MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgcgrsub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgcgrsub 26301
Description: Removing identical parts from the end of a line segment preserves congruence. Theorem 4.3 of [Schwabhauser] p. 35. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tgbtwncgr.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
tgbtwncgr.m = (dist‘𝐺)
tgbtwncgr.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tgbtwncgr.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
tgbtwncgr.a (𝜑𝐴𝑃)
tgbtwncgr.b (𝜑𝐵𝑃)
tgbtwncgr.c (𝜑𝐶𝑃)
tgbtwncgr.d (𝜑𝐷𝑃)
tgcgrsub.e (𝜑𝐸𝑃)
tgcgrsub.f (𝜑𝐹𝑃)
tgcgrsub.1 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
tgcgrsub.2 (𝜑𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹))
tgcgrsub.3 (𝜑 → (𝐴 𝐶) = (𝐷 𝐹))
tgcgrsub.4 (𝜑 → (𝐵 𝐶) = (𝐸 𝐹))
Assertion
Ref Expression
tgcgrsub (𝜑 → (𝐴 𝐵) = (𝐷 𝐸))

Proof of Theorem tgcgrsub
StepHypRef Expression
1 tgbtwncgr.p . 2 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 tgbtwncgr.m . 2 = (dist‘𝐺)
3 tgbtwncgr.i . 2 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 tgbtwncgr.g . 2 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
5 tgbtwncgr.b . 2 (𝜑𝐵𝑃)
6 tgbtwncgr.a . 2 (𝜑𝐴𝑃)
7 tgcgrsub.e . 2 (𝜑𝐸𝑃)
8 tgbtwncgr.d . 2 (𝜑𝐷𝑃)
9 tgbtwncgr.c . . 3 (𝜑𝐶𝑃)
10 tgcgrsub.f . . 3 (𝜑𝐹𝑃)
11 tgcgrsub.1 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
12 tgcgrsub.2 . . 3 (𝜑𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹))
13 tgcgrsub.3 . . 3 (𝜑 → (𝐴 𝐶) = (𝐷 𝐹))
14 tgcgrsub.4 . . 3 (𝜑 → (𝐵 𝐶) = (𝐸 𝐹))
151, 2, 3, 4, 6, 8tgcgrtriv 26276 . . 3 (𝜑 → (𝐴 𝐴) = (𝐷 𝐷))
161, 2, 3, 4, 6, 9, 8, 10, 13tgcgrcomlr 26272 . . 3 (𝜑 → (𝐶 𝐴) = (𝐹 𝐷))
171, 2, 3, 4, 6, 5, 9, 6, 8, 7, 10, 8, 11, 12, 13, 14, 15, 16tgifscgr 26300 . 2 (𝜑 → (𝐵 𝐴) = (𝐸 𝐷))
181, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 17tgcgrcomlr 26272 1 (𝜑 → (𝐴 𝐵) = (𝐷 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2115  cfv 6344  (class class class)co 7146  Basecbs 16481  distcds 16572  TarskiGcstrkg 26222  Itvcitv 26228
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4826  df-int 4864  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-riota 7104  df-ov 7149  df-oprab 7150  df-mpo 7151  df-om 7572  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-dju 9323  df-card 9361  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11695  df-n0 11893  df-xnn0 11963  df-z 11977  df-uz 12239  df-fz 12893  df-hash 13694  df-trkgc 26240  df-trkgb 26241  df-trkgcb 26242  df-trkg 26245
This theorem is referenced by:  legtri3  26382  legbtwn  26386  tgcgrsub2  26387  colmid  26480
  Copyright terms: Public domain W3C validator