Theorem trlid0 39649

Description: The trace of the identity translation is zero. (Contributed by NM, 11-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
trlid0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
trlid0.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
trlid0.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
trlid0.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
trlid0	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑅‘( I ↾ 𝐵)) = 0 )

Proof of Theorem trlid0

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2728	. . 3 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
2		eqid 2728	. . 3 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
3		trlid0.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4	1, 2, 3	lhpexnle 39479	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)
5		simpl 482	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6		simpr 484	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊))
7		trlid0.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
8		eqid 2728	. . . . 5 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
9	7, 3, 8	idltrn 39623	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝐵) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
10	9	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → ( I ↾ 𝐵) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
11		eqid 2728	. . . 4 ⊢ ( I ↾ 𝐵) = ( I ↾ 𝐵)
12	7, 1, 2, 3, 8	ltrnideq 39648	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( I ↾ 𝐵) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → (( I ↾ 𝐵) = ( I ↾ 𝐵) ↔ (( I ↾ 𝐵)‘𝑝) = 𝑝))
13	5, 10, 6, 12	syl3anc 1369	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → (( I ↾ 𝐵) = ( I ↾ 𝐵) ↔ (( I ↾ 𝐵)‘𝑝) = 𝑝))
14	11, 13	mpbii 232	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → (( I ↾ 𝐵)‘𝑝) = 𝑝)
15		trlid0.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
16		trlid0.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
17	1, 15, 2, 3, 8, 16	trl0 39643	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊) ∧ (( I ↾ 𝐵) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (( I ↾ 𝐵)‘𝑝) = 𝑝)) → (𝑅‘( I ↾ 𝐵)) = 0 )
18	5, 6, 10, 14, 17	syl112anc 1372	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → (𝑅‘( I ↾ 𝐵)) = 0 )
19	4, 18	rexlimddv 3158	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑅‘( I ↾ 𝐵)) = 0 )

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5148   I cid 5575   ↾ cres 5680  ‘cfv 6548  Basecbs 17180  lecple 17240  0.cp0 18415  Atomscatm 38735  HLchlt 38822  LHypclh 39457  LTrncltrn 39574  trLctrl 39631

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-map 8847  df-proset 18287  df-poset 18305  df-plt 18322  df-lub 18338  df-glb 18339  df-join 18340  df-meet 18341  df-p0 18417  df-p1 18418  df-lat 18424  df-clat 18491  df-oposet 38648  df-ol 38650  df-oml 38651  df-covers 38738  df-ats 38739  df-atl 38770  df-cvlat 38794  df-hlat 38823  df-lhyp 39461  df-laut 39462  df-ldil 39577  df-ltrn 39578  df-trl 39632

This theorem is referenced by:  tendoid  40246  tendo0tp  40262  cdlemkid2  40397  cdlemk39s-id  40413  dian0  40512  dihmeetlem4preN  40779