Theorem tgcgrsub 28978

Description: Removing identical parts from the end of a line segment preserves congruence. Theorem 4.3 of [Schwabhauser] p. 35. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgbtwncgr.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tgbtwncgr.m	⊢ − = (dist‘𝐺)
tgbtwncgr.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tgbtwncgr.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tgbtwncgr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
tgbtwncgr.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
tgbtwncgr.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
tgbtwncgr.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
tgcgrsub.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
tgcgrsub.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
tgcgrsub.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
tgcgrsub.2	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹))
tgcgrsub.3	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐹))
tgcgrsub.4	⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹))

Assertion

Ref	Expression
tgcgrsub	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝐸))

Proof of Theorem tgcgrsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgbtwncgr.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		tgbtwncgr.m	. 2 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		tgbtwncgr.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		tgbtwncgr.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5		tgbtwncgr.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
6		tgbtwncgr.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
7		tgcgrsub.e	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
8		tgbtwncgr.d	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
9		tgbtwncgr.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
10		tgcgrsub.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
11		tgcgrsub.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
12		tgcgrsub.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹))
13		tgcgrsub.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐹))
14		tgcgrsub.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹))
15	1, 2, 3, 4, 6, 8	tgcgrtriv 28952	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐴) = (𝐷 − 𝐷))
16	1, 2, 3, 4, 6, 9, 8, 10, 13	tgcgrcomlr 28948	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐴) = (𝐹 − 𝐷))
17	1, 2, 3, 4, 6, 5, 9, 6, 8, 7, 10, 8, 11, 12, 13, 14, 15, 16	tgifscgr 28977	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) = (𝐸 − 𝐷))
18	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 17	tgcgrcomlr 28948	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝐸))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  Basecbs 17393  distcds 17443  TarskiGcstrkg 28895  Itvcitv 28901

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-oadd 8484  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-dju 9986  df-card 10024  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-2 12409  df-n0 12611  df-xnn0 12684  df-z 12698  df-uz 12970  df-fz 13644  df-hash 14479  df-trkgc 28916  df-trkgb 28917  df-trkgcb 28918  df-trkg 28921

This theorem is used by:  legtri3  29059  legbtwn  29063  tgcgrsub2  29064  colmid  29166