Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendo0co2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tendo0co2 38043
Description: The additive identity trace-preserving endormorphism preserves composition of translations. TODO: why isn't this a special case of tendospdi1 38275? (Contributed by NM, 11-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendo0.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
tendo0.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendo0.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendo0.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
tendo0.o 𝑂 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
Assertion
Ref Expression
tendo0co2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (𝑂‘(𝐹𝐺)) = ((𝑂𝐹) ∘ (𝑂𝐺)))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑇,𝑓
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑓)   𝐹(𝑓)   𝐺(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑂(𝑓)   𝑊(𝑓)

Proof of Theorem tendo0co2
StepHypRef Expression
1 tendo0.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 tendo0.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
31, 2ltrnco 37974 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (𝐹𝐺) ∈ 𝑇)
4 tendo0.o . . . 4 𝑂 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
5 tendo0.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
64, 5tendo02 38042 . . 3 ((𝐹𝐺) ∈ 𝑇 → (𝑂‘(𝐹𝐺)) = ( I ↾ 𝐵))
73, 6syl 17 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (𝑂‘(𝐹𝐺)) = ( I ↾ 𝐵))
84, 5tendo02 38042 . . . . 5 (𝐹𝑇 → (𝑂𝐹) = ( I ↾ 𝐵))
983ad2ant2 1131 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (𝑂𝐹) = ( I ↾ 𝐵))
104, 5tendo02 38042 . . . . 5 (𝐺𝑇 → (𝑂𝐺) = ( I ↾ 𝐵))
11103ad2ant3 1132 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (𝑂𝐺) = ( I ↾ 𝐵))
129, 11coeq12d 5712 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → ((𝑂𝐹) ∘ (𝑂𝐺)) = (( I ↾ 𝐵) ∘ ( I ↾ 𝐵)))
13 f1oi 6634 . . . 4 ( I ↾ 𝐵):𝐵1-1-onto𝐵
14 f1of 6597 . . . 4 (( I ↾ 𝐵):𝐵1-1-onto𝐵 → ( I ↾ 𝐵):𝐵𝐵)
15 fcoi1 6533 . . . 4 (( I ↾ 𝐵):𝐵𝐵 → (( I ↾ 𝐵) ∘ ( I ↾ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐵))
1613, 14, 15mp2b 10 . . 3 (( I ↾ 𝐵) ∘ ( I ↾ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐵)
1712, 16syl6req 2874 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → ( I ↾ 𝐵) = ((𝑂𝐹) ∘ (𝑂𝐺)))
187, 17eqtrd 2857 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (𝑂‘(𝐹𝐺)) = ((𝑂𝐹) ∘ (𝑂𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2114  cmpt 5122   I cid 5436  cres 5534  ccom 5536  wf 6330  1-1-ontowf1o 6333  cfv 6334  Basecbs 16474  HLchlt 36605  LHypclh 37239  LTrncltrn 37356  TEndoctendo 38007
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-riotaBAD 36208
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-iin 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5437  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-undef 7926  df-map 8395  df-proset 17529  df-poset 17547  df-plt 17559  df-lub 17575  df-glb 17576  df-join 17577  df-meet 17578  df-p0 17640  df-p1 17641  df-lat 17647  df-clat 17709  df-oposet 36431  df-ol 36433  df-oml 36434  df-covers 36521  df-ats 36522  df-atl 36553  df-cvlat 36577  df-hlat 36606  df-llines 36753  df-lplanes 36754  df-lvols 36755  df-lines 36756  df-psubsp 36758  df-pmap 36759  df-padd 37051  df-lhyp 37243  df-laut 37244  df-ldil 37359  df-ltrn 37360  df-trl 37414
This theorem is referenced by:  tendo0cl  38045
  Copyright terms: Public domain W3C validator