MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  legtri3 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem legtri3 27821
Description: Equality from the less-than relationship. Proposition 5.9 of [Schwabhauser] p. 42. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
legval.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
legval.d βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
legval.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
legval.l ≀ = (≀Gβ€˜πΊ)
legval.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
legid.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
legid.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
legtrd.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
legtrd.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
legtri3.1 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) ≀ (𝐢 βˆ’ 𝐷))
legtri3.2 (πœ‘ β†’ (𝐢 βˆ’ 𝐷) ≀ (𝐴 βˆ’ 𝐡))
Assertion
Ref Expression
legtri3 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) = (𝐢 βˆ’ 𝐷))
Proof of Theorem legtri3
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpllr 775 . . . . 5 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ (π‘₯ ∈ (𝐢𝐼𝐷) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) = (𝐢 βˆ’ π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐢𝐼𝑦) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑦) = (𝐴 βˆ’ 𝐡))) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐢𝐼𝐷) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) = (𝐢 βˆ’ π‘₯)))
21simprd 497 . . . 4 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ (π‘₯ ∈ (𝐢𝐼𝐷) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) = (𝐢 βˆ’ π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐢𝐼𝑦) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑦) = (𝐴 βˆ’ 𝐡))) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) = (𝐢 βˆ’ π‘₯))
3 legval.p . . . . . 6 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
4 legval.d . . . . . 6 βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
5 legval.i . . . . . 6 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
6 legval.g . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
76ad4antr 731 . . . . . 6 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ (π‘₯ ∈ (𝐢𝐼𝐷) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) = (𝐢 βˆ’ π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐢𝐼𝑦) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑦) = (𝐴 βˆ’ 𝐡))) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
8 simp-4r 783 . . . . . 6 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ (π‘₯ ∈ (𝐢𝐼𝐷) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) = (𝐢 βˆ’ π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐢𝐼𝑦) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑦) = (𝐴 βˆ’ 𝐡))) β†’ π‘₯ ∈ 𝑃)
9 legtrd.d . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
109ad4antr 731 . . . . . 6 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ (π‘₯ ∈ (𝐢𝐼𝐷) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) = (𝐢 βˆ’ π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐢𝐼𝑦) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑦) = (𝐴 βˆ’ 𝐡))) β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
11 legtrd.c . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
1211ad4antr 731 . . . . . 6 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ (π‘₯ ∈ (𝐢𝐼𝐷) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) = (𝐢 βˆ’ π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐢𝐼𝑦) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑦) = (𝐴 βˆ’ 𝐡))) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
131simpld 496 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ (π‘₯ ∈ (𝐢𝐼𝐷) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) = (𝐢 βˆ’ π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐢𝐼𝑦) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑦) = (𝐴 βˆ’ 𝐡))) β†’ π‘₯ ∈ (𝐢𝐼𝐷))
143, 4, 5, 7, 12, 8, 10, 13tgbtwncom 27719 . . . . . 6 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ (π‘₯ ∈ (𝐢𝐼𝐷) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) = (𝐢 βˆ’ π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐢𝐼𝑦) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑦) = (𝐴 βˆ’ 𝐡))) β†’ π‘₯ ∈ (𝐷𝐼𝐢))
15 simpr 486 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ (π‘₯ ∈ (𝐢𝐼𝐷) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) = (𝐢 βˆ’ π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐢𝐼𝑦) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑦) = (𝐴 βˆ’ 𝐡))) β†’ (𝐷 ∈ (𝐢𝐼𝑦) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑦) = (𝐴 βˆ’ 𝐡)))
1615simpld 496 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ (π‘₯ ∈ (𝐢𝐼𝐷) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) = (𝐢 βˆ’ π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐢𝐼𝑦) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑦) = (𝐴 βˆ’ 𝐡))) β†’ 𝐷 ∈ (𝐢𝐼𝑦))
17 simplr 768 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ (π‘₯ ∈ (𝐢𝐼𝐷) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) = (𝐢 βˆ’ π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐢𝐼𝑦) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑦) = (𝐴 βˆ’ 𝐡))) β†’ 𝑦 ∈ 𝑃)
18 legid.b . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
1918ad4antr 731 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ (π‘₯ ∈ (𝐢𝐼𝐷) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) = (𝐢 βˆ’ π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐢𝐼𝑦) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑦) = (𝐴 βˆ’ 𝐡))) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
20 legid.a . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
2120ad4antr 731 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ (π‘₯ ∈ (𝐢𝐼𝐷) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) = (𝐢 βˆ’ π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐢𝐼𝑦) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑦) = (𝐴 βˆ’ 𝐡))) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
223, 4, 5, 7, 12, 10, 17, 16tgbtwncom 27719 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ (π‘₯ ∈ (𝐢𝐼𝐷) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) = (𝐢 βˆ’ π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐢𝐼𝑦) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑦) = (𝐴 βˆ’ 𝐡))) β†’ 𝐷 ∈ (𝑦𝐼𝐢))
233, 4, 5, 7, 17, 10, 8, 12, 22, 14tgbtwnexch2 27727 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ (π‘₯ ∈ (𝐢𝐼𝐷) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) = (𝐢 βˆ’ π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐢𝐼𝑦) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑦) = (𝐴 βˆ’ 𝐡))) β†’ π‘₯ ∈ (𝑦𝐼𝐢))
243, 4, 5, 7, 19, 21tgbtwntriv1 27722 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ (π‘₯ ∈ (𝐢𝐼𝐷) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) = (𝐢 βˆ’ π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐢𝐼𝑦) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑦) = (𝐴 βˆ’ 𝐡))) β†’ 𝐡 ∈ (𝐡𝐼𝐴))
2515simprd 497 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ (π‘₯ ∈ (𝐢𝐼𝐷) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) = (𝐢 βˆ’ π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐢𝐼𝑦) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑦) = (𝐴 βˆ’ 𝐡))) β†’ (𝐢 βˆ’ 𝑦) = (𝐴 βˆ’ 𝐡))
263, 4, 5, 7, 12, 17, 21, 19, 25tgcgrcomlr 27711 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ (π‘₯ ∈ (𝐢𝐼𝐷) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) = (𝐢 βˆ’ π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐢𝐼𝑦) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑦) = (𝐴 βˆ’ 𝐡))) β†’ (𝑦 βˆ’ 𝐢) = (𝐡 βˆ’ 𝐴))
272eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ (π‘₯ ∈ (𝐢𝐼𝐷) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) = (𝐢 βˆ’ π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐢𝐼𝑦) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑦) = (𝐴 βˆ’ 𝐡))) β†’ (𝐢 βˆ’ π‘₯) = (𝐴 βˆ’ 𝐡))
283, 4, 5, 7, 12, 8, 21, 19, 27tgcgrcomlr 27711 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ (π‘₯ ∈ (𝐢𝐼𝐷) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) = (𝐢 βˆ’ π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐢𝐼𝑦) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑦) = (𝐴 βˆ’ 𝐡))) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝐢) = (𝐡 βˆ’ 𝐴))
293, 4, 5, 7, 17, 8, 12, 19, 19, 21, 23, 24, 26, 28tgcgrsub 27740 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ (π‘₯ ∈ (𝐢𝐼𝐷) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) = (𝐢 βˆ’ π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐢𝐼𝑦) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑦) = (𝐴 βˆ’ 𝐡))) β†’ (𝑦 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ 𝐡))
303, 4, 5, 7, 17, 8, 19, 29axtgcgrid 27694 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ (π‘₯ ∈ (𝐢𝐼𝐷) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) = (𝐢 βˆ’ π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐢𝐼𝑦) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑦) = (𝐴 βˆ’ 𝐡))) β†’ 𝑦 = π‘₯)
3130oveq2d 7420 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ (π‘₯ ∈ (𝐢𝐼𝐷) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) = (𝐢 βˆ’ π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐢𝐼𝑦) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑦) = (𝐴 βˆ’ 𝐡))) β†’ (𝐢𝐼𝑦) = (𝐢𝐼π‘₯))
3216, 31eleqtrd 2836 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ (π‘₯ ∈ (𝐢𝐼𝐷) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) = (𝐢 βˆ’ π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐢𝐼𝑦) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑦) = (𝐴 βˆ’ 𝐡))) β†’ 𝐷 ∈ (𝐢𝐼π‘₯))
333, 4, 5, 7, 12, 10, 8, 32tgbtwncom 27719 . . . . . 6 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ (π‘₯ ∈ (𝐢𝐼𝐷) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) = (𝐢 βˆ’ π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐢𝐼𝑦) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑦) = (𝐴 βˆ’ 𝐡))) β†’ 𝐷 ∈ (π‘₯𝐼𝐢))
343, 4, 5, 7, 8, 10, 12, 14, 33tgbtwnswapid 27723 . . . . 5 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ (π‘₯ ∈ (𝐢𝐼𝐷) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) = (𝐢 βˆ’ π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐢𝐼𝑦) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑦) = (𝐴 βˆ’ 𝐡))) β†’ π‘₯ = 𝐷)
3534oveq2d 7420 . . . 4 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ (π‘₯ ∈ (𝐢𝐼𝐷) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) = (𝐢 βˆ’ π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐢𝐼𝑦) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑦) = (𝐴 βˆ’ 𝐡))) β†’ (𝐢 βˆ’ π‘₯) = (𝐢 βˆ’ 𝐷))
362, 35eqtrd 2773 . . 3 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ (π‘₯ ∈ (𝐢𝐼𝐷) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) = (𝐢 βˆ’ π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐢𝐼𝑦) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑦) = (𝐴 βˆ’ 𝐡))) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) = (𝐢 βˆ’ 𝐷))
37 legtri3.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐢 βˆ’ 𝐷) ≀ (𝐴 βˆ’ 𝐡))
38 legval.l . . . . . 6 ≀ = (≀Gβ€˜πΊ)
393, 4, 5, 38, 6, 11, 9, 20, 18legov2 27817 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐢 βˆ’ 𝐷) ≀ (𝐴 βˆ’ 𝐡) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 (𝐷 ∈ (𝐢𝐼𝑦) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑦) = (𝐴 βˆ’ 𝐡))))
4037, 39mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 (𝐷 ∈ (𝐢𝐼𝑦) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑦) = (𝐴 βˆ’ 𝐡)))
4140ad2antrr 725 . . 3 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ (π‘₯ ∈ (𝐢𝐼𝐷) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) = (𝐢 βˆ’ π‘₯))) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 (𝐷 ∈ (𝐢𝐼𝑦) ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑦) = (𝐴 βˆ’ 𝐡)))
4236, 41r19.29a 3163 . 2 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ (π‘₯ ∈ (𝐢𝐼𝐷) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) = (𝐢 βˆ’ π‘₯))) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) = (𝐢 βˆ’ 𝐷))
43 legtri3.1 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) ≀ (𝐢 βˆ’ 𝐷))
443, 4, 5, 38, 6, 20, 18, 11, 9legov 27816 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴 βˆ’ 𝐡) ≀ (𝐢 βˆ’ 𝐷) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 (π‘₯ ∈ (𝐢𝐼𝐷) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) = (𝐢 βˆ’ π‘₯))))
4543, 44mpbid 231 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 (π‘₯ ∈ (𝐢𝐼𝐷) ∧ (𝐴 βˆ’ 𝐡) = (𝐢 βˆ’ π‘₯)))
4642, 45r19.29a 3163 1 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) = (𝐢 βˆ’ 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3071   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7404  Basecbs 17140  distcds 17202  TarskiGcstrkg 27658  Itvcitv 27664  β‰€Gcleg 27813
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-oadd 8465  df-er 8699  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-hash 14287  df-word 14461  df-concat 14517  df-s1 14542  df-s2 14795  df-s3 14796  df-trkgc 27679  df-trkgb 27680  df-trkgcb 27681  df-trkg 27684  df-cgrg 27742  df-leg 27814
This theorem is referenced by:  legeq  27824  legbtwn  27825  legso  27830
  Copyright terms: Public domain W3C validator