Theorem fsuppmapnn0fiub 13953

Description: If all functions of a finite set of functions over the nonnegative integers are finitely supported, then the support of all these functions is contained in a finite set of sequential integers starting at 0 and ending with the supremum of the union of the support of these functions. (Contributed by AV, 2-Oct-2019.) (Proof shortened by JJ, 2-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsuppmapnn0fiub.u	⊢ 𝑈 = ∪ 𝑓 ∈ 𝑀 (𝑓 supp 𝑍)
fsuppmapnn0fiub.s	⊢ 𝑆 = sup(𝑈, ℝ, < )

Assertion

Ref	Expression
fsuppmapnn0fiub	⊢ ((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅) → ∀𝑓 ∈ 𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑆)))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑀   𝑅,𝑓   𝑈,𝑓   𝑓,𝑉   𝑓,𝑍

Allowed substitution hint:   𝑆(𝑓)

Proof of Theorem fsuppmapnn0fiub

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1916	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑓(𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)
2		nfra1 3261	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑓∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍
3		nfv 1916	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑓 𝑈 ≠ ∅
4	2, 3	nfan 1901	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑓(∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)
5	1, 4	nfan 1901	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑓((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅))
6		suppssdm 8127	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 supp 𝑍) ⊆ dom 𝑓
7		ssel2 3916	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → 𝑓 ∈ (𝑅 ↑m ℕ0))
8		elmapfn 8812	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m ℕ0) → 𝑓 Fn ℕ0)
9		fndm 6601	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 Fn ℕ0 → dom 𝑓 = ℕ0)
10		eqimss 3980	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (dom 𝑓 = ℕ0 → dom 𝑓 ⊆ ℕ0)
11	7, 8, 9, 10	4syl 19	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → dom 𝑓 ⊆ ℕ0)
12	11	3ad2antl1 1187	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → dom 𝑓 ⊆ ℕ0)
13	6, 12	sstrid 3933	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → (𝑓 supp 𝑍) ⊆ ℕ0)
14	13	sseld 3920	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → (𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍) → 𝑥 ∈ ℕ0))
15	14	adantlr 716	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → (𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍) → 𝑥 ∈ ℕ0))
16	15	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → 𝑥 ∈ ℕ0)
17		fsuppmapnn0fiub.u	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑈 = ∪ 𝑓 ∈ 𝑀 (𝑓 supp 𝑍)
18		fsuppmapnn0fiub.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 = sup(𝑈, ℝ, < )
19	17, 18	fsuppmapnn0fiublem 13952	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅) → 𝑆 ∈ ℕ0))
20	19	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) → 𝑆 ∈ ℕ0)
21	20	ad2antrr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → 𝑆 ∈ ℕ0)
22	7, 8, 9	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → dom 𝑓 = ℕ0)
23	22	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) → (𝑓 ∈ 𝑀 → dom 𝑓 = ℕ0))
24	23	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑓 ∈ 𝑀 → dom 𝑓 = ℕ0))
25	24	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) → (𝑓 ∈ 𝑀 → dom 𝑓 = ℕ0))
26	25	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → dom 𝑓 = ℕ0)
27		nn0ssre 12441	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ
28	26, 27	eqsstrdi 3966	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → dom 𝑓 ⊆ ℝ)
29	6, 28	sstrid 3933	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → (𝑓 supp 𝑍) ⊆ ℝ)
30	29	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) → (𝑓 ∈ 𝑀 → (𝑓 supp 𝑍) ⊆ ℝ))
31	5, 30	ralrimi 3235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) → ∀𝑓 ∈ 𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ ℝ)
32	31	ad2antrr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → ∀𝑓 ∈ 𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ ℝ)
33		iunss 4987	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∪ 𝑓 ∈ 𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ ℝ ↔ ∀𝑓 ∈ 𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ ℝ)
34	32, 33	sylibr 234	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → ∪ 𝑓 ∈ 𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ ℝ)
35	17, 34	eqsstrid 3960	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → 𝑈 ⊆ ℝ)
36		simp2 1138	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → 𝑀 ∈ Fin)
37		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓 finSupp 𝑍 → 𝑓 finSupp 𝑍)
38	37	fsuppimpd 9282	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓 finSupp 𝑍 → (𝑓 supp 𝑍) ∈ Fin)
39	38	ralimi 3074	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 → ∀𝑓 ∈ 𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ∈ Fin)
40	39	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅) → ∀𝑓 ∈ 𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ∈ Fin)
41	36, 40	anim12i 614	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) → (𝑀 ∈ Fin ∧ ∀𝑓 ∈ 𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ∈ Fin))
42	41	ad2antrr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → (𝑀 ∈ Fin ∧ ∀𝑓 ∈ 𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ∈ Fin))
43		iunfi 9253	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ Fin ∧ ∀𝑓 ∈ 𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ∈ Fin) → ∪ 𝑓 ∈ 𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ∈ Fin)
44	42, 43	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → ∪ 𝑓 ∈ 𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ∈ Fin)
45	17, 44	eqeltrid 2840	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → 𝑈 ∈ Fin)
46		rspe 3227	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓 ∈ 𝑀 ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → ∃𝑓 ∈ 𝑀 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍))
47		eliun 4937	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑓 ∈ 𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ↔ ∃𝑓 ∈ 𝑀 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍))
48	46, 47	sylibr 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓 ∈ 𝑀 ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → 𝑥 ∈ ∪ 𝑓 ∈ 𝑀 (𝑓 supp 𝑍))
49	48, 17	eleqtrrdi 2847	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 ∈ 𝑀 ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → 𝑥 ∈ 𝑈)
50	49	adantll 715	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → 𝑥 ∈ 𝑈)
51	18	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → 𝑆 = sup(𝑈, ℝ, < ))
52	35, 45, 50, 51	supfirege 12143	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → 𝑥 ≤ 𝑆)
53		elfz2nn0 13572	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0...𝑆) ↔ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ≤ 𝑆))
54	16, 21, 52, 53	syl3anbrc 1345	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → 𝑥 ∈ (0...𝑆))
55	54	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → (𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍) → 𝑥 ∈ (0...𝑆)))
56	55	ssrdv 3927	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑆))
57	56	ex 412	. . 3 ⊢ (((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) → (𝑓 ∈ 𝑀 → (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑆)))
58	5, 57	ralrimi 3235	. 2 ⊢ (((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) → ∀𝑓 ∈ 𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑆))
59	58	ex 412	1 ⊢ ((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅) → ∀𝑓 ∈ 𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑆)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  ∃wrex 3061   ⊆ wss 3889  ∅c0 4273  ∪ ciun 4933   class class class wbr 5085  dom cdm 5631   Fn wfn 6493  (class class class)co 7367   supp csupp 8110   ↑_m cmap 8773  Fincfn 8893   finSupp cfsupp 9274  supcsup 9353  ℝcr 11037  0cc0 11038   < clt 11179   ≤ cle 11180  ℕ₀cn0 12437  ...cfz 13461

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-sup 9355  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462

This theorem is referenced by:  fsuppmapnn0fiubex  13954