Theorem cgr3swap12 27172

Description: Permutation law for three-place congruence. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgcgrxfr.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tgcgrxfr.m	⊢ − = (dist‘𝐺)
tgcgrxfr.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tgcgrxfr.r	⊢ ∼ = (cgrG‘𝐺)
tgcgrxfr.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tgbtwnxfr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
tgbtwnxfr.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
tgbtwnxfr.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
tgbtwnxfr.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
tgbtwnxfr.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
tgbtwnxfr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
tgbtwnxfr.2	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∼ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)

Assertion

Ref	Expression
cgr3swap12	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐵𝐴𝐶”⟩ ∼ ⟨“𝐸𝐷𝐹”⟩)

Proof of Theorem cgr3swap12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgcgrxfr.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		tgcgrxfr.m	. 2 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		tgcgrxfr.r	. 2 ⊢ ∼ = (cgrG‘𝐺)
4		tgcgrxfr.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5		tgbtwnxfr.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
6		tgbtwnxfr.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
7		tgbtwnxfr.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
8		tgbtwnxfr.e	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
9		tgbtwnxfr.d	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
10		tgbtwnxfr.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
11		tgcgrxfr.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
12		tgbtwnxfr.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∼ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
13	1, 2, 11, 3, 4, 6, 5, 7, 9, 8, 10, 12	cgr3simp1 27169	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝐸))
14	1, 2, 11, 4, 6, 5, 9, 8, 13	tgcgrcomlr 27129	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) = (𝐸 − 𝐷))
15	1, 2, 11, 3, 4, 6, 5, 7, 9, 8, 10, 12	cgr3simp3 27171	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐴) = (𝐹 − 𝐷))
16	1, 2, 11, 4, 7, 6, 10, 9, 15	tgcgrcomlr 27129	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐹))
17	1, 2, 11, 3, 4, 6, 5, 7, 9, 8, 10, 12	cgr3simp2 27170	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹))
18	1, 2, 11, 4, 5, 7, 8, 10, 17	tgcgrcomlr 27129	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐵) = (𝐹 − 𝐸))
19	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 14, 16, 18	trgcgr 27165	1 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐵𝐴𝐶”⟩ ∼ ⟨“𝐸𝐷𝐹”⟩)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5096  ‘cfv 6483  ⟨“cs3 14654  Basecbs 17009  distcds 17068  TarskiGcstrkg 27076  Itvcitv 27082  cgrGccgrg 27159

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5233  ax-sep 5247  ax-nul 5254  ax-pow 5312  ax-pr 5376  ax-un 7654  ax-cnex 11032  ax-resscn 11033  ax-1cn 11034  ax-icn 11035  ax-addcl 11036  ax-addrcl 11037  ax-mulcl 11038  ax-mulrcl 11039  ax-mulcom 11040  ax-addass 11041  ax-mulass 11042  ax-distr 11043  ax-i2m1 11044  ax-1ne0 11045  ax-1rid 11046  ax-rnegex 11047  ax-rrecex 11048  ax-cnre 11049  ax-pre-lttri 11050  ax-pre-lttrn 11051  ax-pre-ltadd 11052  ax-pre-mulgt0 11053

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3731  df-csb 3847  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3920  df-nul 4274  df-if 4478  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4857  df-int 4899  df-iun 4947  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5180  df-tr 5214  df-id 5522  df-eprel 5528  df-po 5536  df-so 5537  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6242  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6435  df-fun 6485  df-fn 6486  df-f 6487  df-f1 6488  df-fo 6489  df-f1o 6490  df-fv 6491  df-riota 7297  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7785  df-1st 7903  df-2nd 7904  df-frecs 8171  df-wrecs 8202  df-recs 8276  df-rdg 8315  df-1o 8371  df-er 8573  df-pm 8693  df-en 8809  df-dom 8810  df-sdom 8811  df-fin 8812  df-card 9800  df-pnf 11116  df-mnf 11117  df-xr 11118  df-ltxr 11119  df-le 11120  df-sub 11312  df-neg 11313  df-nn 12079  df-2 12141  df-3 12142  df-n0 12339  df-z 12425  df-uz 12688  df-fz 13345  df-fzo 13488  df-hash 14150  df-word 14322  df-concat 14378  df-s1 14403  df-s2 14660  df-s3 14661  df-trkgc 27097  df-trkgcb 27099  df-trkg 27102  df-cgrg 27160

This theorem is referenced by:  cgr3swap13  27174  cgr3rotr  27175  cgr3rotl  27176  lnxfr  27215  tgfscgr  27217  cgrahl  27476