Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trlcoat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trlcoat 38999
Description: The trace of a composition of two translations is an atom if their traces are different. (Contributed by NM, 15-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
trlcoat.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
trlcoat.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
trlcoat.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
trlcoat.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
trlcoat (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺)) → (𝑅‘(𝐹𝐺)) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem trlcoat
StepHypRef Expression
1 trlcoat.h . . . . . . . 8 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 trlcoat.t . . . . . . . 8 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
31, 2ltrnco 38995 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (𝐹𝐺) ∈ 𝑇)
433expb 1119 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → (𝐹𝐺) ∈ 𝑇)
5 eqid 2736 . . . . . . 7 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
6 eqid 2736 . . . . . . 7 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
7 trlcoat.r . . . . . . 7 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
85, 6, 1, 2, 7trlid0b 38454 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝐺) ∈ 𝑇) → ((𝐹𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾)) ↔ (𝑅‘(𝐹𝐺)) = (0.‘𝐾)))
94, 8syldan 591 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → ((𝐹𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾)) ↔ (𝑅‘(𝐹𝐺)) = (0.‘𝐾)))
10 coass 6203 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝐹) ∘ 𝐺) = (𝐹 ∘ (𝐹𝐺))
11 simpll 764 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
12 simplrl 774 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → 𝐹𝑇)
135, 1, 2ltrn1o 38400 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
1411, 12, 13syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → 𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
15 f1ococnv1 6796 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾) → (𝐹𝐹) = ( I ↾ (Base‘𝐾)))
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (𝐹𝐹) = ( I ↾ (Base‘𝐾)))
1716coeq1d 5803 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → ((𝐹𝐹) ∘ 𝐺) = (( I ↾ (Base‘𝐾)) ∘ 𝐺))
18 coeq2 5800 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾)) → (𝐹 ∘ (𝐹𝐺)) = (𝐹 ∘ ( I ↾ (Base‘𝐾))))
1918adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (𝐹 ∘ (𝐹𝐺)) = (𝐹 ∘ ( I ↾ (Base‘𝐾))))
2010, 17, 193eqtr3a 2800 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (( I ↾ (Base‘𝐾)) ∘ 𝐺) = (𝐹 ∘ ( I ↾ (Base‘𝐾))))
21 simplrr 775 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → 𝐺𝑇)
225, 1, 2ltrn1o 38400 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇) → 𝐺:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
2311, 21, 22syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → 𝐺:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
24 f1of 6767 . . . . . . . . . 10 (𝐺:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾) → 𝐺:(Base‘𝐾)⟶(Base‘𝐾))
25 fcoi2 6700 . . . . . . . . . 10 (𝐺:(Base‘𝐾)⟶(Base‘𝐾) → (( I ↾ (Base‘𝐾)) ∘ 𝐺) = 𝐺)
2623, 24, 253syl 18 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (( I ↾ (Base‘𝐾)) ∘ 𝐺) = 𝐺)
271, 2ltrncnv 38422 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹𝑇)
2811, 12, 27syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → 𝐹𝑇)
295, 1, 2ltrn1o 38400 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
3011, 28, 29syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → 𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
31 f1of 6767 . . . . . . . . . 10 (𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾) → 𝐹:(Base‘𝐾)⟶(Base‘𝐾))
32 fcoi1 6699 . . . . . . . . . 10 (𝐹:(Base‘𝐾)⟶(Base‘𝐾) → (𝐹 ∘ ( I ↾ (Base‘𝐾))) = 𝐹)
3330, 31, 323syl 18 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (𝐹 ∘ ( I ↾ (Base‘𝐾))) = 𝐹)
3420, 26, 333eqtr3d 2784 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → 𝐺 = 𝐹)
3534fveq2d 6829 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (𝑅𝐺) = (𝑅𝐹))
361, 2, 7trlcnv 38441 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝐹))
3711, 12, 36syl2anc 584 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝐹))
3835, 37eqtr2d 2777 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺))
3938ex 413 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → ((𝐹𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾)) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)))
409, 39sylbird 259 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → ((𝑅‘(𝐹𝐺)) = (0.‘𝐾) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)))
4140necon3d 2961 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) → (𝑅‘(𝐹𝐺)) ≠ (0.‘𝐾)))
42 trlcoat.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
436, 42, 1, 2, 7trlatn0 38448 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝐺) ∈ 𝑇) → ((𝑅‘(𝐹𝐺)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑅‘(𝐹𝐺)) ≠ (0.‘𝐾)))
444, 43syldan 591 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → ((𝑅‘(𝐹𝐺)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑅‘(𝐹𝐺)) ≠ (0.‘𝐾)))
4541, 44sylibrd 258 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) → (𝑅‘(𝐹𝐺)) ∈ 𝐴))
46453impia 1116 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺)) → (𝑅‘(𝐹𝐺)) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2940   I cid 5517  ccnv 5619  cres 5622  ccom 5624  wf 6475  1-1-ontowf1o 6478  cfv 6479  Basecbs 17009  0.cp0 18238  Atomscatm 37538  HLchlt 37625  LHypclh 38260  LTrncltrn 38377  trLctrl 38434
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-riotaBAD 37228
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-id 5518  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-undef 8159  df-map 8688  df-proset 18110  df-poset 18128  df-plt 18145  df-lub 18161  df-glb 18162  df-join 18163  df-meet 18164  df-p0 18240  df-p1 18241  df-lat 18247  df-clat 18314  df-oposet 37451  df-ol 37453  df-oml 37454  df-covers 37541  df-ats 37542  df-atl 37573  df-cvlat 37597  df-hlat 37626  df-llines 37774  df-lplanes 37775  df-lvols 37776  df-lines 37777  df-psubsp 37779  df-pmap 37780  df-padd 38072  df-lhyp 38264  df-laut 38265  df-ldil 38380  df-ltrn 38381  df-trl 38435
This theorem is referenced by:  trlcocnvat  39000  trlconid  39001  trljco  39016  cdlemh2  39092  cdlemh  39093
  Copyright terms: Public domain W3C validator