Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendo0co2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tendo0co2 40771
Description: The additive identity trace-preserving endormorphism preserves composition of translations. TODO: why isn't this a special case of tendospdi1 41003? (Contributed by NM, 11-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendo0.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
tendo0.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendo0.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendo0.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
tendo0.o 𝑂 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
Assertion
Ref Expression
tendo0co2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (𝑂‘(𝐹𝐺)) = ((𝑂𝐹) ∘ (𝑂𝐺)))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑇,𝑓
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑓)   𝐹(𝑓)   𝐺(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑂(𝑓)   𝑊(𝑓)

Proof of Theorem tendo0co2
StepHypRef Expression
1 tendo0.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 tendo0.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
31, 2ltrnco 40702 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (𝐹𝐺) ∈ 𝑇)
4 tendo0.o . . . 4 𝑂 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
5 tendo0.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
64, 5tendo02 40770 . . 3 ((𝐹𝐺) ∈ 𝑇 → (𝑂‘(𝐹𝐺)) = ( I ↾ 𝐵))
73, 6syl 17 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (𝑂‘(𝐹𝐺)) = ( I ↾ 𝐵))
84, 5tendo02 40770 . . . . 5 (𝐹𝑇 → (𝑂𝐹) = ( I ↾ 𝐵))
983ad2ant2 1133 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (𝑂𝐹) = ( I ↾ 𝐵))
104, 5tendo02 40770 . . . . 5 (𝐺𝑇 → (𝑂𝐺) = ( I ↾ 𝐵))
11103ad2ant3 1134 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (𝑂𝐺) = ( I ↾ 𝐵))
129, 11coeq12d 5878 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → ((𝑂𝐹) ∘ (𝑂𝐺)) = (( I ↾ 𝐵) ∘ ( I ↾ 𝐵)))
13 f1oi 6887 . . . 4 ( I ↾ 𝐵):𝐵1-1-onto𝐵
14 f1of 6849 . . . 4 (( I ↾ 𝐵):𝐵1-1-onto𝐵 → ( I ↾ 𝐵):𝐵𝐵)
15 fcoi1 6783 . . . 4 (( I ↾ 𝐵):𝐵𝐵 → (( I ↾ 𝐵) ∘ ( I ↾ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐵))
1613, 14, 15mp2b 10 . . 3 (( I ↾ 𝐵) ∘ ( I ↾ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐵)
1712, 16eqtr2di 2792 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → ( I ↾ 𝐵) = ((𝑂𝐹) ∘ (𝑂𝐺)))
187, 17eqtrd 2775 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (𝑂‘(𝐹𝐺)) = ((𝑂𝐹) ∘ (𝑂𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  cmpt 5231   I cid 5582  cres 5691  ccom 5693  wf 6559  1-1-ontowf1o 6562  cfv 6563  Basecbs 17245  HLchlt 39332  LHypclh 39967  LTrncltrn 40084  TEndoctendo 40735
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-riotaBAD 38935
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-undef 8297  df-map 8867  df-proset 18352  df-poset 18371  df-plt 18388  df-lub 18404  df-glb 18405  df-join 18406  df-meet 18407  df-p0 18483  df-p1 18484  df-lat 18490  df-clat 18557  df-oposet 39158  df-ol 39160  df-oml 39161  df-covers 39248  df-ats 39249  df-atl 39280  df-cvlat 39304  df-hlat 39333  df-llines 39481  df-lplanes 39482  df-lvols 39483  df-lines 39484  df-psubsp 39486  df-pmap 39487  df-padd 39779  df-lhyp 39971  df-laut 39972  df-ldil 40087  df-ltrn 40088  df-trl 40142
This theorem is referenced by:  tendo0cl  40773
  Copyright terms: Public domain W3C validator