Theorem trlid0 40636

Description: The trace of the identity translation is zero. (Contributed by NM, 11-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
trlid0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
trlid0.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
trlid0.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
trlid0.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
trlid0	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑅‘( I ↾ 𝐵)) = 0 )

Proof of Theorem trlid0

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . 3 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
2		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
3		trlid0.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4	1, 2, 3	lhpexnle 40466	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)
5		simpl 482	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6		simpr 484	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊))
7		trlid0.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
8		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
9	7, 3, 8	idltrn 40610	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝐵) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
10	9	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → ( I ↾ 𝐵) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
11		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ( I ↾ 𝐵) = ( I ↾ 𝐵)
12	7, 1, 2, 3, 8	ltrnideq 40635	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( I ↾ 𝐵) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → (( I ↾ 𝐵) = ( I ↾ 𝐵) ↔ (( I ↾ 𝐵)‘𝑝) = 𝑝))
13	5, 10, 6, 12	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → (( I ↾ 𝐵) = ( I ↾ 𝐵) ↔ (( I ↾ 𝐵)‘𝑝) = 𝑝))
14	11, 13	mpbii 233	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → (( I ↾ 𝐵)‘𝑝) = 𝑝)
15		trlid0.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
16		trlid0.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
17	1, 15, 2, 3, 8, 16	trl0 40630	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊) ∧ (( I ↾ 𝐵) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (( I ↾ 𝐵)‘𝑝) = 𝑝)) → (𝑅‘( I ↾ 𝐵)) = 0 )
18	5, 6, 10, 14, 17	syl112anc 1377	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → (𝑅‘( I ↾ 𝐵)) = 0 )
19	4, 18	rexlimddv 3145	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑅‘( I ↾ 𝐵)) = 0 )

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086   I cid 5518   ↾ cres 5626  ‘cfv 6492  Basecbs 17170  lecple 17218  0.cp0 18378  Atomscatm 39723  HLchlt 39810  LHypclh 40444  LTrncltrn 40561  trLctrl 40618

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-map 8768  df-proset 18251  df-poset 18270  df-plt 18285  df-lub 18301  df-glb 18302  df-join 18303  df-meet 18304  df-p0 18380  df-p1 18381  df-lat 18389  df-clat 18456  df-oposet 39636  df-ol 39638  df-oml 39639  df-covers 39726  df-ats 39727  df-atl 39758  df-cvlat 39782  df-hlat 39811  df-lhyp 40448  df-laut 40449  df-ldil 40564  df-ltrn 40565  df-trl 40619

This theorem is referenced by:  tendoid  41233  tendo0tp  41249  cdlemkid2  41384  cdlemk39s-id  41400  dian0  41499  dihmeetlem4preN  41766