MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  legbtwn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem legbtwn 28616
Description: Deduce betweenness from "less than" relation. Corresponds loosely to Proposition 6.13 of [Schwabhauser] p. 45. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
legval.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
legval.d = (dist‘𝐺)
legval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
legval.l = (≤G‘𝐺)
legval.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
legid.a (𝜑𝐴𝑃)
legid.b (𝜑𝐵𝑃)
legtrd.c (𝜑𝐶𝑃)
legtrd.d (𝜑𝐷𝑃)
legbtwn.1 (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))
legbtwn.2 (𝜑 → (𝐶 𝐴) (𝐶 𝐵))
Assertion
Ref Expression
legbtwn (𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))

Proof of Theorem legbtwn
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . 2 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))
2 legval.p . . . . 5 𝑃 = (Base‘𝐺)
3 legval.d . . . . 5 = (dist‘𝐺)
4 legval.i . . . . 5 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5 legval.g . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
65adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
7 legid.a . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑃)
87adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐴𝑃)
9 legid.b . . . . . 6 (𝜑𝐵𝑃)
109adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐵𝑃)
11 legtrd.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶𝑃)
1211adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐶𝑃)
13 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴))
142, 3, 4, 6, 12, 10, 8, 13tgbtwncom 28510 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
152, 3, 4, 6, 10, 12tgbtwntriv1 28513 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐵 ∈ (𝐵𝐼𝐶))
16 legval.l . . . . . . . 8 = (≤G‘𝐺)
17 legbtwn.2 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶 𝐴) (𝐶 𝐵))
1817adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → (𝐶 𝐴) (𝐶 𝐵))
192, 3, 4, 16, 6, 12, 10, 8, 13btwnleg 28610 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → (𝐶 𝐵) (𝐶 𝐴))
202, 3, 4, 16, 6, 12, 8, 12, 10, 18, 19legtri3 28612 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → (𝐶 𝐴) = (𝐶 𝐵))
212, 3, 4, 6, 12, 8, 12, 10, 20tgcgrcomlr 28502 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → (𝐴 𝐶) = (𝐵 𝐶))
22 eqidd 2735 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → (𝐵 𝐶) = (𝐵 𝐶))
232, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 10, 10, 12, 14, 15, 21, 22tgcgrsub 28531 . . . . 5 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → (𝐴 𝐵) = (𝐵 𝐵))
242, 3, 4, 6, 8, 10, 10, 23axtgcgrid 28485 . . . 4 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐴 = 𝐵)
2524, 13eqeltrd 2838 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐴))
2624oveq2d 7446 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → (𝐶𝐼𝐴) = (𝐶𝐼𝐵))
2725, 26eleqtrd 2840 . 2 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))
28 legbtwn.1 . 2 (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))
291, 27, 28mpjaodan 960 1 (𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wo 847   = wceq 1536  wcel 2105   class class class wbr 5147  cfv 6562  (class class class)co 7430  Basecbs 17244  distcds 17306  TarskiGcstrkg 28449  Itvcitv 28455  ≤Gcleg 28604
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-oadd 8508  df-er 8743  df-pm 8867  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-dju 9938  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-uz 12876  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-hash 14366  df-word 14549  df-concat 14605  df-s1 14630  df-s2 14883  df-s3 14884  df-trkgc 28470  df-trkgb 28471  df-trkgcb 28472  df-trkg 28475  df-cgrg 28533  df-leg 28605
This theorem is referenced by:  tgcgrsub2  28617  krippenlem  28712
  Copyright terms: Public domain W3C validator