MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  legtri3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem legtri3 26710
Description: Equality from the less-than relationship. Proposition 5.9 of [Schwabhauser] p. 42. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
legval.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
legval.d = (dist‘𝐺)
legval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
legval.l = (≤G‘𝐺)
legval.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
legid.a (𝜑𝐴𝑃)
legid.b (𝜑𝐵𝑃)
legtrd.c (𝜑𝐶𝑃)
legtrd.d (𝜑𝐷𝑃)
legtri3.1 (𝜑 → (𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷))
legtri3.2 (𝜑 → (𝐶 𝐷) (𝐴 𝐵))
Assertion
Ref Expression
legtri3 (𝜑 → (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝐷))

Proof of Theorem legtri3
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpllr 776 . . . . 5 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 𝑦) = (𝐴 𝐵))) → (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥)))
21simprd 499 . . . 4 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 𝑦) = (𝐴 𝐵))) → (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))
3 legval.p . . . . . 6 𝑃 = (Base‘𝐺)
4 legval.d . . . . . 6 = (dist‘𝐺)
5 legval.i . . . . . 6 𝐼 = (Itv‘𝐺)
6 legval.g . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
76ad4antr 732 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 𝑦) = (𝐴 𝐵))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8 simp-4r 784 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 𝑦) = (𝐴 𝐵))) → 𝑥𝑃)
9 legtrd.d . . . . . . 7 (𝜑𝐷𝑃)
109ad4antr 732 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 𝑦) = (𝐴 𝐵))) → 𝐷𝑃)
11 legtrd.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶𝑃)
1211ad4antr 732 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 𝑦) = (𝐴 𝐵))) → 𝐶𝑃)
131simpld 498 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 𝑦) = (𝐴 𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷))
143, 4, 5, 7, 12, 8, 10, 13tgbtwncom 26608 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 𝑦) = (𝐴 𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐷𝐼𝐶))
15 simpr 488 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 𝑦) = (𝐴 𝐵))) → (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 𝑦) = (𝐴 𝐵)))
1615simpld 498 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 𝑦) = (𝐴 𝐵))) → 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦))
17 simplr 769 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 𝑦) = (𝐴 𝐵))) → 𝑦𝑃)
18 legid.b . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵𝑃)
1918ad4antr 732 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 𝑦) = (𝐴 𝐵))) → 𝐵𝑃)
20 legid.a . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴𝑃)
2120ad4antr 732 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 𝑦) = (𝐴 𝐵))) → 𝐴𝑃)
223, 4, 5, 7, 12, 10, 17, 16tgbtwncom 26608 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 𝑦) = (𝐴 𝐵))) → 𝐷 ∈ (𝑦𝐼𝐶))
233, 4, 5, 7, 17, 10, 8, 12, 22, 14tgbtwnexch2 26616 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 𝑦) = (𝐴 𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝑦𝐼𝐶))
243, 4, 5, 7, 19, 21tgbtwntriv1 26611 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 𝑦) = (𝐴 𝐵))) → 𝐵 ∈ (𝐵𝐼𝐴))
2515simprd 499 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 𝑦) = (𝐴 𝐵))) → (𝐶 𝑦) = (𝐴 𝐵))
263, 4, 5, 7, 12, 17, 21, 19, 25tgcgrcomlr 26600 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 𝑦) = (𝐴 𝐵))) → (𝑦 𝐶) = (𝐵 𝐴))
272eqcomd 2745 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 𝑦) = (𝐴 𝐵))) → (𝐶 𝑥) = (𝐴 𝐵))
283, 4, 5, 7, 12, 8, 21, 19, 27tgcgrcomlr 26600 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 𝑦) = (𝐴 𝐵))) → (𝑥 𝐶) = (𝐵 𝐴))
293, 4, 5, 7, 17, 8, 12, 19, 19, 21, 23, 24, 26, 28tgcgrsub 26629 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 𝑦) = (𝐴 𝐵))) → (𝑦 𝑥) = (𝐵 𝐵))
303, 4, 5, 7, 17, 8, 19, 29axtgcgrid 26583 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 𝑦) = (𝐴 𝐵))) → 𝑦 = 𝑥)
3130oveq2d 7250 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 𝑦) = (𝐴 𝐵))) → (𝐶𝐼𝑦) = (𝐶𝐼𝑥))
3216, 31eleqtrd 2842 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 𝑦) = (𝐴 𝐵))) → 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑥))
333, 4, 5, 7, 12, 10, 8, 32tgbtwncom 26608 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 𝑦) = (𝐴 𝐵))) → 𝐷 ∈ (𝑥𝐼𝐶))
343, 4, 5, 7, 8, 10, 12, 14, 33tgbtwnswapid 26612 . . . . 5 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 𝑦) = (𝐴 𝐵))) → 𝑥 = 𝐷)
3534oveq2d 7250 . . . 4 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 𝑦) = (𝐴 𝐵))) → (𝐶 𝑥) = (𝐶 𝐷))
362, 35eqtrd 2779 . . 3 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 𝑦) = (𝐴 𝐵))) → (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝐷))
37 legtri3.2 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶 𝐷) (𝐴 𝐵))
38 legval.l . . . . . 6 = (≤G‘𝐺)
393, 4, 5, 38, 6, 11, 9, 20, 18legov2 26706 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐶 𝐷) (𝐴 𝐵) ↔ ∃𝑦𝑃 (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 𝑦) = (𝐴 𝐵))))
4037, 39mpbid 235 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑦𝑃 (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 𝑦) = (𝐴 𝐵)))
4140ad2antrr 726 . . 3 (((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) → ∃𝑦𝑃 (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 𝑦) = (𝐴 𝐵)))
4236, 41r19.29a 3217 . 2 (((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) → (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝐷))
43 legtri3.1 . . 3 (𝜑 → (𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷))
443, 4, 5, 38, 6, 20, 18, 11, 9legov 26705 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷) ↔ ∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))))
4543, 44mpbid 235 . 2 (𝜑 → ∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥)))
4642, 45r19.29a 3217 1 (𝜑 → (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1543  wcel 2112  wrex 3064   class class class wbr 5069  cfv 6400  (class class class)co 7234  Basecbs 16790  distcds 16841  TarskiGcstrkg 26550  Itvcitv 26556  ≤Gcleg 26702
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2710  ax-rep 5195  ax-sep 5208  ax-nul 5215  ax-pow 5274  ax-pr 5338  ax-un 7544  ax-cnex 10812  ax-resscn 10813  ax-1cn 10814  ax-icn 10815  ax-addcl 10816  ax-addrcl 10817  ax-mulcl 10818  ax-mulrcl 10819  ax-mulcom 10820  ax-addass 10821  ax-mulass 10822  ax-distr 10823  ax-i2m1 10824  ax-1ne0 10825  ax-1rid 10826  ax-rnegex 10827  ax-rrecex 10828  ax-cnre 10829  ax-pre-lttri 10830  ax-pre-lttrn 10831  ax-pre-ltadd 10832  ax-pre-mulgt0 10833
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2818  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3711  df-csb 3828  df-dif 3885  df-un 3887  df-in 3889  df-ss 3899  df-pss 3901  df-nul 4254  df-if 4456  df-pw 4531  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4836  df-int 4876  df-iun 4922  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5152  df-tr 5178  df-id 5471  df-eprel 5477  df-po 5485  df-so 5486  df-fr 5526  df-we 5528  df-xp 5574  df-rel 5575  df-cnv 5576  df-co 5577  df-dm 5578  df-rn 5579  df-res 5580  df-ima 5581  df-pred 6178  df-ord 6236  df-on 6237  df-lim 6238  df-suc 6239  df-iota 6358  df-fun 6402  df-fn 6403  df-f 6404  df-f1 6405  df-fo 6406  df-f1o 6407  df-fv 6408  df-riota 7191  df-ov 7237  df-oprab 7238  df-mpo 7239  df-om 7666  df-1st 7782  df-2nd 7783  df-wrecs 8070  df-recs 8131  df-rdg 8169  df-1o 8225  df-oadd 8229  df-er 8414  df-pm 8534  df-en 8650  df-dom 8651  df-sdom 8652  df-fin 8653  df-dju 9544  df-card 9582  df-pnf 10896  df-mnf 10897  df-xr 10898  df-ltxr 10899  df-le 10900  df-sub 11091  df-neg 11092  df-nn 11858  df-2 11920  df-3 11921  df-n0 12118  df-xnn0 12190  df-z 12204  df-uz 12466  df-fz 13123  df-fzo 13266  df-hash 13927  df-word 14100  df-concat 14156  df-s1 14183  df-s2 14443  df-s3 14444  df-trkgc 26568  df-trkgb 26569  df-trkgcb 26570  df-trkg 26573  df-cgrg 26631  df-leg 26703
This theorem is referenced by:  legeq  26713  legbtwn  26714  legso  26719
  Copyright terms: Public domain W3C validator