Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trlcone Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem trlcone 40093
Description: If two translations have different traces, the trace of their composition is also different. (Contributed by NM, 14-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
trlcone.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
trlcone.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
trlcone.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
trlcone.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
trlcone (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)))
Proof of Theorem trlcone
StepHypRef Expression
1 simpl3l 1225 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))
2 simp11 1200 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
3 simp12l 1283 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
4 trlcone.h . . . . . . . . . . 11 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
5 trlcone.t . . . . . . . . . . 11 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
64, 5ltrncnv 39511 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ ◑𝐹 ∈ 𝑇)
72, 3, 6syl2anc 583 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) β†’ ◑𝐹 ∈ 𝑇)
8 simp12r 1284 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
94, 5ltrnco 40084 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ 𝑇)
102, 3, 8, 9syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) β†’ (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ 𝑇)
11 eqid 2724 . . . . . . . . . 10 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
12 eqid 2724 . . . . . . . . . 10 (joinβ€˜πΎ) = (joinβ€˜πΎ)
13 trlcone.r . . . . . . . . . 10 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
1411, 12, 4, 5, 13trlco 40092 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ◑𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜(◑𝐹 ∘ (𝐹 ∘ 𝐺)))(leβ€˜πΎ)((π‘…β€˜β—‘πΉ)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))))
152, 7, 10, 14syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) β†’ (π‘…β€˜(◑𝐹 ∘ (𝐹 ∘ 𝐺)))(leβ€˜πΎ)((π‘…β€˜β—‘πΉ)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))))
16 trlcone.b . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
1716, 4, 5ltrn1o 39489 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ 𝐹:𝐡–1-1-onto→𝐡)
182, 3, 17syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) β†’ 𝐹:𝐡–1-1-onto→𝐡)
19 f1ococnv1 6853 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹:𝐡–1-1-onto→𝐡 β†’ (◑𝐹 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝐡))
2018, 19syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) β†’ (◑𝐹 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝐡))
2120coeq1d 5852 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) β†’ ((◑𝐹 ∘ 𝐹) ∘ 𝐺) = (( I β†Ύ 𝐡) ∘ 𝐺))
2216, 4, 5ltrn1o 39489 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ 𝐺:𝐡–1-1-onto→𝐡)
232, 8, 22syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) β†’ 𝐺:𝐡–1-1-onto→𝐡)
24 f1of 6824 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺:𝐡–1-1-onto→𝐡 β†’ 𝐺:𝐡⟢𝐡)
25 fcoi2 6757 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺:𝐡⟢𝐡 β†’ (( I β†Ύ 𝐡) ∘ 𝐺) = 𝐺)
2623, 24, 253syl 18 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) β†’ (( I β†Ύ 𝐡) ∘ 𝐺) = 𝐺)
2721, 26eqtrd 2764 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) β†’ ((◑𝐹 ∘ 𝐹) ∘ 𝐺) = 𝐺)
28 coass 6255 . . . . . . . . . 10 ((◑𝐹 ∘ 𝐹) ∘ 𝐺) = (◑𝐹 ∘ (𝐹 ∘ 𝐺))
2927, 28eqtr3di 2779 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) β†’ 𝐺 = (◑𝐹 ∘ (𝐹 ∘ 𝐺)))
3029fveq2d 6886 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) β†’ (π‘…β€˜πΊ) = (π‘…β€˜(◑𝐹 ∘ (𝐹 ∘ 𝐺))))
31 simp11l 1281 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
32 simp2 1134 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
33 eqid 2724 . . . . . . . . . . 11 (Atomsβ€˜πΎ) = (Atomsβ€˜πΎ)
3412, 33hlatjidm 38733 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ ((π‘…β€˜πΉ)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ)) = (π‘…β€˜πΉ))
3531, 32, 34syl2anc 583 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) β†’ ((π‘…β€˜πΉ)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ)) = (π‘…β€˜πΉ))
364, 5, 13trlcnv 39530 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜β—‘πΉ) = (π‘…β€˜πΉ))
372, 3, 36syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) β†’ (π‘…β€˜β—‘πΉ) = (π‘…β€˜πΉ))
3837eqcomd 2730 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜β—‘πΉ))
39 simp3 1135 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)))
4038, 39oveq12d 7420 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) β†’ ((π‘…β€˜πΉ)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ)) = ((π‘…β€˜β—‘πΉ)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))))
4135, 40eqtr3d 2766 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = ((π‘…β€˜β—‘πΉ)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))))
4215, 30, 413brtr4d 5171 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) β†’ (π‘…β€˜πΊ)(leβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ))
43 hlatl 38724 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
4431, 43syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
45 simp13r 1286 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) β†’ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
4616, 33, 4, 5, 13trlnidat 39538 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ (π‘…β€˜πΊ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
472, 8, 45, 46syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) β†’ (π‘…β€˜πΊ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
4811, 33atcmp 38675 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (π‘…β€˜πΊ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ ((π‘…β€˜πΊ)(leβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ) ↔ (π‘…β€˜πΊ) = (π‘…β€˜πΉ)))
4944, 47, 32, 48syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) β†’ ((π‘…β€˜πΊ)(leβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ) ↔ (π‘…β€˜πΊ) = (π‘…β€˜πΉ)))
5042, 49mpbid 231 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) β†’ (π‘…β€˜πΊ) = (π‘…β€˜πΉ))
5150eqcomd 2730 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜πΊ))
52513expia 1118 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜πΊ)))
5352necon3d 2953 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) β†’ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))))
541, 53mpd 15 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)))
55 simpl3r 1226 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (0.β€˜πΎ)) β†’ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
56 simpl1 1188 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (0.β€˜πΎ)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
57 simpl2r 1224 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (0.β€˜πΎ)) β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
58 eqid 2724 . . . . . . . 8 (0.β€˜πΎ) = (0.β€˜πΎ)
5916, 58, 4, 5, 13trlid0b 39543 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ (𝐺 = ( I β†Ύ 𝐡) ↔ (π‘…β€˜πΊ) = (0.β€˜πΎ)))
6056, 57, 59syl2anc 583 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (0.β€˜πΎ)) β†’ (𝐺 = ( I β†Ύ 𝐡) ↔ (π‘…β€˜πΊ) = (0.β€˜πΎ)))
6160necon3bid 2977 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (0.β€˜πΎ)) β†’ (𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ↔ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (0.β€˜πΎ)))
6255, 61mpbid 231 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (0.β€˜πΎ)) β†’ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (0.β€˜πΎ))
6362necomd 2988 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (0.β€˜πΎ)) β†’ (0.β€˜πΎ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))
64 simpr 484 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (0.β€˜πΎ)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = (0.β€˜πΎ))
65 simpl2l 1223 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (0.β€˜πΎ)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
6616, 58, 4, 5, 13trlid0b 39543 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (𝐹 = ( I β†Ύ 𝐡) ↔ (π‘…β€˜πΉ) = (0.β€˜πΎ)))
6756, 65, 66syl2anc 583 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (0.β€˜πΎ)) β†’ (𝐹 = ( I β†Ύ 𝐡) ↔ (π‘…β€˜πΉ) = (0.β€˜πΎ)))
6864, 67mpbird 257 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (0.β€˜πΎ)) β†’ 𝐹 = ( I β†Ύ 𝐡))
6968coeq1d 5852 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (0.β€˜πΎ)) β†’ (𝐹 ∘ 𝐺) = (( I β†Ύ 𝐡) ∘ 𝐺))
7056, 57, 22syl2anc 583 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (0.β€˜πΎ)) β†’ 𝐺:𝐡–1-1-onto→𝐡)
7170, 24, 253syl 18 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (0.β€˜πΎ)) β†’ (( I β†Ύ 𝐡) ∘ 𝐺) = 𝐺)
7269, 71eqtrd 2764 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (0.β€˜πΎ)) β†’ (𝐹 ∘ 𝐺) = 𝐺)
7372fveq2d 6886 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (0.β€˜πΎ)) β†’ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)) = (π‘…β€˜πΊ))
7463, 64, 733netr4d 3010 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (0.β€˜πΎ)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)))
75 simp1 1133 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
76 simp2l 1196 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
7758, 33, 4, 5, 13trlator0 39536 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∨ (π‘…β€˜πΉ) = (0.β€˜πΎ)))
7875, 76, 77syl2anc 583 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∨ (π‘…β€˜πΉ) = (0.β€˜πΎ)))
7954, 74, 78mpjaodan 955 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932   class class class wbr 5139   I cid 5564  β—‘ccnv 5666   β†Ύ cres 5669   ∘ ccom 5671  βŸΆwf 6530  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6533  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  Basecbs 17145  lecple 17205  joincjn 18268  0.cp0 18380  Atomscatm 38627  AtLatcal 38628  HLchlt 38714  LHypclh 39349  LTrncltrn 39466  trLctrl 39523
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-riotaBAD 38317
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-iin 4991  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-undef 8254  df-map 8819  df-proset 18252  df-poset 18270  df-plt 18287  df-lub 18303  df-glb 18304  df-join 18305  df-meet 18306  df-p0 18382  df-p1 18383  df-lat 18389  df-clat 18456  df-oposet 38540  df-ol 38542  df-oml 38543  df-covers 38630  df-ats 38631  df-atl 38662  df-cvlat 38686  df-hlat 38715  df-llines 38863  df-lplanes 38864  df-lvols 38865  df-lines 38866  df-psubsp 38868  df-pmap 38869  df-padd 39161  df-lhyp 39353  df-laut 39354  df-ldil 39469  df-ltrn 39470  df-trl 39524
This theorem is referenced by:  trljco  40105  cdlemh2  40181  cdlemh  40182  cdlemk3  40198  cdlemk12  40215  cdlemk12u  40237  cdlemkfid1N  40286  cdlemk54  40323
  Copyright terms: Public domain W3C validator