Theorem tgcgrsub2 26389

Description: Removing identical parts from the end of a line segment preserves congruence. In this version the order of points is not known. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
legval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
legval.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
legval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
legval.l	⊢ ≤ = (≤G‘𝐺)
legval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
legid.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
legid.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
legtrd.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
legtrd.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
tgcgrsub2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
tgcgrsub2.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
tgcgrsub2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
tgcgrsub2.1	⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)))
tgcgrsub2.2	⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∨ 𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸)))
tgcgrsub2.3	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝐸))
tgcgrsub2.4	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐹))

Assertion

Ref	Expression
tgcgrsub2	⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹))

Proof of Theorem tgcgrsub2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		legval.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		legval.d	. . 3 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		legval.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		legval.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		legtrd.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
7	6	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
8		legid.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
9	8	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
10		tgcgrsub2.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
11	10	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐹 ∈ 𝑃)
12		tgcgrsub2.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
13	12	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐸 ∈ 𝑃)
14		legid.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
15	14	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
16		legtrd.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
17	16	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
18		simpr 488	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
19	1, 2, 3, 5, 15, 9, 7, 18	tgbtwncom 26282	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴))
20		legval.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (≤G‘𝐺)
21		tgcgrsub2.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∨ 𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸)))
22	21	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∨ 𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸)))
23	1, 2, 3, 20, 5, 15, 9, 7, 18	btwnleg 26382	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → (𝐴 − 𝐵) ≤ (𝐴 − 𝐶))
24		tgcgrsub2.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝐸))
25	24	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝐸))
26		tgcgrsub2.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐹))
27	26	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → (𝐴 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐹))
28	23, 25, 27	3brtr3d 5061	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → (𝐷 − 𝐸) ≤ (𝐷 − 𝐹))
29	1, 2, 3, 20, 5, 13, 11, 17, 17, 22, 28	legbtwn 26388	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹))
30	1, 2, 3, 5, 17, 13, 11, 29	tgbtwncom 26282	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝐷))
31	1, 2, 3, 4, 14, 6, 16, 10, 26	tgcgrcomlr 26274	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐴) = (𝐹 − 𝐷))
32	31	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → (𝐶 − 𝐴) = (𝐹 − 𝐷))
33	1, 2, 3, 4, 14, 8, 16, 12, 24	tgcgrcomlr 26274	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) = (𝐸 − 𝐷))
34	33	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → (𝐵 − 𝐴) = (𝐸 − 𝐷))
35	1, 2, 3, 5, 7, 9, 15, 11, 13, 17, 19, 30, 32, 34	tgcgrsub 26303	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → (𝐶 − 𝐵) = (𝐹 − 𝐸))
36	1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 35	tgcgrcomlr 26274	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → (𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹))
37	4	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
38	8	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
39	6	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
40	14	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
41	12	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐸 ∈ 𝑃)
42	10	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐹 ∈ 𝑃)
43	16	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
44		simpr 488	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
45	1, 2, 3, 37, 40, 39, 38, 44	tgbtwncom 26282	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴))
46	21	orcomd 868	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸) ∨ 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹)))
47	46	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸) ∨ 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹)))
48	1, 2, 3, 20, 37, 40, 39, 38, 44	btwnleg 26382	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (𝐴 − 𝐶) ≤ (𝐴 − 𝐵))
49	26	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (𝐴 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐹))
50	24	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝐸))
51	48, 49, 50	3brtr3d 5061	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (𝐷 − 𝐹) ≤ (𝐷 − 𝐸))
52	1, 2, 3, 20, 37, 42, 41, 43, 43, 47, 51	legbtwn 26388	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸))
53	1, 2, 3, 37, 43, 42, 41, 52	tgbtwncom 26282	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐷))
54	33	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (𝐵 − 𝐴) = (𝐸 − 𝐷))
55	31	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (𝐶 − 𝐴) = (𝐹 − 𝐷))
56	1, 2, 3, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 45, 53, 54, 55	tgcgrsub 26303	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹))
57		tgcgrsub2.1	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)))
58	36, 56, 57	mpjaodan 956	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  Basecbs 16475  distcds 16566  TarskiGcstrkg 26224  Itvcitv 26230  ≤Gcleg 26376

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-pm 8392  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-dju 9314  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-hash 13687  df-word 13858  df-concat 13914  df-s1 13941  df-s2 14201  df-s3 14202  df-trkgc 26242  df-trkgb 26243  df-trkgcb 26244  df-trkg 26247  df-cgrg 26305  df-leg 26377

This theorem is referenced by:  cgracgr  26612  cgraswap  26614