Theorem cgr3swap12 28502

Description: Permutation law for three-place congruence. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgcgrxfr.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tgcgrxfr.m	⊢ − = (dist‘𝐺)
tgcgrxfr.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tgcgrxfr.r	⊢ ∼ = (cgrG‘𝐺)
tgcgrxfr.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tgbtwnxfr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
tgbtwnxfr.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
tgbtwnxfr.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
tgbtwnxfr.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
tgbtwnxfr.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
tgbtwnxfr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
tgbtwnxfr.2	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∼ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)

Assertion

Ref	Expression
cgr3swap12	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐵𝐴𝐶”⟩ ∼ ⟨“𝐸𝐷𝐹”⟩)

Proof of Theorem cgr3swap12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgcgrxfr.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		tgcgrxfr.m	. 2 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		tgcgrxfr.r	. 2 ⊢ ∼ = (cgrG‘𝐺)
4		tgcgrxfr.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5		tgbtwnxfr.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
6		tgbtwnxfr.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
7		tgbtwnxfr.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
8		tgbtwnxfr.e	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
9		tgbtwnxfr.d	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
10		tgbtwnxfr.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
11		tgcgrxfr.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
12		tgbtwnxfr.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∼ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
13	1, 2, 11, 3, 4, 6, 5, 7, 9, 8, 10, 12	cgr3simp1 28499	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝐸))
14	1, 2, 11, 4, 6, 5, 9, 8, 13	tgcgrcomlr 28459	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) = (𝐸 − 𝐷))
15	1, 2, 11, 3, 4, 6, 5, 7, 9, 8, 10, 12	cgr3simp3 28501	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐴) = (𝐹 − 𝐷))
16	1, 2, 11, 4, 7, 6, 10, 9, 15	tgcgrcomlr 28459	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐹))
17	1, 2, 11, 3, 4, 6, 5, 7, 9, 8, 10, 12	cgr3simp2 28500	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹))
18	1, 2, 11, 4, 5, 7, 8, 10, 17	tgcgrcomlr 28459	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐵) = (𝐹 − 𝐸))
19	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 14, 16, 18	trgcgr 28495	1 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐵𝐴𝐶”⟩ ∼ ⟨“𝐸𝐷𝐹”⟩)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5093  ‘cfv 6486  ⟨“cs3 14751  Basecbs 17122  distcds 17172  TarskiGcstrkg 28406  Itvcitv 28412  cgrGccgrg 28489

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-er 8628  df-pm 8759  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-card 9839  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-n0 12389  df-z 12476  df-uz 12739  df-fz 13410  df-fzo 13557  df-hash 14240  df-word 14423  df-concat 14480  df-s1 14506  df-s2 14757  df-s3 14758  df-trkgc 28427  df-trkgcb 28429  df-trkg 28432  df-cgrg 28490

This theorem is referenced by:  cgr3swap13  28504  cgr3rotr  28505  cgr3rotl  28506  lnxfr  28545  tgfscgr  28547  cgrahl  28806