Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trlcoat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trlcoat 39215
Description: The trace of a composition of two translations is an atom if their traces are different. (Contributed by NM, 15-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
trlcoat.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
trlcoat.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
trlcoat.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
trlcoat.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
trlcoat (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ)) β†’ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem trlcoat
StepHypRef Expression
1 trlcoat.h . . . . . . . 8 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 trlcoat.t . . . . . . . 8 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
31, 2ltrnco 39211 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ 𝑇)
433expb 1121 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) β†’ (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ 𝑇)
5 eqid 2737 . . . . . . 7 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
6 eqid 2737 . . . . . . 7 (0.β€˜πΎ) = (0.β€˜πΎ)
7 trlcoat.r . . . . . . 7 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
85, 6, 1, 2, 7trlid0b 38670 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ 𝑇) β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ↔ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)) = (0.β€˜πΎ)))
94, 8syldan 592 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ↔ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)) = (0.β€˜πΎ)))
10 coass 6222 . . . . . . . . . 10 ((◑𝐹 ∘ 𝐹) ∘ 𝐺) = (◑𝐹 ∘ (𝐹 ∘ 𝐺))
11 simpll 766 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
12 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
135, 1, 2ltrn1o 38616 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ 𝐹:(Baseβ€˜πΎ)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜πΎ))
1411, 12, 13syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ 𝐹:(Baseβ€˜πΎ)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜πΎ))
15 f1ococnv1 6818 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:(Baseβ€˜πΎ)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜πΎ) β†’ (◑𝐹 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)))
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (◑𝐹 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)))
1716coeq1d 5822 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((◑𝐹 ∘ 𝐹) ∘ 𝐺) = (( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∘ 𝐺))
18 coeq2 5819 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (◑𝐹 ∘ (𝐹 ∘ 𝐺)) = (◑𝐹 ∘ ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))))
1918adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (◑𝐹 ∘ (𝐹 ∘ 𝐺)) = (◑𝐹 ∘ ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))))
2010, 17, 193eqtr3a 2801 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∘ 𝐺) = (◑𝐹 ∘ ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))))
21 simplrr 777 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
225, 1, 2ltrn1o 38616 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ 𝐺:(Baseβ€˜πΎ)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜πΎ))
2311, 21, 22syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ 𝐺:(Baseβ€˜πΎ)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜πΎ))
24 f1of 6789 . . . . . . . . . 10 (𝐺:(Baseβ€˜πΎ)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜πΎ) β†’ 𝐺:(Baseβ€˜πΎ)⟢(Baseβ€˜πΎ))
25 fcoi2 6722 . . . . . . . . . 10 (𝐺:(Baseβ€˜πΎ)⟢(Baseβ€˜πΎ) β†’ (( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∘ 𝐺) = 𝐺)
2623, 24, 253syl 18 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∘ 𝐺) = 𝐺)
271, 2ltrncnv 38638 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ ◑𝐹 ∈ 𝑇)
2811, 12, 27syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ◑𝐹 ∈ 𝑇)
295, 1, 2ltrn1o 38616 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ◑𝐹 ∈ 𝑇) β†’ ◑𝐹:(Baseβ€˜πΎ)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜πΎ))
3011, 28, 29syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ◑𝐹:(Baseβ€˜πΎ)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜πΎ))
31 f1of 6789 . . . . . . . . . 10 (◑𝐹:(Baseβ€˜πΎ)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜πΎ) β†’ ◑𝐹:(Baseβ€˜πΎ)⟢(Baseβ€˜πΎ))
32 fcoi1 6721 . . . . . . . . . 10 (◑𝐹:(Baseβ€˜πΎ)⟢(Baseβ€˜πΎ) β†’ (◑𝐹 ∘ ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))) = ◑𝐹)
3330, 31, 323syl 18 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (◑𝐹 ∘ ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))) = ◑𝐹)
3420, 26, 333eqtr3d 2785 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ 𝐺 = ◑𝐹)
3534fveq2d 6851 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (π‘…β€˜πΊ) = (π‘…β€˜β—‘πΉ))
361, 2, 7trlcnv 38657 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜β—‘πΉ) = (π‘…β€˜πΉ))
3711, 12, 36syl2anc 585 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (π‘…β€˜β—‘πΉ) = (π‘…β€˜πΉ))
3835, 37eqtr2d 2778 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜πΊ))
3938ex 414 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜πΊ)))
409, 39sylbird 260 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) β†’ ((π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)) = (0.β€˜πΎ) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜πΊ)))
4140necon3d 2965 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) β†’ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)) β‰  (0.β€˜πΎ)))
42 trlcoat.a . . . . 5 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
436, 42, 1, 2, 7trlatn0 38664 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ 𝑇) β†’ ((π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)) ∈ 𝐴 ↔ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)) β‰  (0.β€˜πΎ)))
444, 43syldan 592 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) β†’ ((π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)) ∈ 𝐴 ↔ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)) β‰  (0.β€˜πΎ)))
4541, 44sylibrd 259 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) β†’ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)) ∈ 𝐴))
46453impia 1118 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ)) β†’ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944   I cid 5535  β—‘ccnv 5637   β†Ύ cres 5640   ∘ ccom 5642  βŸΆwf 6497  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6500  β€˜cfv 6501  Basecbs 17090  0.cp0 18319  Atomscatm 37754  HLchlt 37841  LHypclh 38476  LTrncltrn 38593  trLctrl 38650
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-riotaBAD 37444
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-undef 8209  df-map 8774  df-proset 18191  df-poset 18209  df-plt 18226  df-lub 18242  df-glb 18243  df-join 18244  df-meet 18245  df-p0 18321  df-p1 18322  df-lat 18328  df-clat 18395  df-oposet 37667  df-ol 37669  df-oml 37670  df-covers 37757  df-ats 37758  df-atl 37789  df-cvlat 37813  df-hlat 37842  df-llines 37990  df-lplanes 37991  df-lvols 37992  df-lines 37993  df-psubsp 37995  df-pmap 37996  df-padd 38288  df-lhyp 38480  df-laut 38481  df-ldil 38596  df-ltrn 38597  df-trl 38651
This theorem is referenced by:  trlcocnvat  39216  trlconid  39217  trljco  39232  cdlemh2  39308  cdlemh  39309
  Copyright terms: Public domain W3C validator