		fisupcl 9228	. . . . . 6 ⊢ (( < Or ℝ ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ)) → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ 𝐵)
11	2, 4, 9, 3, 10	syl13anc 1371	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ 𝐵)
12	6, 11	eqeltrd 2839	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐵)
13	3, 12	sseldd 3922	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)
14	8, 13	leloed 11118	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ≤ 𝑆 ↔ (𝐶 < 𝑆 ∨ 𝐶 = 𝑆)))
15	7, 14	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 844   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   ⊆ wss 3887  ∅c0 4256   class class class wbr 5074   Or wor 5502  Fincfn 8733  supcsup 9199  ℝcr 10870   < clt 11009   ≤ cle 11010

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-om 7713  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015

This theorem is referenced by:  fsuppmapnn0fiub  13711  ssuzfz  42888