MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgcgrsub2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgcgrsub2 28354
Description: Removing identical parts from the end of a line segment preserves congruence. In this version the order of points is not known. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
legval.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
legval.d βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
legval.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
legval.l ≀ = (≀Gβ€˜πΊ)
legval.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
legid.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
legid.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
legtrd.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
legtrd.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
tgcgrsub2.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
tgcgrsub2.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
tgcgrsub2.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
tgcgrsub2.1 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢) ∨ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡)))
tgcgrsub2.2 (πœ‘ β†’ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∨ 𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸)))
tgcgrsub2.3 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) = (𝐷 βˆ’ 𝐸))
tgcgrsub2.4 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐢) = (𝐷 βˆ’ 𝐹))
Assertion
Ref Expression
tgcgrsub2 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐢) = (𝐸 βˆ’ 𝐹))

Proof of Theorem tgcgrsub2
StepHypRef Expression
1 legval.p . . 3 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
2 legval.d . . 3 βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
3 legval.i . . 3 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
4 legval.g . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
54adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
6 legtrd.c . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
76adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
8 legid.b . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
98adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
10 tgcgrsub2.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
1110adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
12 tgcgrsub2.e . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
1312adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
14 legid.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
1514adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
16 legtrd.d . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
1716adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
18 simpr 484 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢))
191, 2, 3, 5, 15, 9, 7, 18tgbtwncom 28247 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ 𝐡 ∈ (𝐢𝐼𝐴))
20 legval.l . . . . . 6 ≀ = (≀Gβ€˜πΊ)
21 tgcgrsub2.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∨ 𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸)))
2221adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∨ 𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸)))
231, 2, 3, 20, 5, 15, 9, 7, 18btwnleg 28347 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) ≀ (𝐴 βˆ’ 𝐢))
24 tgcgrsub2.3 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) = (𝐷 βˆ’ 𝐸))
2524adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) = (𝐷 βˆ’ 𝐸))
26 tgcgrsub2.4 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐢) = (𝐷 βˆ’ 𝐹))
2726adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐢) = (𝐷 βˆ’ 𝐹))
2823, 25, 273brtr3d 5172 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ (𝐷 βˆ’ 𝐸) ≀ (𝐷 βˆ’ 𝐹))
291, 2, 3, 20, 5, 13, 11, 17, 17, 22, 28legbtwn 28353 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹))
301, 2, 3, 5, 17, 13, 11, 29tgbtwncom 28247 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ 𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝐷))
311, 2, 3, 4, 14, 6, 16, 10, 26tgcgrcomlr 28239 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐢 βˆ’ 𝐴) = (𝐹 βˆ’ 𝐷))
3231adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ (𝐢 βˆ’ 𝐴) = (𝐹 βˆ’ 𝐷))
331, 2, 3, 4, 14, 8, 16, 12, 24tgcgrcomlr 28239 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) = (𝐸 βˆ’ 𝐷))
3433adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) = (𝐸 βˆ’ 𝐷))
351, 2, 3, 5, 7, 9, 15, 11, 13, 17, 19, 30, 32, 34tgcgrsub 28268 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ (𝐢 βˆ’ 𝐡) = (𝐹 βˆ’ 𝐸))
361, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 35tgcgrcomlr 28239 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐢) = (𝐸 βˆ’ 𝐹))
374adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
388adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
396adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
4014adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
4112adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
4210adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
4316adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
44 simpr 484 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡))
451, 2, 3, 37, 40, 39, 38, 44tgbtwncom 28247 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ 𝐢 ∈ (𝐡𝐼𝐴))
4621orcomd 868 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸) ∨ 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹)))
4746adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ (𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸) ∨ 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹)))
481, 2, 3, 20, 37, 40, 39, 38, 44btwnleg 28347 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐢) ≀ (𝐴 βˆ’ 𝐡))
4926adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐢) = (𝐷 βˆ’ 𝐹))
5024adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) = (𝐷 βˆ’ 𝐸))
5148, 49, 503brtr3d 5172 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ (𝐷 βˆ’ 𝐹) ≀ (𝐷 βˆ’ 𝐸))
521, 2, 3, 20, 37, 42, 41, 43, 43, 47, 51legbtwn 28353 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ 𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸))
531, 2, 3, 37, 43, 42, 41, 52tgbtwncom 28247 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐷))
5433adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) = (𝐸 βˆ’ 𝐷))
5531adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ (𝐢 βˆ’ 𝐴) = (𝐹 βˆ’ 𝐷))
561, 2, 3, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 45, 53, 54, 55tgcgrsub 28268 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐢) = (𝐸 βˆ’ 𝐹))
57 tgcgrsub2.1 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢) ∨ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡)))
5836, 56, 57mpjaodan 955 1 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐢) = (𝐸 βˆ’ 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  distcds 17215  TarskiGcstrkg 28186  Itvcitv 28192  β‰€Gcleg 28341
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-oadd 8471  df-er 8705  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-hash 14296  df-word 14471  df-concat 14527  df-s1 14552  df-s2 14805  df-s3 14806  df-trkgc 28207  df-trkgb 28208  df-trkgcb 28209  df-trkg 28212  df-cgrg 28270  df-leg 28342
This theorem is referenced by:  cgracgr  28577  cgraswap  28579
  Copyright terms: Public domain W3C validator