MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cgr3swap23 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cgr3swap23 28244
Description: Permutation law for three-place congruence. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tgcgrxfr.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
tgcgrxfr.m = (dist‘𝐺)
tgcgrxfr.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tgcgrxfr.r = (cgrG‘𝐺)
tgcgrxfr.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
tgbtwnxfr.a (𝜑𝐴𝑃)
tgbtwnxfr.b (𝜑𝐵𝑃)
tgbtwnxfr.c (𝜑𝐶𝑃)
tgbtwnxfr.d (𝜑𝐷𝑃)
tgbtwnxfr.e (𝜑𝐸𝑃)
tgbtwnxfr.f (𝜑𝐹𝑃)
tgbtwnxfr.2 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
Assertion
Ref Expression
cgr3swap23 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐶𝐵”⟩ ⟨“𝐷𝐹𝐸”⟩)

Proof of Theorem cgr3swap23
StepHypRef Expression
1 tgcgrxfr.p . 2 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 tgcgrxfr.m . 2 = (dist‘𝐺)
3 tgcgrxfr.r . 2 = (cgrG‘𝐺)
4 tgcgrxfr.g . 2 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
5 tgbtwnxfr.a . 2 (𝜑𝐴𝑃)
6 tgbtwnxfr.c . 2 (𝜑𝐶𝑃)
7 tgbtwnxfr.b . 2 (𝜑𝐵𝑃)
8 tgbtwnxfr.d . 2 (𝜑𝐷𝑃)
9 tgbtwnxfr.f . 2 (𝜑𝐹𝑃)
10 tgbtwnxfr.e . 2 (𝜑𝐸𝑃)
11 tgcgrxfr.i . . 3 𝐼 = (Itv‘𝐺)
12 tgbtwnxfr.2 . . . 4 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
131, 2, 11, 3, 4, 5, 7, 6, 8, 10, 9, 12cgr3simp3 28242 . . 3 (𝜑 → (𝐶 𝐴) = (𝐹 𝐷))
141, 2, 11, 4, 6, 5, 9, 8, 13tgcgrcomlr 28200 . 2 (𝜑 → (𝐴 𝐶) = (𝐷 𝐹))
151, 2, 11, 3, 4, 5, 7, 6, 8, 10, 9, 12cgr3simp2 28241 . . 3 (𝜑 → (𝐵 𝐶) = (𝐸 𝐹))
161, 2, 11, 4, 7, 6, 10, 9, 15tgcgrcomlr 28200 . 2 (𝜑 → (𝐶 𝐵) = (𝐹 𝐸))
171, 2, 11, 3, 4, 5, 7, 6, 8, 10, 9, 12cgr3simp1 28240 . . 3 (𝜑 → (𝐴 𝐵) = (𝐷 𝐸))
181, 2, 11, 4, 5, 7, 8, 10, 17tgcgrcomlr 28200 . 2 (𝜑 → (𝐵 𝐴) = (𝐸 𝐷))
191, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 14, 16, 18trgcgr 28236 1 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐶𝐵”⟩ ⟨“𝐷𝐹𝐸”⟩)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1533  wcel 2098   class class class wbr 5138  cfv 6533  ⟨“cs3 14790  Basecbs 17143  distcds 17205  TarskiGcstrkg 28147  Itvcitv 28153  cgrGccgrg 28230
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-card 9930  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-hash 14288  df-word 14462  df-concat 14518  df-s1 14543  df-s2 14796  df-s3 14797  df-trkgc 28168  df-trkgcb 28170  df-trkg 28173  df-cgrg 28231
This theorem is referenced by:  cgr3swap13  28245  cgr3rotr  28246  cgr3rotl  28247  lnxfr  28286  lnext  28287  tgfscgr  28288  legov  28305  legov2  28306  legtrd  28309  symquadlem  28409
  Copyright terms: Public domain W3C validator