Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendo0co2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tendo0co2 39254
Description: The additive identity trace-preserving endormorphism preserves composition of translations. TODO: why isn't this a special case of tendospdi1 39486? (Contributed by NM, 11-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendo0.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
tendo0.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
tendo0.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
tendo0.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
tendo0.o 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
Assertion
Ref Expression
tendo0co2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ (π‘‚β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)) = ((π‘‚β€˜πΉ) ∘ (π‘‚β€˜πΊ)))
Distinct variable groups:   𝐡,𝑓   𝑇,𝑓
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑓)   𝐹(𝑓)   𝐺(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑂(𝑓)   π‘Š(𝑓)

Proof of Theorem tendo0co2
StepHypRef Expression
1 tendo0.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 tendo0.t . . . 4 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
31, 2ltrnco 39185 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ 𝑇)
4 tendo0.o . . . 4 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
5 tendo0.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
64, 5tendo02 39253 . . 3 ((𝐹 ∘ 𝐺) ∈ 𝑇 β†’ (π‘‚β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)) = ( I β†Ύ 𝐡))
73, 6syl 17 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ (π‘‚β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)) = ( I β†Ύ 𝐡))
84, 5tendo02 39253 . . . . 5 (𝐹 ∈ 𝑇 β†’ (π‘‚β€˜πΉ) = ( I β†Ύ 𝐡))
983ad2ant2 1135 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ (π‘‚β€˜πΉ) = ( I β†Ύ 𝐡))
104, 5tendo02 39253 . . . . 5 (𝐺 ∈ 𝑇 β†’ (π‘‚β€˜πΊ) = ( I β†Ύ 𝐡))
11103ad2ant3 1136 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ (π‘‚β€˜πΊ) = ( I β†Ύ 𝐡))
129, 11coeq12d 5821 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘‚β€˜πΉ) ∘ (π‘‚β€˜πΊ)) = (( I β†Ύ 𝐡) ∘ ( I β†Ύ 𝐡)))
13 f1oi 6823 . . . 4 ( I β†Ύ 𝐡):𝐡–1-1-onto→𝐡
14 f1of 6785 . . . 4 (( I β†Ύ 𝐡):𝐡–1-1-onto→𝐡 β†’ ( I β†Ύ 𝐡):𝐡⟢𝐡)
15 fcoi1 6717 . . . 4 (( I β†Ύ 𝐡):𝐡⟢𝐡 β†’ (( I β†Ύ 𝐡) ∘ ( I β†Ύ 𝐡)) = ( I β†Ύ 𝐡))
1613, 14, 15mp2b 10 . . 3 (( I β†Ύ 𝐡) ∘ ( I β†Ύ 𝐡)) = ( I β†Ύ 𝐡)
1712, 16eqtr2di 2794 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ ( I β†Ύ 𝐡) = ((π‘‚β€˜πΉ) ∘ (π‘‚β€˜πΊ)))
187, 17eqtrd 2777 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ (π‘‚β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)) = ((π‘‚β€˜πΉ) ∘ (π‘‚β€˜πΊ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ↦ cmpt 5189   I cid 5531   β†Ύ cres 5636   ∘ ccom 5638  βŸΆwf 6493  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6496  β€˜cfv 6497  Basecbs 17084  HLchlt 37815  LHypclh 38450  LTrncltrn 38567  TEndoctendo 39218
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-riotaBAD 37418
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-undef 8205  df-map 8768  df-proset 18185  df-poset 18203  df-plt 18220  df-lub 18236  df-glb 18237  df-join 18238  df-meet 18239  df-p0 18315  df-p1 18316  df-lat 18322  df-clat 18389  df-oposet 37641  df-ol 37643  df-oml 37644  df-covers 37731  df-ats 37732  df-atl 37763  df-cvlat 37787  df-hlat 37816  df-llines 37964  df-lplanes 37965  df-lvols 37966  df-lines 37967  df-psubsp 37969  df-pmap 37970  df-padd 38262  df-lhyp 38454  df-laut 38455  df-ldil 38570  df-ltrn 38571  df-trl 38625
This theorem is referenced by:  tendo0cl  39256
  Copyright terms: Public domain W3C validator