Theorem cgr3swap23 26024

Description: Permutation law for three-place congruence. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgcgrxfr.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tgcgrxfr.m	⊢ − = (dist‘𝐺)
tgcgrxfr.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tgcgrxfr.r	⊢ ∼ = (cgrG‘𝐺)
tgcgrxfr.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tgbtwnxfr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
tgbtwnxfr.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
tgbtwnxfr.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
tgbtwnxfr.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
tgbtwnxfr.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
tgbtwnxfr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
tgbtwnxfr.2	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∼ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)

Assertion

Ref	Expression
cgr3swap23	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐶𝐵”⟩ ∼ ⟨“𝐷𝐹𝐸”⟩)

Proof of Theorem cgr3swap23

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgcgrxfr.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		tgcgrxfr.m	. 2 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		tgcgrxfr.r	. 2 ⊢ ∼ = (cgrG‘𝐺)
4		tgcgrxfr.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5		tgbtwnxfr.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
6		tgbtwnxfr.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
7		tgbtwnxfr.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
8		tgbtwnxfr.d	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
9		tgbtwnxfr.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
10		tgbtwnxfr.e	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
11		tgcgrxfr.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
12		tgbtwnxfr.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∼ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
13	1, 2, 11, 3, 4, 5, 7, 6, 8, 10, 9, 12	cgr3simp3 26022	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐴) = (𝐹 − 𝐷))
14	1, 2, 11, 4, 6, 5, 9, 8, 13	tgcgrcomlr 25980	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐹))
15	1, 2, 11, 3, 4, 5, 7, 6, 8, 10, 9, 12	cgr3simp2 26021	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹))
16	1, 2, 11, 4, 7, 6, 10, 9, 15	tgcgrcomlr 25980	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐵) = (𝐹 − 𝐸))
17	1, 2, 11, 3, 4, 5, 7, 6, 8, 10, 9, 12	cgr3simp1 26020	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝐸))
18	1, 2, 11, 4, 5, 7, 8, 10, 17	tgcgrcomlr 25980	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) = (𝐸 − 𝐷))
19	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 14, 16, 18	trgcgr 26016	1 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐶𝐵”⟩ ∼ ⟨“𝐷𝐹𝐸”⟩)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1507   ∈ wcel 2050   class class class wbr 4925  ‘cfv 6185  ⟨“cs3 14064  Basecbs 16337  distcds 16428  TarskiGcstrkg 25930  Itvcitv 25936  cgrGccgrg 26010

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-pss 3839  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-int 4746  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-1o 7903  df-oadd 7907  df-er 8087  df-pm 8207  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-fin 8308  df-card 9160  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-nn 11438  df-2 11501  df-3 11502  df-n0 11706  df-z 11792  df-uz 12057  df-fz 12707  df-fzo 12848  df-hash 13504  df-word 13671  df-concat 13732  df-s1 13757  df-s2 14070  df-s3 14071  df-trkgc 25948  df-trkgcb 25950  df-trkg 25953  df-cgrg 26011

This theorem is referenced by:  cgr3swap13  26025  cgr3rotr  26026  cgr3rotl  26027  lnxfr  26066  lnext  26067  tgfscgr  26068  legov  26085  legov2  26086  legtrd  26089  symquadlem  26189