Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgcgrsub2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgcgrsub2 25908
 Description: Removing identical parts from the end of a line segment preserves congruence. In this version the order of points is not known. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
legval.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
legval.d = (dist‘𝐺)
legval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
legval.l = (≤G‘𝐺)
legval.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
legid.a (𝜑𝐴𝑃)
legid.b (𝜑𝐵𝑃)
legtrd.c (𝜑𝐶𝑃)
legtrd.d (𝜑𝐷𝑃)
tgcgrsub2.d (𝜑𝐷𝑃)
tgcgrsub2.e (𝜑𝐸𝑃)
tgcgrsub2.f (𝜑𝐹𝑃)
tgcgrsub2.1 (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)))
tgcgrsub2.2 (𝜑 → (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∨ 𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸)))
tgcgrsub2.3 (𝜑 → (𝐴 𝐵) = (𝐷 𝐸))
tgcgrsub2.4 (𝜑 → (𝐴 𝐶) = (𝐷 𝐹))
Assertion
Ref Expression
tgcgrsub2 (𝜑 → (𝐵 𝐶) = (𝐸 𝐹))

Proof of Theorem tgcgrsub2
StepHypRef Expression
1 legval.p . . 3 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 legval.d . . 3 = (dist‘𝐺)
3 legval.i . . 3 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 legval.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
54adantr 474 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6 legtrd.c . . . 4 (𝜑𝐶𝑃)
76adantr 474 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐶𝑃)
8 legid.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑃)
98adantr 474 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐵𝑃)
10 tgcgrsub2.f . . . 4 (𝜑𝐹𝑃)
1110adantr 474 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐹𝑃)
12 tgcgrsub2.e . . . 4 (𝜑𝐸𝑃)
1312adantr 474 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐸𝑃)
14 legid.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑃)
1514adantr 474 . . . 4 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐴𝑃)
16 legtrd.d . . . . 5 (𝜑𝐷𝑃)
1716adantr 474 . . . 4 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐷𝑃)
18 simpr 479 . . . . 5 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
191, 2, 3, 5, 15, 9, 7, 18tgbtwncom 25801 . . . 4 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴))
20 legval.l . . . . . 6 = (≤G‘𝐺)
21 tgcgrsub2.2 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∨ 𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸)))
2221adantr 474 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∨ 𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸)))
231, 2, 3, 20, 5, 15, 9, 7, 18btwnleg 25901 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → (𝐴 𝐵) (𝐴 𝐶))
24 tgcgrsub2.3 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 𝐵) = (𝐷 𝐸))
2524adantr 474 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → (𝐴 𝐵) = (𝐷 𝐸))
26 tgcgrsub2.4 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 𝐶) = (𝐷 𝐹))
2726adantr 474 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → (𝐴 𝐶) = (𝐷 𝐹))
2823, 25, 273brtr3d 4905 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → (𝐷 𝐸) (𝐷 𝐹))
291, 2, 3, 20, 5, 13, 11, 17, 17, 22, 28legbtwn 25907 . . . . 5 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹))
301, 2, 3, 5, 17, 13, 11, 29tgbtwncom 25801 . . . 4 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝐷))
311, 2, 3, 4, 14, 6, 16, 10, 26tgcgrcomlr 25793 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶 𝐴) = (𝐹 𝐷))
3231adantr 474 . . . 4 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → (𝐶 𝐴) = (𝐹 𝐷))
331, 2, 3, 4, 14, 8, 16, 12, 24tgcgrcomlr 25793 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵 𝐴) = (𝐸 𝐷))
3433adantr 474 . . . 4 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → (𝐵 𝐴) = (𝐸 𝐷))
351, 2, 3, 5, 7, 9, 15, 11, 13, 17, 19, 30, 32, 34tgcgrsub 25822 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → (𝐶 𝐵) = (𝐹 𝐸))
361, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 35tgcgrcomlr 25793 . 2 ((𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → (𝐵 𝐶) = (𝐸 𝐹))
374adantr 474 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
388adantr 474 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐵𝑃)
396adantr 474 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐶𝑃)
4014adantr 474 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐴𝑃)
4112adantr 474 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐸𝑃)
4210adantr 474 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐹𝑃)
4316adantr 474 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐷𝑃)
44 simpr 479 . . . 4 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵))
451, 2, 3, 37, 40, 39, 38, 44tgbtwncom 25801 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐴))
4621orcomd 904 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸) ∨ 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹)))
4746adantr 474 . . . . 5 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸) ∨ 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹)))
481, 2, 3, 20, 37, 40, 39, 38, 44btwnleg 25901 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (𝐴 𝐶) (𝐴 𝐵))
4926adantr 474 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (𝐴 𝐶) = (𝐷 𝐹))
5024adantr 474 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (𝐴 𝐵) = (𝐷 𝐸))
5148, 49, 503brtr3d 4905 . . . . 5 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (𝐷 𝐹) (𝐷 𝐸))
521, 2, 3, 20, 37, 42, 41, 43, 43, 47, 51legbtwn 25907 . . . 4 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸))
531, 2, 3, 37, 43, 42, 41, 52tgbtwncom 25801 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐷))
5433adantr 474 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (𝐵 𝐴) = (𝐸 𝐷))
5531adantr 474 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (𝐶 𝐴) = (𝐹 𝐷))
561, 2, 3, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 45, 53, 54, 55tgcgrsub 25822 . 2 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) → (𝐵 𝐶) = (𝐸 𝐹))
57 tgcgrsub2.1 . 2 (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∨ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐵)))
5836, 56, 57mpjaodan 988 1 (𝜑 → (𝐵 𝐶) = (𝐸 𝐹))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∨ wo 880   = wceq 1658   ∈ wcel 2166  ‘cfv 6124  (class class class)co 6906  Basecbs 16223  distcds 16315  TarskiGcstrkg 25743  Itvcitv 25749  ≤Gcleg 25895 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-rep 4995  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-int 4699  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-om 7328  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-1o 7827  df-oadd 7831  df-er 8010  df-pm 8126  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-fin 8227  df-card 9079  df-cda 9306  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-nn 11352  df-2 11415  df-3 11416  df-n0 11620  df-xnn0 11692  df-z 11706  df-uz 11970  df-fz 12621  df-fzo 12762  df-hash 13412  df-word 13576  df-concat 13632  df-s1 13657  df-s2 13970  df-s3 13971  df-trkgc 25761  df-trkgb 25762  df-trkgcb 25763  df-trkg 25766  df-cgrg 25824  df-leg 25896 This theorem is referenced by:  cgracgr  26128  cgraswap  26130
 Copyright terms: Public domain W3C validator