Theorem tgcgrsub 28442

Description: Removing identical parts from the end of a line segment preserves congruence. Theorem 4.3 of [Schwabhauser] p. 35. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgbtwncgr.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tgbtwncgr.m	⊢ − = (dist‘𝐺)
tgbtwncgr.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tgbtwncgr.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tgbtwncgr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
tgbtwncgr.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
tgbtwncgr.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
tgbtwncgr.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
tgcgrsub.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
tgcgrsub.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
tgcgrsub.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
tgcgrsub.2	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹))
tgcgrsub.3	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐹))
tgcgrsub.4	⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹))

Assertion

Ref	Expression
tgcgrsub	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝐸))

Proof of Theorem tgcgrsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgbtwncgr.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		tgbtwncgr.m	. 2 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		tgbtwncgr.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		tgbtwncgr.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5		tgbtwncgr.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
6		tgbtwncgr.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
7		tgcgrsub.e	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
8		tgbtwncgr.d	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
9		tgbtwncgr.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
10		tgcgrsub.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
11		tgcgrsub.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
12		tgcgrsub.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹))
13		tgcgrsub.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐹))
14		tgcgrsub.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹))
15	1, 2, 3, 4, 6, 8	tgcgrtriv 28417	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐴) = (𝐷 − 𝐷))
16	1, 2, 3, 4, 6, 9, 8, 10, 13	tgcgrcomlr 28413	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐴) = (𝐹 − 𝐷))
17	1, 2, 3, 4, 6, 5, 9, 6, 8, 7, 10, 8, 11, 12, 13, 14, 15, 16	tgifscgr 28441	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) = (𝐸 − 𝐷))
18	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 17	tgcgrcomlr 28413	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389  Basecbs 17185  distcds 17235  TarskiGcstrkg 28360  Itvcitv 28366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4913  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-1o 8436  df-oadd 8440  df-er 8673  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-dju 9860  df-card 9898  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12188  df-2 12250  df-n0 12449  df-xnn0 12522  df-z 12536  df-uz 12800  df-fz 13475  df-hash 14302  df-trkgc 28381  df-trkgb 28382  df-trkgcb 28383  df-trkg 28386

This theorem is referenced by:  legtri3  28523  legbtwn  28527  tgcgrsub2  28528  colmid  28621