Theorem tgcgrsub 25828

Description: Removing identical parts from the end of a line segment preserves congruence. Theorem 4.3 of [Schwabhauser] p. 35. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgbtwncgr.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tgbtwncgr.m	⊢ − = (dist‘𝐺)
tgbtwncgr.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tgbtwncgr.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tgbtwncgr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
tgbtwncgr.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
tgbtwncgr.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
tgbtwncgr.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
tgcgrsub.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
tgcgrsub.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
tgcgrsub.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
tgcgrsub.2	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹))
tgcgrsub.3	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐹))
tgcgrsub.4	⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹))

Assertion

Ref	Expression
tgcgrsub	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝐸))

Proof of Theorem tgcgrsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgbtwncgr.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		tgbtwncgr.m	. 2 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		tgbtwncgr.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		tgbtwncgr.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5		tgbtwncgr.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
6		tgbtwncgr.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
7		tgcgrsub.e	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
8		tgbtwncgr.d	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
9		tgbtwncgr.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
10		tgcgrsub.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
11		tgcgrsub.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
12		tgcgrsub.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹))
13		tgcgrsub.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐹))
14		tgcgrsub.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹))
15	1, 2, 3, 4, 6, 8	tgcgrtriv 25803	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐴) = (𝐷 − 𝐷))
16	1, 2, 3, 4, 6, 9, 8, 10, 13	tgcgrcomlr 25799	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐴) = (𝐹 − 𝐷))
17	1, 2, 3, 4, 6, 5, 9, 6, 8, 7, 10, 8, 11, 12, 13, 14, 15, 16	tgifscgr 25827	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) = (𝐸 − 𝐷))
18	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 17	tgcgrcomlr 25799	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1656   ∈ wcel 2164  ‘cfv 6127  (class class class)co 6910  Basecbs 16229  distcds 16321  TarskiGcstrkg 25749  Itvcitv 25755

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-oadd 7835  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-card 9085  df-cda 9312  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-nn 11358  df-2 11421  df-n0 11626  df-xnn0 11698  df-z 11712  df-uz 11976  df-fz 12627  df-hash 13418  df-trkgc 25767  df-trkgb 25768  df-trkgcb 25769  df-trkg 25772

This theorem is referenced by:  legtri3  25909  legbtwn  25913  tgcgrsub2  25914  colmid  26007