Theorem legtri3 28935

Description: Equality from the less-than relationship. Proposition 5.9 of [Schwabhauser] p. 42. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
legval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
legval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
legval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
legval.l	⊢ ≤ = (≤G‘𝐺)
legval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
legid.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
legid.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
legtrd.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
legtrd.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
legtri3.1	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐷))
legtri3.2	⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐷) ≤ (𝐴 − 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
legtri3	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝐷))

Proof of Theorem legtri3

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpllr 788	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))) → (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥)))
2	1	simprd 501	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))
3		legval.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
4		legval.d	. . . . . 6 ⊢ − = (dist‘𝐺)
5		legval.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
6		legval.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7	6	ad4antr 745	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8		simp-4r 796	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))) → 𝑥 ∈ 𝑃)
9		legtrd.d	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
10	9	ad4antr 745	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))) → 𝐷 ∈ 𝑃)
11		legtrd.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
12	11	ad4antr 745	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
13	1	simpld 500	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷))
14	3, 4, 5, 7, 12, 8, 10, 13	tgbtwncom 28833	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐷𝐼𝐶))
15		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))) → (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵)))
16	15	simpld 500	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))) → 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦))
17		simplr 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))) → 𝑦 ∈ 𝑃)
18		legid.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
19	18	ad4antr 745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))) → 𝐵 ∈ 𝑃)
20		legid.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
21	20	ad4antr 745	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))) → 𝐴 ∈ 𝑃)
22	3, 4, 5, 7, 12, 10, 17, 16	tgbtwncom 28833	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))) → 𝐷 ∈ (𝑦𝐼𝐶))
23	3, 4, 5, 7, 17, 10, 8, 12, 22, 14	tgbtwnexch2 28841	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝑦𝐼𝐶))
24	3, 4, 5, 7, 19, 21	tgbtwntriv1 28836	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))) → 𝐵 ∈ (𝐵𝐼𝐴))
25	15	simprd 501	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))) → (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))
26	3, 4, 5, 7, 12, 17, 21, 19, 25	tgcgrcomlr 28824	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))) → (𝑦 − 𝐶) = (𝐵 − 𝐴))
27	2	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))) → (𝐶 − 𝑥) = (𝐴 − 𝐵))
28	3, 4, 5, 7, 12, 8, 21, 19, 27	tgcgrcomlr 28824	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))) → (𝑥 − 𝐶) = (𝐵 − 𝐴))
29	3, 4, 5, 7, 17, 8, 12, 19, 19, 21, 23, 24, 26, 28	tgcgrsub 28854	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))) → (𝑦 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐵))
30	3, 4, 5, 7, 17, 8, 19, 29	axtgcgrid 28807	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))) → 𝑦 = 𝑥)
31	30	oveq2d 7430	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))) → (𝐶𝐼𝑦) = (𝐶𝐼𝑥))
32	16, 31	eleqtrd 2862	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))) → 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑥))
33	3, 4, 5, 7, 12, 10, 8, 32	tgbtwncom 28833	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))) → 𝐷 ∈ (𝑥𝐼𝐶))
34	3, 4, 5, 7, 8, 10, 12, 14, 33	tgbtwnswapid 28837	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))) → 𝑥 = 𝐷)
35	34	oveq2d 7430	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))) → (𝐶 − 𝑥) = (𝐶 − 𝐷))
36	2, 35	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝐷))
37		legtri3.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐷) ≤ (𝐴 − 𝐵))
38		legval.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (≤G‘𝐺)
39	3, 4, 5, 38, 6, 11, 9, 20, 18	legov2 28931	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐷) ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))))
40	37, 39	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵)))
41	40	ad2antrr 739	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵)))
42	36, 41	r19.29a 3170	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝐷))
43		legtri3.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐷))
44	3, 4, 5, 38, 6, 20, 18, 11, 9	legov 28930	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐷) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))))
45	43, 44	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥)))
46	42, 45	r19.29a 3170	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝐷))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3086   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  Basecbs 17304  distcds 17354  TarskiGcstrkg 28771  Itvcitv 28777  ≤Gcleg 28927

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-oadd 8462  df-er 8699  df-pm 8832  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-dju 9909  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12532  df-xnn0 12605  df-z 12619  df-uz 12891  df-fz 13565  df-fzo 13713  df-hash 14398  df-word 14582  df-concat 14639  df-s1 14666  df-s2 14922  df-s3 14923  df-trkgc 28792  df-trkgb 28793  df-trkgcb 28794  df-trkg 28797  df-cgrg 28856  df-leg 28928

This theorem is used by:  legeq  28938  legbtwn  28939  legso  28944