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Theorem cgratr 28578
Description: Angle congruence is transitive. Theorem 11.8 of [Schwabhauser] p. 97. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cgraid.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
cgraid.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
cgraid.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
cgraid.k 𝐾 = (hlGβ€˜πΊ)
cgraid.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
cgraid.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
cgraid.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
cgracom.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
cgracom.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
cgracom.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
cgracom.1 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrAβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ©)
cgratr.h (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ 𝑃)
cgratr.i (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑃)
cgratr.j (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ 𝑃)
cgratr.1 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ©(cgrAβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ»π‘ˆπ½β€βŸ©)
Assertion
Ref Expression
cgratr (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrAβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ»π‘ˆπ½β€βŸ©)

Proof of Theorem cgratr
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑒 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cgraid.p . . . . 5 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
2 eqid 2726 . . . . 5 (distβ€˜πΊ) = (distβ€˜πΊ)
3 eqid 2726 . . . . 5 (cgrGβ€˜πΊ) = (cgrGβ€˜πΊ)
4 cgraid.g . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
54ad3antrrr 727 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
6 cgraid.a . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
76ad3antrrr 727 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
8 cgraid.b . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
98ad3antrrr 727 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
10 cgraid.c . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
1110ad3antrrr 727 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
12 simpllr 773 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) β†’ π‘₯ ∈ 𝑃)
13 cgratr.i . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑃)
1413ad3antrrr 727 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑃)
15 simplr 766 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) β†’ 𝑦 ∈ 𝑃)
16 cgraid.i . . . . . 6 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
17 simprlr 777 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) β†’ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴))
1817eqcomd 2732 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) β†’ (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴) = (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯))
191, 2, 16, 5, 9, 7, 14, 12, 18tgcgrcomlr 28235 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) β†’ (𝐴(distβ€˜πΊ)𝐡) = (π‘₯(distβ€˜πΊ)π‘ˆ))
20 simprrr 779 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) β†’ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢))
2120eqcomd 2732 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) β†’ (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢) = (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦))
225ad3antrrr 727 . . . . . . . 8 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ© ∧ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
237ad3antrrr 727 . . . . . . . 8 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ© ∧ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
249ad3antrrr 727 . . . . . . . 8 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ© ∧ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
2511ad3antrrr 727 . . . . . . . 8 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ© ∧ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
26 simpllr 773 . . . . . . . 8 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ© ∧ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ 𝑒 ∈ 𝑃)
27 cgracom.e . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
2827ad6antr 733 . . . . . . . 8 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ© ∧ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
29 simplr 766 . . . . . . . 8 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ© ∧ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ 𝑣 ∈ 𝑃)
30 simpr1 1191 . . . . . . . 8 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ© ∧ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ©)
311, 2, 16, 3, 22, 23, 24, 25, 26, 28, 29, 30cgr3simp3 28277 . . . . . . 7 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ© ∧ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ (𝐢(distβ€˜πΊ)𝐴) = (𝑣(distβ€˜πΊ)𝑒))
3212ad3antrrr 727 . . . . . . . 8 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ© ∧ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑃)
3315ad3antrrr 727 . . . . . . . 8 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ© ∧ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ 𝑦 ∈ 𝑃)
34 cgraid.k . . . . . . . . 9 𝐾 = (hlGβ€˜πΊ)
35 cgracom.d . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
3635ad6antr 733 . . . . . . . . 9 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ© ∧ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
37 cgracom.f . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
3837ad6antr 733 . . . . . . . . 9 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ© ∧ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
3914ad3antrrr 727 . . . . . . . . 9 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ© ∧ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑃)
40 cgratr.j . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ 𝑃)
4140ad6antr 733 . . . . . . . . . 10 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ© ∧ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ 𝐽 ∈ 𝑃)
42 cgratr.h . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ 𝑃)
4342ad6antr 733 . . . . . . . . . . 11 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ© ∧ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ 𝐻 ∈ 𝑃)
44 cgratr.1 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ©(cgrAβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ»π‘ˆπ½β€βŸ©)
4544ad6antr 733 . . . . . . . . . . 11 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ© ∧ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ©(cgrAβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ»π‘ˆπ½β€βŸ©)
46 simprll 776 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) β†’ π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻)
4746ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . 11 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ© ∧ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻)
481, 16, 34, 22, 36, 28, 38, 43, 39, 41, 45, 32, 47cgrahl1 28571 . . . . . . . . . 10 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ© ∧ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ©(cgrAβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯π‘ˆπ½β€βŸ©)
49 simprrl 778 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) β†’ 𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽)
5049ad3antrrr 727 . . . . . . . . . 10 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ© ∧ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ 𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽)
511, 16, 34, 22, 36, 28, 38, 32, 39, 41, 48, 33, 50cgrahl2 28572 . . . . . . . . 9 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ© ∧ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ©(cgrAβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯π‘ˆπ‘¦β€βŸ©)
52 simpr2 1192 . . . . . . . . 9 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ© ∧ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷)
53 simpr3 1193 . . . . . . . . 9 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ© ∧ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹)
541, 2, 16, 3, 22, 23, 24, 25, 26, 28, 29, 30cgr3simp1 28275 . . . . . . . . . . . 12 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ© ∧ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ (𝐴(distβ€˜πΊ)𝐡) = (𝑒(distβ€˜πΊ)𝐸))
5554eqcomd 2732 . . . . . . . . . . 11 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ© ∧ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ (𝑒(distβ€˜πΊ)𝐸) = (𝐴(distβ€˜πΊ)𝐡))
561, 2, 16, 22, 26, 28, 23, 24, 55tgcgrcomlr 28235 . . . . . . . . . 10 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ© ∧ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ (𝐸(distβ€˜πΊ)𝑒) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴))
5718ad3antrrr 727 . . . . . . . . . 10 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ© ∧ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴) = (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯))
5856, 57eqtrd 2766 . . . . . . . . 9 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ© ∧ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ (𝐸(distβ€˜πΊ)𝑒) = (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯))
591, 2, 16, 3, 22, 23, 24, 25, 26, 28, 29, 30cgr3simp2 28276 . . . . . . . . . 10 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ© ∧ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝑣))
6021ad3antrrr 727 . . . . . . . . . 10 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ© ∧ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢) = (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦))
6159, 60eqtr3d 2768 . . . . . . . . 9 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ© ∧ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ (𝐸(distβ€˜πΊ)𝑣) = (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦))
621, 16, 34, 22, 36, 28, 38, 32, 39, 33, 51, 26, 2, 29, 52, 53, 58, 61cgracgr 28573 . . . . . . . 8 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ© ∧ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ (𝑒(distβ€˜πΊ)𝑣) = (π‘₯(distβ€˜πΊ)𝑦))
631, 2, 16, 22, 26, 29, 32, 33, 62tgcgrcomlr 28235 . . . . . . 7 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ© ∧ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ (𝑣(distβ€˜πΊ)𝑒) = (𝑦(distβ€˜πΊ)π‘₯))
6431, 63eqtrd 2766 . . . . . 6 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ© ∧ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ (𝐢(distβ€˜πΊ)𝐴) = (𝑦(distβ€˜πΊ)π‘₯))
65 cgracom.1 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrAβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ©)
661, 16, 34, 4, 6, 8, 10, 35, 27, 37iscgra 28564 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrAβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ© ↔ βˆƒπ‘’ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘£ ∈ 𝑃 (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ© ∧ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹)))
6765, 66mpbid 231 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘£ ∈ 𝑃 (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ© ∧ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹))
6867ad3antrrr 727 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘£ ∈ 𝑃 (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ© ∧ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹))
6964, 68r19.29vva 3207 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) β†’ (𝐢(distβ€˜πΊ)𝐴) = (𝑦(distβ€˜πΊ)π‘₯))
701, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 12, 14, 15, 19, 21, 69trgcgr 28271 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯π‘ˆπ‘¦β€βŸ©)
7170, 46, 493jca 1125 . . 3 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) β†’ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯π‘ˆπ‘¦β€βŸ© ∧ π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ 𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽))
721, 16, 34, 4, 35, 27, 37, 42, 13, 40, 44cgrane3 28569 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ β‰  𝐻)
7372necomd 2990 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐻 β‰  π‘ˆ)
741, 16, 34, 4, 6, 8, 10, 35, 27, 37, 65cgrane1 28567 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰  𝐡)
7574necomd 2990 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 β‰  𝐴)
761, 16, 34, 13, 8, 6, 4, 42, 2, 73, 75hlcgrex 28371 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 (π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)))
771, 16, 34, 4, 35, 27, 37, 42, 13, 40, 44cgrane4 28570 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ β‰  𝐽)
7877necomd 2990 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐽 β‰  π‘ˆ)
791, 16, 34, 4, 6, 8, 10, 35, 27, 37, 65cgrane2 28568 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 β‰  𝐢)
801, 16, 34, 13, 8, 10, 4, 40, 2, 78, 79hlcgrex 28371 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))
81 reeanv 3220 . . . 4 (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢))) ↔ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 (π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢))))
8276, 80, 81sylanbrc 582 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢))))
8371, 82reximddv2 3206 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯π‘ˆπ‘¦β€βŸ© ∧ π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ 𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽))
841, 16, 34, 4, 6, 8, 10, 42, 13, 40iscgra 28564 . 2 (πœ‘ β†’ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrAβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ»π‘ˆπ½β€βŸ© ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯π‘ˆπ‘¦β€βŸ© ∧ π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ 𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽)))
8583, 84mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrAβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ»π‘ˆπ½β€βŸ©)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆƒwrex 3064   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  βŸ¨β€œcs3 14797  Basecbs 17151  distcds 17213  TarskiGcstrkg 28182  Itvcitv 28188  cgrGccgrg 28265  hlGchlg 28355  cgrAccgra 28562
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-oadd 8468  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-dju 9895  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-xnn0 12546  df-z 12560  df-uz 12824  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-hash 14294  df-word 14469  df-concat 14525  df-s1 14550  df-s2 14803  df-s3 14804  df-trkgc 28203  df-trkgb 28204  df-trkgcb 28205  df-trkg 28208  df-cgrg 28266  df-leg 28338  df-hlg 28356  df-cgra 28563
This theorem is referenced by:  cgraswaplr  28580  sacgr  28586  oacgr  28587  tgasa1  28613
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