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Theorem cgratr 28640
Description: Angle congruence is transitive. Theorem 11.8 of [Schwabhauser] p. 97. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cgraid.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
cgraid.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
cgraid.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
cgraid.k 𝐾 = (hlGβ€˜πΊ)
cgraid.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
cgraid.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
cgraid.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
cgracom.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
cgracom.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
cgracom.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
cgracom.1 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrAβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ©)
cgratr.h (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ 𝑃)
cgratr.i (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑃)
cgratr.j (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ 𝑃)
cgratr.1 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ©(cgrAβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ»π‘ˆπ½β€βŸ©)
Assertion
Ref Expression
cgratr (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrAβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ»π‘ˆπ½β€βŸ©)

Proof of Theorem cgratr
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑒 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cgraid.p . . . . 5 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
2 eqid 2728 . . . . 5 (distβ€˜πΊ) = (distβ€˜πΊ)
3 eqid 2728 . . . . 5 (cgrGβ€˜πΊ) = (cgrGβ€˜πΊ)
4 cgraid.g . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
54ad3antrrr 729 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
6 cgraid.a . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
76ad3antrrr 729 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
8 cgraid.b . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
98ad3antrrr 729 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
10 cgraid.c . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
1110ad3antrrr 729 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
12 simpllr 775 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) β†’ π‘₯ ∈ 𝑃)
13 cgratr.i . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑃)
1413ad3antrrr 729 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑃)
15 simplr 768 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) β†’ 𝑦 ∈ 𝑃)
16 cgraid.i . . . . . 6 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
17 simprlr 779 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) β†’ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴))
1817eqcomd 2734 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) β†’ (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴) = (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯))
191, 2, 16, 5, 9, 7, 14, 12, 18tgcgrcomlr 28297 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) β†’ (𝐴(distβ€˜πΊ)𝐡) = (π‘₯(distβ€˜πΊ)π‘ˆ))
20 simprrr 781 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) β†’ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢))
2120eqcomd 2734 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) β†’ (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢) = (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦))
225ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ© ∧ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
237ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ© ∧ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
249ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ© ∧ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
2511ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ© ∧ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
26 simpllr 775 . . . . . . . 8 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ© ∧ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ 𝑒 ∈ 𝑃)
27 cgracom.e . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
2827ad6antr 735 . . . . . . . 8 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ© ∧ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
29 simplr 768 . . . . . . . 8 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ© ∧ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ 𝑣 ∈ 𝑃)
30 simpr1 1192 . . . . . . . 8 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ© ∧ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ©)
311, 2, 16, 3, 22, 23, 24, 25, 26, 28, 29, 30cgr3simp3 28339 . . . . . . 7 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ© ∧ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ (𝐢(distβ€˜πΊ)𝐴) = (𝑣(distβ€˜πΊ)𝑒))
3212ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ© ∧ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑃)
3315ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ© ∧ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ 𝑦 ∈ 𝑃)
34 cgraid.k . . . . . . . . 9 𝐾 = (hlGβ€˜πΊ)
35 cgracom.d . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
3635ad6antr 735 . . . . . . . . 9 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ© ∧ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
37 cgracom.f . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
3837ad6antr 735 . . . . . . . . 9 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ© ∧ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
3914ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ© ∧ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑃)
40 cgratr.j . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ 𝑃)
4140ad6antr 735 . . . . . . . . . 10 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ© ∧ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ 𝐽 ∈ 𝑃)
42 cgratr.h . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ 𝑃)
4342ad6antr 735 . . . . . . . . . . 11 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ© ∧ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ 𝐻 ∈ 𝑃)
44 cgratr.1 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ©(cgrAβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ»π‘ˆπ½β€βŸ©)
4544ad6antr 735 . . . . . . . . . . 11 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ© ∧ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ©(cgrAβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ»π‘ˆπ½β€βŸ©)
46 simprll 778 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) β†’ π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻)
4746ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ© ∧ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻)
481, 16, 34, 22, 36, 28, 38, 43, 39, 41, 45, 32, 47cgrahl1 28633 . . . . . . . . . 10 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ© ∧ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ©(cgrAβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯π‘ˆπ½β€βŸ©)
49 simprrl 780 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) β†’ 𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽)
5049ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ© ∧ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ 𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽)
511, 16, 34, 22, 36, 28, 38, 32, 39, 41, 48, 33, 50cgrahl2 28634 . . . . . . . . 9 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ© ∧ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ©(cgrAβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯π‘ˆπ‘¦β€βŸ©)
52 simpr2 1193 . . . . . . . . 9 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ© ∧ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷)
53 simpr3 1194 . . . . . . . . 9 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ© ∧ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹)
541, 2, 16, 3, 22, 23, 24, 25, 26, 28, 29, 30cgr3simp1 28337 . . . . . . . . . . . 12 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ© ∧ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ (𝐴(distβ€˜πΊ)𝐡) = (𝑒(distβ€˜πΊ)𝐸))
5554eqcomd 2734 . . . . . . . . . . 11 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ© ∧ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ (𝑒(distβ€˜πΊ)𝐸) = (𝐴(distβ€˜πΊ)𝐡))
561, 2, 16, 22, 26, 28, 23, 24, 55tgcgrcomlr 28297 . . . . . . . . . 10 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ© ∧ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ (𝐸(distβ€˜πΊ)𝑒) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴))
5718ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ© ∧ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴) = (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯))
5856, 57eqtrd 2768 . . . . . . . . 9 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ© ∧ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ (𝐸(distβ€˜πΊ)𝑒) = (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯))
591, 2, 16, 3, 22, 23, 24, 25, 26, 28, 29, 30cgr3simp2 28338 . . . . . . . . . 10 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ© ∧ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢) = (𝐸(distβ€˜πΊ)𝑣))
6021ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ© ∧ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢) = (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦))
6159, 60eqtr3d 2770 . . . . . . . . 9 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ© ∧ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ (𝐸(distβ€˜πΊ)𝑣) = (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦))
621, 16, 34, 22, 36, 28, 38, 32, 39, 33, 51, 26, 2, 29, 52, 53, 58, 61cgracgr 28635 . . . . . . . 8 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ© ∧ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ (𝑒(distβ€˜πΊ)𝑣) = (π‘₯(distβ€˜πΊ)𝑦))
631, 2, 16, 22, 26, 29, 32, 33, 62tgcgrcomlr 28297 . . . . . . 7 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ© ∧ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ (𝑣(distβ€˜πΊ)𝑒) = (𝑦(distβ€˜πΊ)π‘₯))
6431, 63eqtrd 2768 . . . . . 6 (((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ© ∧ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹)) β†’ (𝐢(distβ€˜πΊ)𝐴) = (𝑦(distβ€˜πΊ)π‘₯))
65 cgracom.1 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrAβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ©)
661, 16, 34, 4, 6, 8, 10, 35, 27, 37iscgra 28626 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrAβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ© ↔ βˆƒπ‘’ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘£ ∈ 𝑃 (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ© ∧ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹)))
6765, 66mpbid 231 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘£ ∈ 𝑃 (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ© ∧ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹))
6867ad3antrrr 729 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘£ ∈ 𝑃 (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘’πΈπ‘£β€βŸ© ∧ 𝑒(πΎβ€˜πΈ)𝐷 ∧ 𝑣(πΎβ€˜πΈ)𝐹))
6964, 68r19.29vva 3210 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) β†’ (𝐢(distβ€˜πΊ)𝐴) = (𝑦(distβ€˜πΊ)π‘₯))
701, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 12, 14, 15, 19, 21, 69trgcgr 28333 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯π‘ˆπ‘¦β€βŸ©)
7170, 46, 493jca 1126 . . 3 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))) β†’ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯π‘ˆπ‘¦β€βŸ© ∧ π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ 𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽))
721, 16, 34, 4, 35, 27, 37, 42, 13, 40, 44cgrane3 28631 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ β‰  𝐻)
7372necomd 2993 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐻 β‰  π‘ˆ)
741, 16, 34, 4, 6, 8, 10, 35, 27, 37, 65cgrane1 28629 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰  𝐡)
7574necomd 2993 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 β‰  𝐴)
761, 16, 34, 13, 8, 6, 4, 42, 2, 73, 75hlcgrex 28433 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 (π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)))
771, 16, 34, 4, 35, 27, 37, 42, 13, 40, 44cgrane4 28632 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ β‰  𝐽)
7877necomd 2993 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐽 β‰  π‘ˆ)
791, 16, 34, 4, 6, 8, 10, 35, 27, 37, 65cgrane2 28630 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 β‰  𝐢)
801, 16, 34, 13, 8, 10, 4, 40, 2, 78, 79hlcgrex 28433 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢)))
81 reeanv 3223 . . . 4 (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢))) ↔ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 (π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢))))
8276, 80, 81sylanbrc 582 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 ((π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)π‘₯) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐴)) ∧ (𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽 ∧ (π‘ˆ(distβ€˜πΊ)𝑦) = (𝐡(distβ€˜πΊ)𝐢))))
8371, 82reximddv2 3209 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯π‘ˆπ‘¦β€βŸ© ∧ π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ 𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽))
841, 16, 34, 4, 6, 8, 10, 42, 13, 40iscgra 28626 . 2 (πœ‘ β†’ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrAβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ»π‘ˆπ½β€βŸ© ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘₯π‘ˆπ‘¦β€βŸ© ∧ π‘₯(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐻 ∧ 𝑦(πΎβ€˜π‘ˆ)𝐽)))
8583, 84mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrAβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ»π‘ˆπ½β€βŸ©)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆƒwrex 3067   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  βŸ¨β€œcs3 14826  Basecbs 17180  distcds 17242  TarskiGcstrkg 28244  Itvcitv 28250  cgrGccgrg 28327  hlGchlg 28417  cgrAccgra 28624
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-oadd 8491  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-dju 9925  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-n0 12504  df-xnn0 12576  df-z 12590  df-uz 12854  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-hash 14323  df-word 14498  df-concat 14554  df-s1 14579  df-s2 14832  df-s3 14833  df-trkgc 28265  df-trkgb 28266  df-trkgcb 28267  df-trkg 28270  df-cgrg 28328  df-leg 28400  df-hlg 28418  df-cgra 28625
This theorem is referenced by:  cgraswaplr  28642  sacgr  28648  oacgr  28649  tgasa1  28675
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