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Theorem fsuppmapnn0fiub 13209
Description: If all functions of a finite set of functions over the nonnegative integers are finitely supported, then the support of all these functions is contained in a finite set of sequential integers starting at 0 and ending with the supremum of the union of the support of these functions. (Contributed by AV, 2-Oct-2019.) (Proof shortened by JJ, 2-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
fsuppmapnn0fiub.u 𝑈 = 𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍)
fsuppmapnn0fiub.s 𝑆 = sup(𝑈, ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
fsuppmapnn0fiub ((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) → ((∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅) → ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑆)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑀   𝑅,𝑓   𝑈,𝑓   𝑓,𝑉   𝑓,𝑍
Allowed substitution hint:   𝑆(𝑓)

Proof of Theorem fsuppmapnn0fiub
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1892 . . . 4 𝑓(𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉)
2 nfra1 3186 . . . . 5 𝑓𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍
3 nfv 1892 . . . . 5 𝑓 𝑈 ≠ ∅
42, 3nfan 1881 . . . 4 𝑓(∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)
51, 4nfan 1881 . . 3 𝑓((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅))
6 suppssdm 7694 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ dom 𝑓
7 ssel2 3884 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑓𝑀) → 𝑓 ∈ (𝑅𝑚0))
8 elmapfn 8279 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∈ (𝑅𝑚0) → 𝑓 Fn ℕ0)
9 fndm 6325 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 Fn ℕ0 → dom 𝑓 = ℕ0)
10 eqimss 3944 . . . . . . . . . . . . . 14 (dom 𝑓 = ℕ0 → dom 𝑓 ⊆ ℕ0)
119, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 Fn ℕ0 → dom 𝑓 ⊆ ℕ0)
127, 8, 113syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑓𝑀) → dom 𝑓 ⊆ ℕ0)
13123ad2antl1 1178 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ 𝑓𝑀) → dom 𝑓 ⊆ ℕ0)
146, 13syl5ss 3900 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ 𝑓𝑀) → (𝑓 supp 𝑍) ⊆ ℕ0)
1514sseld 3888 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ 𝑓𝑀) → (𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍) → 𝑥 ∈ ℕ0))
1615adantlr 711 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓𝑀) → (𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍) → 𝑥 ∈ ℕ0))
1716imp 407 . . . . . . 7 (((((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → 𝑥 ∈ ℕ0)
18 fsuppmapnn0fiub.u . . . . . . . . . 10 𝑈 = 𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍)
19 fsuppmapnn0fiub.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = sup(𝑈, ℝ, < )
2018, 19fsuppmapnn0fiublem 13208 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) → ((∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅) → 𝑆 ∈ ℕ0))
2120imp 407 . . . . . . . 8 (((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) → 𝑆 ∈ ℕ0)
2221ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → 𝑆 ∈ ℕ0)
237, 8, 93syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑓𝑀) → dom 𝑓 = ℕ0)
2423ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) → (𝑓𝑀 → dom 𝑓 = ℕ0))
25243ad2ant1 1126 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) → (𝑓𝑀 → dom 𝑓 = ℕ0))
2625adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) → (𝑓𝑀 → dom 𝑓 = ℕ0))
2726imp 407 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓𝑀) → dom 𝑓 = ℕ0)
28 nn0ssre 11749 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ⊆ ℝ
2927, 28syl6eqss 3942 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓𝑀) → dom 𝑓 ⊆ ℝ)
306, 29syl5ss 3900 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓𝑀) → (𝑓 supp 𝑍) ⊆ ℝ)
3130ex 413 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) → (𝑓𝑀 → (𝑓 supp 𝑍) ⊆ ℝ))
325, 31ralrimi 3183 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) → ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ ℝ)
3332ad2antrr 722 . . . . . . . . . 10 (((((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ ℝ)
34 iunss 4868 . . . . . . . . . 10 ( 𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ ℝ ↔ ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ ℝ)
3533, 34sylibr 235 . . . . . . . . 9 (((((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → 𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ ℝ)
3618, 35syl5eqss 3936 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → 𝑈 ⊆ ℝ)
37 simp2 1130 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) → 𝑀 ∈ Fin)
38 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 finSupp 𝑍𝑓 finSupp 𝑍)
3938fsuppimpd 8686 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 finSupp 𝑍 → (𝑓 supp 𝑍) ∈ Fin)
4039ralimi 3127 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 → ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ∈ Fin)
4140adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅) → ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ∈ Fin)
4237, 41anim12i 612 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) → (𝑀 ∈ Fin ∧ ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ∈ Fin))
4342ad2antrr 722 . . . . . . . . . 10 (((((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → (𝑀 ∈ Fin ∧ ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ∈ Fin))
44 iunfi 8658 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ Fin ∧ ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ∈ Fin) → 𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ∈ Fin)
4543, 44syl 17 . . . . . . . . 9 (((((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → 𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ∈ Fin)
4618, 45syl5eqel 2887 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → 𝑈 ∈ Fin)
47 rspe 3267 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓𝑀𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → ∃𝑓𝑀 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍))
48 eliun 4829 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ↔ ∃𝑓𝑀 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍))
4947, 48sylibr 235 . . . . . . . . . 10 ((𝑓𝑀𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → 𝑥 𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍))
5049, 18syl6eleqr 2894 . . . . . . . . 9 ((𝑓𝑀𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → 𝑥𝑈)
5150adantll 710 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → 𝑥𝑈)
5219a1i 11 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → 𝑆 = sup(𝑈, ℝ, < ))
5336, 46, 51, 52supfirege 11475 . . . . . . 7 (((((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → 𝑥𝑆)
54 elfz2nn0 12848 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (0...𝑆) ↔ (𝑥 ∈ ℕ0𝑆 ∈ ℕ0𝑥𝑆))
5517, 22, 53, 54syl3anbrc 1336 . . . . . 6 (((((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → 𝑥 ∈ (0...𝑆))
5655ex 413 . . . . 5 ((((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓𝑀) → (𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍) → 𝑥 ∈ (0...𝑆)))
5756ssrdv 3895 . . . 4 ((((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓𝑀) → (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑆))
5857ex 413 . . 3 (((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) → (𝑓𝑀 → (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑆)))
595, 58ralrimi 3183 . 2 (((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) → ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑆))
6059ex 413 1 ((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) → ((∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅) → ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1080   = wceq 1522  wcel 2081  wne 2984  wral 3105  wrex 3106  wss 3859  c0 4211   ciun 4825   class class class wbr 4962  dom cdm 5443   Fn wfn 6220  (class class class)co 7016   supp csupp 7681  𝑚 cmap 8256  Fincfn 8357   finSupp cfsupp 8679  supcsup 8750  cr 10382  0cc0 10383   < clt 10521  cle 10522  0cn0 11745  ...cfz 12742
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-supp 7682  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-oadd 7957  df-er 8139  df-map 8258  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-fsupp 8680  df-sup 8752  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-nn 11487  df-n0 11746  df-z 11830  df-uz 12094  df-fz 12743
This theorem is referenced by:  fsuppmapnn0fiubex  13210
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