| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | simpllr 776 |
. . . . . . . 8
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ (𝐷(dist‘𝐺)𝑒) = (𝐷(dist‘𝐺)𝐶))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑓) ∧ (𝐶(dist‘𝐺)𝑓) = (𝐶(dist‘𝐺)𝐷))) → (𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ (𝐷(dist‘𝐺)𝑒) = (𝐷(dist‘𝐺)𝐶))) |
| 2 | 1 | simpld 494 |
. . . . . . 7
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ (𝐷(dist‘𝐺)𝑒) = (𝐷(dist‘𝐺)𝐶))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑓) ∧ (𝐶(dist‘𝐺)𝑓) = (𝐶(dist‘𝐺)𝐷))) → 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝑒)) |
| 3 | 2 | adantr 480 |
. . . . . 6
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ (𝐷(dist‘𝐺)𝑒) = (𝐷(dist‘𝐺)𝐶))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑓) ∧ (𝐶(dist‘𝐺)𝑓) = (𝐶(dist‘𝐺)𝐷))) ∧ 𝐶 = 𝑒) → 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝑒)) |
| 4 | | simpr 484 |
. . . . . . 7
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ (𝐷(dist‘𝐺)𝑒) = (𝐷(dist‘𝐺)𝐶))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑓) ∧ (𝐶(dist‘𝐺)𝑓) = (𝐶(dist‘𝐺)𝐷))) ∧ 𝐶 = 𝑒) → 𝐶 = 𝑒) |
| 5 | 4 | oveq2d 7447 |
. . . . . 6
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ (𝐷(dist‘𝐺)𝑒) = (𝐷(dist‘𝐺)𝐶))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑓) ∧ (𝐶(dist‘𝐺)𝑓) = (𝐶(dist‘𝐺)𝐷))) ∧ 𝐶 = 𝑒) → (𝐴𝐼𝐶) = (𝐴𝐼𝑒)) |
| 6 | 3, 5 | eleqtrrd 2844 |
. . . . 5
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ (𝐷(dist‘𝐺)𝑒) = (𝐷(dist‘𝐺)𝐶))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑓) ∧ (𝐶(dist‘𝐺)𝑓) = (𝐶(dist‘𝐺)𝐷))) ∧ 𝐶 = 𝑒) → 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) |
| 7 | 6 | olcd 875 |
. . . 4
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ (𝐷(dist‘𝐺)𝑒) = (𝐷(dist‘𝐺)𝐶))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑓) ∧ (𝐶(dist‘𝐺)𝑓) = (𝐶(dist‘𝐺)𝐷))) ∧ 𝐶 = 𝑒) → (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶))) |
| 8 | | simprl 771 |
. . . . . . 7
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ (𝐷(dist‘𝐺)𝑒) = (𝐷(dist‘𝐺)𝐶))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑓) ∧ (𝐶(dist‘𝐺)𝑓) = (𝐶(dist‘𝐺)𝐷))) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑓)) |
| 9 | 8 | adantr 480 |
. . . . . 6
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ (𝐷(dist‘𝐺)𝑒) = (𝐷(dist‘𝐺)𝐶))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑓) ∧ (𝐶(dist‘𝐺)𝑓) = (𝐶(dist‘𝐺)𝐷))) ∧ 𝐷 = 𝑓) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑓)) |
| 10 | | simpr 484 |
. . . . . . 7
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ (𝐷(dist‘𝐺)𝑒) = (𝐷(dist‘𝐺)𝐶))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑓) ∧ (𝐶(dist‘𝐺)𝑓) = (𝐶(dist‘𝐺)𝐷))) ∧ 𝐷 = 𝑓) → 𝐷 = 𝑓) |
| 11 | 10 | oveq2d 7447 |
. . . . . 6
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ (𝐷(dist‘𝐺)𝑒) = (𝐷(dist‘𝐺)𝐶))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑓) ∧ (𝐶(dist‘𝐺)𝑓) = (𝐶(dist‘𝐺)𝐷))) ∧ 𝐷 = 𝑓) → (𝐴𝐼𝐷) = (𝐴𝐼𝑓)) |
| 12 | 9, 11 | eleqtrrd 2844 |
. . . . 5
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ (𝐷(dist‘𝐺)𝑒) = (𝐷(dist‘𝐺)𝐶))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑓) ∧ (𝐶(dist‘𝐺)𝑓) = (𝐶(dist‘𝐺)𝐷))) ∧ 𝐷 = 𝑓) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷)) |
| 13 | 12 | orcd 874 |
. . . 4
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ (𝐷(dist‘𝐺)𝑒) = (𝐷(dist‘𝐺)𝐶))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑓) ∧ (𝐶(dist‘𝐺)𝑓) = (𝐶(dist‘𝐺)𝐷))) ∧ 𝐷 = 𝑓) → (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶))) |
| 14 | | df-ne 2941 |
. . . . . 6
⊢ (𝐶 ≠ 𝑒 ↔ ¬ 𝐶 = 𝑒) |
| 15 | | tgbtwnconn1.p |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺) |
| 16 | | tgbtwnconn1.i |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺) |
| 17 | | tgbtwnconn1.g |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG) |
| 18 | 17 | ad4antr 732 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ (𝐷(dist‘𝐺)𝑒) = (𝐷(dist‘𝐺)𝐶))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑓) ∧ (𝐶(dist‘𝐺)𝑓) = (𝐶(dist‘𝐺)𝐷))) → 𝐺 ∈ TarskiG) |
| 19 | 18 | ad7antr 738 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((((((((((((𝜑 ∧
𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ (𝐷(dist‘𝐺)𝑒) = (𝐷(dist‘𝐺)𝐶))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑓) ∧ (𝐶(dist‘𝐺)𝑓) = (𝐶(dist‘𝐺)𝐷))) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝐴𝐼ℎ) ∧ (𝑒(dist‘𝐺)ℎ) = (𝐵(dist‘𝐺)𝐶))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ (𝑓 ∈ (𝐴𝐼𝑗) ∧ (𝑓(dist‘𝐺)𝑗) = (𝐵(dist‘𝐺)𝐷))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝑒) ∧ 𝑥 ∈ (𝐷𝐼𝑓))) → 𝐺 ∈ TarskiG) |
| 20 | | tgbtwnconn1.a |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃) |
| 21 | 20 | ad4antr 732 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ (𝐷(dist‘𝐺)𝑒) = (𝐷(dist‘𝐺)𝐶))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑓) ∧ (𝐶(dist‘𝐺)𝑓) = (𝐶(dist‘𝐺)𝐷))) → 𝐴 ∈ 𝑃) |
| 22 | 21 | ad7antr 738 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((((((((((((𝜑 ∧
𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ (𝐷(dist‘𝐺)𝑒) = (𝐷(dist‘𝐺)𝐶))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑓) ∧ (𝐶(dist‘𝐺)𝑓) = (𝐶(dist‘𝐺)𝐷))) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝐴𝐼ℎ) ∧ (𝑒(dist‘𝐺)ℎ) = (𝐵(dist‘𝐺)𝐶))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ (𝑓 ∈ (𝐴𝐼𝑗) ∧ (𝑓(dist‘𝐺)𝑗) = (𝐵(dist‘𝐺)𝐷))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝑒) ∧ 𝑥 ∈ (𝐷𝐼𝑓))) → 𝐴 ∈ 𝑃) |
| 23 | | tgbtwnconn1.b |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃) |
| 24 | 23 | ad4antr 732 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ (𝐷(dist‘𝐺)𝑒) = (𝐷(dist‘𝐺)𝐶))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑓) ∧ (𝐶(dist‘𝐺)𝑓) = (𝐶(dist‘𝐺)𝐷))) → 𝐵 ∈ 𝑃) |
| 25 | 24 | ad7antr 738 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((((((((((((𝜑 ∧
𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ (𝐷(dist‘𝐺)𝑒) = (𝐷(dist‘𝐺)𝐶))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑓) ∧ (𝐶(dist‘𝐺)𝑓) = (𝐶(dist‘𝐺)𝐷))) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝐴𝐼ℎ) ∧ (𝑒(dist‘𝐺)ℎ) = (𝐵(dist‘𝐺)𝐶))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ (𝑓 ∈ (𝐴𝐼𝑗) ∧ (𝑓(dist‘𝐺)𝑗) = (𝐵(dist‘𝐺)𝐷))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝑒) ∧ 𝑥 ∈ (𝐷𝐼𝑓))) → 𝐵 ∈ 𝑃) |
| 26 | | tgbtwnconn1.c |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃) |
| 27 | 26 | ad4antr 732 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ (𝐷(dist‘𝐺)𝑒) = (𝐷(dist‘𝐺)𝐶))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑓) ∧ (𝐶(dist‘𝐺)𝑓) = (𝐶(dist‘𝐺)𝐷))) → 𝐶 ∈ 𝑃) |
| 28 | 27 | ad7antr 738 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((((((((((((𝜑 ∧
𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ (𝐷(dist‘𝐺)𝑒) = (𝐷(dist‘𝐺)𝐶))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑓) ∧ (𝐶(dist‘𝐺)𝑓) = (𝐶(dist‘𝐺)𝐷))) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝐴𝐼ℎ) ∧ (𝑒(dist‘𝐺)ℎ) = (𝐵(dist‘𝐺)𝐶))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ (𝑓 ∈ (𝐴𝐼𝑗) ∧ (𝑓(dist‘𝐺)𝑗) = (𝐵(dist‘𝐺)𝐷))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝑒) ∧ 𝑥 ∈ (𝐷𝐼𝑓))) → 𝐶 ∈ 𝑃) |
| 29 | | tgbtwnconn1.d |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃) |
| 30 | 29 | ad4antr 732 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ (𝐷(dist‘𝐺)𝑒) = (𝐷(dist‘𝐺)𝐶))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑓) ∧ (𝐶(dist‘𝐺)𝑓) = (𝐶(dist‘𝐺)𝐷))) → 𝐷 ∈ 𝑃) |
| 31 | 30 | ad7antr 738 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((((((((((((𝜑 ∧
𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ (𝐷(dist‘𝐺)𝑒) = (𝐷(dist‘𝐺)𝐶))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑓) ∧ (𝐶(dist‘𝐺)𝑓) = (𝐶(dist‘𝐺)𝐷))) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝐴𝐼ℎ) ∧ (𝑒(dist‘𝐺)ℎ) = (𝐵(dist‘𝐺)𝐶))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ (𝑓 ∈ (𝐴𝐼𝑗) ∧ (𝑓(dist‘𝐺)𝑗) = (𝐵(dist‘𝐺)𝐷))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝑒) ∧ 𝑥 ∈ (𝐷𝐼𝑓))) → 𝐷 ∈ 𝑃) |
| 32 | | simp-11l 797 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
((((((((((((𝜑 ∧
𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ (𝐷(dist‘𝐺)𝑒) = (𝐷(dist‘𝐺)𝐶))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑓) ∧ (𝐶(dist‘𝐺)𝑓) = (𝐶(dist‘𝐺)𝐷))) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝐴𝐼ℎ) ∧ (𝑒(dist‘𝐺)ℎ) = (𝐵(dist‘𝐺)𝐶))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ (𝑓 ∈ (𝐴𝐼𝑗) ∧ (𝑓(dist‘𝐺)𝑗) = (𝐵(dist‘𝐺)𝐷))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝑒) ∧ 𝑥 ∈ (𝐷𝐼𝑓))) → 𝜑) |
| 33 | | tgbtwnconn1.1 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵) |
| 34 | 32, 33 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((((((((((((𝜑 ∧
𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ (𝐷(dist‘𝐺)𝑒) = (𝐷(dist‘𝐺)𝐶))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑓) ∧ (𝐶(dist‘𝐺)𝑓) = (𝐶(dist‘𝐺)𝐷))) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝐴𝐼ℎ) ∧ (𝑒(dist‘𝐺)ℎ) = (𝐵(dist‘𝐺)𝐶))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ (𝑓 ∈ (𝐴𝐼𝑗) ∧ (𝑓(dist‘𝐺)𝑗) = (𝐵(dist‘𝐺)𝐷))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝑒) ∧ 𝑥 ∈ (𝐷𝐼𝑓))) → 𝐴 ≠ 𝐵) |
| 35 | | tgbtwnconn1.2 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) |
| 36 | 32, 35 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((((((((((((𝜑 ∧
𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ (𝐷(dist‘𝐺)𝑒) = (𝐷(dist‘𝐺)𝐶))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑓) ∧ (𝐶(dist‘𝐺)𝑓) = (𝐶(dist‘𝐺)𝐷))) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝐴𝐼ℎ) ∧ (𝑒(dist‘𝐺)ℎ) = (𝐵(dist‘𝐺)𝐶))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ (𝑓 ∈ (𝐴𝐼𝑗) ∧ (𝑓(dist‘𝐺)𝑗) = (𝐵(dist‘𝐺)𝐷))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝑒) ∧ 𝑥 ∈ (𝐷𝐼𝑓))) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) |
| 37 | | tgbtwnconn1.3 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐷)) |
| 38 | 32, 37 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((((((((((((𝜑 ∧
𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ (𝐷(dist‘𝐺)𝑒) = (𝐷(dist‘𝐺)𝐶))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑓) ∧ (𝐶(dist‘𝐺)𝑓) = (𝐶(dist‘𝐺)𝐷))) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝐴𝐼ℎ) ∧ (𝑒(dist‘𝐺)ℎ) = (𝐵(dist‘𝐺)𝐶))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ (𝑓 ∈ (𝐴𝐼𝑗) ∧ (𝑓(dist‘𝐺)𝑗) = (𝐵(dist‘𝐺)𝐷))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝑒) ∧ 𝑥 ∈ (𝐷𝐼𝑓))) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐷)) |
| 39 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(dist‘𝐺) =
(dist‘𝐺) |
| 40 | | simp-4r 784 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ (𝐷(dist‘𝐺)𝑒) = (𝐷(dist‘𝐺)𝐶))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑓) ∧ (𝐶(dist‘𝐺)𝑓) = (𝐶(dist‘𝐺)𝐷))) → 𝑒 ∈ 𝑃) |
| 41 | 40 | ad7antr 738 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((((((((((((𝜑 ∧
𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ (𝐷(dist‘𝐺)𝑒) = (𝐷(dist‘𝐺)𝐶))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑓) ∧ (𝐶(dist‘𝐺)𝑓) = (𝐶(dist‘𝐺)𝐷))) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝐴𝐼ℎ) ∧ (𝑒(dist‘𝐺)ℎ) = (𝐵(dist‘𝐺)𝐶))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ (𝑓 ∈ (𝐴𝐼𝑗) ∧ (𝑓(dist‘𝐺)𝑗) = (𝐵(dist‘𝐺)𝐷))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝑒) ∧ 𝑥 ∈ (𝐷𝐼𝑓))) → 𝑒 ∈ 𝑃) |
| 42 | | simplr 769 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ (𝐷(dist‘𝐺)𝑒) = (𝐷(dist‘𝐺)𝐶))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑓) ∧ (𝐶(dist‘𝐺)𝑓) = (𝐶(dist‘𝐺)𝐷))) → 𝑓 ∈ 𝑃) |
| 43 | 42 | ad7antr 738 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((((((((((((𝜑 ∧
𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ (𝐷(dist‘𝐺)𝑒) = (𝐷(dist‘𝐺)𝐶))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑓) ∧ (𝐶(dist‘𝐺)𝑓) = (𝐶(dist‘𝐺)𝐷))) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝐴𝐼ℎ) ∧ (𝑒(dist‘𝐺)ℎ) = (𝐵(dist‘𝐺)𝐶))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ (𝑓 ∈ (𝐴𝐼𝑗) ∧ (𝑓(dist‘𝐺)𝑗) = (𝐵(dist‘𝐺)𝐷))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝑒) ∧ 𝑥 ∈ (𝐷𝐼𝑓))) → 𝑓 ∈ 𝑃) |
| 44 | | simp-6r 788 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((((((((((((𝜑 ∧
𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ (𝐷(dist‘𝐺)𝑒) = (𝐷(dist‘𝐺)𝐶))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑓) ∧ (𝐶(dist‘𝐺)𝑓) = (𝐶(dist‘𝐺)𝐷))) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝐴𝐼ℎ) ∧ (𝑒(dist‘𝐺)ℎ) = (𝐵(dist‘𝐺)𝐶))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ (𝑓 ∈ (𝐴𝐼𝑗) ∧ (𝑓(dist‘𝐺)𝑗) = (𝐵(dist‘𝐺)𝐷))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝑒) ∧ 𝑥 ∈ (𝐷𝐼𝑓))) → ℎ ∈ 𝑃) |
| 45 | | simp-4r 784 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((((((((((((𝜑 ∧
𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ (𝐷(dist‘𝐺)𝑒) = (𝐷(dist‘𝐺)𝐶))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑓) ∧ (𝐶(dist‘𝐺)𝑓) = (𝐶(dist‘𝐺)𝐷))) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝐴𝐼ℎ) ∧ (𝑒(dist‘𝐺)ℎ) = (𝐵(dist‘𝐺)𝐶))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ (𝑓 ∈ (𝐴𝐼𝑗) ∧ (𝑓(dist‘𝐺)𝑗) = (𝐵(dist‘𝐺)𝐷))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝑒) ∧ 𝑥 ∈ (𝐷𝐼𝑓))) → 𝑗 ∈ 𝑃) |
| 46 | 2 | ad7antr 738 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((((((((((((𝜑 ∧
𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ (𝐷(dist‘𝐺)𝑒) = (𝐷(dist‘𝐺)𝐶))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑓) ∧ (𝐶(dist‘𝐺)𝑓) = (𝐶(dist‘𝐺)𝐷))) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝐴𝐼ℎ) ∧ (𝑒(dist‘𝐺)ℎ) = (𝐵(dist‘𝐺)𝐶))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ (𝑓 ∈ (𝐴𝐼𝑗) ∧ (𝑓(dist‘𝐺)𝑗) = (𝐵(dist‘𝐺)𝐷))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝑒) ∧ 𝑥 ∈ (𝐷𝐼𝑓))) → 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝑒)) |
| 47 | 8 | ad7antr 738 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((((((((((((𝜑 ∧
𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ (𝐷(dist‘𝐺)𝑒) = (𝐷(dist‘𝐺)𝐶))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑓) ∧ (𝐶(dist‘𝐺)𝑓) = (𝐶(dist‘𝐺)𝐷))) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝐴𝐼ℎ) ∧ (𝑒(dist‘𝐺)ℎ) = (𝐵(dist‘𝐺)𝐶))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ (𝑓 ∈ (𝐴𝐼𝑗) ∧ (𝑓(dist‘𝐺)𝑗) = (𝐵(dist‘𝐺)𝐷))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝑒) ∧ 𝑥 ∈ (𝐷𝐼𝑓))) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑓)) |
| 48 | | simp-5r 786 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
((((((((((((𝜑 ∧
𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ (𝐷(dist‘𝐺)𝑒) = (𝐷(dist‘𝐺)𝐶))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑓) ∧ (𝐶(dist‘𝐺)𝑓) = (𝐶(dist‘𝐺)𝐷))) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝐴𝐼ℎ) ∧ (𝑒(dist‘𝐺)ℎ) = (𝐵(dist‘𝐺)𝐶))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ (𝑓 ∈ (𝐴𝐼𝑗) ∧ (𝑓(dist‘𝐺)𝑗) = (𝐵(dist‘𝐺)𝐷))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝑒) ∧ 𝑥 ∈ (𝐷𝐼𝑓))) → (𝑒 ∈ (𝐴𝐼ℎ) ∧ (𝑒(dist‘𝐺)ℎ) = (𝐵(dist‘𝐺)𝐶))) |
| 49 | 48 | simpld 494 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((((((((((((𝜑 ∧
𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ (𝐷(dist‘𝐺)𝑒) = (𝐷(dist‘𝐺)𝐶))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑓) ∧ (𝐶(dist‘𝐺)𝑓) = (𝐶(dist‘𝐺)𝐷))) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝐴𝐼ℎ) ∧ (𝑒(dist‘𝐺)ℎ) = (𝐵(dist‘𝐺)𝐶))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ (𝑓 ∈ (𝐴𝐼𝑗) ∧ (𝑓(dist‘𝐺)𝑗) = (𝐵(dist‘𝐺)𝐷))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝑒) ∧ 𝑥 ∈ (𝐷𝐼𝑓))) → 𝑒 ∈ (𝐴𝐼ℎ)) |
| 50 | | simpllr 776 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
((((((((((((𝜑 ∧
𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ (𝐷(dist‘𝐺)𝑒) = (𝐷(dist‘𝐺)𝐶))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑓) ∧ (𝐶(dist‘𝐺)𝑓) = (𝐶(dist‘𝐺)𝐷))) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝐴𝐼ℎ) ∧ (𝑒(dist‘𝐺)ℎ) = (𝐵(dist‘𝐺)𝐶))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ (𝑓 ∈ (𝐴𝐼𝑗) ∧ (𝑓(dist‘𝐺)𝑗) = (𝐵(dist‘𝐺)𝐷))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝑒) ∧ 𝑥 ∈ (𝐷𝐼𝑓))) → (𝑓 ∈ (𝐴𝐼𝑗) ∧ (𝑓(dist‘𝐺)𝑗) = (𝐵(dist‘𝐺)𝐷))) |
| 51 | 50 | simpld 494 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((((((((((((𝜑 ∧
𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ (𝐷(dist‘𝐺)𝑒) = (𝐷(dist‘𝐺)𝐶))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑓) ∧ (𝐶(dist‘𝐺)𝑓) = (𝐶(dist‘𝐺)𝐷))) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝐴𝐼ℎ) ∧ (𝑒(dist‘𝐺)ℎ) = (𝐵(dist‘𝐺)𝐶))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ (𝑓 ∈ (𝐴𝐼𝑗) ∧ (𝑓(dist‘𝐺)𝑗) = (𝐵(dist‘𝐺)𝐷))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝑒) ∧ 𝑥 ∈ (𝐷𝐼𝑓))) → 𝑓 ∈ (𝐴𝐼𝑗)) |
| 52 | 1 | simprd 495 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ (𝐷(dist‘𝐺)𝑒) = (𝐷(dist‘𝐺)𝐶))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑓) ∧ (𝐶(dist‘𝐺)𝑓) = (𝐶(dist‘𝐺)𝐷))) → (𝐷(dist‘𝐺)𝑒) = (𝐷(dist‘𝐺)𝐶)) |
| 53 | 52 | ad7antr 738 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
((((((((((((𝜑 ∧
𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ (𝐷(dist‘𝐺)𝑒) = (𝐷(dist‘𝐺)𝐶))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑓) ∧ (𝐶(dist‘𝐺)𝑓) = (𝐶(dist‘𝐺)𝐷))) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝐴𝐼ℎ) ∧ (𝑒(dist‘𝐺)ℎ) = (𝐵(dist‘𝐺)𝐶))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ (𝑓 ∈ (𝐴𝐼𝑗) ∧ (𝑓(dist‘𝐺)𝑗) = (𝐵(dist‘𝐺)𝐷))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝑒) ∧ 𝑥 ∈ (𝐷𝐼𝑓))) → (𝐷(dist‘𝐺)𝑒) = (𝐷(dist‘𝐺)𝐶)) |
| 54 | 15, 39, 16, 19, 31, 41, 31, 28, 53 | tgcgrcomlr 28488 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((((((((((((𝜑 ∧
𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ (𝐷(dist‘𝐺)𝑒) = (𝐷(dist‘𝐺)𝐶))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑓) ∧ (𝐶(dist‘𝐺)𝑓) = (𝐶(dist‘𝐺)𝐷))) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝐴𝐼ℎ) ∧ (𝑒(dist‘𝐺)ℎ) = (𝐵(dist‘𝐺)𝐶))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ (𝑓 ∈ (𝐴𝐼𝑗) ∧ (𝑓(dist‘𝐺)𝑗) = (𝐵(dist‘𝐺)𝐷))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝑒) ∧ 𝑥 ∈ (𝐷𝐼𝑓))) → (𝑒(dist‘𝐺)𝐷) = (𝐶(dist‘𝐺)𝐷)) |
| 55 | | simprr 773 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ (𝐷(dist‘𝐺)𝑒) = (𝐷(dist‘𝐺)𝐶))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑓) ∧ (𝐶(dist‘𝐺)𝑓) = (𝐶(dist‘𝐺)𝐷))) → (𝐶(dist‘𝐺)𝑓) = (𝐶(dist‘𝐺)𝐷)) |
| 56 | 55 | ad7antr 738 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((((((((((((𝜑 ∧
𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ (𝐷(dist‘𝐺)𝑒) = (𝐷(dist‘𝐺)𝐶))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑓) ∧ (𝐶(dist‘𝐺)𝑓) = (𝐶(dist‘𝐺)𝐷))) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝐴𝐼ℎ) ∧ (𝑒(dist‘𝐺)ℎ) = (𝐵(dist‘𝐺)𝐶))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ (𝑓 ∈ (𝐴𝐼𝑗) ∧ (𝑓(dist‘𝐺)𝑗) = (𝐵(dist‘𝐺)𝐷))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝑒) ∧ 𝑥 ∈ (𝐷𝐼𝑓))) → (𝐶(dist‘𝐺)𝑓) = (𝐶(dist‘𝐺)𝐷)) |
| 57 | 48 | simprd 495 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((((((((((((𝜑 ∧
𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ (𝐷(dist‘𝐺)𝑒) = (𝐷(dist‘𝐺)𝐶))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑓) ∧ (𝐶(dist‘𝐺)𝑓) = (𝐶(dist‘𝐺)𝐷))) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝐴𝐼ℎ) ∧ (𝑒(dist‘𝐺)ℎ) = (𝐵(dist‘𝐺)𝐶))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ (𝑓 ∈ (𝐴𝐼𝑗) ∧ (𝑓(dist‘𝐺)𝑗) = (𝐵(dist‘𝐺)𝐷))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝑒) ∧ 𝑥 ∈ (𝐷𝐼𝑓))) → (𝑒(dist‘𝐺)ℎ) = (𝐵(dist‘𝐺)𝐶)) |
| 58 | 50 | simprd 495 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((((((((((((𝜑 ∧
𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ (𝐷(dist‘𝐺)𝑒) = (𝐷(dist‘𝐺)𝐶))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑓) ∧ (𝐶(dist‘𝐺)𝑓) = (𝐶(dist‘𝐺)𝐷))) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝐴𝐼ℎ) ∧ (𝑒(dist‘𝐺)ℎ) = (𝐵(dist‘𝐺)𝐶))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ (𝑓 ∈ (𝐴𝐼𝑗) ∧ (𝑓(dist‘𝐺)𝑗) = (𝐵(dist‘𝐺)𝐷))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝑒) ∧ 𝑥 ∈ (𝐷𝐼𝑓))) → (𝑓(dist‘𝐺)𝑗) = (𝐵(dist‘𝐺)𝐷)) |
| 59 | | simplr 769 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((((((((((((𝜑 ∧
𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ (𝐷(dist‘𝐺)𝑒) = (𝐷(dist‘𝐺)𝐶))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑓) ∧ (𝐶(dist‘𝐺)𝑓) = (𝐶(dist‘𝐺)𝐷))) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝐴𝐼ℎ) ∧ (𝑒(dist‘𝐺)ℎ) = (𝐵(dist‘𝐺)𝐶))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ (𝑓 ∈ (𝐴𝐼𝑗) ∧ (𝑓(dist‘𝐺)𝑗) = (𝐵(dist‘𝐺)𝐷))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝑒) ∧ 𝑥 ∈ (𝐷𝐼𝑓))) → 𝑥 ∈ 𝑃) |
| 60 | | simprl 771 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((((((((((((𝜑 ∧
𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ (𝐷(dist‘𝐺)𝑒) = (𝐷(dist‘𝐺)𝐶))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑓) ∧ (𝐶(dist‘𝐺)𝑓) = (𝐶(dist‘𝐺)𝐷))) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝐴𝐼ℎ) ∧ (𝑒(dist‘𝐺)ℎ) = (𝐵(dist‘𝐺)𝐶))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ (𝑓 ∈ (𝐴𝐼𝑗) ∧ (𝑓(dist‘𝐺)𝑗) = (𝐵(dist‘𝐺)𝐷))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝑒) ∧ 𝑥 ∈ (𝐷𝐼𝑓))) → 𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝑒)) |
| 61 | | simprr 773 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((((((((((((𝜑 ∧
𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ (𝐷(dist‘𝐺)𝑒) = (𝐷(dist‘𝐺)𝐶))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑓) ∧ (𝐶(dist‘𝐺)𝑓) = (𝐶(dist‘𝐺)𝐷))) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝐴𝐼ℎ) ∧ (𝑒(dist‘𝐺)ℎ) = (𝐵(dist‘𝐺)𝐶))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ (𝑓 ∈ (𝐴𝐼𝑗) ∧ (𝑓(dist‘𝐺)𝑗) = (𝐵(dist‘𝐺)𝐷))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝑒) ∧ 𝑥 ∈ (𝐷𝐼𝑓))) → 𝑥 ∈ (𝐷𝐼𝑓)) |
| 62 | | simp-7r 790 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((((((((((((𝜑 ∧
𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ (𝐷(dist‘𝐺)𝑒) = (𝐷(dist‘𝐺)𝐶))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑓) ∧ (𝐶(dist‘𝐺)𝑓) = (𝐶(dist‘𝐺)𝐷))) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝐴𝐼ℎ) ∧ (𝑒(dist‘𝐺)ℎ) = (𝐵(dist‘𝐺)𝐶))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ (𝑓 ∈ (𝐴𝐼𝑗) ∧ (𝑓(dist‘𝐺)𝑗) = (𝐵(dist‘𝐺)𝐷))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝑒) ∧ 𝑥 ∈ (𝐷𝐼𝑓))) → 𝐶 ≠ 𝑒) |
| 63 | 15, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 36, 38, 39, 41, 43, 44, 45, 46, 47, 49, 51, 54, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62 | tgbtwnconn1lem3 28582 |
. . . . . . . . . 10
⊢
((((((((((((𝜑 ∧
𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ (𝐷(dist‘𝐺)𝑒) = (𝐷(dist‘𝐺)𝐶))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑓) ∧ (𝐶(dist‘𝐺)𝑓) = (𝐶(dist‘𝐺)𝐷))) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝐴𝐼ℎ) ∧ (𝑒(dist‘𝐺)ℎ) = (𝐵(dist‘𝐺)𝐶))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ (𝑓 ∈ (𝐴𝐼𝑗) ∧ (𝑓(dist‘𝐺)𝑗) = (𝐵(dist‘𝐺)𝐷))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝑒) ∧ 𝑥 ∈ (𝐷𝐼𝑓))) → 𝐷 = 𝑓) |
| 64 | 15, 39, 16, 18, 21, 27, 42, 8 | tgbtwncom 28496 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ (𝐷(dist‘𝐺)𝑒) = (𝐷(dist‘𝐺)𝐶))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑓) ∧ (𝐶(dist‘𝐺)𝑓) = (𝐶(dist‘𝐺)𝐷))) → 𝐶 ∈ (𝑓𝐼𝐴)) |
| 65 | 15, 39, 16, 18, 21, 30, 40, 2 | tgbtwncom 28496 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ (𝐷(dist‘𝐺)𝑒) = (𝐷(dist‘𝐺)𝐶))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑓) ∧ (𝐶(dist‘𝐺)𝑓) = (𝐶(dist‘𝐺)𝐷))) → 𝐷 ∈ (𝑒𝐼𝐴)) |
| 66 | 15, 39, 16, 18, 42, 40, 21, 27, 30, 64, 65 | axtgpasch 28475 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ (𝐷(dist‘𝐺)𝑒) = (𝐷(dist‘𝐺)𝐶))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑓) ∧ (𝐶(dist‘𝐺)𝑓) = (𝐶(dist‘𝐺)𝐷))) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝑒) ∧ 𝑥 ∈ (𝐷𝐼𝑓))) |
| 67 | 66 | ad5antr 734 |
. . . . . . . . . 10
⊢
((((((((((𝜑 ∧
𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ (𝐷(dist‘𝐺)𝑒) = (𝐷(dist‘𝐺)𝐶))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑓) ∧ (𝐶(dist‘𝐺)𝑓) = (𝐶(dist‘𝐺)𝐷))) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝐴𝐼ℎ) ∧ (𝑒(dist‘𝐺)ℎ) = (𝐵(dist‘𝐺)𝐶))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ (𝑓 ∈ (𝐴𝐼𝑗) ∧ (𝑓(dist‘𝐺)𝑗) = (𝐵(dist‘𝐺)𝐷))) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝑒) ∧ 𝑥 ∈ (𝐷𝐼𝑓))) |
| 68 | 63, 67 | r19.29a 3162 |
. . . . . . . . 9
⊢
((((((((((𝜑 ∧
𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ (𝐷(dist‘𝐺)𝑒) = (𝐷(dist‘𝐺)𝐶))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑓) ∧ (𝐶(dist‘𝐺)𝑓) = (𝐶(dist‘𝐺)𝐷))) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝐴𝐼ℎ) ∧ (𝑒(dist‘𝐺)ℎ) = (𝐵(dist‘𝐺)𝐶))) ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ (𝑓 ∈ (𝐴𝐼𝑗) ∧ (𝑓(dist‘𝐺)𝑗) = (𝐵(dist‘𝐺)𝐷))) → 𝐷 = 𝑓) |
| 69 | 15, 39, 16, 18, 21, 42, 24, 30 | axtgsegcon 28472 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ (𝐷(dist‘𝐺)𝑒) = (𝐷(dist‘𝐺)𝐶))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑓) ∧ (𝐶(dist‘𝐺)𝑓) = (𝐶(dist‘𝐺)𝐷))) → ∃𝑗 ∈ 𝑃 (𝑓 ∈ (𝐴𝐼𝑗) ∧ (𝑓(dist‘𝐺)𝑗) = (𝐵(dist‘𝐺)𝐷))) |
| 70 | 69 | ad3antrrr 730 |
. . . . . . . . 9
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ (𝐷(dist‘𝐺)𝑒) = (𝐷(dist‘𝐺)𝐶))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑓) ∧ (𝐶(dist‘𝐺)𝑓) = (𝐶(dist‘𝐺)𝐷))) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝐴𝐼ℎ) ∧ (𝑒(dist‘𝐺)ℎ) = (𝐵(dist‘𝐺)𝐶))) → ∃𝑗 ∈ 𝑃 (𝑓 ∈ (𝐴𝐼𝑗) ∧ (𝑓(dist‘𝐺)𝑗) = (𝐵(dist‘𝐺)𝐷))) |
| 71 | 68, 70 | r19.29a 3162 |
. . . . . . . 8
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ (𝐷(dist‘𝐺)𝑒) = (𝐷(dist‘𝐺)𝐶))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑓) ∧ (𝐶(dist‘𝐺)𝑓) = (𝐶(dist‘𝐺)𝐷))) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒) ∧ ℎ ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝐴𝐼ℎ) ∧ (𝑒(dist‘𝐺)ℎ) = (𝐵(dist‘𝐺)𝐶))) → 𝐷 = 𝑓) |
| 72 | 15, 39, 16, 18, 21, 40, 24, 27 | axtgsegcon 28472 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ (𝐷(dist‘𝐺)𝑒) = (𝐷(dist‘𝐺)𝐶))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑓) ∧ (𝐶(dist‘𝐺)𝑓) = (𝐶(dist‘𝐺)𝐷))) → ∃ℎ ∈ 𝑃 (𝑒 ∈ (𝐴𝐼ℎ) ∧ (𝑒(dist‘𝐺)ℎ) = (𝐵(dist‘𝐺)𝐶))) |
| 73 | 72 | adantr 480 |
. . . . . . . 8
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ (𝐷(dist‘𝐺)𝑒) = (𝐷(dist‘𝐺)𝐶))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑓) ∧ (𝐶(dist‘𝐺)𝑓) = (𝐶(dist‘𝐺)𝐷))) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒) → ∃ℎ ∈ 𝑃 (𝑒 ∈ (𝐴𝐼ℎ) ∧ (𝑒(dist‘𝐺)ℎ) = (𝐵(dist‘𝐺)𝐶))) |
| 74 | 71, 73 | r19.29a 3162 |
. . . . . . 7
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ (𝐷(dist‘𝐺)𝑒) = (𝐷(dist‘𝐺)𝐶))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑓) ∧ (𝐶(dist‘𝐺)𝑓) = (𝐶(dist‘𝐺)𝐷))) ∧ 𝐶 ≠ 𝑒) → 𝐷 = 𝑓) |
| 75 | 74 | ex 412 |
. . . . . 6
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ (𝐷(dist‘𝐺)𝑒) = (𝐷(dist‘𝐺)𝐶))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑓) ∧ (𝐶(dist‘𝐺)𝑓) = (𝐶(dist‘𝐺)𝐷))) → (𝐶 ≠ 𝑒 → 𝐷 = 𝑓)) |
| 76 | 14, 75 | biimtrrid 243 |
. . . . 5
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ (𝐷(dist‘𝐺)𝑒) = (𝐷(dist‘𝐺)𝐶))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑓) ∧ (𝐶(dist‘𝐺)𝑓) = (𝐶(dist‘𝐺)𝐷))) → (¬ 𝐶 = 𝑒 → 𝐷 = 𝑓)) |
| 77 | 76 | orrd 864 |
. . . 4
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ (𝐷(dist‘𝐺)𝑒) = (𝐷(dist‘𝐺)𝐶))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑓) ∧ (𝐶(dist‘𝐺)𝑓) = (𝐶(dist‘𝐺)𝐷))) → (𝐶 = 𝑒 ∨ 𝐷 = 𝑓)) |
| 78 | 7, 13, 77 | mpjaodan 961 |
. . 3
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ (𝐷(dist‘𝐺)𝑒) = (𝐷(dist‘𝐺)𝐶))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑓) ∧ (𝐶(dist‘𝐺)𝑓) = (𝐶(dist‘𝐺)𝐷))) → (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶))) |
| 79 | 15, 39, 16, 17, 20, 26, 26, 29 | axtgsegcon 28472 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → ∃𝑓 ∈ 𝑃 (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑓) ∧ (𝐶(dist‘𝐺)𝑓) = (𝐶(dist‘𝐺)𝐷))) |
| 80 | 79 | ad2antrr 726 |
. . 3
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ (𝐷(dist‘𝐺)𝑒) = (𝐷(dist‘𝐺)𝐶))) → ∃𝑓 ∈ 𝑃 (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝑓) ∧ (𝐶(dist‘𝐺)𝑓) = (𝐶(dist‘𝐺)𝐷))) |
| 81 | 78, 80 | r19.29a 3162 |
. 2
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ (𝐷(dist‘𝐺)𝑒) = (𝐷(dist‘𝐺)𝐶))) → (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶))) |
| 82 | 15, 39, 16, 17, 20, 29, 29, 26 | axtgsegcon 28472 |
. 2
⊢ (𝜑 → ∃𝑒 ∈ 𝑃 (𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝑒) ∧ (𝐷(dist‘𝐺)𝑒) = (𝐷(dist‘𝐺)𝐶))) |
| 83 | 81, 82 | r19.29a 3162 |
1
⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶))) |