Theorem trlid0 40473

Description: The trace of the identity translation is zero. (Contributed by NM, 11-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
trlid0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
trlid0.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
trlid0.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
trlid0.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
trlid0	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑅‘( I ↾ 𝐵)) = 0 )

Proof of Theorem trlid0

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . 3 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
2		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
3		trlid0.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4	1, 2, 3	lhpexnle 40303	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)
5		simpl 482	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6		simpr 484	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊))
7		trlid0.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
8		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
9	7, 3, 8	idltrn 40447	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝐵) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
10	9	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → ( I ↾ 𝐵) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
11		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ( I ↾ 𝐵) = ( I ↾ 𝐵)
12	7, 1, 2, 3, 8	ltrnideq 40472	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( I ↾ 𝐵) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → (( I ↾ 𝐵) = ( I ↾ 𝐵) ↔ (( I ↾ 𝐵)‘𝑝) = 𝑝))
13	5, 10, 6, 12	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → (( I ↾ 𝐵) = ( I ↾ 𝐵) ↔ (( I ↾ 𝐵)‘𝑝) = 𝑝))
14	11, 13	mpbii 233	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → (( I ↾ 𝐵)‘𝑝) = 𝑝)
15		trlid0.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
16		trlid0.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
17	1, 15, 2, 3, 8, 16	trl0 40467	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊) ∧ (( I ↾ 𝐵) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (( I ↾ 𝐵)‘𝑝) = 𝑝)) → (𝑅‘( I ↾ 𝐵)) = 0 )
18	5, 6, 10, 14, 17	syl112anc 1377	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → (𝑅‘( I ↾ 𝐵)) = 0 )
19	4, 18	rexlimddv 3144	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑅‘( I ↾ 𝐵)) = 0 )

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5099   I cid 5519   ↾ cres 5627  ‘cfv 6493  Basecbs 17140  lecple 17188  0.cp0 18348  Atomscatm 39560  HLchlt 39647  LHypclh 40281  LTrncltrn 40398  trLctrl 40455

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-map 8769  df-proset 18221  df-poset 18240  df-plt 18255  df-lub 18271  df-glb 18272  df-join 18273  df-meet 18274  df-p0 18350  df-p1 18351  df-lat 18359  df-clat 18426  df-oposet 39473  df-ol 39475  df-oml 39476  df-covers 39563  df-ats 39564  df-atl 39595  df-cvlat 39619  df-hlat 39648  df-lhyp 40285  df-laut 40286  df-ldil 40401  df-ltrn 40402  df-trl 40456

This theorem is referenced by:  tendoid  41070  tendo0tp  41086  cdlemkid2  41221  cdlemk39s-id  41237  dian0  41336  dihmeetlem4preN  41603