Theorem legtri3 28674

Description: Equality from the less-than relationship. Proposition 5.9 of [Schwabhauser] p. 42. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
legval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
legval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
legval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
legval.l	⊢ ≤ = (≤G‘𝐺)
legval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
legid.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
legid.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
legtrd.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
legtrd.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
legtri3.1	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐷))
legtri3.2	⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐷) ≤ (𝐴 − 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
legtri3	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝐷))

Proof of Theorem legtri3

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpllr 776	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))) → (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥)))
2	1	simprd 495	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))
3		legval.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
4		legval.d	. . . . . 6 ⊢ − = (dist‘𝐺)
5		legval.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
6		legval.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7	6	ad4antr 733	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8		simp-4r 784	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))) → 𝑥 ∈ 𝑃)
9		legtrd.d	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
10	9	ad4antr 733	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))) → 𝐷 ∈ 𝑃)
11		legtrd.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
12	11	ad4antr 733	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
13	1	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷))
14	3, 4, 5, 7, 12, 8, 10, 13	tgbtwncom 28572	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐷𝐼𝐶))
15		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))) → (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵)))
16	15	simpld 494	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))) → 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦))
17		simplr 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))) → 𝑦 ∈ 𝑃)
18		legid.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
19	18	ad4antr 733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))) → 𝐵 ∈ 𝑃)
20		legid.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
21	20	ad4antr 733	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))) → 𝐴 ∈ 𝑃)
22	3, 4, 5, 7, 12, 10, 17, 16	tgbtwncom 28572	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))) → 𝐷 ∈ (𝑦𝐼𝐶))
23	3, 4, 5, 7, 17, 10, 8, 12, 22, 14	tgbtwnexch2 28580	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝑦𝐼𝐶))
24	3, 4, 5, 7, 19, 21	tgbtwntriv1 28575	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))) → 𝐵 ∈ (𝐵𝐼𝐴))
25	15	simprd 495	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))) → (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))
26	3, 4, 5, 7, 12, 17, 21, 19, 25	tgcgrcomlr 28564	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))) → (𝑦 − 𝐶) = (𝐵 − 𝐴))
27	2	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))) → (𝐶 − 𝑥) = (𝐴 − 𝐵))
28	3, 4, 5, 7, 12, 8, 21, 19, 27	tgcgrcomlr 28564	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))) → (𝑥 − 𝐶) = (𝐵 − 𝐴))
29	3, 4, 5, 7, 17, 8, 12, 19, 19, 21, 23, 24, 26, 28	tgcgrsub 28593	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))) → (𝑦 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐵))
30	3, 4, 5, 7, 17, 8, 19, 29	axtgcgrid 28547	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))) → 𝑦 = 𝑥)
31	30	oveq2d 7384	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))) → (𝐶𝐼𝑦) = (𝐶𝐼𝑥))
32	16, 31	eleqtrd 2839	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))) → 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑥))
33	3, 4, 5, 7, 12, 10, 8, 32	tgbtwncom 28572	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))) → 𝐷 ∈ (𝑥𝐼𝐶))
34	3, 4, 5, 7, 8, 10, 12, 14, 33	tgbtwnswapid 28576	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))) → 𝑥 = 𝐷)
35	34	oveq2d 7384	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))) → (𝐶 − 𝑥) = (𝐶 − 𝐷))
36	2, 35	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝐷))
37		legtri3.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐷) ≤ (𝐴 − 𝐵))
38		legval.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (≤G‘𝐺)
39	3, 4, 5, 38, 6, 11, 9, 20, 18	legov2 28670	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐷) ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))))
40	37, 39	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵)))
41	40	ad2antrr 727	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵)))
42	36, 41	r19.29a 3146	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝐷))
43		legtri3.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐷))
44	3, 4, 5, 38, 6, 20, 18, 11, 9	legov 28669	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐷) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))))
45	43, 44	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥)))
46	42, 45	r19.29a 3146	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Basecbs 17148  distcds 17198  TarskiGcstrkg 28511  Itvcitv 28517  ≤Gcleg 28666

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-oadd 8411  df-er 8645  df-pm 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-xnn0 12487  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-hash 14266  df-word 14449  df-concat 14506  df-s1 14532  df-s2 14783  df-s3 14784  df-trkgc 28532  df-trkgb 28533  df-trkgcb 28534  df-trkg 28537  df-cgrg 28595  df-leg 28667

This theorem is referenced by:  legeq  28677  legbtwn  28678  legso  28683