Theorem tendo0co2 41590

Description: The additive identity trace-preserving endormorphism preserves composition of translations. TODO: why isn't this a special case of tendospdi1 41822? (Contributed by NM, 11-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
tendo0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
tendo0.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendo0.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendo0.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
tendo0.o	⊢ 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
tendo0co2	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (𝑂‘(𝐹 ∘ 𝐺)) = ((𝑂‘𝐹) ∘ (𝑂‘𝐺)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑇,𝑓

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑓)   𝐹(𝑓)   𝐺(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑂(𝑓)   𝑊(𝑓)

Proof of Theorem tendo0co2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tendo0.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		tendo0.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3	1, 2	ltrnco 41521	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ 𝑇)
4		tendo0.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
5		tendo0.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
6	4, 5	tendo02 41589	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∘ 𝐺) ∈ 𝑇 → (𝑂‘(𝐹 ∘ 𝐺)) = ( I ↾ 𝐵))
7	3, 6	syl 18	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (𝑂‘(𝐹 ∘ 𝐺)) = ( I ↾ 𝐵))
8	4, 5	tendo02 41589	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑇 → (𝑂‘𝐹) = ( I ↾ 𝐵))
9	8	3ad2ant2 1152	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (𝑂‘𝐹) = ( I ↾ 𝐵))
10	4, 5	tendo02 41589	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑇 → (𝑂‘𝐺) = ( I ↾ 𝐵))
11	10	3ad2ant3 1153	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (𝑂‘𝐺) = ( I ↾ 𝐵))
12	9, 11	coeq12d 5850	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → ((𝑂‘𝐹) ∘ (𝑂‘𝐺)) = (( I ↾ 𝐵) ∘ ( I ↾ 𝐵)))
13		f1oi 6859	. . . 4 ⊢ ( I ↾ 𝐵):𝐵–1-1-onto→𝐵
14		f1of 6820	. . . 4 ⊢ (( I ↾ 𝐵):𝐵–1-1-onto→𝐵 → ( I ↾ 𝐵):𝐵⟶𝐵)
15		fcoi1 6752	. . . 4 ⊢ (( I ↾ 𝐵):𝐵⟶𝐵 → (( I ↾ 𝐵) ∘ ( I ↾ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐵))
16	13, 14, 15	mp2b 10	. . 3 ⊢ (( I ↾ 𝐵) ∘ ( I ↾ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐵)
17	12, 16	eqtr2di 2815	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → ( I ↾ 𝐵) = ((𝑂‘𝐹) ∘ (𝑂‘𝐺)))
18	7, 17	eqtrd 2798	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (𝑂‘(𝐹 ∘ 𝐺)) = ((𝑂‘𝐹) ∘ (𝑂‘𝐺)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ↦ cmpt 5192   I cid 5555   ↾ cres 5663   ∘ ccom 5665  ⟶wf 6532  –1-1-onto→wf1o 6535  ‘cfv 6536  Basecbs 17273  HLchlt 40152  LHypclh 40786  LTrncltrn 40903  TEndoctendo 41554

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-riotaBAD 39755

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-undef 8265  df-map 8822  df-proset 18354  df-poset 18373  df-plt 18388  df-lub 18404  df-glb 18405  df-join 18406  df-meet 18407  df-p0 18483  df-p1 18484  df-lat 18492  df-clat 18559  df-oposet 39978  df-ol 39980  df-oml 39981  df-covers 40068  df-ats 40069  df-atl 40100  df-cvlat 40124  df-hlat 40153  df-llines 40300  df-lplanes 40301  df-lvols 40302  df-lines 40303  df-psubsp 40305  df-pmap 40306  df-padd 40598  df-lhyp 40790  df-laut 40791  df-ldil 40906  df-ltrn 40907  df-trl 40961

This theorem is used by:  tendo0cl  41592