Theorem legbtwn 28681

Description: Deduce betweenness from "less than" relation. Corresponds loosely to Proposition 6.13 of [Schwabhauser] p. 45. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
legval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
legval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
legval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
legval.l	⊢ ≤ = (≤G‘𝐺)
legval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
legid.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
legid.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
legtrd.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
legtrd.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
legbtwn.1	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))
legbtwn.2	⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐴) ≤ (𝐶 − 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
legbtwn	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))

Proof of Theorem legbtwn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 485	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))
2		legval.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
3		legval.d	. . . . 5 ⊢ − = (dist‘𝐺)
4		legval.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5		legval.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6	5	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		legid.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
8	7	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
9		legid.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
10	9	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
11		legtrd.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
12	11	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
13		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴))
14	2, 3, 4, 6, 12, 10, 8, 13	tgbtwncom 28575	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
15	2, 3, 4, 6, 10, 12	tgbtwntriv1 28578	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐵 ∈ (𝐵𝐼𝐶))
16		legval.l	. . . . . . . 8 ⊢ ≤ = (≤G‘𝐺)
17		legbtwn.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐴) ≤ (𝐶 − 𝐵))
18	17	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → (𝐶 − 𝐴) ≤ (𝐶 − 𝐵))
19	2, 3, 4, 16, 6, 12, 10, 8, 13	btwnleg 28675	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → (𝐶 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐴))
20	2, 3, 4, 16, 6, 12, 8, 12, 10, 18, 19	legtri3 28677	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → (𝐶 − 𝐴) = (𝐶 − 𝐵))
21	2, 3, 4, 6, 12, 8, 12, 10, 20	tgcgrcomlr 28567	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → (𝐴 − 𝐶) = (𝐵 − 𝐶))
22		eqidd 2740	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → (𝐵 − 𝐶) = (𝐵 − 𝐶))
23	2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 10, 10, 12, 14, 15, 21, 22	tgcgrsub 28596	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐵))
24	2, 3, 4, 6, 8, 10, 10, 23	axtgcgrid 28550	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐴 = 𝐵)
25	24, 13	eqeltrd 2839	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐴))
26	24	oveq2d 7373	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → (𝐶𝐼𝐴) = (𝐶𝐼𝐵))
27	25, 26	eleqtrd 2841	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))
28		legbtwn.1	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))
29	1, 27, 28	mpjaodan 966	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 853   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5073  ‘cfv 6486  (class class class)co 7357  Basecbs 17171  distcds 17221  TarskiGcstrkg 28514  Itvcitv 28520  ≤Gcleg 28669

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5200  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-tp 4561  df-op 4563  df-uni 4840  df-int 4879  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7808  df-1st 7932  df-2nd 7933  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-oadd 8400  df-er 8634  df-pm 8767  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-dju 9817  df-card 9855  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-nn 12167  df-2 12236  df-3 12237  df-n0 12430  df-xnn0 12503  df-z 12517  df-uz 12781  df-fz 13454  df-fzo 13601  df-hash 14285  df-word 14468  df-concat 14525  df-s1 14551  df-s2 14802  df-s3 14803  df-trkgc 28535  df-trkgb 28536  df-trkgcb 28537  df-trkg 28540  df-cgrg 28598  df-leg 28670

This theorem is referenced by:  tgcgrsub2  28682  krippenlem  28777