Theorem trlcoat 40228

Description: The trace of a composition of two translations is an atom if their traces are different. (Contributed by NM, 15-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
trlcoat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
trlcoat.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
trlcoat.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
trlcoat.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
trlcoat	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺)) → (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺)) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem trlcoat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trlcoat.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		trlcoat.t	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3	1, 2	ltrnco 40224	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ 𝑇)
4	3	3expb 1117	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ 𝑇)
5		eqid 2728	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
6		eqid 2728	. . . . . . 7 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
7		trlcoat.r	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
8	5, 6, 1, 2, 7	trlid0b 39683	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ 𝑇) → ((𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾)) ↔ (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺)) = (0.‘𝐾)))
9	4, 8	syldan 589	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → ((𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾)) ↔ (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺)) = (0.‘𝐾)))
10		coass 6274	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((◡𝐹 ∘ 𝐹) ∘ 𝐺) = (◡𝐹 ∘ (𝐹 ∘ 𝐺))
11		simpll 765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
12		simplrl 775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → 𝐹 ∈ 𝑇)
13	5, 1, 2	ltrn1o 39629	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
14	11, 12, 13	syl2anc 582	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → 𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
15		f1ococnv1 6873	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾) → (◡𝐹 ∘ 𝐹) = ( I ↾ (Base‘𝐾)))
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (◡𝐹 ∘ 𝐹) = ( I ↾ (Base‘𝐾)))
17	16	coeq1d 5868	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → ((◡𝐹 ∘ 𝐹) ∘ 𝐺) = (( I ↾ (Base‘𝐾)) ∘ 𝐺))
18		coeq2 5865	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾)) → (◡𝐹 ∘ (𝐹 ∘ 𝐺)) = (◡𝐹 ∘ ( I ↾ (Base‘𝐾))))
19	18	adantl 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (◡𝐹 ∘ (𝐹 ∘ 𝐺)) = (◡𝐹 ∘ ( I ↾ (Base‘𝐾))))
20	10, 17, 19	3eqtr3a 2792	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (( I ↾ (Base‘𝐾)) ∘ 𝐺) = (◡𝐹 ∘ ( I ↾ (Base‘𝐾))))
21		simplrr 776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → 𝐺 ∈ 𝑇)
22	5, 1, 2	ltrn1o 39629	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → 𝐺:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
23	11, 21, 22	syl2anc 582	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → 𝐺:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
24		f1of 6844	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾) → 𝐺:(Base‘𝐾)⟶(Base‘𝐾))
25		fcoi2 6777	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺:(Base‘𝐾)⟶(Base‘𝐾) → (( I ↾ (Base‘𝐾)) ∘ 𝐺) = 𝐺)
26	23, 24, 25	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (( I ↾ (Base‘𝐾)) ∘ 𝐺) = 𝐺)
27	1, 2	ltrncnv 39651	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ◡𝐹 ∈ 𝑇)
28	11, 12, 27	syl2anc 582	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → ◡𝐹 ∈ 𝑇)
29	5, 1, 2	ltrn1o 39629	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ◡𝐹 ∈ 𝑇) → ◡𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
30	11, 28, 29	syl2anc 582	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → ◡𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
31		f1of 6844	. . . . . . . . . 10 ⊢ (◡𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾) → ◡𝐹:(Base‘𝐾)⟶(Base‘𝐾))
32		fcoi1 6776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (◡𝐹:(Base‘𝐾)⟶(Base‘𝐾) → (◡𝐹 ∘ ( I ↾ (Base‘𝐾))) = ◡𝐹)
33	30, 31, 32	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (◡𝐹 ∘ ( I ↾ (Base‘𝐾))) = ◡𝐹)
34	20, 26, 33	3eqtr3d 2776	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → 𝐺 = ◡𝐹)
35	34	fveq2d 6906	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (𝑅‘𝐺) = (𝑅‘◡𝐹))
36	1, 2, 7	trlcnv 39670	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘◡𝐹) = (𝑅‘𝐹))
37	11, 12, 36	syl2anc 582	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (𝑅‘◡𝐹) = (𝑅‘𝐹))
38	35, 37	eqtr2d 2769	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺))
39	38	ex 411	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → ((𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾)) → (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺)))
40	9, 39	sylbird 259	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → ((𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺)) = (0.‘𝐾) → (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺)))
41	40	necon3d 2958	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → ((𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺) → (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺)) ≠ (0.‘𝐾)))
42		trlcoat.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
43	6, 42, 1, 2, 7	trlatn0 39677	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ 𝑇) → ((𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺)) ≠ (0.‘𝐾)))
44	4, 43	syldan 589	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → ((𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺)) ≠ (0.‘𝐾)))
45	41, 44	sylibrd 258	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → ((𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺) → (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺)) ∈ 𝐴))
46	45	3impia 1114	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺)) → (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺)) ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2937   I cid 5579  ^◡ccnv 5681   ↾ cres 5684   ∘ ccom 5686  ⟶wf 6549  –1-1-onto→wf1o 6552  ‘cfv 6553  Basecbs 17187  0.cp0 18422  Atomscatm 38767  HLchlt 38854  LHypclh 39489  LTrncltrn 39606  trLctrl 39663

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-riotaBAD 38457

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-undef 8285  df-map 8853  df-proset 18294  df-poset 18312  df-plt 18329  df-lub 18345  df-glb 18346  df-join 18347  df-meet 18348  df-p0 18424  df-p1 18425  df-lat 18431  df-clat 18498  df-oposet 38680  df-ol 38682  df-oml 38683  df-covers 38770  df-ats 38771  df-atl 38802  df-cvlat 38826  df-hlat 38855  df-llines 39003  df-lplanes 39004  df-lvols 39005  df-lines 39006  df-psubsp 39008  df-pmap 39009  df-padd 39301  df-lhyp 39493  df-laut 39494  df-ldil 39609  df-ltrn 39610  df-trl 39664

This theorem is referenced by:  trlcocnvat  40229  trlconid  40230  trljco  40245  cdlemh2  40321  cdlemh  40322