Theorem supfirege 12129

Description: The supremum of a finite set of real numbers is greater than or equal to all the real numbers of the set. (Contributed by AV, 1-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
supfirege.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ)
supfirege.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
supfirege.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
supfirege.4	⊢ (𝜑 → 𝑆 = sup(𝐵, ℝ, < ))

Assertion

Ref	Expression
supfirege	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ 𝑆)

Proof of Theorem supfirege

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltso 11213	. . . 4 ⊢ < Or ℝ
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → < Or ℝ)
3		supfirege.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ)
4		supfirege.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
5		supfirege.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
6		supfirege.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = sup(𝐵, ℝ, < ))
7	2, 3, 4, 5, 6	supgtoreq 9374	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 < 𝑆 ∨ 𝐶 = 𝑆))
8	3, 5	sseldd 3934	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
9	5	ne0d 4294	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ ∅)
10		fisupcl 9373	. . . . . 6 ⊢ (( < Or ℝ ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ)) → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ 𝐵)
11	2, 4, 9, 3, 10	syl13anc 1374	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ 𝐵)
12	6, 11	eqeltrd 2836	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐵)
13	3, 12	sseldd 3934	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)
14	8, 13	leloed 11276	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ≤ 𝑆 ↔ (𝐶 < 𝑆 ∨ 𝐶 = 𝑆)))
15	7, 14	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932   ⊆ wss 3901  ∅c0 4285   class class class wbr 5098   Or wor 5531  Fincfn 8883  supcsup 9343  ℝcr 11025   < clt 11166   ≤ cle 11167

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-om 7809  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172

This theorem is referenced by:  fsuppmapnn0fiub  13914  ssuzfz  45594