Theorem trlcoat 40680

Description: The trace of a composition of two translations is an atom if their traces are different. (Contributed by NM, 15-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
trlcoat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
trlcoat.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
trlcoat.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
trlcoat.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
trlcoat	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺)) → (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺)) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem trlcoat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trlcoat.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		trlcoat.t	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3	1, 2	ltrnco 40676	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ 𝑇)
4	3	3expb 1120	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ 𝑇)
5		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
6		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
7		trlcoat.r	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
8	5, 6, 1, 2, 7	trlid0b 40135	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ 𝑇) → ((𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾)) ↔ (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺)) = (0.‘𝐾)))
9	4, 8	syldan 590	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → ((𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾)) ↔ (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺)) = (0.‘𝐾)))
10		coass 6296	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((◡𝐹 ∘ 𝐹) ∘ 𝐺) = (◡𝐹 ∘ (𝐹 ∘ 𝐺))
11		simpll 766	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
12		simplrl 776	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → 𝐹 ∈ 𝑇)
13	5, 1, 2	ltrn1o 40081	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
14	11, 12, 13	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → 𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
15		f1ococnv1 6891	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾) → (◡𝐹 ∘ 𝐹) = ( I ↾ (Base‘𝐾)))
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (◡𝐹 ∘ 𝐹) = ( I ↾ (Base‘𝐾)))
17	16	coeq1d 5886	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → ((◡𝐹 ∘ 𝐹) ∘ 𝐺) = (( I ↾ (Base‘𝐾)) ∘ 𝐺))
18		coeq2 5883	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾)) → (◡𝐹 ∘ (𝐹 ∘ 𝐺)) = (◡𝐹 ∘ ( I ↾ (Base‘𝐾))))
19	18	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (◡𝐹 ∘ (𝐹 ∘ 𝐺)) = (◡𝐹 ∘ ( I ↾ (Base‘𝐾))))
20	10, 17, 19	3eqtr3a 2804	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (( I ↾ (Base‘𝐾)) ∘ 𝐺) = (◡𝐹 ∘ ( I ↾ (Base‘𝐾))))
21		simplrr 777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → 𝐺 ∈ 𝑇)
22	5, 1, 2	ltrn1o 40081	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → 𝐺:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
23	11, 21, 22	syl2anc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → 𝐺:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
24		f1of 6862	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾) → 𝐺:(Base‘𝐾)⟶(Base‘𝐾))
25		fcoi2 6796	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺:(Base‘𝐾)⟶(Base‘𝐾) → (( I ↾ (Base‘𝐾)) ∘ 𝐺) = 𝐺)
26	23, 24, 25	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (( I ↾ (Base‘𝐾)) ∘ 𝐺) = 𝐺)
27	1, 2	ltrncnv 40103	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ◡𝐹 ∈ 𝑇)
28	11, 12, 27	syl2anc 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → ◡𝐹 ∈ 𝑇)
29	5, 1, 2	ltrn1o 40081	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ◡𝐹 ∈ 𝑇) → ◡𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
30	11, 28, 29	syl2anc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → ◡𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
31		f1of 6862	. . . . . . . . . 10 ⊢ (◡𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾) → ◡𝐹:(Base‘𝐾)⟶(Base‘𝐾))
32		fcoi1 6795	. . . . . . . . . 10 ⊢ (◡𝐹:(Base‘𝐾)⟶(Base‘𝐾) → (◡𝐹 ∘ ( I ↾ (Base‘𝐾))) = ◡𝐹)
33	30, 31, 32	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (◡𝐹 ∘ ( I ↾ (Base‘𝐾))) = ◡𝐹)
34	20, 26, 33	3eqtr3d 2788	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → 𝐺 = ◡𝐹)
35	34	fveq2d 6924	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (𝑅‘𝐺) = (𝑅‘◡𝐹))
36	1, 2, 7	trlcnv 40122	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘◡𝐹) = (𝑅‘𝐹))
37	11, 12, 36	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (𝑅‘◡𝐹) = (𝑅‘𝐹))
38	35, 37	eqtr2d 2781	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺))
39	38	ex 412	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → ((𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾)) → (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺)))
40	9, 39	sylbird 260	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → ((𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺)) = (0.‘𝐾) → (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺)))
41	40	necon3d 2967	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → ((𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺) → (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺)) ≠ (0.‘𝐾)))
42		trlcoat.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
43	6, 42, 1, 2, 7	trlatn0 40129	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ 𝑇) → ((𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺)) ≠ (0.‘𝐾)))
44	4, 43	syldan 590	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → ((𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺)) ≠ (0.‘𝐾)))
45	41, 44	sylibrd 259	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → ((𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺) → (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺)) ∈ 𝐴))
46	45	3impia 1117	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺)) → (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺)) ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946   I cid 5592  ^◡ccnv 5699   ↾ cres 5702   ∘ ccom 5704  ⟶wf 6569  –1-1-onto→wf1o 6572  ‘cfv 6573  Basecbs 17258  0.cp0 18493  Atomscatm 39219  HLchlt 39306  LHypclh 39941  LTrncltrn 40058  trLctrl 40115

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-riotaBAD 38909

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-undef 8314  df-map 8886  df-proset 18365  df-poset 18383  df-plt 18400  df-lub 18416  df-glb 18417  df-join 18418  df-meet 18419  df-p0 18495  df-p1 18496  df-lat 18502  df-clat 18569  df-oposet 39132  df-ol 39134  df-oml 39135  df-covers 39222  df-ats 39223  df-atl 39254  df-cvlat 39278  df-hlat 39307  df-llines 39455  df-lplanes 39456  df-lvols 39457  df-lines 39458  df-psubsp 39460  df-pmap 39461  df-padd 39753  df-lhyp 39945  df-laut 39946  df-ldil 40061  df-ltrn 40062  df-trl 40116

This theorem is referenced by:  trlcocnvat  40681  trlconid  40682  trljco  40697  cdlemh2  40773  cdlemh  40774