Theorem trlcoat 37853

Description: The trace of a composition of two translations is an atom if their traces are different. (Contributed by NM, 15-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
trlcoat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
trlcoat.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
trlcoat.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
trlcoat.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
trlcoat	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺)) → (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺)) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem trlcoat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trlcoat.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		trlcoat.t	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3	1, 2	ltrnco 37849	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ 𝑇)
4	3	3expb 1116	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ 𝑇)
5		eqid 2821	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
6		eqid 2821	. . . . . . 7 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
7		trlcoat.r	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
8	5, 6, 1, 2, 7	trlid0b 37308	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ 𝑇) → ((𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾)) ↔ (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺)) = (0.‘𝐾)))
9	4, 8	syldan 593	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → ((𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾)) ↔ (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺)) = (0.‘𝐾)))
10		coass 6112	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((◡𝐹 ∘ 𝐹) ∘ 𝐺) = (◡𝐹 ∘ (𝐹 ∘ 𝐺))
11		simpll 765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
12		simplrl 775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → 𝐹 ∈ 𝑇)
13	5, 1, 2	ltrn1o 37254	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
14	11, 12, 13	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → 𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
15		f1ococnv1 6637	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾) → (◡𝐹 ∘ 𝐹) = ( I ↾ (Base‘𝐾)))
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (◡𝐹 ∘ 𝐹) = ( I ↾ (Base‘𝐾)))
17	16	coeq1d 5726	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → ((◡𝐹 ∘ 𝐹) ∘ 𝐺) = (( I ↾ (Base‘𝐾)) ∘ 𝐺))
18		coeq2 5723	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾)) → (◡𝐹 ∘ (𝐹 ∘ 𝐺)) = (◡𝐹 ∘ ( I ↾ (Base‘𝐾))))
19	18	adantl 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (◡𝐹 ∘ (𝐹 ∘ 𝐺)) = (◡𝐹 ∘ ( I ↾ (Base‘𝐾))))
20	10, 17, 19	3eqtr3a 2880	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (( I ↾ (Base‘𝐾)) ∘ 𝐺) = (◡𝐹 ∘ ( I ↾ (Base‘𝐾))))
21		simplrr 776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → 𝐺 ∈ 𝑇)
22	5, 1, 2	ltrn1o 37254	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → 𝐺:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
23	11, 21, 22	syl2anc 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → 𝐺:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
24		f1of 6609	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾) → 𝐺:(Base‘𝐾)⟶(Base‘𝐾))
25		fcoi2 6547	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺:(Base‘𝐾)⟶(Base‘𝐾) → (( I ↾ (Base‘𝐾)) ∘ 𝐺) = 𝐺)
26	23, 24, 25	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (( I ↾ (Base‘𝐾)) ∘ 𝐺) = 𝐺)
27	1, 2	ltrncnv 37276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ◡𝐹 ∈ 𝑇)
28	11, 12, 27	syl2anc 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → ◡𝐹 ∈ 𝑇)
29	5, 1, 2	ltrn1o 37254	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ◡𝐹 ∈ 𝑇) → ◡𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
30	11, 28, 29	syl2anc 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → ◡𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
31		f1of 6609	. . . . . . . . . 10 ⊢ (◡𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾) → ◡𝐹:(Base‘𝐾)⟶(Base‘𝐾))
32		fcoi1 6546	. . . . . . . . . 10 ⊢ (◡𝐹:(Base‘𝐾)⟶(Base‘𝐾) → (◡𝐹 ∘ ( I ↾ (Base‘𝐾))) = ◡𝐹)
33	30, 31, 32	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (◡𝐹 ∘ ( I ↾ (Base‘𝐾))) = ◡𝐹)
34	20, 26, 33	3eqtr3d 2864	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → 𝐺 = ◡𝐹)
35	34	fveq2d 6668	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (𝑅‘𝐺) = (𝑅‘◡𝐹))
36	1, 2, 7	trlcnv 37295	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘◡𝐹) = (𝑅‘𝐹))
37	11, 12, 36	syl2anc 586	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (𝑅‘◡𝐹) = (𝑅‘𝐹))
38	35, 37	eqtr2d 2857	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺))
39	38	ex 415	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → ((𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾)) → (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺)))
40	9, 39	sylbird 262	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → ((𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺)) = (0.‘𝐾) → (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺)))
41	40	necon3d 3037	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → ((𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺) → (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺)) ≠ (0.‘𝐾)))
42		trlcoat.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
43	6, 42, 1, 2, 7	trlatn0 37302	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ 𝑇) → ((𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺)) ≠ (0.‘𝐾)))
44	4, 43	syldan 593	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → ((𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺)) ≠ (0.‘𝐾)))
45	41, 44	sylibrd 261	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → ((𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺) → (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺)) ∈ 𝐴))
46	45	3impia 1113	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺)) → (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺)) ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016   I cid 5453  ^◡ccnv 5548   ↾ cres 5551   ∘ ccom 5553  ⟶wf 6345  –1-1-onto→wf1o 6348  ‘cfv 6349  Basecbs 16477  0.cp0 17641  Atomscatm 36393  HLchlt 36480  LHypclh 37114  LTrncltrn 37231  trLctrl 37288

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-riotaBAD 36083

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-iin 4914  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-undef 7933  df-map 8402  df-proset 17532  df-poset 17550  df-plt 17562  df-lub 17578  df-glb 17579  df-join 17580  df-meet 17581  df-p0 17643  df-p1 17644  df-lat 17650  df-clat 17712  df-oposet 36306  df-ol 36308  df-oml 36309  df-covers 36396  df-ats 36397  df-atl 36428  df-cvlat 36452  df-hlat 36481  df-llines 36628  df-lplanes 36629  df-lvols 36630  df-lines 36631  df-psubsp 36633  df-pmap 36634  df-padd 36926  df-lhyp 37118  df-laut 37119  df-ldil 37234  df-ltrn 37235  df-trl 37289

This theorem is referenced by:  trlcocnvat  37854  trlconid  37855  trljco  37870  cdlemh2  37946  cdlemh  37947