trlcone - Mathbox for Norm Megill

	Mathbox for Norm Megill		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > trlcone		Structured version Visualization version GIF version

Theorem trlcone 38339

Description: If two translations have different traces, the trace of their composition is also different. (Contributed by NM, 14-Jun-2013.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
trlcone.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
trlcone.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
trlcone.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
trlcone.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)

**Assertion**
Ref	Expression
trlcone	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺)))

**Proof of Theorem trlcone**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl3l 1225	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅‘𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾)) → (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺))
2		simp11 1200	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅‘𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
3		simp12l 1283	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅‘𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺))) → 𝐹 ∈ 𝑇)
4		trlcone.h	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5		trlcone.t	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
6	4, 5	ltrncnv 37757	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ^◡𝐹 ∈ 𝑇)
7	2, 3, 6	syl2anc 587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅‘𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺))) → ^◡𝐹 ∈ 𝑇)
8		simp12r 1284	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅‘𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺))) → 𝐺 ∈ 𝑇)
9	4, 5	ltrnco 38330	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ 𝑇)
10	2, 3, 8, 9	syl3anc 1368	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅‘𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺))) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ 𝑇)
11		eqid 2758	. . . . . . . . . 10 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
12		eqid 2758	. . . . . . . . . 10 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
13		trlcone.r	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
14	11, 12, 4, 5, 13	trlco 38338	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ^◡𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ 𝑇) → (𝑅‘(^◡𝐹 ∘ (𝐹 ∘ 𝐺)))(le‘𝐾)((𝑅‘^◡𝐹)(join‘𝐾)(𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺))))
15	2, 7, 10, 14	syl3anc 1368	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅‘𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺))) → (𝑅‘(^◡𝐹 ∘ (𝐹 ∘ 𝐺)))(le‘𝐾)((𝑅‘^◡𝐹)(join‘𝐾)(𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺))))
16		coass 6100	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((^◡𝐹 ∘ 𝐹) ∘ 𝐺) = (^◡𝐹 ∘ (𝐹 ∘ 𝐺))
17		trlcone.b	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
18	17, 4, 5	ltrn1o 37735	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵)
19	2, 3, 18	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅‘𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺))) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵)
20		f1ococnv1 6635	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵 → (^◡𝐹 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝐵))
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅‘𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺))) → (^◡𝐹 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝐵))
22	21	coeq1d 5707	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅‘𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺))) → ((^◡𝐹 ∘ 𝐹) ∘ 𝐺) = (( I ↾ 𝐵) ∘ 𝐺))
23	17, 4, 5	ltrn1o 37735	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → 𝐺:𝐵–1-1-onto→𝐵)
24	2, 8, 23	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅‘𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺))) → 𝐺:𝐵–1-1-onto→𝐵)
25		f1of 6607	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐺:𝐵–1-1-onto→𝐵 → 𝐺:𝐵⟶𝐵)
26		fcoi2 6543	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐺:𝐵⟶𝐵 → (( I ↾ 𝐵) ∘ 𝐺) = 𝐺)
27	24, 25, 26	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅‘𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺))) → (( I ↾ 𝐵) ∘ 𝐺) = 𝐺)
28	22, 27	eqtrd 2793	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅‘𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺))) → ((^◡𝐹 ∘ 𝐹) ∘ 𝐺) = 𝐺)
29	16, 28	syl5reqr 2808	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅‘𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺))) → 𝐺 = (^◡𝐹 ∘ (𝐹 ∘ 𝐺)))
30	29	fveq2d 6667	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅‘𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺))) → (𝑅‘𝐺) = (𝑅‘(^◡𝐹 ∘ (𝐹 ∘ 𝐺))))
31		simp11l 1281	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅‘𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺))) → 𝐾 ∈ HL)
32		simp2 1134	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅‘𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺))) → (𝑅‘𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾))
33		eqid 2758	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
34	12, 33	hlatjidm 36980	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅‘𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾)) → ((𝑅‘𝐹)(join‘𝐾)(𝑅‘𝐹)) = (𝑅‘𝐹))
35	31, 32, 34	syl2anc 587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅‘𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺))) → ((𝑅‘𝐹)(join‘𝐾)(𝑅‘𝐹)) = (𝑅‘𝐹))
36	4, 5, 13	trlcnv 37776	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘^◡𝐹) = (𝑅‘𝐹))
37	2, 3, 36	syl2anc 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅‘𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺))) → (𝑅‘^◡𝐹) = (𝑅‘𝐹))
38	37	eqcomd 2764	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅‘𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺))) → (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘^◡𝐹))
39		simp3 1135	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅‘𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺))) → (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺)))
40	38, 39	oveq12d 7174	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅‘𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺))) → ((𝑅‘𝐹)(join‘𝐾)(𝑅‘𝐹)) = ((𝑅‘^◡𝐹)(join‘𝐾)(𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺))))
41	35, 40	eqtr3d 2795	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅‘𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺))) → (𝑅‘𝐹) = ((𝑅‘^◡𝐹)(join‘𝐾)(𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺))))
42	15, 30, 41	3brtr4d 5068	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅‘𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺))) → (𝑅‘𝐺)(le‘𝐾)(𝑅‘𝐹))
43		hlatl 36971	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
44	31, 43	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅‘𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺))) → 𝐾 ∈ AtLat)
45		simp13r 1286	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅‘𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺))) → 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))
46	17, 33, 4, 5, 13	trlnidat 37784	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅‘𝐺) ∈ (Atoms‘𝐾))
47	2, 8, 45, 46	syl3anc 1368	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅‘𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺))) → (𝑅‘𝐺) ∈ (Atoms‘𝐾))
48	11, 33	atcmp 36922	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑅‘𝐺) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅‘𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾)) → ((𝑅‘𝐺)(le‘𝐾)(𝑅‘𝐹) ↔ (𝑅‘𝐺) = (𝑅‘𝐹)))
49	44, 47, 32, 48	syl3anc 1368	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅‘𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺))) → ((𝑅‘𝐺)(le‘𝐾)(𝑅‘𝐹) ↔ (𝑅‘𝐺) = (𝑅‘𝐹)))
50	42, 49	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅‘𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺))) → (𝑅‘𝐺) = (𝑅‘𝐹))
51	50	eqcomd 2764	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅‘𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺))) → (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺))
52	51	3expia 1118	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅‘𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾)) → ((𝑅‘𝐹) = (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺)) → (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺)))
53	52	necon3d 2972	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅‘𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾)) → ((𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺) → (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺))))
54	1, 53	mpd 15	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅‘𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾)) → (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺)))
55		simpl3r 1226	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅‘𝐹) = (0.‘𝐾)) → 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))
56		simpl1 1188	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅‘𝐹) = (0.‘𝐾)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
57		simpl2r 1224	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅‘𝐹) = (0.‘𝐾)) → 𝐺 ∈ 𝑇)
58		eqid 2758	. . . . . . . 8 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
59	17, 58, 4, 5, 13	trlid0b 37789	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (𝐺 = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑅‘𝐺) = (0.‘𝐾)))
60	56, 57, 59	syl2anc 587	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅‘𝐹) = (0.‘𝐾)) → (𝐺 = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑅‘𝐺) = (0.‘𝐾)))
61	60	necon3bid 2995	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅‘𝐹) = (0.‘𝐾)) → (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑅‘𝐺) ≠ (0.‘𝐾)))
62	55, 61	mpbid 235	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅‘𝐹) = (0.‘𝐾)) → (𝑅‘𝐺) ≠ (0.‘𝐾))
63	62	necomd 3006	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅‘𝐹) = (0.‘𝐾)) → (0.‘𝐾) ≠ (𝑅‘𝐺))
64		simpr 488	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅‘𝐹) = (0.‘𝐾)) → (𝑅‘𝐹) = (0.‘𝐾))
65		simpl2l 1223	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅‘𝐹) = (0.‘𝐾)) → 𝐹 ∈ 𝑇)
66	17, 58, 4, 5, 13	trlid0b 37789	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐹 = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑅‘𝐹) = (0.‘𝐾)))
67	56, 65, 66	syl2anc 587	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅‘𝐹) = (0.‘𝐾)) → (𝐹 = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑅‘𝐹) = (0.‘𝐾)))
68	64, 67	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅‘𝐹) = (0.‘𝐾)) → 𝐹 = ( I ↾ 𝐵))
69	68	coeq1d 5707	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅‘𝐹) = (0.‘𝐾)) → (𝐹 ∘ 𝐺) = (( I ↾ 𝐵) ∘ 𝐺))
70	56, 57, 23	syl2anc 587	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅‘𝐹) = (0.‘𝐾)) → 𝐺:𝐵–1-1-onto→𝐵)
71	70, 25, 26	3syl 18	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅‘𝐹) = (0.‘𝐾)) → (( I ↾ 𝐵) ∘ 𝐺) = 𝐺)
72	69, 71	eqtrd 2793	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅‘𝐹) = (0.‘𝐾)) → (𝐹 ∘ 𝐺) = 𝐺)
73	72	fveq2d 6667	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅‘𝐹) = (0.‘𝐾)) → (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺)) = (𝑅‘𝐺))
74	63, 64, 73	3netr4d 3028	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅‘𝐹) = (0.‘𝐾)) → (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺)))
75		simp1 1133	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
76		simp2l 1196	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝐹 ∈ 𝑇)
77	58, 33, 4, 5, 13	trlator0 37782	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((𝑅‘𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∨ (𝑅‘𝐹) = (0.‘𝐾)))
78	75, 76, 77	syl2anc 587	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑅‘𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∨ (𝑅‘𝐹) = (0.‘𝐾)))
79	54, 74, 78	mpjaodan 956	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 399 ∨ wo 844 ∧ w3a 1084 = wceq 1538 ∈ wcel 2111 ≠ wne 2951 class class class wbr 5036 I cid 5433 ^◡ccnv 5527 ↾ cres 5530 ∘ ccom 5532 ⟶wf 6336 –1-1-onto→wf1o 6339 ‘cfv 6340 (class class class)co 7156 Basecbs 16555 lecple 16644 joincjn 17634 0.cp0 17727 Atomscatm 36874 AtLatcal 36875 HLchlt 36961 LHypclh 37595 LTrncltrn 37712 trLctrl 37769

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1911 ax-6 1970 ax-7 2015 ax-8 2113 ax-9 2121 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2175 ax-ext 2729 ax-rep 5160 ax-sep 5173 ax-nul 5180 ax-pow 5238 ax-pr 5302 ax-un 7465 ax-riotaBAD 36564

This theorem depends on definitions: df-bi 210 df-an 400 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1541 df-fal 1551 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2070 df-mo 2557 df-eu 2588 df-clab 2736 df-cleq 2750 df-clel 2830 df-nfc 2901 df-ne 2952 df-ral 3075 df-rex 3076 df-reu 3077 df-rmo 3078 df-rab 3079 df-v 3411 df-sbc 3699 df-csb 3808 df-dif 3863 df-un 3865 df-in 3867 df-ss 3877 df-nul 4228 df-if 4424 df-pw 4499 df-sn 4526 df-pr 4528 df-op 4532 df-uni 4802 df-iun 4888 df-iin 4889 df-br 5037 df-opab 5099 df-mpt 5117 df-id 5434 df-xp 5534 df-rel 5535 df-cnv 5536 df-co 5537 df-dm 5538 df-rn 5539 df-res 5540 df-ima 5541 df-iota 6299 df-fun 6342 df-fn 6343 df-f 6344 df-f1 6345 df-fo 6346 df-f1o 6347 df-fv 6348 df-riota 7114 df-ov 7159 df-oprab 7160 df-mpo 7161 df-1st 7699 df-2nd 7700 df-undef 7955 df-map 8424 df-proset 17618 df-poset 17636 df-plt 17648 df-lub 17664 df-glb 17665 df-join 17666 df-meet 17667 df-p0 17729 df-p1 17730 df-lat 17736 df-clat 17798 df-oposet 36787 df-ol 36789 df-oml 36790 df-covers 36877 df-ats 36878 df-atl 36909 df-cvlat 36933 df-hlat 36962 df-llines 37109 df-lplanes 37110 df-lvols 37111 df-lines 37112 df-psubsp 37114 df-pmap 37115 df-padd 37407 df-lhyp 37599 df-laut 37600 df-ldil 37715 df-ltrn 37716 df-trl 37770

This theorem is referenced by: trljco 38351 cdlemh2 38427 cdlemh 38428 cdlemk3 38444 cdlemk12 38461 cdlemk12u 38483 cdlemkfid1N 38532 cdlemk54 38569

W3C validator