Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trlcoat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trlcoat 40726
Description: The trace of a composition of two translations is an atom if their traces are different. (Contributed by NM, 15-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
trlcoat.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
trlcoat.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
trlcoat.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
trlcoat.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
trlcoat (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺)) → (𝑅‘(𝐹𝐺)) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem trlcoat
StepHypRef Expression
1 trlcoat.h . . . . . . . 8 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 trlcoat.t . . . . . . . 8 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
31, 2ltrnco 40722 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (𝐹𝐺) ∈ 𝑇)
433expb 1120 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → (𝐹𝐺) ∈ 𝑇)
5 eqid 2736 . . . . . . 7 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
6 eqid 2736 . . . . . . 7 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
7 trlcoat.r . . . . . . 7 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
85, 6, 1, 2, 7trlid0b 40181 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝐺) ∈ 𝑇) → ((𝐹𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾)) ↔ (𝑅‘(𝐹𝐺)) = (0.‘𝐾)))
94, 8syldan 591 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → ((𝐹𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾)) ↔ (𝑅‘(𝐹𝐺)) = (0.‘𝐾)))
10 coass 6284 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝐹) ∘ 𝐺) = (𝐹 ∘ (𝐹𝐺))
11 simpll 766 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
12 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → 𝐹𝑇)
135, 1, 2ltrn1o 40127 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
1411, 12, 13syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → 𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
15 f1ococnv1 6876 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾) → (𝐹𝐹) = ( I ↾ (Base‘𝐾)))
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (𝐹𝐹) = ( I ↾ (Base‘𝐾)))
1716coeq1d 5871 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → ((𝐹𝐹) ∘ 𝐺) = (( I ↾ (Base‘𝐾)) ∘ 𝐺))
18 coeq2 5868 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾)) → (𝐹 ∘ (𝐹𝐺)) = (𝐹 ∘ ( I ↾ (Base‘𝐾))))
1918adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (𝐹 ∘ (𝐹𝐺)) = (𝐹 ∘ ( I ↾ (Base‘𝐾))))
2010, 17, 193eqtr3a 2800 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (( I ↾ (Base‘𝐾)) ∘ 𝐺) = (𝐹 ∘ ( I ↾ (Base‘𝐾))))
21 simplrr 777 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → 𝐺𝑇)
225, 1, 2ltrn1o 40127 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇) → 𝐺:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
2311, 21, 22syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → 𝐺:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
24 f1of 6847 . . . . . . . . . 10 (𝐺:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾) → 𝐺:(Base‘𝐾)⟶(Base‘𝐾))
25 fcoi2 6782 . . . . . . . . . 10 (𝐺:(Base‘𝐾)⟶(Base‘𝐾) → (( I ↾ (Base‘𝐾)) ∘ 𝐺) = 𝐺)
2623, 24, 253syl 18 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (( I ↾ (Base‘𝐾)) ∘ 𝐺) = 𝐺)
271, 2ltrncnv 40149 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹𝑇)
2811, 12, 27syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → 𝐹𝑇)
295, 1, 2ltrn1o 40127 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
3011, 28, 29syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → 𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
31 f1of 6847 . . . . . . . . . 10 (𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾) → 𝐹:(Base‘𝐾)⟶(Base‘𝐾))
32 fcoi1 6781 . . . . . . . . . 10 (𝐹:(Base‘𝐾)⟶(Base‘𝐾) → (𝐹 ∘ ( I ↾ (Base‘𝐾))) = 𝐹)
3330, 31, 323syl 18 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (𝐹 ∘ ( I ↾ (Base‘𝐾))) = 𝐹)
3420, 26, 333eqtr3d 2784 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → 𝐺 = 𝐹)
3534fveq2d 6909 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (𝑅𝐺) = (𝑅𝐹))
361, 2, 7trlcnv 40168 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝐹))
3711, 12, 36syl2anc 584 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝐹))
3835, 37eqtr2d 2777 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺))
3938ex 412 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → ((𝐹𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾)) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)))
409, 39sylbird 260 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → ((𝑅‘(𝐹𝐺)) = (0.‘𝐾) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)))
4140necon3d 2960 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) → (𝑅‘(𝐹𝐺)) ≠ (0.‘𝐾)))
42 trlcoat.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
436, 42, 1, 2, 7trlatn0 40175 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝐺) ∈ 𝑇) → ((𝑅‘(𝐹𝐺)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑅‘(𝐹𝐺)) ≠ (0.‘𝐾)))
444, 43syldan 591 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → ((𝑅‘(𝐹𝐺)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑅‘(𝐹𝐺)) ≠ (0.‘𝐾)))
4541, 44sylibrd 259 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇)) → ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) → (𝑅‘(𝐹𝐺)) ∈ 𝐴))
46453impia 1117 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺)) → (𝑅‘(𝐹𝐺)) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107  wne 2939   I cid 5576  ccnv 5683  cres 5686  ccom 5688  wf 6556  1-1-ontowf1o 6559  cfv 6560  Basecbs 17248  0.cp0 18469  Atomscatm 39265  HLchlt 39352  LHypclh 39987  LTrncltrn 40104  trLctrl 40161
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-riotaBAD 38955
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-undef 8299  df-map 8869  df-proset 18341  df-poset 18360  df-plt 18376  df-lub 18392  df-glb 18393  df-join 18394  df-meet 18395  df-p0 18471  df-p1 18472  df-lat 18478  df-clat 18545  df-oposet 39178  df-ol 39180  df-oml 39181  df-covers 39268  df-ats 39269  df-atl 39300  df-cvlat 39324  df-hlat 39353  df-llines 39501  df-lplanes 39502  df-lvols 39503  df-lines 39504  df-psubsp 39506  df-pmap 39507  df-padd 39799  df-lhyp 39991  df-laut 39992  df-ldil 40107  df-ltrn 40108  df-trl 40162
This theorem is referenced by:  trlcocnvat  40727  trlconid  40728  trljco  40743  cdlemh2  40819  cdlemh  40820
  Copyright terms: Public domain W3C validator