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Theorem fsuppmapnn0fiub 13896
Description: If all functions of a finite set of functions over the nonnegative integers are finitely supported, then the support of all these functions is contained in a finite set of sequential integers starting at 0 and ending with the supremum of the union of the support of these functions. (Contributed by AV, 2-Oct-2019.) (Proof shortened by JJ, 2-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
fsuppmapnn0fiub.u 𝑈 = 𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍)
fsuppmapnn0fiub.s 𝑆 = sup(𝑈, ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
fsuppmapnn0fiub ((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) → ((∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅) → ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑆)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑀   𝑅,𝑓   𝑈,𝑓   𝑓,𝑉   𝑓,𝑍
Allowed substitution hint:   𝑆(𝑓)

Proof of Theorem fsuppmapnn0fiub
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1917 . . . 4 𝑓(𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉)
2 nfra1 3267 . . . . 5 𝑓𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍
3 nfv 1917 . . . . 5 𝑓 𝑈 ≠ ∅
42, 3nfan 1902 . . . 4 𝑓(∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)
51, 4nfan 1902 . . 3 𝑓((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅))
6 suppssdm 8108 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ dom 𝑓
7 ssel2 3939 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑓𝑀) → 𝑓 ∈ (𝑅m0))
8 elmapfn 8803 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∈ (𝑅m0) → 𝑓 Fn ℕ0)
9 fndm 6605 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 Fn ℕ0 → dom 𝑓 = ℕ0)
10 eqimss 4000 . . . . . . . . . . . . . 14 (dom 𝑓 = ℕ0 → dom 𝑓 ⊆ ℕ0)
119, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 Fn ℕ0 → dom 𝑓 ⊆ ℕ0)
127, 8, 113syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑓𝑀) → dom 𝑓 ⊆ ℕ0)
13123ad2antl1 1185 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ 𝑓𝑀) → dom 𝑓 ⊆ ℕ0)
146, 13sstrid 3955 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ 𝑓𝑀) → (𝑓 supp 𝑍) ⊆ ℕ0)
1514sseld 3943 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ 𝑓𝑀) → (𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍) → 𝑥 ∈ ℕ0))
1615adantlr 713 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓𝑀) → (𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍) → 𝑥 ∈ ℕ0))
1716imp 407 . . . . . . 7 (((((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → 𝑥 ∈ ℕ0)
18 fsuppmapnn0fiub.u . . . . . . . . . 10 𝑈 = 𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍)
19 fsuppmapnn0fiub.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = sup(𝑈, ℝ, < )
2018, 19fsuppmapnn0fiublem 13895 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) → ((∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅) → 𝑆 ∈ ℕ0))
2120imp 407 . . . . . . . 8 (((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) → 𝑆 ∈ ℕ0)
2221ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → 𝑆 ∈ ℕ0)
237, 8, 93syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑓𝑀) → dom 𝑓 = ℕ0)
2423ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ⊆ (𝑅m0) → (𝑓𝑀 → dom 𝑓 = ℕ0))
25243ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) → (𝑓𝑀 → dom 𝑓 = ℕ0))
2625adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) → (𝑓𝑀 → dom 𝑓 = ℕ0))
2726imp 407 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓𝑀) → dom 𝑓 = ℕ0)
28 nn0ssre 12417 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ⊆ ℝ
2927, 28eqsstrdi 3998 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓𝑀) → dom 𝑓 ⊆ ℝ)
306, 29sstrid 3955 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓𝑀) → (𝑓 supp 𝑍) ⊆ ℝ)
3130ex 413 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) → (𝑓𝑀 → (𝑓 supp 𝑍) ⊆ ℝ))
325, 31ralrimi 3240 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) → ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ ℝ)
3332ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ ℝ)
34 iunss 5005 . . . . . . . . . 10 ( 𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ ℝ ↔ ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ ℝ)
3533, 34sylibr 233 . . . . . . . . 9 (((((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → 𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ ℝ)
3618, 35eqsstrid 3992 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → 𝑈 ⊆ ℝ)
37 simp2 1137 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) → 𝑀 ∈ Fin)
38 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 finSupp 𝑍𝑓 finSupp 𝑍)
3938fsuppimpd 9312 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 finSupp 𝑍 → (𝑓 supp 𝑍) ∈ Fin)
4039ralimi 3086 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 → ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ∈ Fin)
4140adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅) → ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ∈ Fin)
4237, 41anim12i 613 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) → (𝑀 ∈ Fin ∧ ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ∈ Fin))
4342ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → (𝑀 ∈ Fin ∧ ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ∈ Fin))
44 iunfi 9284 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ Fin ∧ ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ∈ Fin) → 𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ∈ Fin)
4543, 44syl 17 . . . . . . . . 9 (((((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → 𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ∈ Fin)
4618, 45eqeltrid 2842 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → 𝑈 ∈ Fin)
47 rspe 3232 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓𝑀𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → ∃𝑓𝑀 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍))
48 eliun 4958 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ↔ ∃𝑓𝑀 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍))
4947, 48sylibr 233 . . . . . . . . . 10 ((𝑓𝑀𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → 𝑥 𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍))
5049, 18eleqtrrdi 2849 . . . . . . . . 9 ((𝑓𝑀𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → 𝑥𝑈)
5150adantll 712 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → 𝑥𝑈)
5219a1i 11 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → 𝑆 = sup(𝑈, ℝ, < ))
5336, 46, 51, 52supfirege 12142 . . . . . . 7 (((((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → 𝑥𝑆)
54 elfz2nn0 13532 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (0...𝑆) ↔ (𝑥 ∈ ℕ0𝑆 ∈ ℕ0𝑥𝑆))
5517, 22, 53, 54syl3anbrc 1343 . . . . . 6 (((((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → 𝑥 ∈ (0...𝑆))
5655ex 413 . . . . 5 ((((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓𝑀) → (𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍) → 𝑥 ∈ (0...𝑆)))
5756ssrdv 3950 . . . 4 ((((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓𝑀) → (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑆))
5857ex 413 . . 3 (((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) → (𝑓𝑀 → (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑆)))
595, 58ralrimi 3240 . 2 (((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) → ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑆))
6059ex 413 1 ((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) → ((∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅) → ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3073  wss 3910  c0 4282   ciun 4954   class class class wbr 5105  dom cdm 5633   Fn wfn 6491  (class class class)co 7357   supp csupp 8092  m cmap 8765  Fincfn 8883   finSupp cfsupp 9305  supcsup 9376  cr 11050  0cc0 11051   < clt 11189  cle 11190  0cn0 12413  ...cfz 13424
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-sup 9378  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425
This theorem is referenced by:  fsuppmapnn0fiubex  13897
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