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Theorem cgratr 27807
Description: Angle congruence is transitive. Theorem 11.8 of [Schwabhauser] p. 97. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cgraid.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
cgraid.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
cgraid.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
cgraid.k 𝐾 = (hlGβ€˜πΊ)
cgraid.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
cgraid.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
cgraid.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
cgracom.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
cgracom.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
cgracom.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
cgracom.1 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrAβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ©)
cgratr.h (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ 𝑃)
cgratr.i (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑃)
cgratr.j (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ 𝑃)
cgratr.1 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ©(cgrAβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ»π‘ˆπ½β€βŸ©)
Assertion
Ref Expression
cgratr (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrAβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ»π‘ˆπ½β€βŸ©)

Proof of Theorem cgratr
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑒 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cgraid.p . . . . 5 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
2 eqid 2737 . . . . 5 (distβ€˜πΊ) = (distβ€˜πΊ)
3 eqid 2737 . . . . 5 (cgrGβ€˜πΊ) = (cgrGβ€˜πΊ)
4 cgraid.g . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
54ad3antrrr 729 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
6 cgraid.a . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
76ad3antrrr 729 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
8 cgraid.b . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
98ad3antrrr 729 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
10 cgraid.c . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
1110ad3antrrr 729 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
12 simpllr 775 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) β†’ π‘₯ ∈ 𝑃)
13 cgratr.i . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑃)
1413ad3antrrr 729 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑃)
15 simplr 768 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) β†’ 𝑦 ∈ 𝑃)
16 cgraid.i . . . . . 6 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
17 simprlr 779 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) β†’ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴))
1817eqcomd 2743 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) β†’ (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴) = (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯))
191, 2, 16, 5, 9, 7, 14, 12, 18tgcgrcomlr 27464 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) β†’ (𝐴(distβ€˜πΊ)𝐡) = (π‘₯(distβ€˜πΊ)π‘ˆ))
20 simprrr 781 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) β†’ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢))
2120eqcomd 2743 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) β†’ (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢) = (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦))
225ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ© ∧ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
237ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ© ∧ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
249ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ© ∧ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
2511ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ© ∧ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
26 simpllr 775 . . . . . . . 8 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ© ∧ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ 𝑒 ∈ 𝑃)
27 cgracom.e . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
2827ad6antr 735 . . . . . . . 8 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ© ∧ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
29 simplr 768 . . . . . . . 8 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ© ∧ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ 𝑣 ∈ 𝑃)
30 simpr1 1195 . . . . . . . 8 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ© ∧ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ©)
311, 2, 16, 3, 22, 23, 24, 25, 26, 28, 29, 30cgr3simp3 27506 . . . . . . 7 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ© ∧ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ (𝐢(distβ€˜πΊ)𝐴) = (𝑣(distβ€˜πΊ)𝑒))
3212ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ© ∧ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑃)
3315ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ© ∧ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ 𝑦 ∈ 𝑃)
34 cgraid.k . . . . . . . . 9 𝐾 = (hlGβ€˜πΊ)
35 cgracom.d . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
3635ad6antr 735 . . . . . . . . 9 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ© ∧ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
37 cgracom.f . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
3837ad6antr 735 . . . . . . . . 9 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ© ∧ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
3914ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ© ∧ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑃)
40 cgratr.j . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ 𝑃)
4140ad6antr 735 . . . . . . . . . 10 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ© ∧ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ 𝐽 ∈ 𝑃)
42 cgratr.h . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ 𝑃)
4342ad6antr 735 . . . . . . . . . . 11 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ© ∧ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ 𝐻 ∈ 𝑃)
44 cgratr.1 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ©(cgrAβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ»π‘ˆπ½β€βŸ©)
4544ad6antr 735 . . . . . . . . . . 11 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ© ∧ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ©(cgrAβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ»π‘ˆπ½β€βŸ©)
46 simprll 778 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) β†’ π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻)
4746ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ© ∧ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻)
481, 16, 34, 22, 36, 28, 38, 43, 39, 41, 45, 32, 47cgrahl1 27800 . . . . . . . . . 10 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ© ∧ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ©(cgrAβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯π‘ˆπ½β€βŸ©)
49 simprrl 780 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) β†’ 𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽)
5049ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ© ∧ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ 𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽)
511, 16, 34, 22, 36, 28, 38, 32, 39, 41, 48, 33, 50cgrahl2 27801 . . . . . . . . 9 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ© ∧ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ©(cgrAβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯π‘ˆπ‘¦β€βŸ©)
52 simpr2 1196 . . . . . . . . 9 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ© ∧ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷)
53 simpr3 1197 . . . . . . . . 9 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ© ∧ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹)
541, 2, 16, 3, 22, 23, 24, 25, 26, 28, 29, 30cgr3simp1 27504 . . . . . . . . . . . 12 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ© ∧ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ (𝐴(distβ€˜πΊ)𝐡) = (𝑒(distβ€˜πΊ)𝐸))
5554eqcomd 2743 . . . . . . . . . . 11 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ© ∧ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ (𝑒(distβ€˜πΊ)𝐸) = (𝐴(distβ€˜πΊ)𝐡))
561, 2, 16, 22, 26, 28, 23, 24, 55tgcgrcomlr 27464 . . . . . . . . . 10 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ© ∧ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ (𝐸(distβ€˜πΊ)𝑒) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴))
5718ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ© ∧ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴) = (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯))
5856, 57eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ© ∧ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ (𝐸(distβ€˜πΊ)𝑒) = (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯))
591, 2, 16, 3, 22, 23, 24, 25, 26, 28, 29, 30cgr3simp2 27505 . . . . . . . . . 10 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ© ∧ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝑣))
6021ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ© ∧ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢) = (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦))
6159, 60eqtr3d 2779 . . . . . . . . 9 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ© ∧ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ (𝐸(distβ€˜πΊ)𝑣) = (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦))
621, 16, 34, 22, 36, 28, 38, 32, 39, 33, 51, 26, 2, 29, 52, 53, 58, 61cgracgr 27802 . . . . . . . 8 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ© ∧ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ (𝑒(distβ€˜πΊ)𝑣) = (π‘₯(distβ€˜πΊ)𝑦))
631, 2, 16, 22, 26, 29, 32, 33, 62tgcgrcomlr 27464 . . . . . . 7 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ© ∧ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ (𝑣(distβ€˜πΊ)𝑒) = (𝑦(distβ€˜πΊ)π‘₯))
6431, 63eqtrd 2777 . . . . . 6 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ© ∧ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ (𝐢(distβ€˜πΊ)𝐴) = (𝑦(distβ€˜πΊ)π‘₯))
65 cgracom.1 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrAβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ©)
661, 16, 34, 4, 6, 8, 10, 35, 27, 37iscgra 27793 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrAβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ© ↔ βˆƒπ‘’ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘£ ∈ 𝑃 (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ© ∧ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹)))
6765, 66mpbid 231 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘£ ∈ 𝑃 (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ© ∧ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹))
6867ad3antrrr 729 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘£ ∈ 𝑃 (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ© ∧ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹))
6964, 68r19.29vva 3208 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) β†’ (𝐢(distβ€˜πΊ)𝐴) = (𝑦(distβ€˜πΊ)π‘₯))
701, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 12, 14, 15, 19, 21, 69trgcgr 27500 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯π‘ˆπ‘¦β€βŸ©)
7170, 46, 493jca 1129 . . 3 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) β†’ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯π‘ˆπ‘¦β€βŸ© ∧ π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ 𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽))
721, 16, 34, 4, 35, 27, 37, 42, 13, 40, 44cgrane3 27798 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ β‰  𝐻)
7372necomd 3000 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐻 β‰  π‘ˆ)
741, 16, 34, 4, 6, 8, 10, 35, 27, 37, 65cgrane1 27796 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰  𝐡)
7574necomd 3000 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 β‰  𝐴)
761, 16, 34, 13, 8, 6, 4, 42, 2, 73, 75hlcgrex 27600 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 (π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)))
771, 16, 34, 4, 35, 27, 37, 42, 13, 40, 44cgrane4 27799 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ β‰  𝐽)
7877necomd 3000 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐽 β‰  π‘ˆ)
791, 16, 34, 4, 6, 8, 10, 35, 27, 37, 65cgrane2 27797 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 β‰  𝐢)
801, 16, 34, 13, 8, 10, 4, 40, 2, 78, 79hlcgrex 27600 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))
81 reeanv 3220 . . . 4 (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢))) ↔ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 (π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢))))
8276, 80, 81sylanbrc 584 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢))))
8371, 82reximddv2 3207 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯π‘ˆπ‘¦β€βŸ© ∧ π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ 𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽))
841, 16, 34, 4, 6, 8, 10, 42, 13, 40iscgra 27793 . 2 (πœ‘ β†’ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrAβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ»π‘ˆπ½β€βŸ© ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯π‘ˆπ‘¦β€βŸ© ∧ π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ 𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽)))
8583, 84mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrAβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ»π‘ˆπ½β€βŸ©)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3074   class class class wbr 5110  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  βŸ¨β€œcs3 14738  Basecbs 17090  distcds 17149  TarskiGcstrkg 27411  Itvcitv 27417  cgrGccgrg 27494  hlGchlg 27584  cgrAccgra 27791
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-oadd 8421  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-hash 14238  df-word 14410  df-concat 14466  df-s1 14491  df-s2 14744  df-s3 14745  df-trkgc 27432  df-trkgb 27433  df-trkgcb 27434  df-trkg 27437  df-cgrg 27495  df-leg 27567  df-hlg 27585  df-cgra 27792
This theorem is referenced by:  cgraswaplr  27809  sacgr  27815  oacgr  27816  tgasa1  27842
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