Theorem trlcoat 39186

Description: The trace of a composition of two translations is an atom if their traces are different. (Contributed by NM, 15-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
trlcoat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
trlcoat.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
trlcoat.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
trlcoat.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
trlcoat	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺)) → (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺)) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem trlcoat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trlcoat.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		trlcoat.t	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3	1, 2	ltrnco 39182	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ 𝑇)
4	3	3expb 1120	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ 𝑇)
5		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
6		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
7		trlcoat.r	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
8	5, 6, 1, 2, 7	trlid0b 38641	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ 𝑇) → ((𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾)) ↔ (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺)) = (0.‘𝐾)))
9	4, 8	syldan 591	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → ((𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾)) ↔ (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺)) = (0.‘𝐾)))
10		coass 6217	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((◡𝐹 ∘ 𝐹) ∘ 𝐺) = (◡𝐹 ∘ (𝐹 ∘ 𝐺))
11		simpll 765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
12		simplrl 775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → 𝐹 ∈ 𝑇)
13	5, 1, 2	ltrn1o 38587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
14	11, 12, 13	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → 𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
15		f1ococnv1 6813	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾) → (◡𝐹 ∘ 𝐹) = ( I ↾ (Base‘𝐾)))
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (◡𝐹 ∘ 𝐹) = ( I ↾ (Base‘𝐾)))
17	16	coeq1d 5817	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → ((◡𝐹 ∘ 𝐹) ∘ 𝐺) = (( I ↾ (Base‘𝐾)) ∘ 𝐺))
18		coeq2 5814	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾)) → (◡𝐹 ∘ (𝐹 ∘ 𝐺)) = (◡𝐹 ∘ ( I ↾ (Base‘𝐾))))
19	18	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (◡𝐹 ∘ (𝐹 ∘ 𝐺)) = (◡𝐹 ∘ ( I ↾ (Base‘𝐾))))
20	10, 17, 19	3eqtr3a 2800	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (( I ↾ (Base‘𝐾)) ∘ 𝐺) = (◡𝐹 ∘ ( I ↾ (Base‘𝐾))))
21		simplrr 776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → 𝐺 ∈ 𝑇)
22	5, 1, 2	ltrn1o 38587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → 𝐺:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
23	11, 21, 22	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → 𝐺:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
24		f1of 6784	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾) → 𝐺:(Base‘𝐾)⟶(Base‘𝐾))
25		fcoi2 6717	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺:(Base‘𝐾)⟶(Base‘𝐾) → (( I ↾ (Base‘𝐾)) ∘ 𝐺) = 𝐺)
26	23, 24, 25	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (( I ↾ (Base‘𝐾)) ∘ 𝐺) = 𝐺)
27	1, 2	ltrncnv 38609	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ◡𝐹 ∈ 𝑇)
28	11, 12, 27	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → ◡𝐹 ∈ 𝑇)
29	5, 1, 2	ltrn1o 38587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ◡𝐹 ∈ 𝑇) → ◡𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
30	11, 28, 29	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → ◡𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
31		f1of 6784	. . . . . . . . . 10 ⊢ (◡𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾) → ◡𝐹:(Base‘𝐾)⟶(Base‘𝐾))
32		fcoi1 6716	. . . . . . . . . 10 ⊢ (◡𝐹:(Base‘𝐾)⟶(Base‘𝐾) → (◡𝐹 ∘ ( I ↾ (Base‘𝐾))) = ◡𝐹)
33	30, 31, 32	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (◡𝐹 ∘ ( I ↾ (Base‘𝐾))) = ◡𝐹)
34	20, 26, 33	3eqtr3d 2784	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → 𝐺 = ◡𝐹)
35	34	fveq2d 6846	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (𝑅‘𝐺) = (𝑅‘◡𝐹))
36	1, 2, 7	trlcnv 38628	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘◡𝐹) = (𝑅‘𝐹))
37	11, 12, 36	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (𝑅‘◡𝐹) = (𝑅‘𝐹))
38	35, 37	eqtr2d 2777	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺))
39	38	ex 413	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → ((𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ (Base‘𝐾)) → (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺)))
40	9, 39	sylbird 259	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → ((𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺)) = (0.‘𝐾) → (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺)))
41	40	necon3d 2964	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → ((𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺) → (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺)) ≠ (0.‘𝐾)))
42		trlcoat.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
43	6, 42, 1, 2, 7	trlatn0 38635	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ 𝑇) → ((𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺)) ≠ (0.‘𝐾)))
44	4, 43	syldan 591	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → ((𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺)) ≠ (0.‘𝐾)))
45	41, 44	sylibrd 258	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → ((𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺) → (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺)) ∈ 𝐴))
46	45	3impia 1117	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺)) → (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺)) ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   I cid 5530  ^◡ccnv 5632   ↾ cres 5635   ∘ ccom 5637  ⟶wf 6492  –1-1-onto→wf1o 6495  ‘cfv 6496  Basecbs 17083  0.cp0 18312  Atomscatm 37725  HLchlt 37812  LHypclh 38447  LTrncltrn 38564  trLctrl 38621

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-riotaBAD 37415

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-undef 8204  df-map 8767  df-proset 18184  df-poset 18202  df-plt 18219  df-lub 18235  df-glb 18236  df-join 18237  df-meet 18238  df-p0 18314  df-p1 18315  df-lat 18321  df-clat 18388  df-oposet 37638  df-ol 37640  df-oml 37641  df-covers 37728  df-ats 37729  df-atl 37760  df-cvlat 37784  df-hlat 37813  df-llines 37961  df-lplanes 37962  df-lvols 37963  df-lines 37964  df-psubsp 37966  df-pmap 37967  df-padd 38259  df-lhyp 38451  df-laut 38452  df-ldil 38567  df-ltrn 38568  df-trl 38622

This theorem is referenced by:  trlcocnvat  39187  trlconid  39188  trljco  39203  cdlemh2  39279  cdlemh  39280