Theorem fsuppmapnn0fiub 13926

Description: If all functions of a finite set of functions over the nonnegative integers are finitely supported, then the support of all these functions is contained in a finite set of sequential integers starting at 0 and ending with the supremum of the union of the support of these functions. (Contributed by AV, 2-Oct-2019.) (Proof shortened by JJ, 2-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsuppmapnn0fiub.u	⊢ 𝑈 = ∪ 𝑓 ∈ 𝑀 (𝑓 supp 𝑍)
fsuppmapnn0fiub.s	⊢ 𝑆 = sup(𝑈, ℝ, < )

Assertion

Ref	Expression
fsuppmapnn0fiub	⊢ ((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅) → ∀𝑓 ∈ 𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑆)))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑀   𝑅,𝑓   𝑈,𝑓   𝑓,𝑉   𝑓,𝑍

Allowed substitution hint:   𝑆(𝑓)

Proof of Theorem fsuppmapnn0fiub

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1916	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑓(𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)
2		nfra1 3262	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑓∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍
3		nfv 1916	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑓 𝑈 ≠ ∅
4	2, 3	nfan 1901	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑓(∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)
5	1, 4	nfan 1901	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑓((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅))
6		suppssdm 8129	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 supp 𝑍) ⊆ dom 𝑓
7		ssel2 3930	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → 𝑓 ∈ (𝑅 ↑m ℕ0))
8		elmapfn 8814	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m ℕ0) → 𝑓 Fn ℕ0)
9		fndm 6603	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 Fn ℕ0 → dom 𝑓 = ℕ0)
10		eqimss 3994	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (dom 𝑓 = ℕ0 → dom 𝑓 ⊆ ℕ0)
11	7, 8, 9, 10	4syl 19	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → dom 𝑓 ⊆ ℕ0)
12	11	3ad2antl1 1187	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → dom 𝑓 ⊆ ℕ0)
13	6, 12	sstrid 3947	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → (𝑓 supp 𝑍) ⊆ ℕ0)
14	13	sseld 3934	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → (𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍) → 𝑥 ∈ ℕ0))
15	14	adantlr 716	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → (𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍) → 𝑥 ∈ ℕ0))
16	15	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → 𝑥 ∈ ℕ0)
17		fsuppmapnn0fiub.u	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑈 = ∪ 𝑓 ∈ 𝑀 (𝑓 supp 𝑍)
18		fsuppmapnn0fiub.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 = sup(𝑈, ℝ, < )
19	17, 18	fsuppmapnn0fiublem 13925	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅) → 𝑆 ∈ ℕ0))
20	19	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) → 𝑆 ∈ ℕ0)
21	20	ad2antrr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → 𝑆 ∈ ℕ0)
22	7, 8, 9	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → dom 𝑓 = ℕ0)
23	22	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) → (𝑓 ∈ 𝑀 → dom 𝑓 = ℕ0))
24	23	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑓 ∈ 𝑀 → dom 𝑓 = ℕ0))
25	24	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) → (𝑓 ∈ 𝑀 → dom 𝑓 = ℕ0))
26	25	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → dom 𝑓 = ℕ0)
27		nn0ssre 12417	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ
28	26, 27	eqsstrdi 3980	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → dom 𝑓 ⊆ ℝ)
29	6, 28	sstrid 3947	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → (𝑓 supp 𝑍) ⊆ ℝ)
30	29	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) → (𝑓 ∈ 𝑀 → (𝑓 supp 𝑍) ⊆ ℝ))
31	5, 30	ralrimi 3236	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) → ∀𝑓 ∈ 𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ ℝ)
32	31	ad2antrr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → ∀𝑓 ∈ 𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ ℝ)
33		iunss 5002	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∪ 𝑓 ∈ 𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ ℝ ↔ ∀𝑓 ∈ 𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ ℝ)
34	32, 33	sylibr 234	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → ∪ 𝑓 ∈ 𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ ℝ)
35	17, 34	eqsstrid 3974	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → 𝑈 ⊆ ℝ)
36		simp2 1138	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → 𝑀 ∈ Fin)
37		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓 finSupp 𝑍 → 𝑓 finSupp 𝑍)
38	37	fsuppimpd 9284	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓 finSupp 𝑍 → (𝑓 supp 𝑍) ∈ Fin)
39	38	ralimi 3075	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 → ∀𝑓 ∈ 𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ∈ Fin)
40	39	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅) → ∀𝑓 ∈ 𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ∈ Fin)
41	36, 40	anim12i 614	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) → (𝑀 ∈ Fin ∧ ∀𝑓 ∈ 𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ∈ Fin))
42	41	ad2antrr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → (𝑀 ∈ Fin ∧ ∀𝑓 ∈ 𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ∈ Fin))
43		iunfi 9255	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ Fin ∧ ∀𝑓 ∈ 𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ∈ Fin) → ∪ 𝑓 ∈ 𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ∈ Fin)
44	42, 43	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → ∪ 𝑓 ∈ 𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ∈ Fin)
45	17, 44	eqeltrid 2841	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → 𝑈 ∈ Fin)
46		rspe 3228	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓 ∈ 𝑀 ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → ∃𝑓 ∈ 𝑀 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍))
47		eliun 4952	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑓 ∈ 𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ↔ ∃𝑓 ∈ 𝑀 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍))
48	46, 47	sylibr 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓 ∈ 𝑀 ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → 𝑥 ∈ ∪ 𝑓 ∈ 𝑀 (𝑓 supp 𝑍))
49	48, 17	eleqtrrdi 2848	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 ∈ 𝑀 ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → 𝑥 ∈ 𝑈)
50	49	adantll 715	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → 𝑥 ∈ 𝑈)
51	18	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → 𝑆 = sup(𝑈, ℝ, < ))
52	35, 45, 50, 51	supfirege 12141	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → 𝑥 ≤ 𝑆)
53		elfz2nn0 13546	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0...𝑆) ↔ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ≤ 𝑆))
54	16, 21, 52, 53	syl3anbrc 1345	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → 𝑥 ∈ (0...𝑆))
55	54	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → (𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍) → 𝑥 ∈ (0...𝑆)))
56	55	ssrdv 3941	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑀) → (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑆))
57	56	ex 412	. . 3 ⊢ (((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) → (𝑓 ∈ 𝑀 → (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑆)))
58	5, 57	ralrimi 3236	. 2 ⊢ (((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ (∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅)) → ∀𝑓 ∈ 𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑆))
59	58	ex 412	1 ⊢ ((𝑀 ⊆ (𝑅 ↑m ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((∀𝑓 ∈ 𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 ∧ 𝑈 ≠ ∅) → ∀𝑓 ∈ 𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑆)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3903  ∅c0 4287  ∪ ciun 4948   class class class wbr 5100  dom cdm 5632   Fn wfn 6495  (class class class)co 7368   supp csupp 8112   ↑_m cmap 8775  Fincfn 8895   finSupp cfsupp 9276  supcsup 9355  ℝcr 11037  0cc0 11038   < clt 11178   ≤ cle 11179  ℕ₀cn0 12413  ...cfz 13435

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-supp 8113  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-map 8777  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9277  df-sup 9357  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436

This theorem is referenced by:  fsuppmapnn0fiubex  13927