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Theorem fsuppmapnn0fiub 13804
Description: If all functions of a finite set of functions over the nonnegative integers are finitely supported, then the support of all these functions is contained in a finite set of sequential integers starting at 0 and ending with the supremum of the union of the support of these functions. (Contributed by AV, 2-Oct-2019.) (Proof shortened by JJ, 2-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
fsuppmapnn0fiub.u 𝑈 = 𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍)
fsuppmapnn0fiub.s 𝑆 = sup(𝑈, ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
fsuppmapnn0fiub ((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) → ((∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅) → ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑆)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑀   𝑅,𝑓   𝑈,𝑓   𝑓,𝑉   𝑓,𝑍
Allowed substitution hint:   𝑆(𝑓)

Proof of Theorem fsuppmapnn0fiub
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1916 . . . 4 𝑓(𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉)
2 nfra1 3263 . . . . 5 𝑓𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍
3 nfv 1916 . . . . 5 𝑓 𝑈 ≠ ∅
42, 3nfan 1901 . . . 4 𝑓(∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)
51, 4nfan 1901 . . 3 𝑓((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅))
6 suppssdm 8055 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ dom 𝑓
7 ssel2 3926 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑓𝑀) → 𝑓 ∈ (𝑅m0))
8 elmapfn 8716 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∈ (𝑅m0) → 𝑓 Fn ℕ0)
9 fndm 6582 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 Fn ℕ0 → dom 𝑓 = ℕ0)
10 eqimss 3987 . . . . . . . . . . . . . 14 (dom 𝑓 = ℕ0 → dom 𝑓 ⊆ ℕ0)
119, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 Fn ℕ0 → dom 𝑓 ⊆ ℕ0)
127, 8, 113syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑓𝑀) → dom 𝑓 ⊆ ℕ0)
13123ad2antl1 1184 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ 𝑓𝑀) → dom 𝑓 ⊆ ℕ0)
146, 13sstrid 3942 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ 𝑓𝑀) → (𝑓 supp 𝑍) ⊆ ℕ0)
1514sseld 3930 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ 𝑓𝑀) → (𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍) → 𝑥 ∈ ℕ0))
1615adantlr 712 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓𝑀) → (𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍) → 𝑥 ∈ ℕ0))
1716imp 407 . . . . . . 7 (((((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → 𝑥 ∈ ℕ0)
18 fsuppmapnn0fiub.u . . . . . . . . . 10 𝑈 = 𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍)
19 fsuppmapnn0fiub.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = sup(𝑈, ℝ, < )
2018, 19fsuppmapnn0fiublem 13803 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) → ((∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅) → 𝑆 ∈ ℕ0))
2120imp 407 . . . . . . . 8 (((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) → 𝑆 ∈ ℕ0)
2221ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → 𝑆 ∈ ℕ0)
237, 8, 93syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑓𝑀) → dom 𝑓 = ℕ0)
2423ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ⊆ (𝑅m0) → (𝑓𝑀 → dom 𝑓 = ℕ0))
25243ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) → (𝑓𝑀 → dom 𝑓 = ℕ0))
2625adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) → (𝑓𝑀 → dom 𝑓 = ℕ0))
2726imp 407 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓𝑀) → dom 𝑓 = ℕ0)
28 nn0ssre 12330 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ⊆ ℝ
2927, 28eqsstrdi 3985 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓𝑀) → dom 𝑓 ⊆ ℝ)
306, 29sstrid 3942 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓𝑀) → (𝑓 supp 𝑍) ⊆ ℝ)
3130ex 413 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) → (𝑓𝑀 → (𝑓 supp 𝑍) ⊆ ℝ))
325, 31ralrimi 3236 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) → ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ ℝ)
3332ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ ℝ)
34 iunss 4989 . . . . . . . . . 10 ( 𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ ℝ ↔ ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ ℝ)
3533, 34sylibr 233 . . . . . . . . 9 (((((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → 𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ ℝ)
3618, 35eqsstrid 3979 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → 𝑈 ⊆ ℝ)
37 simp2 1136 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) → 𝑀 ∈ Fin)
38 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 finSupp 𝑍𝑓 finSupp 𝑍)
3938fsuppimpd 9225 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 finSupp 𝑍 → (𝑓 supp 𝑍) ∈ Fin)
4039ralimi 3082 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 → ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ∈ Fin)
4140adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅) → ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ∈ Fin)
4237, 41anim12i 613 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) → (𝑀 ∈ Fin ∧ ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ∈ Fin))
4342ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → (𝑀 ∈ Fin ∧ ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ∈ Fin))
44 iunfi 9197 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ Fin ∧ ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ∈ Fin) → 𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ∈ Fin)
4543, 44syl 17 . . . . . . . . 9 (((((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → 𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ∈ Fin)
4618, 45eqeltrid 2841 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → 𝑈 ∈ Fin)
47 rspe 3228 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓𝑀𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → ∃𝑓𝑀 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍))
48 eliun 4942 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ↔ ∃𝑓𝑀 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍))
4947, 48sylibr 233 . . . . . . . . . 10 ((𝑓𝑀𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → 𝑥 𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍))
5049, 18eleqtrrdi 2848 . . . . . . . . 9 ((𝑓𝑀𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → 𝑥𝑈)
5150adantll 711 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → 𝑥𝑈)
5219a1i 11 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → 𝑆 = sup(𝑈, ℝ, < ))
5336, 46, 51, 52supfirege 12055 . . . . . . 7 (((((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → 𝑥𝑆)
54 elfz2nn0 13440 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (0...𝑆) ↔ (𝑥 ∈ ℕ0𝑆 ∈ ℕ0𝑥𝑆))
5517, 22, 53, 54syl3anbrc 1342 . . . . . 6 (((((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → 𝑥 ∈ (0...𝑆))
5655ex 413 . . . . 5 ((((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓𝑀) → (𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍) → 𝑥 ∈ (0...𝑆)))
5756ssrdv 3937 . . . 4 ((((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓𝑀) → (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑆))
5857ex 413 . . 3 (((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) → (𝑓𝑀 → (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑆)))
595, 58ralrimi 3236 . 2 (((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) → ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑆))
6059ex 413 1 ((𝑀 ⊆ (𝑅m0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) → ((∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅) → ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  wss 3897  c0 4268   ciun 4938   class class class wbr 5089  dom cdm 5614   Fn wfn 6468  (class class class)co 7329   supp csupp 8039  m cmap 8678  Fincfn 8796   finSupp cfsupp 9218  supcsup 9289  cr 10963  0cc0 10964   < clt 11102  cle 11103  0cn0 12326  ...cfz 13332
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5247  ax-pow 5305  ax-pr 5369  ax-un 7642  ax-cnex 11020  ax-resscn 11021  ax-1cn 11022  ax-icn 11023  ax-addcl 11024  ax-addrcl 11025  ax-mulcl 11026  ax-mulrcl 11027  ax-mulcom 11028  ax-addass 11029  ax-mulass 11030  ax-distr 11031  ax-i2m1 11032  ax-1ne0 11033  ax-1rid 11034  ax-rnegex 11035  ax-rrecex 11036  ax-cnre 11037  ax-pre-lttri 11038  ax-pre-lttrn 11039  ax-pre-ltadd 11040  ax-pre-mulgt0 11041
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4269  df-if 4473  df-pw 4548  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4852  df-iun 4940  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5173  df-tr 5207  df-id 5512  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6232  df-ord 6299  df-on 6300  df-lim 6301  df-suc 6302  df-iota 6425  df-fun 6475  df-fn 6476  df-f 6477  df-f1 6478  df-fo 6479  df-f1o 6480  df-fv 6481  df-riota 7286  df-ov 7332  df-oprab 7333  df-mpo 7334  df-om 7773  df-1st 7891  df-2nd 7892  df-supp 8040  df-frecs 8159  df-wrecs 8190  df-recs 8264  df-rdg 8303  df-er 8561  df-map 8680  df-en 8797  df-dom 8798  df-sdom 8799  df-fin 8800  df-fsupp 9219  df-sup 9291  df-pnf 11104  df-mnf 11105  df-xr 11106  df-ltxr 11107  df-le 11108  df-sub 11300  df-neg 11301  df-nn 12067  df-n0 12327  df-z 12413  df-uz 12676  df-fz 13333
This theorem is referenced by:  fsuppmapnn0fiubex  13805
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