Theorem tgcgrsub2 28603

Description: Removing identical parts from the end of a line segment preserves congruence. In this version the order of points is not known. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
legval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
legval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
legval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
legval.l	⊢ ≤ = (≤G‘𝐺)
legval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
legid.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
legid.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
legtrd.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
legtrd.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
tgcgrsub2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
tgcgrsub2.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
tgcgrsub2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
tgcgrsub2.1	⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)))
tgcgrsub2.2	⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∨ 𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸)))
tgcgrsub2.3	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝐸))
tgcgrsub2.4	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐹))

Assertion

Ref	Expression
tgcgrsub2	⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹))

Proof of Theorem tgcgrsub2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		legval.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		legval.d	. . 3 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		legval.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		legval.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		legtrd.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
7	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
8		legid.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
9	8	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
10		tgcgrsub2.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
11	10	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐹 ∈ 𝑃)
12		tgcgrsub2.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
13	12	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐸 ∈ 𝑃)
14		legid.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
15	14	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
16		legtrd.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
17	16	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
18		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
19	1, 2, 3, 5, 15, 9, 7, 18	tgbtwncom 28496	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴))
20		legval.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (≤G‘𝐺)
21		tgcgrsub2.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∨ 𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸)))
22	21	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∨ 𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸)))
23	1, 2, 3, 20, 5, 15, 9, 7, 18	btwnleg 28596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → (𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐴 − 𝐶))
24		tgcgrsub2.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝐸))
25	24	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝐸))
26		tgcgrsub2.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐹))
27	26	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → (𝐴 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐹))
28	23, 25, 27	3brtr3d 5174	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → (𝐷 − 𝐸) ≤ (𝐷 − 𝐹))
29	1, 2, 3, 20, 5, 13, 11, 17, 17, 22, 28	legbtwn 28602	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹))
30	1, 2, 3, 5, 17, 13, 11, 29	tgbtwncom 28496	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝐷))
31	1, 2, 3, 4, 14, 6, 16, 10, 26	tgcgrcomlr 28488	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐴) = (𝐹 − 𝐷))
32	31	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → (𝐶 − 𝐴) = (𝐹 − 𝐷))
33	1, 2, 3, 4, 14, 8, 16, 12, 24	tgcgrcomlr 28488	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) = (𝐸 − 𝐷))
34	33	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → (𝐵 − 𝐴) = (𝐸 − 𝐷))
35	1, 2, 3, 5, 7, 9, 15, 11, 13, 17, 19, 30, 32, 34	tgcgrsub 28517	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → (𝐶 − 𝐵) = (𝐹 − 𝐸))
36	1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 35	tgcgrcomlr 28488	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → (𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹))
37	4	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
38	8	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
39	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
40	14	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
41	12	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐸 ∈ 𝑃)
42	10	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐹 ∈ 𝑃)
43	16	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
44		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
45	1, 2, 3, 37, 40, 39, 38, 44	tgbtwncom 28496	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴))
46	21	orcomd 872	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸) ∨ 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹)))
47	46	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸) ∨ 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹)))
48	1, 2, 3, 20, 37, 40, 39, 38, 44	btwnleg 28596	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (𝐴 − 𝐶) ≤ (𝐴 − 𝐵))
49	26	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (𝐴 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐹))
50	24	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝐸))
51	48, 49, 50	3brtr3d 5174	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (𝐷 − 𝐹) ≤ (𝐷 − 𝐸))
52	1, 2, 3, 20, 37, 42, 41, 43, 43, 47, 51	legbtwn 28602	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸))
53	1, 2, 3, 37, 43, 42, 41, 52	tgbtwncom 28496	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐷))
54	33	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (𝐵 − 𝐴) = (𝐸 − 𝐷))
55	31	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (𝐶 − 𝐴) = (𝐹 − 𝐷))
56	1, 2, 3, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 45, 53, 54, 55	tgcgrsub 28517	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹))
57		tgcgrsub2.1	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)))
58	36, 56, 57	mpjaodan 961	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  distcds 17306  TarskiGcstrkg 28435  Itvcitv 28441  ≤Gcleg 28590

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-oadd 8510  df-er 8745  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-hash 14370  df-word 14553  df-concat 14609  df-s1 14634  df-s2 14887  df-s3 14888  df-trkgc 28456  df-trkgb 28457  df-trkgcb 28458  df-trkg 28461  df-cgrg 28519  df-leg 28591

This theorem is referenced by:  cgracgr  28826  cgraswap  28828