MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgcgrsub2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgcgrsub2 28603
Description: Removing identical parts from the end of a line segment preserves congruence. In this version the order of points is not known. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
legval.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
legval.d = (dist‘𝐺)
legval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
legval.l = (≤G‘𝐺)
legval.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
legid.a (𝜑𝐴𝑃)
legid.b (𝜑𝐵𝑃)
legtrd.c (𝜑𝐶𝑃)
legtrd.d (𝜑𝐷𝑃)
tgcgrsub2.d (𝜑𝐷𝑃)
tgcgrsub2.e (𝜑𝐸𝑃)
tgcgrsub2.f (𝜑𝐹𝑃)
tgcgrsub2.1 (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)))
tgcgrsub2.2 (𝜑 → (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∨ 𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸)))
tgcgrsub2.3 (𝜑 → (𝐴 𝐵) = (𝐷 𝐸))
tgcgrsub2.4 (𝜑 → (𝐴 𝐶) = (𝐷 𝐹))
Assertion
Ref Expression
tgcgrsub2 (𝜑 → (𝐵 𝐶) = (𝐸 𝐹))

Proof of Theorem tgcgrsub2
StepHypRef Expression
1 legval.p . . 3 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 legval.d . . 3 = (dist‘𝐺)
3 legval.i . . 3 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 legval.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
54adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6 legtrd.c . . . 4 (𝜑𝐶𝑃)
76adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐶𝑃)
8 legid.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑃)
98adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐵𝑃)
10 tgcgrsub2.f . . . 4 (𝜑𝐹𝑃)
1110adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐹𝑃)
12 tgcgrsub2.e . . . 4 (𝜑𝐸𝑃)
1312adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐸𝑃)
14 legid.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑃)
1514adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐴𝑃)
16 legtrd.d . . . . 5 (𝜑𝐷𝑃)
1716adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐷𝑃)
18 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
191, 2, 3, 5, 15, 9, 7, 18tgbtwncom 28496 . . . 4 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴))
20 legval.l . . . . . 6 = (≤G‘𝐺)
21 tgcgrsub2.2 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∨ 𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸)))
2221adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∨ 𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸)))
231, 2, 3, 20, 5, 15, 9, 7, 18btwnleg 28596 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → (𝐴 𝐵) (𝐴 𝐶))
24 tgcgrsub2.3 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 𝐵) = (𝐷 𝐸))
2524adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → (𝐴 𝐵) = (𝐷 𝐸))
26 tgcgrsub2.4 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 𝐶) = (𝐷 𝐹))
2726adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → (𝐴 𝐶) = (𝐷 𝐹))
2823, 25, 273brtr3d 5174 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → (𝐷 𝐸) (𝐷 𝐹))
291, 2, 3, 20, 5, 13, 11, 17, 17, 22, 28legbtwn 28602 . . . . 5 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹))
301, 2, 3, 5, 17, 13, 11, 29tgbtwncom 28496 . . . 4 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝐷))
311, 2, 3, 4, 14, 6, 16, 10, 26tgcgrcomlr 28488 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶 𝐴) = (𝐹 𝐷))
3231adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → (𝐶 𝐴) = (𝐹 𝐷))
331, 2, 3, 4, 14, 8, 16, 12, 24tgcgrcomlr 28488 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵 𝐴) = (𝐸 𝐷))
3433adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → (𝐵 𝐴) = (𝐸 𝐷))
351, 2, 3, 5, 7, 9, 15, 11, 13, 17, 19, 30, 32, 34tgcgrsub 28517 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → (𝐶 𝐵) = (𝐹 𝐸))
361, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 35tgcgrcomlr 28488 . 2 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → (𝐵 𝐶) = (𝐸 𝐹))
374adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
388adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐵𝑃)
396adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐶𝑃)
4014adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐴𝑃)
4112adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐸𝑃)
4210adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐹𝑃)
4316adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐷𝑃)
44 simpr 484 . . . 4 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
451, 2, 3, 37, 40, 39, 38, 44tgbtwncom 28496 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴))
4621orcomd 872 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸) ∨ 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹)))
4746adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸) ∨ 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹)))
481, 2, 3, 20, 37, 40, 39, 38, 44btwnleg 28596 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (𝐴 𝐶) (𝐴 𝐵))
4926adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (𝐴 𝐶) = (𝐷 𝐹))
5024adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (𝐴 𝐵) = (𝐷 𝐸))
5148, 49, 503brtr3d 5174 . . . . 5 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (𝐷 𝐹) (𝐷 𝐸))
521, 2, 3, 20, 37, 42, 41, 43, 43, 47, 51legbtwn 28602 . . . 4 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸))
531, 2, 3, 37, 43, 42, 41, 52tgbtwncom 28496 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐷))
5433adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (𝐵 𝐴) = (𝐸 𝐷))
5531adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (𝐶 𝐴) = (𝐹 𝐷))
561, 2, 3, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 45, 53, 54, 55tgcgrsub 28517 . 2 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (𝐵 𝐶) = (𝐸 𝐹))
57 tgcgrsub2.1 . 2 (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)))
5836, 56, 57mpjaodan 961 1 (𝜑 → (𝐵 𝐶) = (𝐸 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wo 848   = wceq 1540  wcel 2108  cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  distcds 17306  TarskiGcstrkg 28435  Itvcitv 28441  ≤Gcleg 28590
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-oadd 8510  df-er 8745  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-hash 14370  df-word 14553  df-concat 14609  df-s1 14634  df-s2 14887  df-s3 14888  df-trkgc 28456  df-trkgb 28457  df-trkgcb 28458  df-trkg 28461  df-cgrg 28519  df-leg 28591
This theorem is referenced by:  cgracgr  28826  cgraswap  28828
  Copyright terms: Public domain W3C validator