Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trlcoat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trlcoat 40228
Description: The trace of a composition of two translations is an atom if their traces are different. (Contributed by NM, 15-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
trlcoat.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
trlcoat.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
trlcoat.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
trlcoat.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
trlcoat (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ)) β†’ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem trlcoat
StepHypRef Expression
1 trlcoat.h . . . . . . . 8 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 trlcoat.t . . . . . . . 8 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
31, 2ltrnco 40224 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ 𝑇)
433expb 1117 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) β†’ (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ 𝑇)
5 eqid 2728 . . . . . . 7 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
6 eqid 2728 . . . . . . 7 (0.β€˜πΎ) = (0.β€˜πΎ)
7 trlcoat.r . . . . . . 7 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
85, 6, 1, 2, 7trlid0b 39683 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ 𝑇) β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ↔ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)) = (0.β€˜πΎ)))
94, 8syldan 589 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ↔ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)) = (0.β€˜πΎ)))
10 coass 6274 . . . . . . . . . 10 ((◑𝐹 ∘ 𝐹) ∘ 𝐺) = (◑𝐹 ∘ (𝐹 ∘ 𝐺))
11 simpll 765 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
12 simplrl 775 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
135, 1, 2ltrn1o 39629 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ 𝐹:(Baseβ€˜πΎ)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜πΎ))
1411, 12, 13syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ 𝐹:(Baseβ€˜πΎ)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜πΎ))
15 f1ococnv1 6873 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:(Baseβ€˜πΎ)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜πΎ) β†’ (◑𝐹 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)))
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (◑𝐹 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)))
1716coeq1d 5868 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((◑𝐹 ∘ 𝐹) ∘ 𝐺) = (( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∘ 𝐺))
18 coeq2 5865 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (◑𝐹 ∘ (𝐹 ∘ 𝐺)) = (◑𝐹 ∘ ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))))
1918adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (◑𝐹 ∘ (𝐹 ∘ 𝐺)) = (◑𝐹 ∘ ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))))
2010, 17, 193eqtr3a 2792 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∘ 𝐺) = (◑𝐹 ∘ ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))))
21 simplrr 776 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
225, 1, 2ltrn1o 39629 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ 𝐺:(Baseβ€˜πΎ)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜πΎ))
2311, 21, 22syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ 𝐺:(Baseβ€˜πΎ)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜πΎ))
24 f1of 6844 . . . . . . . . . 10 (𝐺:(Baseβ€˜πΎ)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜πΎ) β†’ 𝐺:(Baseβ€˜πΎ)⟢(Baseβ€˜πΎ))
25 fcoi2 6777 . . . . . . . . . 10 (𝐺:(Baseβ€˜πΎ)⟢(Baseβ€˜πΎ) β†’ (( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∘ 𝐺) = 𝐺)
2623, 24, 253syl 18 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∘ 𝐺) = 𝐺)
271, 2ltrncnv 39651 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ ◑𝐹 ∈ 𝑇)
2811, 12, 27syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ◑𝐹 ∈ 𝑇)
295, 1, 2ltrn1o 39629 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ◑𝐹 ∈ 𝑇) β†’ ◑𝐹:(Baseβ€˜πΎ)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜πΎ))
3011, 28, 29syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ◑𝐹:(Baseβ€˜πΎ)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜πΎ))
31 f1of 6844 . . . . . . . . . 10 (◑𝐹:(Baseβ€˜πΎ)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜πΎ) β†’ ◑𝐹:(Baseβ€˜πΎ)⟢(Baseβ€˜πΎ))
32 fcoi1 6776 . . . . . . . . . 10 (◑𝐹:(Baseβ€˜πΎ)⟢(Baseβ€˜πΎ) β†’ (◑𝐹 ∘ ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))) = ◑𝐹)
3330, 31, 323syl 18 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (◑𝐹 ∘ ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))) = ◑𝐹)
3420, 26, 333eqtr3d 2776 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ 𝐺 = ◑𝐹)
3534fveq2d 6906 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (π‘…β€˜πΊ) = (π‘…β€˜β—‘πΉ))
361, 2, 7trlcnv 39670 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜β—‘πΉ) = (π‘…β€˜πΉ))
3711, 12, 36syl2anc 582 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (π‘…β€˜β—‘πΉ) = (π‘…β€˜πΉ))
3835, 37eqtr2d 2769 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜πΊ))
3938ex 411 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜πΊ)))
409, 39sylbird 259 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) β†’ ((π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)) = (0.β€˜πΎ) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜πΊ)))
4140necon3d 2958 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) β†’ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)) β‰  (0.β€˜πΎ)))
42 trlcoat.a . . . . 5 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
436, 42, 1, 2, 7trlatn0 39677 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ 𝑇) β†’ ((π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)) ∈ 𝐴 ↔ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)) β‰  (0.β€˜πΎ)))
444, 43syldan 589 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) β†’ ((π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)) ∈ 𝐴 ↔ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)) β‰  (0.β€˜πΎ)))
4541, 44sylibrd 258 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) β†’ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)) ∈ 𝐴))
46453impia 1114 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ)) β†’ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937   I cid 5579  β—‘ccnv 5681   β†Ύ cres 5684   ∘ ccom 5686  βŸΆwf 6549  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6552  β€˜cfv 6553  Basecbs 17187  0.cp0 18422  Atomscatm 38767  HLchlt 38854  LHypclh 39489  LTrncltrn 39606  trLctrl 39663
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-riotaBAD 38457
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-undef 8285  df-map 8853  df-proset 18294  df-poset 18312  df-plt 18329  df-lub 18345  df-glb 18346  df-join 18347  df-meet 18348  df-p0 18424  df-p1 18425  df-lat 18431  df-clat 18498  df-oposet 38680  df-ol 38682  df-oml 38683  df-covers 38770  df-ats 38771  df-atl 38802  df-cvlat 38826  df-hlat 38855  df-llines 39003  df-lplanes 39004  df-lvols 39005  df-lines 39006  df-psubsp 39008  df-pmap 39009  df-padd 39301  df-lhyp 39493  df-laut 39494  df-ldil 39609  df-ltrn 39610  df-trl 39664
This theorem is referenced by:  trlcocnvat  40229  trlconid  40230  trljco  40245  cdlemh2  40321  cdlemh  40322
  Copyright terms: Public domain W3C validator