Theorem legtri3 29068

Description: Equality from the less-than relationship. Proposition 5.9 of [Schwabhauser] p. 42. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
legval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
legval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
legval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
legval.l	⊢ ≤ = (≤G‘𝐺)
legval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
legid.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
legid.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
legtrd.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
legtrd.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
legtri3.1	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐷))
legtri3.2	⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐷) ≤ (𝐴 − 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
legtri3	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝐷))

Proof of Theorem legtri3

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpllr 788	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))) → (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥)))
2	1	simprd 501	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))
3		legval.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
4		legval.d	. . . . . 6 ⊢ − = (dist‘𝐺)
5		legval.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
6		legval.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7	6	ad4antr 745	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8		simp-4r 796	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))) → 𝑥 ∈ 𝑃)
9		legtrd.d	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
10	9	ad4antr 745	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))) → 𝐷 ∈ 𝑃)
11		legtrd.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
12	11	ad4antr 745	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
13	1	simpld 500	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷))
14	3, 4, 5, 7, 12, 8, 10, 13	tgbtwncom 28966	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐷𝐼𝐶))
15		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))) → (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵)))
16	15	simpld 500	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))) → 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦))
17		simplr 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))) → 𝑦 ∈ 𝑃)
18		legid.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
19	18	ad4antr 745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))) → 𝐵 ∈ 𝑃)
20		legid.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
21	20	ad4antr 745	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))) → 𝐴 ∈ 𝑃)
22	3, 4, 5, 7, 12, 10, 17, 16	tgbtwncom 28966	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))) → 𝐷 ∈ (𝑦𝐼𝐶))
23	3, 4, 5, 7, 17, 10, 8, 12, 22, 14	tgbtwnexch2 28974	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝑦𝐼𝐶))
24	3, 4, 5, 7, 19, 21	tgbtwntriv1 28969	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))) → 𝐵 ∈ (𝐵𝐼𝐴))
25	15	simprd 501	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))) → (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))
26	3, 4, 5, 7, 12, 17, 21, 19, 25	tgcgrcomlr 28957	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))) → (𝑦 − 𝐶) = (𝐵 − 𝐴))
27	2	eqcomd 2769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))) → (𝐶 − 𝑥) = (𝐴 − 𝐵))
28	3, 4, 5, 7, 12, 8, 21, 19, 27	tgcgrcomlr 28957	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))) → (𝑥 − 𝐶) = (𝐵 − 𝐴))
29	3, 4, 5, 7, 17, 8, 12, 19, 19, 21, 23, 24, 26, 28	tgcgrsub 28987	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))) → (𝑦 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐵))
30	3, 4, 5, 7, 17, 8, 19, 29	axtgcgrid 28940	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))) → 𝑦 = 𝑥)
31	30	oveq2d 7446	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))) → (𝐶𝐼𝑦) = (𝐶𝐼𝑥))
32	16, 31	eleqtrd 2866	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))) → 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑥))
33	3, 4, 5, 7, 12, 10, 8, 32	tgbtwncom 28966	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))) → 𝐷 ∈ (𝑥𝐼𝐶))
34	3, 4, 5, 7, 8, 10, 12, 14, 33	tgbtwnswapid 28970	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))) → 𝑥 = 𝐷)
35	34	oveq2d 7446	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))) → (𝐶 − 𝑥) = (𝐶 − 𝐷))
36	2, 35	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝐷))
37		legtri3.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐷) ≤ (𝐴 − 𝐵))
38		legval.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (≤G‘𝐺)
39	3, 4, 5, 38, 6, 11, 9, 20, 18	legov2 29064	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐷) ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))))
40	37, 39	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵)))
41	40	ad2antrr 739	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵)))
42	36, 41	r19.29a 3174	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝐷))
43		legtri3.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐷))
44	3, 4, 5, 38, 6, 20, 18, 11, 9	legov 29063	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐷) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))))
45	43, 44	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥)))
46	42, 45	r19.29a 3174	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝐷))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  ∃wrex 3090   class class class wbr 5106  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430  Basecbs 17402  distcds 17452  TarskiGcstrkg 28904  Itvcitv 28910  ≤Gcleg 29060

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7888  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8490  df-oadd 8494  df-er 8731  df-pm 8864  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-fin 8991  df-dju 9995  df-card 10033  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-nn 12349  df-2 12418  df-3 12419  df-n0 12620  df-xnn0 12693  df-z 12707  df-uz 12979  df-fz 13653  df-fzo 13802  df-hash 14488  df-word 14672  df-concat 14729  df-s1 14756  df-s2 15013  df-s3 15014  df-trkgc 28925  df-trkgb 28926  df-trkgcb 28927  df-trkg 28930  df-cgrg 28989  df-leg 29061

This theorem is used by:  legeq  29071  legbtwn  29072  legso  29077