MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cgracom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cgracom 28646
Description: Angle congruence commutes. Theorem 11.7 of [Schwabhauser] p. 97. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cgraid.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
cgraid.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
cgraid.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
cgraid.k 𝐾 = (hlGβ€˜πΊ)
cgraid.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
cgraid.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
cgraid.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
cgracom.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
cgracom.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
cgracom.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
cgracom.1 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrAβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ©)
Assertion
Ref Expression
cgracom (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ©(cgrAβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©)

Proof of Theorem cgracom
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cgraid.p . . . . 5 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
2 eqid 2728 . . . . 5 (distβ€˜πΊ) = (distβ€˜πΊ)
3 eqid 2728 . . . . 5 (cgrGβ€˜πΊ) = (cgrGβ€˜πΊ)
4 cgraid.g . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
54ad3antrrr 728 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝐴 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐷)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π΅)𝐢 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐹)))) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
6 cgracom.d . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
76ad3antrrr 728 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝐴 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐷)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π΅)𝐢 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐹)))) β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
8 cgracom.e . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
98ad3antrrr 728 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝐴 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐷)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π΅)𝐢 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐹)))) β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
10 cgracom.f . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
1110ad3antrrr 728 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝐴 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐷)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π΅)𝐢 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐹)))) β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
12 simpllr 774 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝐴 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐷)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π΅)𝐢 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐹)))) β†’ π‘₯ ∈ 𝑃)
13 cgraid.b . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
1413ad3antrrr 728 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝐴 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐷)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π΅)𝐢 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐹)))) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
15 simplr 767 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝐴 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐷)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π΅)𝐢 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐹)))) β†’ 𝑦 ∈ 𝑃)
16 cgraid.i . . . . . 6 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
17 simprlr 778 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝐴 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐷)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π΅)𝐢 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐹)))) β†’ (𝐡(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐷))
1817eqcomd 2734 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝐴 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐷)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π΅)𝐢 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐹)))) β†’ (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐷) = (𝐡(distβ€˜πΊ)π‘₯))
191, 2, 16, 5, 9, 7, 14, 12, 18tgcgrcomlr 28304 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝐴 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐷)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π΅)𝐢 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐹)))) β†’ (𝐷(distβ€˜πΊ)𝐸) = (π‘₯(distβ€˜πΊ)𝐡))
20 simprrr 780 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝐴 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐷)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π΅)𝐢 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐹)))) β†’ (𝐡(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐹))
2120eqcomd 2734 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝐴 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐷)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π΅)𝐢 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐹)))) β†’ (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐹) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝑦))
22 cgraid.k . . . . . . . 8 𝐾 = (hlGβ€˜πΊ)
23 cgraid.a . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
2423ad3antrrr 728 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝐴 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐷)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π΅)𝐢 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐹)))) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
25 cgraid.c . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
2625ad3antrrr 728 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝐴 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐷)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π΅)𝐢 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐹)))) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
27 cgracom.1 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrAβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ©)
2827ad3antrrr 728 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝐴 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐷)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π΅)𝐢 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐹)))) β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrAβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ©)
29 simprll 777 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝐴 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐷)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π΅)𝐢 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐹)))) β†’ π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝐴)
30 simprrl 779 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝐴 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐷)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π΅)𝐢 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐹)))) β†’ 𝑦(πΎβ€˜π΅)𝐢)
311, 16, 22, 5, 24, 14, 26, 7, 9, 11, 28, 12, 2, 15, 29, 30, 17, 20cgracgr 28642 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝐴 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐷)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π΅)𝐢 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐹)))) β†’ (π‘₯(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐷(distβ€˜πΊ)𝐹))
3231eqcomd 2734 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝐴 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐷)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π΅)𝐢 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐹)))) β†’ (𝐷(distβ€˜πΊ)𝐹) = (π‘₯(distβ€˜πΊ)𝑦))
331, 2, 16, 5, 7, 11, 12, 15, 32tgcgrcomlr 28304 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝐴 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐷)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π΅)𝐢 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐹)))) β†’ (𝐹(distβ€˜πΊ)𝐷) = (𝑦(distβ€˜πΊ)π‘₯))
341, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 12, 14, 15, 19, 21, 33trgcgr 28340 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝐴 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐷)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π΅)𝐢 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐹)))) β†’ βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯π΅π‘¦β€βŸ©)
3534, 29, 303jca 1125 . . 3 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝐴 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐷)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π΅)𝐢 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐹)))) β†’ (βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯π΅π‘¦β€βŸ© ∧ π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝐴 ∧ 𝑦(πΎβ€˜π΅)𝐢))
361, 16, 22, 4, 23, 13, 25, 6, 8, 10, 27cgrane1 28636 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰  𝐡)
371, 16, 22, 4, 23, 13, 25, 6, 8, 10, 27cgrane3 28638 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐸 β‰  𝐷)
381, 16, 22, 13, 8, 6, 4, 23, 2, 36, 37hlcgrex 28440 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 (π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝐴 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐷)))
391, 16, 22, 4, 23, 13, 25, 6, 8, 10, 27cgrane2 28637 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 β‰  𝐢)
4039necomd 2993 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 β‰  𝐡)
411, 16, 22, 4, 23, 13, 25, 6, 8, 10, 27cgrane4 28639 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐸 β‰  𝐹)
421, 16, 22, 13, 8, 10, 4, 25, 2, 40, 41hlcgrex 28440 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 (𝑦(πΎβ€˜π΅)𝐢 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐹)))
43 reeanv 3224 . . . 4 (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 ((π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝐴 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐷)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π΅)𝐢 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐹))) ↔ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 (π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝐴 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐷)) ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 (𝑦(πΎβ€˜π΅)𝐢 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐹))))
4438, 42, 43sylanbrc 581 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 ((π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝐴 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐷)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π΅)𝐢 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐹))))
4535, 44reximddv2 3210 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 (βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯π΅π‘¦β€βŸ© ∧ π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝐴 ∧ 𝑦(πΎβ€˜π΅)𝐢))
461, 16, 22, 4, 6, 8, 10, 23, 13, 25iscgra 28633 . 2 (πœ‘ β†’ (βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ©(cgrAβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ© ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 (βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯π΅π‘¦β€βŸ© ∧ π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝐴 ∧ 𝑦(πΎβ€˜π΅)𝐢)))
4745, 46mpbird 256 1 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ©(cgrAβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆƒwrex 3067   class class class wbr 5152  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  βŸ¨β€œcs3 14833  Basecbs 17187  distcds 17249  TarskiGcstrkg 28251  Itvcitv 28257  cgrGccgrg 28334  hlGchlg 28424  cgrAccgra 28631
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-oadd 8497  df-er 8731  df-map 8853  df-pm 8854  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-dju 9932  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-xnn0 12583  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-hash 14330  df-word 14505  df-concat 14561  df-s1 14586  df-s2 14839  df-s3 14840  df-trkgc 28272  df-trkgb 28273  df-trkgcb 28274  df-trkg 28277  df-cgrg 28335  df-leg 28407  df-hlg 28425  df-cgra 28632
This theorem is referenced by:  cgracol  28652  cgrancol  28653  dfcgra2  28654  tgasa1  28682  isoas  28688
  Copyright terms: Public domain W3C validator