MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cgracom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cgracom 28576
Description: Angle congruence commutes. Theorem 11.7 of [Schwabhauser] p. 97. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cgraid.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
cgraid.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
cgraid.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
cgraid.k 𝐾 = (hlGβ€˜πΊ)
cgraid.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
cgraid.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
cgraid.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
cgracom.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
cgracom.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
cgracom.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
cgracom.1 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrAβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ©)
Assertion
Ref Expression
cgracom (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ©(cgrAβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©)

Proof of Theorem cgracom
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cgraid.p . . . . 5 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
2 eqid 2726 . . . . 5 (distβ€˜πΊ) = (distβ€˜πΊ)
3 eqid 2726 . . . . 5 (cgrGβ€˜πΊ) = (cgrGβ€˜πΊ)
4 cgraid.g . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
54ad3antrrr 727 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝐴 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐷)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π΅)𝐢 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐹)))) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
6 cgracom.d . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
76ad3antrrr 727 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝐴 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐷)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π΅)𝐢 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐹)))) β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
8 cgracom.e . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
98ad3antrrr 727 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝐴 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐷)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π΅)𝐢 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐹)))) β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
10 cgracom.f . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
1110ad3antrrr 727 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝐴 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐷)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π΅)𝐢 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐹)))) β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
12 simpllr 773 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝐴 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐷)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π΅)𝐢 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐹)))) β†’ π‘₯ ∈ 𝑃)
13 cgraid.b . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
1413ad3antrrr 727 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝐴 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐷)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π΅)𝐢 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐹)))) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
15 simplr 766 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝐴 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐷)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π΅)𝐢 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐹)))) β†’ 𝑦 ∈ 𝑃)
16 cgraid.i . . . . . 6 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
17 simprlr 777 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝐴 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐷)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π΅)𝐢 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐹)))) β†’ (𝐡(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐷))
1817eqcomd 2732 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝐴 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐷)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π΅)𝐢 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐹)))) β†’ (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐷) = (𝐡(distβ€˜πΊ)π‘₯))
191, 2, 16, 5, 9, 7, 14, 12, 18tgcgrcomlr 28234 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝐴 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐷)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π΅)𝐢 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐹)))) β†’ (𝐷(distβ€˜πΊ)𝐸) = (π‘₯(distβ€˜πΊ)𝐡))
20 simprrr 779 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝐴 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐷)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π΅)𝐢 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐹)))) β†’ (𝐡(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐹))
2120eqcomd 2732 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝐴 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐷)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π΅)𝐢 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐹)))) β†’ (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐹) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝑦))
22 cgraid.k . . . . . . . 8 𝐾 = (hlGβ€˜πΊ)
23 cgraid.a . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
2423ad3antrrr 727 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝐴 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐷)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π΅)𝐢 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐹)))) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
25 cgraid.c . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
2625ad3antrrr 727 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝐴 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐷)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π΅)𝐢 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐹)))) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
27 cgracom.1 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrAβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ©)
2827ad3antrrr 727 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝐴 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐷)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π΅)𝐢 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐹)))) β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrAβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ©)
29 simprll 776 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝐴 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐷)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π΅)𝐢 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐹)))) β†’ π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝐴)
30 simprrl 778 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝐴 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐷)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π΅)𝐢 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐹)))) β†’ 𝑦(πΎβ€˜π΅)𝐢)
311, 16, 22, 5, 24, 14, 26, 7, 9, 11, 28, 12, 2, 15, 29, 30, 17, 20cgracgr 28572 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝐴 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐷)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π΅)𝐢 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐹)))) β†’ (π‘₯(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐷(distβ€˜πΊ)𝐹))
3231eqcomd 2732 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝐴 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐷)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π΅)𝐢 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐹)))) β†’ (𝐷(distβ€˜πΊ)𝐹) = (π‘₯(distβ€˜πΊ)𝑦))
331, 2, 16, 5, 7, 11, 12, 15, 32tgcgrcomlr 28234 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝐴 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐷)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π΅)𝐢 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐹)))) β†’ (𝐹(distβ€˜πΊ)𝐷) = (𝑦(distβ€˜πΊ)π‘₯))
341, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 12, 14, 15, 19, 21, 33trgcgr 28270 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝐴 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐷)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π΅)𝐢 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐹)))) β†’ βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯π΅π‘¦β€βŸ©)
3534, 29, 303jca 1125 . . 3 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝐴 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐷)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π΅)𝐢 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐹)))) β†’ (βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯π΅π‘¦β€βŸ© ∧ π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝐴 ∧ 𝑦(πΎβ€˜π΅)𝐢))
361, 16, 22, 4, 23, 13, 25, 6, 8, 10, 27cgrane1 28566 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰  𝐡)
371, 16, 22, 4, 23, 13, 25, 6, 8, 10, 27cgrane3 28568 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐸 β‰  𝐷)
381, 16, 22, 13, 8, 6, 4, 23, 2, 36, 37hlcgrex 28370 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 (π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝐴 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐷)))
391, 16, 22, 4, 23, 13, 25, 6, 8, 10, 27cgrane2 28567 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 β‰  𝐢)
4039necomd 2990 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 β‰  𝐡)
411, 16, 22, 4, 23, 13, 25, 6, 8, 10, 27cgrane4 28569 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐸 β‰  𝐹)
421, 16, 22, 13, 8, 10, 4, 25, 2, 40, 41hlcgrex 28370 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 (𝑦(πΎβ€˜π΅)𝐢 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐹)))
43 reeanv 3220 . . . 4 (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 ((π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝐴 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐷)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π΅)𝐢 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐹))) ↔ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 (π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝐴 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐷)) ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 (𝑦(πΎβ€˜π΅)𝐢 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐹))))
4438, 42, 43sylanbrc 582 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 ((π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝐴 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐷)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π΅)𝐢 ∧ (𝐡(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝐹))))
4535, 44reximddv2 3206 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 (βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯π΅π‘¦β€βŸ© ∧ π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝐴 ∧ 𝑦(πΎβ€˜π΅)𝐢))
461, 16, 22, 4, 6, 8, 10, 23, 13, 25iscgra 28563 . 2 (πœ‘ β†’ (βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ©(cgrAβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ© ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 (βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯π΅π‘¦β€βŸ© ∧ π‘₯(πΎβ€˜π΅)𝐴 ∧ 𝑦(πΎβ€˜π΅)𝐢)))
4745, 46mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ©(cgrAβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆƒwrex 3064   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  βŸ¨β€œcs3 14796  Basecbs 17150  distcds 17212  TarskiGcstrkg 28181  Itvcitv 28187  cgrGccgrg 28264  hlGchlg 28354  cgrAccgra 28561
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-oadd 8468  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-dju 9895  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-xnn0 12546  df-z 12560  df-uz 12824  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-hash 14293  df-word 14468  df-concat 14524  df-s1 14549  df-s2 14802  df-s3 14803  df-trkgc 28202  df-trkgb 28203  df-trkgcb 28204  df-trkg 28207  df-cgrg 28265  df-leg 28337  df-hlg 28355  df-cgra 28562
This theorem is referenced by:  cgracol  28582  cgrancol  28583  dfcgra2  28584  tgasa1  28612  isoas  28618
  Copyright terms: Public domain W3C validator