MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cgracom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cgracom 28070
Description: Angle congruence commutes. Theorem 11.7 of [Schwabhauser] p. 97. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cgraid.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
cgraid.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
cgraid.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
cgraid.k 𝐾 = (hlGβ€˜πΊ)
cgraid.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
cgraid.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
cgraid.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
cgracom.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
cgracom.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
cgracom.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
cgracom.1 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrAβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ©)
Assertion
Ref Expression
cgracom (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ©(cgrAβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©)

Proof of Theorem cgracom
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cgraid.p . . . . 5 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
2 eqid 2732 . . . . 5 (distβ€˜πΊ) = (distβ€˜πΊ)
3 eqid 2732 . . . . 5 (cgrGβ€˜πΊ) = (cgrGβ€˜πΊ)
4 cgraid.g . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
54ad3antrrr 728 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝐴 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐷)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π΅)𝐢 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐹)))) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
6 cgracom.d . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
76ad3antrrr 728 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝐴 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐷)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π΅)𝐢 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐹)))) β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
8 cgracom.e . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
98ad3antrrr 728 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝐴 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐷)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π΅)𝐢 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐹)))) β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
10 cgracom.f . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
1110ad3antrrr 728 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝐴 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐷)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π΅)𝐢 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐹)))) β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
12 simpllr 774 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝐴 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐷)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π΅)𝐢 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐹)))) β†’ π‘₯ ∈ 𝑃)
13 cgraid.b . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
1413ad3antrrr 728 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝐴 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐷)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π΅)𝐢 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐹)))) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
15 simplr 767 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝐴 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐷)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π΅)𝐢 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐹)))) β†’ 𝑦 ∈ 𝑃)
16 cgraid.i . . . . . 6 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
17 simprlr 778 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝐴 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐷)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π΅)𝐢 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐹)))) β†’ (𝐡(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐷))
1817eqcomd 2738 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝐴 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐷)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π΅)𝐢 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐹)))) β†’ (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐷) = (𝐡(distβ€˜πΊ)π‘₯))
191, 2, 16, 5, 9, 7, 14, 12, 18tgcgrcomlr 27728 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝐴 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐷)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π΅)𝐢 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐹)))) β†’ (𝐷(distβ€˜πΊ)𝐸) = (π‘₯(distβ€˜πΊ)𝐡))
20 simprrr 780 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝐴 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐷)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π΅)𝐢 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐹)))) β†’ (𝐡(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐹))
2120eqcomd 2738 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝐴 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐷)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π΅)𝐢 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐹)))) β†’ (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐹) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝑦))
22 cgraid.k . . . . . . . 8 𝐾 = (hlGβ€˜πΊ)
23 cgraid.a . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
2423ad3antrrr 728 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝐴 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐷)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π΅)𝐢 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐹)))) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
25 cgraid.c . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
2625ad3antrrr 728 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝐴 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐷)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π΅)𝐢 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐹)))) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
27 cgracom.1 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrAβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ©)
2827ad3antrrr 728 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝐴 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐷)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π΅)𝐢 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐹)))) β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrAβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ©)
29 simprll 777 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝐴 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐷)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π΅)𝐢 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐹)))) β†’ π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝐴)
30 simprrl 779 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝐴 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐷)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π΅)𝐢 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐹)))) β†’ 𝑦(πΎβ€˜π΅)𝐢)
311, 16, 22, 5, 24, 14, 26, 7, 9, 11, 28, 12, 2, 15, 29, 30, 17, 20cgracgr 28066 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝐴 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐷)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π΅)𝐢 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐹)))) β†’ (π‘₯(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐷(distβ€˜πΊ)𝐹))
3231eqcomd 2738 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝐴 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐷)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π΅)𝐢 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐹)))) β†’ (𝐷(distβ€˜πΊ)𝐹) = (π‘₯(distβ€˜πΊ)𝑦))
331, 2, 16, 5, 7, 11, 12, 15, 32tgcgrcomlr 27728 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝐴 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐷)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π΅)𝐢 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐹)))) β†’ (𝐹(distβ€˜πΊ)𝐷) = (𝑦(distβ€˜πΊ)π‘₯))
341, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 12, 14, 15, 19, 21, 33trgcgr 27764 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝐴 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐷)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π΅)𝐢 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐹)))) β†’ βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯π΅π‘¦β€βŸ©)
3534, 29, 303jca 1128 . . 3 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝐴 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐷)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π΅)𝐢 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐹)))) β†’ (βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯π΅π‘¦β€βŸ© ∧ π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝐴 ∧ 𝑦(πΎβ€˜π΅)𝐢))
361, 16, 22, 4, 23, 13, 25, 6, 8, 10, 27cgrane1 28060 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰  𝐡)
371, 16, 22, 4, 23, 13, 25, 6, 8, 10, 27cgrane3 28062 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐸 β‰  𝐷)
381, 16, 22, 13, 8, 6, 4, 23, 2, 36, 37hlcgrex 27864 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 (π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝐴 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐷)))
391, 16, 22, 4, 23, 13, 25, 6, 8, 10, 27cgrane2 28061 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 β‰  𝐢)
4039necomd 2996 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 β‰  𝐡)
411, 16, 22, 4, 23, 13, 25, 6, 8, 10, 27cgrane4 28063 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐸 β‰  𝐹)
421, 16, 22, 13, 8, 10, 4, 25, 2, 40, 41hlcgrex 27864 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 (𝑦(πΎβ€˜π΅)𝐢 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐹)))
43 reeanv 3226 . . . 4 (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 ((π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝐴 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐷)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π΅)𝐢 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐹))) ↔ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 (π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝐴 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐷)) ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 (𝑦(πΎβ€˜π΅)𝐢 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐹))))
4438, 42, 43sylanbrc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 ((π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝐴 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐷)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π΅)𝐢 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐹))))
4535, 44reximddv2 3212 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 (βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯π΅π‘¦β€βŸ© ∧ π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝐴 ∧ 𝑦(πΎβ€˜π΅)𝐢))
461, 16, 22, 4, 6, 8, 10, 23, 13, 25iscgra 28057 . 2 (πœ‘ β†’ (βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ©(cgrAβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ© ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 (βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯π΅π‘¦β€βŸ© ∧ π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝐴 ∧ 𝑦(πΎβ€˜π΅)𝐢)))
4745, 46mpbird 256 1 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ©(cgrAβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆƒwrex 3070   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  βŸ¨β€œcs3 14792  Basecbs 17143  distcds 17205  TarskiGcstrkg 27675  Itvcitv 27681  cgrGccgrg 27758  hlGchlg 27848  cgrAccgra 28055
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-oadd 8469  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-dju 9895  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-xnn0 12544  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-hash 14290  df-word 14464  df-concat 14520  df-s1 14545  df-s2 14798  df-s3 14799  df-trkgc 27696  df-trkgb 27697  df-trkgcb 27698  df-trkg 27701  df-cgrg 27759  df-leg 27831  df-hlg 27849  df-cgra 28056
This theorem is referenced by:  cgracol  28076  cgrancol  28077  dfcgra2  28078  tgasa1  28106  isoas  28112
  Copyright terms: Public domain W3C validator