Theorem tgcgrsub2 28669

Description: Removing identical parts from the end of a line segment preserves congruence. In this version the order of points is not known. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
legval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
legval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
legval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
legval.l	⊢ ≤ = (≤G‘𝐺)
legval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
legid.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
legid.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
legtrd.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
legtrd.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
tgcgrsub2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
tgcgrsub2.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
tgcgrsub2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
tgcgrsub2.1	⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)))
tgcgrsub2.2	⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∨ 𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸)))
tgcgrsub2.3	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝐸))
tgcgrsub2.4	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐹))

Assertion

Ref	Expression
tgcgrsub2	⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹))

Proof of Theorem tgcgrsub2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		legval.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		legval.d	. . 3 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		legval.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		legval.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		legtrd.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
7	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
8		legid.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
9	8	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
10		tgcgrsub2.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
11	10	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐹 ∈ 𝑃)
12		tgcgrsub2.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
13	12	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐸 ∈ 𝑃)
14		legid.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
15	14	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
16		legtrd.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
17	16	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
18		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
19	1, 2, 3, 5, 15, 9, 7, 18	tgbtwncom 28562	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴))
20		legval.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (≤G‘𝐺)
21		tgcgrsub2.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∨ 𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸)))
22	21	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∨ 𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸)))
23	1, 2, 3, 20, 5, 15, 9, 7, 18	btwnleg 28662	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → (𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐴 − 𝐶))
24		tgcgrsub2.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝐸))
25	24	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝐸))
26		tgcgrsub2.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐹))
27	26	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → (𝐴 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐹))
28	23, 25, 27	3brtr3d 5129	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → (𝐷 − 𝐸) ≤ (𝐷 − 𝐹))
29	1, 2, 3, 20, 5, 13, 11, 17, 17, 22, 28	legbtwn 28668	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹))
30	1, 2, 3, 5, 17, 13, 11, 29	tgbtwncom 28562	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝐷))
31	1, 2, 3, 4, 14, 6, 16, 10, 26	tgcgrcomlr 28554	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐴) = (𝐹 − 𝐷))
32	31	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → (𝐶 − 𝐴) = (𝐹 − 𝐷))
33	1, 2, 3, 4, 14, 8, 16, 12, 24	tgcgrcomlr 28554	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) = (𝐸 − 𝐷))
34	33	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → (𝐵 − 𝐴) = (𝐸 − 𝐷))
35	1, 2, 3, 5, 7, 9, 15, 11, 13, 17, 19, 30, 32, 34	tgcgrsub 28583	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → (𝐶 − 𝐵) = (𝐹 − 𝐸))
36	1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 35	tgcgrcomlr 28554	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → (𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹))
37	4	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
38	8	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
39	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
40	14	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
41	12	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐸 ∈ 𝑃)
42	10	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐹 ∈ 𝑃)
43	16	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
44		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
45	1, 2, 3, 37, 40, 39, 38, 44	tgbtwncom 28562	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴))
46	21	orcomd 871	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸) ∨ 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹)))
47	46	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸) ∨ 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹)))
48	1, 2, 3, 20, 37, 40, 39, 38, 44	btwnleg 28662	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (𝐴 − 𝐶) ≤ (𝐴 − 𝐵))
49	26	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (𝐴 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐹))
50	24	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝐸))
51	48, 49, 50	3brtr3d 5129	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (𝐷 − 𝐹) ≤ (𝐷 − 𝐸))
52	1, 2, 3, 20, 37, 42, 41, 43, 43, 47, 51	legbtwn 28668	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸))
53	1, 2, 3, 37, 43, 42, 41, 52	tgbtwncom 28562	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐷))
54	33	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (𝐵 − 𝐴) = (𝐸 − 𝐷))
55	31	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (𝐶 − 𝐴) = (𝐹 − 𝐷))
56	1, 2, 3, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 45, 53, 54, 55	tgcgrsub 28583	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹))
57		tgcgrsub2.1	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)))
58	36, 56, 57	mpjaodan 960	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17138  distcds 17188  TarskiGcstrkg 28501  Itvcitv 28507  ≤Gcleg 28656

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-oadd 8401  df-er 8635  df-pm 8768  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-fin 8889  df-dju 9815  df-card 9853  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-n0 12404  df-xnn0 12477  df-z 12491  df-uz 12754  df-fz 13426  df-fzo 13573  df-hash 14256  df-word 14439  df-concat 14496  df-s1 14522  df-s2 14773  df-s3 14774  df-trkgc 28522  df-trkgb 28523  df-trkgcb 28524  df-trkg 28527  df-cgrg 28585  df-leg 28657

This theorem is referenced by:  cgracgr  28892  cgraswap  28894