Theorem tgcgrsub2 28616

Description: Removing identical parts from the end of a line segment preserves congruence. In this version the order of points is not known. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
legval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
legval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
legval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
legval.l	⊢ ≤ = (≤G‘𝐺)
legval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
legid.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
legid.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
legtrd.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
legtrd.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
tgcgrsub2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
tgcgrsub2.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
tgcgrsub2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
tgcgrsub2.1	⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)))
tgcgrsub2.2	⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∨ 𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸)))
tgcgrsub2.3	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝐸))
tgcgrsub2.4	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐹))

Assertion

Ref	Expression
tgcgrsub2	⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹))

Proof of Theorem tgcgrsub2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		legval.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		legval.d	. . 3 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		legval.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		legval.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		legtrd.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
7	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
8		legid.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
9	8	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
10		tgcgrsub2.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
11	10	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐹 ∈ 𝑃)
12		tgcgrsub2.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
13	12	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐸 ∈ 𝑃)
14		legid.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
15	14	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
16		legtrd.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
17	16	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
18		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
19	1, 2, 3, 5, 15, 9, 7, 18	tgbtwncom 28509	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴))
20		legval.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (≤G‘𝐺)
21		tgcgrsub2.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∨ 𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸)))
22	21	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∨ 𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸)))
23	1, 2, 3, 20, 5, 15, 9, 7, 18	btwnleg 28609	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → (𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐴 − 𝐶))
24		tgcgrsub2.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝐸))
25	24	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝐸))
26		tgcgrsub2.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐹))
27	26	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → (𝐴 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐹))
28	23, 25, 27	3brtr3d 5127	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → (𝐷 − 𝐸) ≤ (𝐷 − 𝐹))
29	1, 2, 3, 20, 5, 13, 11, 17, 17, 22, 28	legbtwn 28615	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹))
30	1, 2, 3, 5, 17, 13, 11, 29	tgbtwncom 28509	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝐷))
31	1, 2, 3, 4, 14, 6, 16, 10, 26	tgcgrcomlr 28501	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐴) = (𝐹 − 𝐷))
32	31	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → (𝐶 − 𝐴) = (𝐹 − 𝐷))
33	1, 2, 3, 4, 14, 8, 16, 12, 24	tgcgrcomlr 28501	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) = (𝐸 − 𝐷))
34	33	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → (𝐵 − 𝐴) = (𝐸 − 𝐷))
35	1, 2, 3, 5, 7, 9, 15, 11, 13, 17, 19, 30, 32, 34	tgcgrsub 28530	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → (𝐶 − 𝐵) = (𝐹 − 𝐸))
36	1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 35	tgcgrcomlr 28501	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → (𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹))
37	4	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
38	8	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
39	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
40	14	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
41	12	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐸 ∈ 𝑃)
42	10	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐹 ∈ 𝑃)
43	16	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
44		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
45	1, 2, 3, 37, 40, 39, 38, 44	tgbtwncom 28509	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴))
46	21	orcomd 871	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸) ∨ 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹)))
47	46	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸) ∨ 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹)))
48	1, 2, 3, 20, 37, 40, 39, 38, 44	btwnleg 28609	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (𝐴 − 𝐶) ≤ (𝐴 − 𝐵))
49	26	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (𝐴 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐹))
50	24	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝐸))
51	48, 49, 50	3brtr3d 5127	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (𝐷 − 𝐹) ≤ (𝐷 − 𝐸))
52	1, 2, 3, 20, 37, 42, 41, 43, 43, 47, 51	legbtwn 28615	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸))
53	1, 2, 3, 37, 43, 42, 41, 52	tgbtwncom 28509	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐷))
54	33	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (𝐵 − 𝐴) = (𝐸 − 𝐷))
55	31	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (𝐶 − 𝐴) = (𝐹 − 𝐷))
56	1, 2, 3, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 45, 53, 54, 55	tgcgrsub 28530	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹))
57		tgcgrsub2.1	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)))
58	36, 56, 57	mpjaodan 960	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  Basecbs 17134  distcds 17184  TarskiGcstrkg 28448  Itvcitv 28454  ≤Gcleg 28603

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-oadd 8399  df-er 8633  df-pm 8764  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-dju 9811  df-card 9849  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-n0 12400  df-xnn0 12473  df-z 12487  df-uz 12750  df-fz 13422  df-fzo 13569  df-hash 14252  df-word 14435  df-concat 14492  df-s1 14518  df-s2 14769  df-s3 14770  df-trkgc 28469  df-trkgb 28470  df-trkgcb 28471  df-trkg 28474  df-cgrg 28532  df-leg 28604

This theorem is referenced by:  cgracgr  28839  cgraswap  28841