MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  legtri3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem legtri3 25841
Description: Equality from the less-than relationship. Proposition 5.9 of [Schwabhauser] p. 42. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
legval.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
legval.d = (dist‘𝐺)
legval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
legval.l = (≤G‘𝐺)
legval.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
legid.a (𝜑𝐴𝑃)
legid.b (𝜑𝐵𝑃)
legtrd.c (𝜑𝐶𝑃)
legtrd.d (𝜑𝐷𝑃)
legtri3.1 (𝜑 → (𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷))
legtri3.2 (𝜑 → (𝐶 𝐷) (𝐴 𝐵))
Assertion
Ref Expression
legtri3 (𝜑 → (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝐷))

Proof of Theorem legtri3
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpllr 794 . . . . 5 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 𝑦) = (𝐴 𝐵))) → (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥)))
21simprd 490 . . . 4 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 𝑦) = (𝐴 𝐵))) → (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))
3 legval.p . . . . . 6 𝑃 = (Base‘𝐺)
4 legval.d . . . . . 6 = (dist‘𝐺)
5 legval.i . . . . . 6 𝐼 = (Itv‘𝐺)
6 legval.g . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
76ad4antr 725 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 𝑦) = (𝐴 𝐵))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8 simp-4r 804 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 𝑦) = (𝐴 𝐵))) → 𝑥𝑃)
9 legtrd.d . . . . . . 7 (𝜑𝐷𝑃)
109ad4antr 725 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 𝑦) = (𝐴 𝐵))) → 𝐷𝑃)
11 legtrd.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶𝑃)
1211ad4antr 725 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 𝑦) = (𝐴 𝐵))) → 𝐶𝑃)
131simpld 489 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 𝑦) = (𝐴 𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷))
143, 4, 5, 7, 12, 8, 10, 13tgbtwncom 25739 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 𝑦) = (𝐴 𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐷𝐼𝐶))
15 simpr 478 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 𝑦) = (𝐴 𝐵))) → (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 𝑦) = (𝐴 𝐵)))
1615simpld 489 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 𝑦) = (𝐴 𝐵))) → 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦))
17 simplr 786 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 𝑦) = (𝐴 𝐵))) → 𝑦𝑃)
18 legid.b . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵𝑃)
1918ad4antr 725 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 𝑦) = (𝐴 𝐵))) → 𝐵𝑃)
20 legid.a . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴𝑃)
2120ad4antr 725 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 𝑦) = (𝐴 𝐵))) → 𝐴𝑃)
223, 4, 5, 7, 12, 10, 17, 16tgbtwncom 25739 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 𝑦) = (𝐴 𝐵))) → 𝐷 ∈ (𝑦𝐼𝐶))
233, 4, 5, 7, 17, 10, 8, 12, 22, 14tgbtwnexch2 25747 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 𝑦) = (𝐴 𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝑦𝐼𝐶))
243, 4, 5, 7, 19, 21tgbtwntriv1 25742 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 𝑦) = (𝐴 𝐵))) → 𝐵 ∈ (𝐵𝐼𝐴))
2515simprd 490 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 𝑦) = (𝐴 𝐵))) → (𝐶 𝑦) = (𝐴 𝐵))
263, 4, 5, 7, 12, 17, 21, 19, 25tgcgrcomlr 25731 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 𝑦) = (𝐴 𝐵))) → (𝑦 𝐶) = (𝐵 𝐴))
272eqcomd 2805 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 𝑦) = (𝐴 𝐵))) → (𝐶 𝑥) = (𝐴 𝐵))
283, 4, 5, 7, 12, 8, 21, 19, 27tgcgrcomlr 25731 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 𝑦) = (𝐴 𝐵))) → (𝑥 𝐶) = (𝐵 𝐴))
293, 4, 5, 7, 17, 8, 12, 19, 19, 21, 23, 24, 26, 28tgcgrsub 25760 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 𝑦) = (𝐴 𝐵))) → (𝑦 𝑥) = (𝐵 𝐵))
303, 4, 5, 7, 17, 8, 19, 29axtgcgrid 25714 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 𝑦) = (𝐴 𝐵))) → 𝑦 = 𝑥)
3130oveq2d 6894 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 𝑦) = (𝐴 𝐵))) → (𝐶𝐼𝑦) = (𝐶𝐼𝑥))
3216, 31eleqtrd 2880 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 𝑦) = (𝐴 𝐵))) → 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑥))
333, 4, 5, 7, 12, 10, 8, 32tgbtwncom 25739 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 𝑦) = (𝐴 𝐵))) → 𝐷 ∈ (𝑥𝐼𝐶))
343, 4, 5, 7, 8, 10, 12, 14, 33tgbtwnswapid 25743 . . . . 5 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 𝑦) = (𝐴 𝐵))) → 𝑥 = 𝐷)
3534oveq2d 6894 . . . 4 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 𝑦) = (𝐴 𝐵))) → (𝐶 𝑥) = (𝐶 𝐷))
362, 35eqtrd 2833 . . 3 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 𝑦) = (𝐴 𝐵))) → (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝐷))
37 legtri3.2 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶 𝐷) (𝐴 𝐵))
38 legval.l . . . . . 6 = (≤G‘𝐺)
393, 4, 5, 38, 6, 11, 9, 20, 18legov2 25837 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐶 𝐷) (𝐴 𝐵) ↔ ∃𝑦𝑃 (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 𝑦) = (𝐴 𝐵))))
4037, 39mpbid 224 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑦𝑃 (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 𝑦) = (𝐴 𝐵)))
4140ad2antrr 718 . . 3 (((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) → ∃𝑦𝑃 (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 𝑦) = (𝐴 𝐵)))
4236, 41r19.29a 3259 . 2 (((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) → (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝐷))
43 legtri3.1 . . 3 (𝜑 → (𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷))
443, 4, 5, 38, 6, 20, 18, 11, 9legov 25836 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷) ↔ ∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))))
4543, 44mpbid 224 . 2 (𝜑 → ∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥)))
4642, 45r19.29a 3259 1 (𝜑 → (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  wrex 3090   class class class wbr 4843  cfv 6101  (class class class)co 6878  Basecbs 16184  distcds 16276  TarskiGcstrkg 25681  Itvcitv 25687  ≤Gcleg 25833
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-oadd 7803  df-er 7982  df-pm 8098  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-card 9051  df-cda 9278  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-n0 11581  df-xnn0 11653  df-z 11667  df-uz 11931  df-fz 12581  df-fzo 12721  df-hash 13371  df-word 13535  df-concat 13591  df-s1 13616  df-s2 13933  df-s3 13934  df-trkgc 25699  df-trkgb 25700  df-trkgcb 25701  df-trkg 25704  df-cgrg 25762  df-leg 25834
This theorem is referenced by:  legeq  25844  legbtwn  25845  legso  25850
  Copyright terms: Public domain W3C validator