Theorem cgr3swap12 28579

Description: Permutation law for three-place congruence. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgcgrxfr.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tgcgrxfr.m	⊢ − = (dist‘𝐺)
tgcgrxfr.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tgcgrxfr.r	⊢ ∼ = (cgrG‘𝐺)
tgcgrxfr.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tgbtwnxfr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
tgbtwnxfr.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
tgbtwnxfr.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
tgbtwnxfr.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
tgbtwnxfr.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
tgbtwnxfr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
tgbtwnxfr.2	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∼ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)

Assertion

Ref	Expression
cgr3swap12	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐵𝐴𝐶”⟩ ∼ ⟨“𝐸𝐷𝐹”⟩)

Proof of Theorem cgr3swap12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgcgrxfr.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		tgcgrxfr.m	. 2 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		tgcgrxfr.r	. 2 ⊢ ∼ = (cgrG‘𝐺)
4		tgcgrxfr.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5		tgbtwnxfr.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
6		tgbtwnxfr.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
7		tgbtwnxfr.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
8		tgbtwnxfr.e	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
9		tgbtwnxfr.d	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
10		tgbtwnxfr.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
11		tgcgrxfr.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
12		tgbtwnxfr.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∼ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
13	1, 2, 11, 3, 4, 6, 5, 7, 9, 8, 10, 12	cgr3simp1 28576	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝐸))
14	1, 2, 11, 4, 6, 5, 9, 8, 13	tgcgrcomlr 28536	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) = (𝐸 − 𝐷))
15	1, 2, 11, 3, 4, 6, 5, 7, 9, 8, 10, 12	cgr3simp3 28578	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐴) = (𝐹 − 𝐷))
16	1, 2, 11, 4, 7, 6, 10, 9, 15	tgcgrcomlr 28536	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐹))
17	1, 2, 11, 3, 4, 6, 5, 7, 9, 8, 10, 12	cgr3simp2 28577	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹))
18	1, 2, 11, 4, 5, 7, 8, 10, 17	tgcgrcomlr 28536	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐵) = (𝐹 − 𝐸))
19	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 14, 16, 18	trgcgr 28572	1 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐵𝐴𝐶”⟩ ∼ ⟨“𝐸𝐷𝐹”⟩)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5074  ‘cfv 6487  ⟨“cs3 14793  Basecbs 17168  distcds 17218  TarskiGcstrkg 28483  Itvcitv 28489  cgrGccgrg 28566

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4841  df-int 4880  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-er 8632  df-pm 8765  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-fin 8886  df-card 9852  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-n0 12427  df-z 12514  df-uz 12778  df-fz 13451  df-fzo 13598  df-hash 14282  df-word 14465  df-concat 14522  df-s1 14548  df-s2 14799  df-s3 14800  df-trkgc 28504  df-trkgcb 28506  df-trkg 28509  df-cgrg 28567

This theorem is referenced by:  cgr3swap13  28581  cgr3rotr  28582  cgr3rotl  28583  lnxfr  28622  tgfscgr  28624  cgrahl  28883