Theorem fsuppmapnn0fiub 14055

Description: If all functions of a finite set of functions over the nonnegative integers are finitely supported, then the support of all these functions is contained in a finite set of sequential integers starting at 0 and ending with the supremum of the union of the support of these functions. (Contributed by AV, 2-Oct-2019.) (Proof shortened by JJ, 2-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsuppmapnn0fiub.u	⊢ 𝑈 = ∪ 𝑓 ∈ 𝑀 (𝑓 supp 𝑍)
fsuppmapnn0fiub.s	⊢ 𝑆 = sup(𝑈, ℝ, < )

Assertion

Ref	Expression
fsuppmapnn0fiub	⊢ ((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅) → ∀𝑓 ∈ 𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑆)))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑀   𝑅,𝑓   𝑈,𝑓   𝑓,𝑉   𝑓,𝑍

Allowed substitution hint:   𝑆(𝑓)

Proof of Theorem fsuppmapnn0fiub

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1947	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑓(𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)
2		nfra1 3286	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑓∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍
3		nfv 1947	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑓 𝑈 ≠ ∅
4	2, 3	nfan 1932	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑓(∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)
5	1, 4	nfan 1932	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑓((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅))
6		suppssdm 8175	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 supp 𝑍) ⊆ dom 𝑓
7		ssel2 3926	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → 𝑓 ∈ (𝑅 ↑m ℕ0))
8		elmapfn 8866	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m ℕ0) → 𝑓 Fn ℕ0)
9		fndm 6635	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 Fn ℕ0 → dom 𝑓 = ℕ0)
10		eqimss 3989	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (dom 𝑓 = ℕ0 → dom 𝑓 ⊆ ℕ0)
11	7, 8, 9, 10	4syl 20	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → dom 𝑓 ⊆ ℕ0)
12	11	3ad2antl1 1204	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → dom 𝑓 ⊆ ℕ0)
13	6, 12	sstrid 3942	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → (𝑓 supp 𝑍) ⊆ ℕ0)
14	13	sseld 3930	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → (𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍) → 𝑥 ∈ ℕ0))
15	14	adantlr 728	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → (𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍) → 𝑥 ∈ ℕ0))
16	15	imp 412	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → 𝑥 ∈ ℕ0)
17		fsuppmapnn0fiub.u	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑈 = ∪ 𝑓 ∈ 𝑀 (𝑓 supp 𝑍)
18		fsuppmapnn0fiub.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 = sup(𝑈, ℝ, < )
19	17, 18	fsuppmapnn0fiublem 14054	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅) → 𝑆 ∈ ℕ0))
20	19	imp 412	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) → 𝑆 ∈ ℕ0)
21	20	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → 𝑆 ∈ ℕ0)
22	7, 8, 9	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → dom 𝑓 = ℕ0)
23	22	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) → (𝑓 ∈ 𝑀 → dom 𝑓 = ℕ0))
24	23	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑓 ∈ 𝑀 → dom 𝑓 = ℕ0))
25	24	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) → (𝑓 ∈ 𝑀 → dom 𝑓 = ℕ0))
26	25	imp 412	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → dom 𝑓 = ℕ0)
27		nn0ssre 12532	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ
28	26, 27	eqsstrdi 3975	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → dom 𝑓 ⊆ ℝ)
29	6, 28	sstrid 3942	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → (𝑓 supp 𝑍) ⊆ ℝ)
30	29	ex 418	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) → (𝑓 ∈ 𝑀 → (𝑓 supp 𝑍) ⊆ ℝ))
31	5, 30	ralrimi 3260	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) → ∀𝑓 ∈ 𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ ℝ)
32	31	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → ∀𝑓 ∈ 𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ ℝ)
33		iunss 5003	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∪ 𝑓 ∈ 𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ ℝ ↔ ∀𝑓 ∈ 𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ ℝ)
34	32, 33	sylibr 237	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → ∪ 𝑓 ∈ 𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ ℝ)
35	17, 34	eqsstrid 3969	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → 𝑈 ⊆ ℝ)
36		simp2 1155	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → 𝑀 ∈ Fin)
37		id 23	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓 finSupp 𝑍 → 𝑓 finSupp 𝑍)
38	37	fsuppimpd 9339	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓 finSupp 𝑍 → (𝑓 supp 𝑍) ∈ Fin)
39	38	ralimi 3099	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 → ∀𝑓 ∈ 𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ∈ Fin)
40	39	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅) → ∀𝑓 ∈ 𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ∈ Fin)
41	36, 40	anim12i 625	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) → (𝑀 ∈ Fin ∧ ∀𝑓 ∈ 𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ∈ Fin))
42	41	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → (𝑀 ∈ Fin ∧ ∀𝑓 ∈ 𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ∈ Fin))
43		iunfi 9310	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ Fin ∧ ∀𝑓 ∈ 𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ∈ Fin) → ∪ 𝑓 ∈ 𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ∈ Fin)
44	42, 43	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → ∪ 𝑓 ∈ 𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ∈ Fin)
45	17, 44	eqeltrid 2864	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → 𝑈 ∈ Fin)
46		rspe 3252	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓 ∈ 𝑀 ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → ∃𝑓 ∈ 𝑀 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍))
47		eliun 4955	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑓 ∈ 𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ↔ ∃𝑓 ∈ 𝑀 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍))
48	46, 47	sylibr 237	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓 ∈ 𝑀 ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → 𝑥 ∈ ∪ 𝑓 ∈ 𝑀 (𝑓 supp 𝑍))
49	48, 17	eleqtrrdi 2871	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 ∈ 𝑀 ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → 𝑥 ∈ 𝑈)
50	49	adantll 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → 𝑥 ∈ 𝑈)
51	18	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → 𝑆 = sup(𝑈, ℝ, < ))
52	35, 45, 50, 51	supfirege 12226	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → 𝑥 ≤ 𝑆)
53		elfz2nn0 13673	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0...𝑆) ↔ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ≤ 𝑆))
54	16, 21, 52, 53	syl3anbrc 1362	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → 𝑥 ∈ (0...𝑆))
55	54	ex 418	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → (𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍) → 𝑥 ∈ (0...𝑆)))
56	55	ssrdv 3937	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑆))
57	56	ex 418	. . 3 ⊢ (((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) → (𝑓 ∈ 𝑀 → (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑆)))
58	5, 57	ralrimi 3260	. 2 ⊢ (((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) → ∀𝑓 ∈ 𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑆))
59	58	ex 418	1 ⊢ ((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅) → ∀𝑓 ∈ 𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑆)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  ∪ ciun 4951   class class class wbr 5103  dom cdm 5655   Fn wfn 6528  (class class class)co 7413   supp csupp 8158   ↑_m cmap 8826  Fincfn 8952   finSupp cfsupp 9331  supcsup 9410  ℝcr 11123  0cc0 11124   < clt 11267   ≤ cle 11268  ℕ₀cn0 12528  ...cfz 13561

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-sup 9412  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-fz 13562

This theorem is used by:  fsuppmapnn0fiubex  14056