Theorem legbtwn 27064

Description: Deduce betweenness from "less than" relation. Corresponds loosely to Proposition 6.13 of [Schwabhauser] p. 45. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
legval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
legval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
legval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
legval.l	⊢ ≤ = (≤G‘𝐺)
legval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
legid.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
legid.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
legtrd.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
legtrd.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
legbtwn.1	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))
legbtwn.2	⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐴) ≤ (𝐶 − 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
legbtwn	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))

Proof of Theorem legbtwn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 485	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))
2		legval.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
3		legval.d	. . . . 5 ⊢ − = (dist‘𝐺)
4		legval.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5		legval.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6	5	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		legid.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
8	7	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
9		legid.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
10	9	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
11		legtrd.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
12	11	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
13		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴))
14	2, 3, 4, 6, 12, 10, 8, 13	tgbtwncom 26958	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
15	2, 3, 4, 6, 10, 12	tgbtwntriv1 26961	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐵 ∈ (𝐵𝐼𝐶))
16		legval.l	. . . . . . . 8 ⊢ ≤ = (≤G‘𝐺)
17		legbtwn.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐴) ≤ (𝐶 − 𝐵))
18	17	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → (𝐶 − 𝐴) ≤ (𝐶 − 𝐵))
19	2, 3, 4, 16, 6, 12, 10, 8, 13	btwnleg 27058	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → (𝐶 − 𝐵) ≤ (𝐶 − 𝐴))
20	2, 3, 4, 16, 6, 12, 8, 12, 10, 18, 19	legtri3 27060	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → (𝐶 − 𝐴) = (𝐶 − 𝐵))
21	2, 3, 4, 6, 12, 8, 12, 10, 20	tgcgrcomlr 26950	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → (𝐴 − 𝐶) = (𝐵 − 𝐶))
22		eqidd 2738	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → (𝐵 − 𝐶) = (𝐵 − 𝐶))
23	2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 10, 10, 12, 14, 15, 21, 22	tgcgrsub 26979	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐵))
24	2, 3, 4, 6, 8, 10, 10, 23	axtgcgrid 26933	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐴 = 𝐵)
25	24, 13	eqeltrd 2838	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐴))
26	24	oveq2d 7331	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → (𝐶𝐼𝐴) = (𝐶𝐼𝐵))
27	25, 26	eleqtrd 2840	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))
28		legbtwn.1	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))
29	1, 27, 28	mpjaodan 956	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 844   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5087  ‘cfv 6465  (class class class)co 7315  Basecbs 16982  distcds 17041  TarskiGcstrkg 26897  Itvcitv 26903  ≤Gcleg 27052

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5238  ax-nul 5245  ax-pow 5303  ax-pr 5367  ax-un 7628  ax-cnex 11000  ax-resscn 11001  ax-1cn 11002  ax-icn 11003  ax-addcl 11004  ax-addrcl 11005  ax-mulcl 11006  ax-mulrcl 11007  ax-mulcom 11008  ax-addass 11009  ax-mulass 11010  ax-distr 11011  ax-i2m1 11012  ax-1ne0 11013  ax-1rid 11014  ax-rnegex 11015  ax-rrecex 11016  ax-cnre 11017  ax-pre-lttri 11018  ax-pre-lttrn 11019  ax-pre-ltadd 11020  ax-pre-mulgt0 11021

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4268  df-if 4472  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-tp 4576  df-op 4578  df-uni 4851  df-int 4893  df-iun 4939  df-br 5088  df-opab 5150  df-mpt 5171  df-tr 5205  df-id 5507  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5562  df-we 5564  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-pred 6224  df-ord 6291  df-on 6292  df-lim 6293  df-suc 6294  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fn 6468  df-f 6469  df-f1 6470  df-fo 6471  df-f1o 6472  df-fv 6473  df-riota 7272  df-ov 7318  df-oprab 7319  df-mpo 7320  df-om 7758  df-1st 7876  df-2nd 7877  df-frecs 8144  df-wrecs 8175  df-recs 8249  df-rdg 8288  df-1o 8344  df-oadd 8348  df-er 8546  df-pm 8666  df-en 8782  df-dom 8783  df-sdom 8784  df-fin 8785  df-dju 9730  df-card 9768  df-pnf 11084  df-mnf 11085  df-xr 11086  df-ltxr 11087  df-le 11088  df-sub 11280  df-neg 11281  df-nn 12047  df-2 12109  df-3 12110  df-n0 12307  df-xnn0 12379  df-z 12393  df-uz 12656  df-fz 13313  df-fzo 13456  df-hash 14118  df-word 14290  df-concat 14346  df-s1 14373  df-s2 14633  df-s3 14634  df-trkgc 26918  df-trkgb 26919  df-trkgcb 26920  df-trkg 26923  df-cgrg 26981  df-leg 27053

This theorem is referenced by:  tgcgrsub2  27065  krippenlem  27160