Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendo0co2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tendo0co2 40388
Description: The additive identity trace-preserving endormorphism preserves composition of translations. TODO: why isn't this a special case of tendospdi1 40620? (Contributed by NM, 11-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendo0.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
tendo0.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendo0.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendo0.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
tendo0.o 𝑂 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
Assertion
Ref Expression
tendo0co2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (𝑂‘(𝐹𝐺)) = ((𝑂𝐹) ∘ (𝑂𝐺)))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑇,𝑓
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑓)   𝐹(𝑓)   𝐺(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑂(𝑓)   𝑊(𝑓)

Proof of Theorem tendo0co2
StepHypRef Expression
1 tendo0.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 tendo0.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
31, 2ltrnco 40319 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (𝐹𝐺) ∈ 𝑇)
4 tendo0.o . . . 4 𝑂 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
5 tendo0.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
64, 5tendo02 40387 . . 3 ((𝐹𝐺) ∈ 𝑇 → (𝑂‘(𝐹𝐺)) = ( I ↾ 𝐵))
73, 6syl 17 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (𝑂‘(𝐹𝐺)) = ( I ↾ 𝐵))
84, 5tendo02 40387 . . . . 5 (𝐹𝑇 → (𝑂𝐹) = ( I ↾ 𝐵))
983ad2ant2 1131 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (𝑂𝐹) = ( I ↾ 𝐵))
104, 5tendo02 40387 . . . . 5 (𝐺𝑇 → (𝑂𝐺) = ( I ↾ 𝐵))
11103ad2ant3 1132 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (𝑂𝐺) = ( I ↾ 𝐵))
129, 11coeq12d 5867 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → ((𝑂𝐹) ∘ (𝑂𝐺)) = (( I ↾ 𝐵) ∘ ( I ↾ 𝐵)))
13 f1oi 6876 . . . 4 ( I ↾ 𝐵):𝐵1-1-onto𝐵
14 f1of 6838 . . . 4 (( I ↾ 𝐵):𝐵1-1-onto𝐵 → ( I ↾ 𝐵):𝐵𝐵)
15 fcoi1 6771 . . . 4 (( I ↾ 𝐵):𝐵𝐵 → (( I ↾ 𝐵) ∘ ( I ↾ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐵))
1613, 14, 15mp2b 10 . . 3 (( I ↾ 𝐵) ∘ ( I ↾ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐵)
1712, 16eqtr2di 2782 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → ( I ↾ 𝐵) = ((𝑂𝐹) ∘ (𝑂𝐺)))
187, 17eqtrd 2765 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (𝑂‘(𝐹𝐺)) = ((𝑂𝐹) ∘ (𝑂𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  cmpt 5232   I cid 5575  cres 5680  ccom 5682  wf 6545  1-1-ontowf1o 6548  cfv 6549  Basecbs 17183  HLchlt 38949  LHypclh 39584  LTrncltrn 39701  TEndoctendo 40352
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-riotaBAD 38552
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-undef 8279  df-map 8847  df-proset 18290  df-poset 18308  df-plt 18325  df-lub 18341  df-glb 18342  df-join 18343  df-meet 18344  df-p0 18420  df-p1 18421  df-lat 18427  df-clat 18494  df-oposet 38775  df-ol 38777  df-oml 38778  df-covers 38865  df-ats 38866  df-atl 38897  df-cvlat 38921  df-hlat 38950  df-llines 39098  df-lplanes 39099  df-lvols 39100  df-lines 39101  df-psubsp 39103  df-pmap 39104  df-padd 39396  df-lhyp 39588  df-laut 39589  df-ldil 39704  df-ltrn 39705  df-trl 39759
This theorem is referenced by:  tendo0cl  40390
  Copyright terms: Public domain W3C validator