MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgcgrsub2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem tgcgrsub2 27846
Description: Removing identical parts from the end of a line segment preserves congruence. In this version the order of points is not known. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
legval.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
legval.d βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
legval.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
legval.l ≀ = (≀Gβ€˜πΊ)
legval.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
legid.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
legid.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
legtrd.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
legtrd.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
tgcgrsub2.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
tgcgrsub2.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
tgcgrsub2.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
tgcgrsub2.1 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢) ∨ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡)))
tgcgrsub2.2 (πœ‘ β†’ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∨ 𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸)))
tgcgrsub2.3 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) = (𝐷 βˆ’ 𝐸))
tgcgrsub2.4 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐢) = (𝐷 βˆ’ 𝐹))
Assertion
Ref Expression
tgcgrsub2 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐢) = (𝐸 βˆ’ 𝐹))
Proof of Theorem tgcgrsub2
StepHypRef Expression
1 legval.p . . 3 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
2 legval.d . . 3 βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
3 legval.i . . 3 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
4 legval.g . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
54adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
6 legtrd.c . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
76adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
8 legid.b . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
98adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
10 tgcgrsub2.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
1110adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
12 tgcgrsub2.e . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
1312adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
14 legid.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
1514adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
16 legtrd.d . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
1716adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
18 simpr 486 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢))
191, 2, 3, 5, 15, 9, 7, 18tgbtwncom 27739 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ 𝐡 ∈ (𝐢𝐼𝐴))
20 legval.l . . . . . 6 ≀ = (≀Gβ€˜πΊ)
21 tgcgrsub2.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∨ 𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸)))
2221adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ (𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∨ 𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸)))
231, 2, 3, 20, 5, 15, 9, 7, 18btwnleg 27839 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) ≀ (𝐴 βˆ’ 𝐢))
24 tgcgrsub2.3 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) = (𝐷 βˆ’ 𝐸))
2524adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) = (𝐷 βˆ’ 𝐸))
26 tgcgrsub2.4 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐢) = (𝐷 βˆ’ 𝐹))
2726adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐢) = (𝐷 βˆ’ 𝐹))
2823, 25, 273brtr3d 5180 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ (𝐷 βˆ’ 𝐸) ≀ (𝐷 βˆ’ 𝐹))
291, 2, 3, 20, 5, 13, 11, 17, 17, 22, 28legbtwn 27845 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹))
301, 2, 3, 5, 17, 13, 11, 29tgbtwncom 27739 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ 𝐸 ∈ (𝐹𝐼𝐷))
311, 2, 3, 4, 14, 6, 16, 10, 26tgcgrcomlr 27731 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐢 βˆ’ 𝐴) = (𝐹 βˆ’ 𝐷))
3231adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ (𝐢 βˆ’ 𝐴) = (𝐹 βˆ’ 𝐷))
331, 2, 3, 4, 14, 8, 16, 12, 24tgcgrcomlr 27731 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) = (𝐸 βˆ’ 𝐷))
3433adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) = (𝐸 βˆ’ 𝐷))
351, 2, 3, 5, 7, 9, 15, 11, 13, 17, 19, 30, 32, 34tgcgrsub 27760 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ (𝐢 βˆ’ 𝐡) = (𝐹 βˆ’ 𝐸))
361, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 35tgcgrcomlr 27731 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢)) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐢) = (𝐸 βˆ’ 𝐹))
374adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
388adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
396adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
4014adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
4112adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
4210adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
4316adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
44 simpr 486 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡))
451, 2, 3, 37, 40, 39, 38, 44tgbtwncom 27739 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ 𝐢 ∈ (𝐡𝐼𝐴))
4621orcomd 870 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸) ∨ 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹)))
4746adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ (𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸) ∨ 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹)))
481, 2, 3, 20, 37, 40, 39, 38, 44btwnleg 27839 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐢) ≀ (𝐴 βˆ’ 𝐡))
4926adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐢) = (𝐷 βˆ’ 𝐹))
5024adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) = (𝐷 βˆ’ 𝐸))
5148, 49, 503brtr3d 5180 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ (𝐷 βˆ’ 𝐹) ≀ (𝐷 βˆ’ 𝐸))
521, 2, 3, 20, 37, 42, 41, 43, 43, 47, 51legbtwn 27845 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ 𝐹 ∈ (𝐷𝐼𝐸))
531, 2, 3, 37, 43, 42, 41, 52tgbtwncom 27739 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐷))
5433adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) = (𝐸 βˆ’ 𝐷))
5531adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ (𝐢 βˆ’ 𝐴) = (𝐹 βˆ’ 𝐷))
561, 2, 3, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 45, 53, 54, 55tgcgrsub 27760 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡)) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐢) = (𝐸 βˆ’ 𝐹))
57 tgcgrsub2.1 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝐢) ∨ 𝐢 ∈ (𝐴𝐼𝐡)))
5836, 56, 57mpjaodan 958 1 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐢) = (𝐸 βˆ’ 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  distcds 17206  TarskiGcstrkg 27678  Itvcitv 27684  β‰€Gcleg 27833
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-oadd 8470  df-er 8703  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-hash 14291  df-word 14465  df-concat 14521  df-s1 14546  df-s2 14799  df-s3 14800  df-trkgc 27699  df-trkgb 27700  df-trkgcb 27701  df-trkg 27704  df-cgrg 27762  df-leg 27834
This theorem is referenced by:  cgracgr  28069  cgraswap  28071
  Copyright terms: Public domain W3C validator