Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trlcoat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trlcoat 39186
Description: The trace of a composition of two translations is an atom if their traces are different. (Contributed by NM, 15-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
trlcoat.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
trlcoat.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
trlcoat.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
trlcoat.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
trlcoat (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺)) → (𝑅‘(𝐹𝐺)) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem trlcoat
StepHypRef Expression
1 trlcoat.h . . . . . . . 8 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 trlcoat.t . . . . . . . 8 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
31, 2ltrnco 39182 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (𝐹𝐺) ∈ 𝑇)
433expb 1120 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → (𝐹𝐺) ∈ 𝑇)
5 eqid 2736 . . . . . . 7 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
6 eqid 2736 . . . . . . 7 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
7 trlcoat.r . . . . . . 7 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
85, 6, 1, 2, 7trlid0b 38641 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝐺) ∈ 𝑇) → ((𝐹𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾)) ↔ (𝑅‘(𝐹𝐺)) = (0.‘𝐾)))
94, 8syldan 591 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → ((𝐹𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾)) ↔ (𝑅‘(𝐹𝐺)) = (0.‘𝐾)))
10 coass 6217 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝐹) ∘ 𝐺) = (𝐹 ∘ (𝐹𝐺))
11 simpll 765 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
12 simplrl 775 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → 𝐹𝑇)
135, 1, 2ltrn1o 38587 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
1411, 12, 13syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → 𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
15 f1ococnv1 6813 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾) → (𝐹𝐹) = ( I ↾ (Base‘𝐾)))
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (𝐹𝐹) = ( I ↾ (Base‘𝐾)))
1716coeq1d 5817 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → ((𝐹𝐹) ∘ 𝐺) = (( I ↾ (Base‘𝐾)) ∘ 𝐺))
18 coeq2 5814 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾)) → (𝐹 ∘ (𝐹𝐺)) = (𝐹 ∘ ( I ↾ (Base‘𝐾))))
1918adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (𝐹 ∘ (𝐹𝐺)) = (𝐹 ∘ ( I ↾ (Base‘𝐾))))
2010, 17, 193eqtr3a 2800 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (( I ↾ (Base‘𝐾)) ∘ 𝐺) = (𝐹 ∘ ( I ↾ (Base‘𝐾))))
21 simplrr 776 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → 𝐺𝑇)
225, 1, 2ltrn1o 38587 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇) → 𝐺:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
2311, 21, 22syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → 𝐺:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
24 f1of 6784 . . . . . . . . . 10 (𝐺:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾) → 𝐺:(Base‘𝐾)⟶(Base‘𝐾))
25 fcoi2 6717 . . . . . . . . . 10 (𝐺:(Base‘𝐾)⟶(Base‘𝐾) → (( I ↾ (Base‘𝐾)) ∘ 𝐺) = 𝐺)
2623, 24, 253syl 18 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (( I ↾ (Base‘𝐾)) ∘ 𝐺) = 𝐺)
271, 2ltrncnv 38609 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹𝑇)
2811, 12, 27syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → 𝐹𝑇)
295, 1, 2ltrn1o 38587 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
3011, 28, 29syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → 𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
31 f1of 6784 . . . . . . . . . 10 (𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾) → 𝐹:(Base‘𝐾)⟶(Base‘𝐾))
32 fcoi1 6716 . . . . . . . . . 10 (𝐹:(Base‘𝐾)⟶(Base‘𝐾) → (𝐹 ∘ ( I ↾ (Base‘𝐾))) = 𝐹)
3330, 31, 323syl 18 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (𝐹 ∘ ( I ↾ (Base‘𝐾))) = 𝐹)
3420, 26, 333eqtr3d 2784 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → 𝐺 = 𝐹)
3534fveq2d 6846 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (𝑅𝐺) = (𝑅𝐹))
361, 2, 7trlcnv 38628 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝐹))
3711, 12, 36syl2anc 584 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝐹))
3835, 37eqtr2d 2777 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺))
3938ex 413 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → ((𝐹𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾)) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)))
409, 39sylbird 259 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → ((𝑅‘(𝐹𝐺)) = (0.‘𝐾) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)))
4140necon3d 2964 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) → (𝑅‘(𝐹𝐺)) ≠ (0.‘𝐾)))
42 trlcoat.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
436, 42, 1, 2, 7trlatn0 38635 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝐺) ∈ 𝑇) → ((𝑅‘(𝐹𝐺)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑅‘(𝐹𝐺)) ≠ (0.‘𝐾)))
444, 43syldan 591 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → ((𝑅‘(𝐹𝐺)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑅‘(𝐹𝐺)) ≠ (0.‘𝐾)))
4541, 44sylibrd 258 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) → (𝑅‘(𝐹𝐺)) ∈ 𝐴))
46453impia 1117 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺)) → (𝑅‘(𝐹𝐺)) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943   I cid 5530  ccnv 5632  cres 5635  ccom 5637  wf 6492  1-1-ontowf1o 6495  cfv 6496  Basecbs 17083  0.cp0 18312  Atomscatm 37725  HLchlt 37812  LHypclh 38447  LTrncltrn 38564  trLctrl 38621
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-riotaBAD 37415
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-undef 8204  df-map 8767  df-proset 18184  df-poset 18202  df-plt 18219  df-lub 18235  df-glb 18236  df-join 18237  df-meet 18238  df-p0 18314  df-p1 18315  df-lat 18321  df-clat 18388  df-oposet 37638  df-ol 37640  df-oml 37641  df-covers 37728  df-ats 37729  df-atl 37760  df-cvlat 37784  df-hlat 37813  df-llines 37961  df-lplanes 37962  df-lvols 37963  df-lines 37964  df-psubsp 37966  df-pmap 37967  df-padd 38259  df-lhyp 38451  df-laut 38452  df-ldil 38567  df-ltrn 38568  df-trl 38622
This theorem is referenced by:  trlcocnvat  39187  trlconid  39188  trljco  39203  cdlemh2  39279  cdlemh  39280
  Copyright terms: Public domain W3C validator