Theorem trlcoat 40726

Description: The trace of a composition of two translations is an atom if their traces are different. (Contributed by NM, 15-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
trlcoat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
trlcoat.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
trlcoat.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
trlcoat.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
trlcoat	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺)) → (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺)) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem trlcoat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trlcoat.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		trlcoat.t	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3	1, 2	ltrnco 40722	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ 𝑇)
4	3	3expb 1120	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ 𝑇)
5		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
6		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
7		trlcoat.r	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
8	5, 6, 1, 2, 7	trlid0b 40181	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ 𝑇) → ((𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾)) ↔ (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺)) = (0.‘𝐾)))
9	4, 8	syldan 591	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → ((𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾)) ↔ (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺)) = (0.‘𝐾)))
10		coass 6284	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((◡𝐹 ∘ 𝐹) ∘ 𝐺) = (◡𝐹 ∘ (𝐹 ∘ 𝐺))
11		simpll 766	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
12		simplrl 776	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → 𝐹 ∈ 𝑇)
13	5, 1, 2	ltrn1o 40127	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
14	11, 12, 13	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → 𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
15		f1ococnv1 6876	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾) → (◡𝐹 ∘ 𝐹) = ( I ↾ (Base‘𝐾)))
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (◡𝐹 ∘ 𝐹) = ( I ↾ (Base‘𝐾)))
17	16	coeq1d 5871	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → ((◡𝐹 ∘ 𝐹) ∘ 𝐺) = (( I ↾ (Base‘𝐾)) ∘ 𝐺))
18		coeq2 5868	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾)) → (◡𝐹 ∘ (𝐹 ∘ 𝐺)) = (◡𝐹 ∘ ( I ↾ (Base‘𝐾))))
19	18	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (◡𝐹 ∘ (𝐹 ∘ 𝐺)) = (◡𝐹 ∘ ( I ↾ (Base‘𝐾))))
20	10, 17, 19	3eqtr3a 2800	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (( I ↾ (Base‘𝐾)) ∘ 𝐺) = (◡𝐹 ∘ ( I ↾ (Base‘𝐾))))
21		simplrr 777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → 𝐺 ∈ 𝑇)
22	5, 1, 2	ltrn1o 40127	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → 𝐺:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
23	11, 21, 22	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → 𝐺:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
24		f1of 6847	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾) → 𝐺:(Base‘𝐾)⟶(Base‘𝐾))
25		fcoi2 6782	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺:(Base‘𝐾)⟶(Base‘𝐾) → (( I ↾ (Base‘𝐾)) ∘ 𝐺) = 𝐺)
26	23, 24, 25	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (( I ↾ (Base‘𝐾)) ∘ 𝐺) = 𝐺)
27	1, 2	ltrncnv 40149	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ◡𝐹 ∈ 𝑇)
28	11, 12, 27	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → ◡𝐹 ∈ 𝑇)
29	5, 1, 2	ltrn1o 40127	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ◡𝐹 ∈ 𝑇) → ◡𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
30	11, 28, 29	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → ◡𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
31		f1of 6847	. . . . . . . . . 10 ⊢ (◡𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾) → ◡𝐹:(Base‘𝐾)⟶(Base‘𝐾))
32		fcoi1 6781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (◡𝐹:(Base‘𝐾)⟶(Base‘𝐾) → (◡𝐹 ∘ ( I ↾ (Base‘𝐾))) = ◡𝐹)
33	30, 31, 32	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (◡𝐹 ∘ ( I ↾ (Base‘𝐾))) = ◡𝐹)
34	20, 26, 33	3eqtr3d 2784	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → 𝐺 = ◡𝐹)
35	34	fveq2d 6909	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (𝑅‘𝐺) = (𝑅‘◡𝐹))
36	1, 2, 7	trlcnv 40168	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘◡𝐹) = (𝑅‘𝐹))
37	11, 12, 36	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (𝑅‘◡𝐹) = (𝑅‘𝐹))
38	35, 37	eqtr2d 2777	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺))
39	38	ex 412	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → ((𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾)) → (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺)))
40	9, 39	sylbird 260	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → ((𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺)) = (0.‘𝐾) → (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺)))
41	40	necon3d 2960	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → ((𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺) → (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺)) ≠ (0.‘𝐾)))
42		trlcoat.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
43	6, 42, 1, 2, 7	trlatn0 40175	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ 𝑇) → ((𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺)) ≠ (0.‘𝐾)))
44	4, 43	syldan 591	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → ((𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺)) ≠ (0.‘𝐾)))
45	41, 44	sylibrd 259	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → ((𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺) → (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺)) ∈ 𝐴))
46	45	3impia 1117	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺)) → (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺)) ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2939   I cid 5576  ^◡ccnv 5683   ↾ cres 5686   ∘ ccom 5688  ⟶wf 6556  –1-1-onto→wf1o 6559  ‘cfv 6560  Basecbs 17248  0.cp0 18469  Atomscatm 39265  HLchlt 39352  LHypclh 39987  LTrncltrn 40104  trLctrl 40161

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-riotaBAD 38955

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-undef 8299  df-map 8869  df-proset 18341  df-poset 18360  df-plt 18376  df-lub 18392  df-glb 18393  df-join 18394  df-meet 18395  df-p0 18471  df-p1 18472  df-lat 18478  df-clat 18545  df-oposet 39178  df-ol 39180  df-oml 39181  df-covers 39268  df-ats 39269  df-atl 39300  df-cvlat 39324  df-hlat 39353  df-llines 39501  df-lplanes 39502  df-lvols 39503  df-lines 39504  df-psubsp 39506  df-pmap 39507  df-padd 39799  df-lhyp 39991  df-laut 39992  df-ldil 40107  df-ltrn 40108  df-trl 40162

This theorem is referenced by:  trlcocnvat  40727  trlconid  40728  trljco  40743  cdlemh2  40819  cdlemh  40820