MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgbtwnxfr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgbtwnxfr 25781
Description: A condition for extending betweenness to a new set of points based on congruence with another set of points. Theorem 4.6 of [Schwabhauser] p. 36. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tgcgrxfr.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
tgcgrxfr.m = (dist‘𝐺)
tgcgrxfr.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tgcgrxfr.r = (cgrG‘𝐺)
tgcgrxfr.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
tgbtwnxfr.a (𝜑𝐴𝑃)
tgbtwnxfr.b (𝜑𝐵𝑃)
tgbtwnxfr.c (𝜑𝐶𝑃)
tgbtwnxfr.d (𝜑𝐷𝑃)
tgbtwnxfr.e (𝜑𝐸𝑃)
tgbtwnxfr.f (𝜑𝐹𝑃)
tgbtwnxfr.2 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
tgbtwnxfr.1 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
Assertion
Ref Expression
tgbtwnxfr (𝜑𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹))

Proof of Theorem tgbtwnxfr
Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgcgrxfr.p . . . 4 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 tgcgrxfr.m . . . 4 = (dist‘𝐺)
3 tgcgrxfr.i . . . 4 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 tgcgrxfr.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
54ad2antrr 718 . . . 4 (((𝜑𝑒𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6 simplr 786 . . . 4 (((𝜑𝑒𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩)) → 𝑒𝑃)
7 tgbtwnxfr.e . . . . 5 (𝜑𝐸𝑃)
87ad2antrr 718 . . . 4 (((𝜑𝑒𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩)) → 𝐸𝑃)
9 tgbtwnxfr.d . . . . . 6 (𝜑𝐷𝑃)
109ad2antrr 718 . . . . 5 (((𝜑𝑒𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩)) → 𝐷𝑃)
11 tgbtwnxfr.f . . . . . 6 (𝜑𝐹𝑃)
1211ad2antrr 718 . . . . 5 (((𝜑𝑒𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩)) → 𝐹𝑃)
13 simprl 788 . . . . 5 (((𝜑𝑒𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩)) → 𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹))
14 eqidd 2800 . . . . 5 (((𝜑𝑒𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩)) → (𝐷 𝐹) = (𝐷 𝐹))
15 eqidd 2800 . . . . 5 (((𝜑𝑒𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩)) → (𝑒 𝐹) = (𝑒 𝐹))
16 tgcgrxfr.r . . . . . 6 = (cgrG‘𝐺)
17 tgbtwnxfr.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴𝑃)
1817ad2antrr 718 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑒𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩)) → 𝐴𝑃)
19 tgbtwnxfr.b . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵𝑃)
2019ad2antrr 718 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑒𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩)) → 𝐵𝑃)
21 tgbtwnxfr.c . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶𝑃)
2221ad2antrr 718 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑒𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩)) → 𝐶𝑃)
23 simprr 790 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑒𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩)) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩)
241, 2, 3, 16, 5, 18, 20, 22, 10, 6, 12, 23trgcgrcom 25779 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑒𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩)) → ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)
25 tgbtwnxfr.2 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
2625ad2antrr 718 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑒𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩)) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
271, 2, 3, 16, 5, 10, 6, 12, 18, 20, 22, 24, 10, 8, 12, 26cgr3tr 25780 . . . . . . 7 (((𝜑𝑒𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩)) → ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
281, 2, 3, 16, 5, 10, 6, 12, 10, 8, 12, 27trgcgrcom 25779 . . . . . 6 (((𝜑𝑒𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩)) → ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩)
291, 2, 3, 16, 5, 10, 8, 12, 10, 6, 12, 28cgr3simp1 25771 . . . . 5 (((𝜑𝑒𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩)) → (𝐷 𝐸) = (𝐷 𝑒))
301, 2, 3, 16, 5, 10, 8, 12, 10, 6, 12, 28cgr3simp2 25772 . . . . . 6 (((𝜑𝑒𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩)) → (𝐸 𝐹) = (𝑒 𝐹))
311, 2, 3, 5, 8, 12, 6, 12, 30tgcgrcomlr 25731 . . . . 5 (((𝜑𝑒𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩)) → (𝐹 𝐸) = (𝐹 𝑒))
321, 2, 3, 5, 10, 6, 12, 8, 10, 6, 12, 6, 13, 13, 14, 15, 29, 31tgifscgr 25759 . . . 4 (((𝜑𝑒𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩)) → (𝑒 𝐸) = (𝑒 𝑒))
331, 2, 3, 5, 6, 8, 6, 32axtgcgrid 25714 . . 3 (((𝜑𝑒𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩)) → 𝑒 = 𝐸)
3433, 13eqeltrrd 2879 . 2 (((𝜑𝑒𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩)) → 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹))
35 tgbtwnxfr.1 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
361, 2, 3, 16, 4, 17, 19, 21, 9, 7, 11, 25cgr3simp3 25773 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 𝐴) = (𝐹 𝐷))
371, 2, 3, 4, 21, 17, 11, 9, 36tgcgrcomlr 25731 . . 3 (𝜑 → (𝐴 𝐶) = (𝐷 𝐹))
381, 2, 3, 16, 4, 17, 19, 21, 9, 11, 35, 37tgcgrxfr 25769 . 2 (𝜑 → ∃𝑒𝑃 (𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩))
3934, 38r19.29a 3259 1 (𝜑𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157   class class class wbr 4843  cfv 6101  (class class class)co 6878  ⟨“cs3 13927  Basecbs 16184  distcds 16276  TarskiGcstrkg 25681  Itvcitv 25687  cgrGccgrg 25761
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-oadd 7803  df-er 7982  df-pm 8098  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-card 9051  df-cda 9278  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-n0 11581  df-xnn0 11653  df-z 11667  df-uz 11931  df-fz 12581  df-fzo 12721  df-hash 13371  df-word 13535  df-concat 13591  df-s1 13616  df-s2 13933  df-s3 13934  df-trkgc 25699  df-trkgb 25700  df-trkgcb 25701  df-trkg 25704  df-cgrg 25762
This theorem is referenced by:  lnxfr  25817  tgfscgr  25819  legov  25836  legov2  25837  legtrd  25840  mirbtwni  25922  cgrabtwn  26073  cgrahl  26074
  Copyright terms: Public domain W3C validator