MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgcgrsub2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem tgcgrsub2 28443
Description: Removing identical parts from the end of a line segment preserves congruence. In this version the order of points is not known. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
legval.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
legval.d βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
legval.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
legval.l ≀ = (≀Gβ€˜πΊ)
legval.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
legid.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
legid.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
legtrd.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
legtrd.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
tgcgrsub2.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
tgcgrsub2.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
tgcgrsub2.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
tgcgrsub2.1 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢) ∨ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡)))
tgcgrsub2.2 (πœ‘ β†’ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∨ 𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸)))
tgcgrsub2.3 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) = (𝐷 βˆ’ 𝐸))
tgcgrsub2.4 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐢) = (𝐷 βˆ’ 𝐹))
Assertion
Ref Expression
tgcgrsub2 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐢) = (𝐸 βˆ’ 𝐹))
Proof of Theorem tgcgrsub2
StepHypRef Expression
1 legval.p . . 3 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
2 legval.d . . 3 βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
3 legval.i . . 3 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
4 legval.g . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
54adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
6 legtrd.c . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
76adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
8 legid.b . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
98adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
10 tgcgrsub2.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
1110adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
12 tgcgrsub2.e . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
1312adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
14 legid.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
1514adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
16 legtrd.d . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
1716adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
18 simpr 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢))
191, 2, 3, 5, 15, 9, 7, 18tgbtwncom 28336 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ 𝐡 ∈ (𝐢𝐼𝐴))
20 legval.l . . . . . 6 ≀ = (≀Gβ€˜πΊ)
21 tgcgrsub2.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∨ 𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸)))
2221adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∨ 𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸)))
231, 2, 3, 20, 5, 15, 9, 7, 18btwnleg 28436 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) ≀ (𝐴 βˆ’ 𝐢))
24 tgcgrsub2.3 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) = (𝐷 βˆ’ 𝐸))
2524adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) = (𝐷 βˆ’ 𝐸))
26 tgcgrsub2.4 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐢) = (𝐷 βˆ’ 𝐹))
2726adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐢) = (𝐷 βˆ’ 𝐹))
2823, 25, 273brtr3d 5174 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ (𝐷 βˆ’ 𝐸) ≀ (𝐷 βˆ’ 𝐹))
291, 2, 3, 20, 5, 13, 11, 17, 17, 22, 28legbtwn 28442 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹))
301, 2, 3, 5, 17, 13, 11, 29tgbtwncom 28336 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ 𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝐷))
311, 2, 3, 4, 14, 6, 16, 10, 26tgcgrcomlr 28328 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐢 βˆ’ 𝐴) = (𝐹 βˆ’ 𝐷))
3231adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ (𝐢 βˆ’ 𝐴) = (𝐹 βˆ’ 𝐷))
331, 2, 3, 4, 14, 8, 16, 12, 24tgcgrcomlr 28328 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) = (𝐸 βˆ’ 𝐷))
3433adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) = (𝐸 βˆ’ 𝐷))
351, 2, 3, 5, 7, 9, 15, 11, 13, 17, 19, 30, 32, 34tgcgrsub 28357 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ (𝐢 βˆ’ 𝐡) = (𝐹 βˆ’ 𝐸))
361, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 35tgcgrcomlr 28328 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐢) = (𝐸 βˆ’ 𝐹))
374adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
388adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
396adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
4014adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
4112adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
4210adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
4316adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
44 simpr 483 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡))
451, 2, 3, 37, 40, 39, 38, 44tgbtwncom 28336 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ 𝐢 ∈ (𝐡𝐼𝐴))
4621orcomd 869 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸) ∨ 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹)))
4746adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ (𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸) ∨ 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹)))
481, 2, 3, 20, 37, 40, 39, 38, 44btwnleg 28436 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐢) ≀ (𝐴 βˆ’ 𝐡))
4926adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐢) = (𝐷 βˆ’ 𝐹))
5024adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) = (𝐷 βˆ’ 𝐸))
5148, 49, 503brtr3d 5174 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ (𝐷 βˆ’ 𝐹) ≀ (𝐷 βˆ’ 𝐸))
521, 2, 3, 20, 37, 42, 41, 43, 43, 47, 51legbtwn 28442 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ 𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸))
531, 2, 3, 37, 43, 42, 41, 52tgbtwncom 28336 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐷))
5433adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) = (𝐸 βˆ’ 𝐷))
5531adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ (𝐢 βˆ’ 𝐴) = (𝐹 βˆ’ 𝐷))
561, 2, 3, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 45, 53, 54, 55tgcgrsub 28357 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐢) = (𝐸 βˆ’ 𝐹))
57 tgcgrsub2.1 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢) ∨ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡)))
5836, 56, 57mpjaodan 956 1 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐢) = (𝐸 βˆ’ 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∨ wo 845   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  Basecbs 17179  distcds 17241  TarskiGcstrkg 28275  Itvcitv 28281  β‰€Gcleg 28430
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-oadd 8489  df-er 8723  df-pm 8846  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-dju 9924  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-xnn0 12575  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-hash 14322  df-word 14497  df-concat 14553  df-s1 14578  df-s2 14831  df-s3 14832  df-trkgc 28296  df-trkgb 28297  df-trkgcb 28298  df-trkg 28301  df-cgrg 28359  df-leg 28431
This theorem is referenced by:  cgracgr  28666  cgraswap  28668
  Copyright terms: Public domain W3C validator