Theorem tendo0co2 40317

Description: The additive identity trace-preserving endormorphism preserves composition of translations. TODO: why isn't this a special case of tendospdi1 40549? (Contributed by NM, 11-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
tendo0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
tendo0.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendo0.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendo0.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
tendo0.o	⊢ 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
tendo0co2	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (𝑂‘(𝐹 ∘ 𝐺)) = ((𝑂‘𝐹) ∘ (𝑂‘𝐺)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑇,𝑓

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑓)   𝐹(𝑓)   𝐺(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑂(𝑓)   𝑊(𝑓)

Proof of Theorem tendo0co2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tendo0.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		tendo0.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3	1, 2	ltrnco 40248	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ 𝑇)
4		tendo0.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
5		tendo0.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
6	4, 5	tendo02 40316	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∘ 𝐺) ∈ 𝑇 → (𝑂‘(𝐹 ∘ 𝐺)) = ( I ↾ 𝐵))
7	3, 6	syl 17	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (𝑂‘(𝐹 ∘ 𝐺)) = ( I ↾ 𝐵))
8	4, 5	tendo02 40316	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑇 → (𝑂‘𝐹) = ( I ↾ 𝐵))
9	8	3ad2ant2 1131	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (𝑂‘𝐹) = ( I ↾ 𝐵))
10	4, 5	tendo02 40316	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑇 → (𝑂‘𝐺) = ( I ↾ 𝐵))
11	10	3ad2ant3 1132	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (𝑂‘𝐺) = ( I ↾ 𝐵))
12	9, 11	coeq12d 5861	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → ((𝑂‘𝐹) ∘ (𝑂‘𝐺)) = (( I ↾ 𝐵) ∘ ( I ↾ 𝐵)))
13		f1oi 6872	. . . 4 ⊢ ( I ↾ 𝐵):𝐵–1-1-onto→𝐵
14		f1of 6834	. . . 4 ⊢ (( I ↾ 𝐵):𝐵–1-1-onto→𝐵 → ( I ↾ 𝐵):𝐵⟶𝐵)
15		fcoi1 6766	. . . 4 ⊢ (( I ↾ 𝐵):𝐵⟶𝐵 → (( I ↾ 𝐵) ∘ ( I ↾ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐵))
16	13, 14, 15	mp2b 10	. . 3 ⊢ (( I ↾ 𝐵) ∘ ( I ↾ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐵)
17	12, 16	eqtr2di 2782	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → ( I ↾ 𝐵) = ((𝑂‘𝐹) ∘ (𝑂‘𝐺)))
18	7, 17	eqtrd 2765	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (𝑂‘(𝐹 ∘ 𝐺)) = ((𝑂‘𝐹) ∘ (𝑂‘𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ↦ cmpt 5226   I cid 5569   ↾ cres 5674   ∘ ccom 5676  ⟶wf 6539  –1-1-onto→wf1o 6542  ‘cfv 6543  Basecbs 17179  HLchlt 38878  LHypclh 39513  LTrncltrn 39630  TEndoctendo 40281

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-riotaBAD 38481

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-undef 8277  df-map 8845  df-proset 18286  df-poset 18304  df-plt 18321  df-lub 18337  df-glb 18338  df-join 18339  df-meet 18340  df-p0 18416  df-p1 18417  df-lat 18423  df-clat 18490  df-oposet 38704  df-ol 38706  df-oml 38707  df-covers 38794  df-ats 38795  df-atl 38826  df-cvlat 38850  df-hlat 38879  df-llines 39027  df-lplanes 39028  df-lvols 39029  df-lines 39030  df-psubsp 39032  df-pmap 39033  df-padd 39325  df-lhyp 39517  df-laut 39518  df-ldil 39633  df-ltrn 39634  df-trl 39688

This theorem is referenced by:  tendo0cl  40319