Theorem legtri3 26378

Description: Equality from the less-than relationship. Proposition 5.9 of [Schwabhauser] p. 42. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
legval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
legval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
legval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
legval.l	⊢ ≤ = (≤G‘𝐺)
legval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
legid.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
legid.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
legtrd.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
legtrd.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
legtri3.1	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐷))
legtri3.2	⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐷) ≤ (𝐴 − 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
legtri3	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝐷))

Proof of Theorem legtri3

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpllr 774	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))) → (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥)))
2	1	simprd 498	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))
3		legval.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
4		legval.d	. . . . . 6 ⊢ − = (dist‘𝐺)
5		legval.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
6		legval.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7	6	ad4antr 730	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8		simp-4r 782	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))) → 𝑥 ∈ 𝑃)
9		legtrd.d	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
10	9	ad4antr 730	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))) → 𝐷 ∈ 𝑃)
11		legtrd.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
12	11	ad4antr 730	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
13	1	simpld 497	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷))
14	3, 4, 5, 7, 12, 8, 10, 13	tgbtwncom 26276	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐷𝐼𝐶))
15		simpr 487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))) → (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵)))
16	15	simpld 497	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))) → 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦))
17		simplr 767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))) → 𝑦 ∈ 𝑃)
18		legid.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
19	18	ad4antr 730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))) → 𝐵 ∈ 𝑃)
20		legid.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
21	20	ad4antr 730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))) → 𝐴 ∈ 𝑃)
22	3, 4, 5, 7, 12, 10, 17, 16	tgbtwncom 26276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))) → 𝐷 ∈ (𝑦𝐼𝐶))
23	3, 4, 5, 7, 17, 10, 8, 12, 22, 14	tgbtwnexch2 26284	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝑦𝐼𝐶))
24	3, 4, 5, 7, 19, 21	tgbtwntriv1 26279	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))) → 𝐵 ∈ (𝐵𝐼𝐴))
25	15	simprd 498	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))) → (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))
26	3, 4, 5, 7, 12, 17, 21, 19, 25	tgcgrcomlr 26268	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))) → (𝑦 − 𝐶) = (𝐵 − 𝐴))
27	2	eqcomd 2829	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))) → (𝐶 − 𝑥) = (𝐴 − 𝐵))
28	3, 4, 5, 7, 12, 8, 21, 19, 27	tgcgrcomlr 26268	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))) → (𝑥 − 𝐶) = (𝐵 − 𝐴))
29	3, 4, 5, 7, 17, 8, 12, 19, 19, 21, 23, 24, 26, 28	tgcgrsub 26297	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))) → (𝑦 − 𝑥) = (𝐵 − 𝐵))
30	3, 4, 5, 7, 17, 8, 19, 29	axtgcgrid 26251	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))) → 𝑦 = 𝑥)
31	30	oveq2d 7174	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))) → (𝐶𝐼𝑦) = (𝐶𝐼𝑥))
32	16, 31	eleqtrd 2917	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))) → 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑥))
33	3, 4, 5, 7, 12, 10, 8, 32	tgbtwncom 26276	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))) → 𝐷 ∈ (𝑥𝐼𝐶))
34	3, 4, 5, 7, 8, 10, 12, 14, 33	tgbtwnswapid 26280	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))) → 𝑥 = 𝐷)
35	34	oveq2d 7174	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))) → (𝐶 − 𝑥) = (𝐶 − 𝐷))
36	2, 35	eqtrd 2858	. . 3 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝐷))
37		legtri3.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐷) ≤ (𝐴 − 𝐵))
38		legval.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (≤G‘𝐺)
39	3, 4, 5, 38, 6, 11, 9, 20, 18	legov2 26374	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐷) ≤ (𝐴 − 𝐵) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵))))
40	37, 39	mpbid 234	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵)))
41	40	ad2antrr 724	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 − 𝑦) = (𝐴 − 𝐵)))
42	36, 41	r19.29a 3291	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝐷))
43		legtri3.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐷))
44	3, 4, 5, 38, 6, 20, 18, 11, 9	legov 26373	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐷) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥))))
45	43, 44	mpbid 234	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑃 (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝑥)))
46	42, 45	r19.29a 3291	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) = (𝐶 − 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3141   class class class wbr 5068  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  Basecbs 16485  distcds 16576  TarskiGcstrkg 26218  Itvcitv 26224  ≤Gcleg 26370

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-oadd 8108  df-er 8291  df-pm 8411  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-dju 9332  df-card 9370  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-n0 11901  df-xnn0 11971  df-z 11985  df-uz 12247  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-hash 13694  df-word 13865  df-concat 13925  df-s1 13952  df-s2 14212  df-s3 14213  df-trkgc 26236  df-trkgb 26237  df-trkgcb 26238  df-trkg 26241  df-cgrg 26299  df-leg 26371

This theorem is referenced by:  legeq  26381  legbtwn  26382  legso  26387