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Theorem fsuppmapnn0fiub 13992
Description: If all functions of a finite set of functions over the nonnegative integers are finitely supported, then the support of all these functions is contained in a finite set of sequential integers starting at 0 and ending with the supremum of the union of the support of these functions. (Contributed by AV, 2-Oct-2019.) (Proof shortened by JJ, 2-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
fsuppmapnn0fiub.u 𝑈 = 𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍)
fsuppmapnn0fiub.s 𝑆 = sup(𝑈, ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
fsuppmapnn0fiub ((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) → ((∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅) → ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑆)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑀   𝑅,𝑓   𝑈,𝑓   𝑓,𝑉   𝑓,𝑍
Allowed substitution hint:   𝑆(𝑓)

Proof of Theorem fsuppmapnn0fiub
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1909 . . . 4 𝑓(𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉)
2 nfra1 3271 . . . . 5 𝑓𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍
3 nfv 1909 . . . . 5 𝑓 𝑈 ≠ ∅
42, 3nfan 1894 . . . 4 𝑓(∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)
51, 4nfan 1894 . . 3 𝑓((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅))
6 suppssdm 8182 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ dom 𝑓
7 ssel2 3971 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑓𝑀) → 𝑓 ∈ (𝑅m0))
8 elmapfn 8884 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∈ (𝑅m0) → 𝑓 Fn ℕ0)
9 fndm 6658 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 Fn ℕ0 → dom 𝑓 = ℕ0)
10 eqimss 4035 . . . . . . . . . . . . 13 (dom 𝑓 = ℕ0 → dom 𝑓 ⊆ ℕ0)
117, 8, 9, 104syl 19 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑓𝑀) → dom 𝑓 ⊆ ℕ0)
12113ad2antl1 1182 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ 𝑓𝑀) → dom 𝑓 ⊆ ℕ0)
136, 12sstrid 3988 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ 𝑓𝑀) → (𝑓 supp 𝑍) ⊆ ℕ0)
1413sseld 3975 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ 𝑓𝑀) → (𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍) → 𝑥 ∈ ℕ0))
1514adantlr 713 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓𝑀) → (𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍) → 𝑥 ∈ ℕ0))
1615imp 405 . . . . . . 7 (((((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → 𝑥 ∈ ℕ0)
17 fsuppmapnn0fiub.u . . . . . . . . . 10 𝑈 = 𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍)
18 fsuppmapnn0fiub.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = sup(𝑈, ℝ, < )
1917, 18fsuppmapnn0fiublem 13991 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) → ((∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅) → 𝑆 ∈ ℕ0))
2019imp 405 . . . . . . . 8 (((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) → 𝑆 ∈ ℕ0)
2120ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → 𝑆 ∈ ℕ0)
227, 8, 93syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑓𝑀) → dom 𝑓 = ℕ0)
2322ex 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ⊆ (𝑅m0) → (𝑓𝑀 → dom 𝑓 = ℕ0))
24233ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) → (𝑓𝑀 → dom 𝑓 = ℕ0))
2524adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) → (𝑓𝑀 → dom 𝑓 = ℕ0))
2625imp 405 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓𝑀) → dom 𝑓 = ℕ0)
27 nn0ssre 12509 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ⊆ ℝ
2826, 27eqsstrdi 4031 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓𝑀) → dom 𝑓 ⊆ ℝ)
296, 28sstrid 3988 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓𝑀) → (𝑓 supp 𝑍) ⊆ ℝ)
3029ex 411 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) → (𝑓𝑀 → (𝑓 supp 𝑍) ⊆ ℝ))
315, 30ralrimi 3244 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) → ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ ℝ)
3231ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ ℝ)
33 iunss 5049 . . . . . . . . . 10 ( 𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ ℝ ↔ ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ ℝ)
3432, 33sylibr 233 . . . . . . . . 9 (((((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → 𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ ℝ)
3517, 34eqsstrid 4025 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → 𝑈 ⊆ ℝ)
36 simp2 1134 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) → 𝑀 ∈ Fin)
37 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 finSupp 𝑍𝑓 finSupp 𝑍)
3837fsuppimpd 9395 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 finSupp 𝑍 → (𝑓 supp 𝑍) ∈ Fin)
3938ralimi 3072 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 → ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ∈ Fin)
4039adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅) → ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ∈ Fin)
4136, 40anim12i 611 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) → (𝑀 ∈ Fin ∧ ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ∈ Fin))
4241ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → (𝑀 ∈ Fin ∧ ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ∈ Fin))
43 iunfi 9366 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ Fin ∧ ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ∈ Fin) → 𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ∈ Fin)
4442, 43syl 17 . . . . . . . . 9 (((((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → 𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ∈ Fin)
4517, 44eqeltrid 2829 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → 𝑈 ∈ Fin)
46 rspe 3236 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓𝑀𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → ∃𝑓𝑀 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍))
47 eliun 5001 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ↔ ∃𝑓𝑀 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍))
4846, 47sylibr 233 . . . . . . . . . 10 ((𝑓𝑀𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → 𝑥 𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍))
4948, 17eleqtrrdi 2836 . . . . . . . . 9 ((𝑓𝑀𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → 𝑥𝑈)
5049adantll 712 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → 𝑥𝑈)
5118a1i 11 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → 𝑆 = sup(𝑈, ℝ, < ))
5235, 45, 50, 51supfirege 12234 . . . . . . 7 (((((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → 𝑥𝑆)
53 elfz2nn0 13627 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (0...𝑆) ↔ (𝑥 ∈ ℕ0𝑆 ∈ ℕ0𝑥𝑆))
5416, 21, 52, 53syl3anbrc 1340 . . . . . 6 (((((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → 𝑥 ∈ (0...𝑆))
5554ex 411 . . . . 5 ((((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓𝑀) → (𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍) → 𝑥 ∈ (0...𝑆)))
5655ssrdv 3982 . . . 4 ((((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓𝑀) → (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑆))
5756ex 411 . . 3 (((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) → (𝑓𝑀 → (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑆)))
585, 57ralrimi 3244 . 2 (((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) → ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑆))
5958ex 411 1 ((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) → ((∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅) → ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929  wral 3050  wrex 3059  wss 3944  c0 4322   ciun 4997   class class class wbr 5149  dom cdm 5678   Fn wfn 6544  (class class class)co 7419   supp csupp 8165  m cmap 8845  Fincfn 8964   finSupp cfsupp 9387  supcsup 9465  cr 11139  0cc0 11140   < clt 11280  cle 11281  0cn0 12505  ...cfz 13519
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9388  df-sup 9467  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-fz 13520
This theorem is referenced by:  fsuppmapnn0fiubex  13993
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