Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trlcoat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trlcoat 40106
Description: The trace of a composition of two translations is an atom if their traces are different. (Contributed by NM, 15-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
trlcoat.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
trlcoat.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
trlcoat.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
trlcoat.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
trlcoat (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ)) β†’ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem trlcoat
StepHypRef Expression
1 trlcoat.h . . . . . . . 8 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 trlcoat.t . . . . . . . 8 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
31, 2ltrnco 40102 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ 𝑇)
433expb 1117 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) β†’ (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ 𝑇)
5 eqid 2726 . . . . . . 7 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
6 eqid 2726 . . . . . . 7 (0.β€˜πΎ) = (0.β€˜πΎ)
7 trlcoat.r . . . . . . 7 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
85, 6, 1, 2, 7trlid0b 39561 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ 𝑇) β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ↔ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)) = (0.β€˜πΎ)))
94, 8syldan 590 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ↔ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)) = (0.β€˜πΎ)))
10 coass 6257 . . . . . . . . . 10 ((◑𝐹 ∘ 𝐹) ∘ 𝐺) = (◑𝐹 ∘ (𝐹 ∘ 𝐺))
11 simpll 764 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
12 simplrl 774 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
135, 1, 2ltrn1o 39507 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ 𝐹:(Baseβ€˜πΎ)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜πΎ))
1411, 12, 13syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ 𝐹:(Baseβ€˜πΎ)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜πΎ))
15 f1ococnv1 6855 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:(Baseβ€˜πΎ)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜πΎ) β†’ (◑𝐹 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)))
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (◑𝐹 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)))
1716coeq1d 5854 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((◑𝐹 ∘ 𝐹) ∘ 𝐺) = (( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∘ 𝐺))
18 coeq2 5851 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (◑𝐹 ∘ (𝐹 ∘ 𝐺)) = (◑𝐹 ∘ ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))))
1918adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (◑𝐹 ∘ (𝐹 ∘ 𝐺)) = (◑𝐹 ∘ ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))))
2010, 17, 193eqtr3a 2790 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∘ 𝐺) = (◑𝐹 ∘ ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))))
21 simplrr 775 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
225, 1, 2ltrn1o 39507 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ 𝐺:(Baseβ€˜πΎ)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜πΎ))
2311, 21, 22syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ 𝐺:(Baseβ€˜πΎ)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜πΎ))
24 f1of 6826 . . . . . . . . . 10 (𝐺:(Baseβ€˜πΎ)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜πΎ) β†’ 𝐺:(Baseβ€˜πΎ)⟢(Baseβ€˜πΎ))
25 fcoi2 6759 . . . . . . . . . 10 (𝐺:(Baseβ€˜πΎ)⟢(Baseβ€˜πΎ) β†’ (( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∘ 𝐺) = 𝐺)
2623, 24, 253syl 18 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∘ 𝐺) = 𝐺)
271, 2ltrncnv 39529 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ ◑𝐹 ∈ 𝑇)
2811, 12, 27syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ◑𝐹 ∈ 𝑇)
295, 1, 2ltrn1o 39507 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ◑𝐹 ∈ 𝑇) β†’ ◑𝐹:(Baseβ€˜πΎ)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜πΎ))
3011, 28, 29syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ◑𝐹:(Baseβ€˜πΎ)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜πΎ))
31 f1of 6826 . . . . . . . . . 10 (◑𝐹:(Baseβ€˜πΎ)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜πΎ) β†’ ◑𝐹:(Baseβ€˜πΎ)⟢(Baseβ€˜πΎ))
32 fcoi1 6758 . . . . . . . . . 10 (◑𝐹:(Baseβ€˜πΎ)⟢(Baseβ€˜πΎ) β†’ (◑𝐹 ∘ ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))) = ◑𝐹)
3330, 31, 323syl 18 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (◑𝐹 ∘ ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))) = ◑𝐹)
3420, 26, 333eqtr3d 2774 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ 𝐺 = ◑𝐹)
3534fveq2d 6888 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (π‘…β€˜πΊ) = (π‘…β€˜β—‘πΉ))
361, 2, 7trlcnv 39548 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜β—‘πΉ) = (π‘…β€˜πΉ))
3711, 12, 36syl2anc 583 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (π‘…β€˜β—‘πΉ) = (π‘…β€˜πΉ))
3835, 37eqtr2d 2767 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜πΊ))
3938ex 412 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜πΊ)))
409, 39sylbird 260 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) β†’ ((π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)) = (0.β€˜πΎ) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜πΊ)))
4140necon3d 2955 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) β†’ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)) β‰  (0.β€˜πΎ)))
42 trlcoat.a . . . . 5 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
436, 42, 1, 2, 7trlatn0 39555 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ 𝑇) β†’ ((π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)) ∈ 𝐴 ↔ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)) β‰  (0.β€˜πΎ)))
444, 43syldan 590 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) β†’ ((π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)) ∈ 𝐴 ↔ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)) β‰  (0.β€˜πΎ)))
4541, 44sylibrd 259 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) β†’ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)) ∈ 𝐴))
46453impia 1114 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ)) β†’ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934   I cid 5566  β—‘ccnv 5668   β†Ύ cres 5671   ∘ ccom 5673  βŸΆwf 6532  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6535  β€˜cfv 6536  Basecbs 17150  0.cp0 18385  Atomscatm 38645  HLchlt 38732  LHypclh 39367  LTrncltrn 39484  trLctrl 39541
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-riotaBAD 38335
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-undef 8256  df-map 8821  df-proset 18257  df-poset 18275  df-plt 18292  df-lub 18308  df-glb 18309  df-join 18310  df-meet 18311  df-p0 18387  df-p1 18388  df-lat 18394  df-clat 18461  df-oposet 38558  df-ol 38560  df-oml 38561  df-covers 38648  df-ats 38649  df-atl 38680  df-cvlat 38704  df-hlat 38733  df-llines 38881  df-lplanes 38882  df-lvols 38883  df-lines 38884  df-psubsp 38886  df-pmap 38887  df-padd 39179  df-lhyp 39371  df-laut 39372  df-ldil 39487  df-ltrn 39488  df-trl 39542
This theorem is referenced by:  trlcocnvat  40107  trlconid  40108  trljco  40123  cdlemh2  40199  cdlemh  40200
  Copyright terms: Public domain W3C validator