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Theorem trlcone 37744
Description: If two translations have different traces, the trace of their composition is also different. (Contributed by NM, 14-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
trlcone.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
trlcone.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
trlcone.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
trlcone.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
trlcone (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑅𝐹) ≠ (𝑅‘(𝐹𝐺)))

Proof of Theorem trlcone
StepHypRef Expression
1 simpl3l 1220 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾)) → (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))
2 simp11 1195 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
3 simp12l 1278 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → 𝐹𝑇)
4 trlcone.h . . . . . . . . . . 11 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5 trlcone.t . . . . . . . . . . 11 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
64, 5ltrncnv 37162 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹𝑇)
72, 3, 6syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → 𝐹𝑇)
8 simp12r 1279 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → 𝐺𝑇)
94, 5ltrnco 37735 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (𝐹𝐺) ∈ 𝑇)
102, 3, 8, 9syl3anc 1363 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → (𝐹𝐺) ∈ 𝑇)
11 eqid 2818 . . . . . . . . . 10 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
12 eqid 2818 . . . . . . . . . 10 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
13 trlcone.r . . . . . . . . . 10 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
1411, 12, 4, 5, 13trlco 37743 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝐹𝐺) ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝐹 ∘ (𝐹𝐺)))(le‘𝐾)((𝑅𝐹)(join‘𝐾)(𝑅‘(𝐹𝐺))))
152, 7, 10, 14syl3anc 1363 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → (𝑅‘(𝐹 ∘ (𝐹𝐺)))(le‘𝐾)((𝑅𝐹)(join‘𝐾)(𝑅‘(𝐹𝐺))))
16 coass 6111 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝐹) ∘ 𝐺) = (𝐹 ∘ (𝐹𝐺))
17 trlcone.b . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐵 = (Base‘𝐾)
1817, 4, 5ltrn1o 37140 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝐵)
192, 3, 18syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝐵)
20 f1ococnv1 6636 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹:𝐵1-1-onto𝐵 → (𝐹𝐹) = ( I ↾ 𝐵))
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → (𝐹𝐹) = ( I ↾ 𝐵))
2221coeq1d 5725 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → ((𝐹𝐹) ∘ 𝐺) = (( I ↾ 𝐵) ∘ 𝐺))
2317, 4, 5ltrn1o 37140 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇) → 𝐺:𝐵1-1-onto𝐵)
242, 8, 23syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → 𝐺:𝐵1-1-onto𝐵)
25 f1of 6608 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺:𝐵1-1-onto𝐵𝐺:𝐵𝐵)
26 fcoi2 6546 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺:𝐵𝐵 → (( I ↾ 𝐵) ∘ 𝐺) = 𝐺)
2724, 25, 263syl 18 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → (( I ↾ 𝐵) ∘ 𝐺) = 𝐺)
2822, 27eqtrd 2853 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → ((𝐹𝐹) ∘ 𝐺) = 𝐺)
2916, 28syl5reqr 2868 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → 𝐺 = (𝐹 ∘ (𝐹𝐺)))
3029fveq2d 6667 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → (𝑅𝐺) = (𝑅‘(𝐹 ∘ (𝐹𝐺))))
31 simp11l 1276 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → 𝐾 ∈ HL)
32 simp2 1129 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾))
33 eqid 2818 . . . . . . . . . . 11 (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
3412, 33hlatjidm 36385 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾)) → ((𝑅𝐹)(join‘𝐾)(𝑅𝐹)) = (𝑅𝐹))
3531, 32, 34syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → ((𝑅𝐹)(join‘𝐾)(𝑅𝐹)) = (𝑅𝐹))
364, 5, 13trlcnv 37181 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝐹))
372, 3, 36syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝐹))
3837eqcomd 2824 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝐹))
39 simp3 1130 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺)))
4038, 39oveq12d 7163 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → ((𝑅𝐹)(join‘𝐾)(𝑅𝐹)) = ((𝑅𝐹)(join‘𝐾)(𝑅‘(𝐹𝐺))))
4135, 40eqtr3d 2855 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → (𝑅𝐹) = ((𝑅𝐹)(join‘𝐾)(𝑅‘(𝐹𝐺))))
4215, 30, 413brtr4d 5089 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → (𝑅𝐺)(le‘𝐾)(𝑅𝐹))
43 hlatl 36376 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
4431, 43syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → 𝐾 ∈ AtLat)
45 simp13r 1281 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))
4617, 33, 4, 5, 13trlnidat 37189 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅𝐺) ∈ (Atoms‘𝐾))
472, 8, 45, 46syl3anc 1363 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → (𝑅𝐺) ∈ (Atoms‘𝐾))
4811, 33atcmp 36327 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑅𝐺) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾)) → ((𝑅𝐺)(le‘𝐾)(𝑅𝐹) ↔ (𝑅𝐺) = (𝑅𝐹)))
4944, 47, 32, 48syl3anc 1363 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → ((𝑅𝐺)(le‘𝐾)(𝑅𝐹) ↔ (𝑅𝐺) = (𝑅𝐹)))
5042, 49mpbid 233 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → (𝑅𝐺) = (𝑅𝐹))
5150eqcomd 2824 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺))
52513expia 1113 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾)) → ((𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺)) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)))
5352necon3d 3034 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾)) → ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) → (𝑅𝐹) ≠ (𝑅‘(𝐹𝐺))))
541, 53mpd 15 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾)) → (𝑅𝐹) ≠ (𝑅‘(𝐹𝐺)))
55 simpl3r 1221 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)) → 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))
56 simpl1 1183 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
57 simpl2r 1219 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)) → 𝐺𝑇)
58 eqid 2818 . . . . . . . 8 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
5917, 58, 4, 5, 13trlid0b 37194 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇) → (𝐺 = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑅𝐺) = (0.‘𝐾)))
6056, 57, 59syl2anc 584 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)) → (𝐺 = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑅𝐺) = (0.‘𝐾)))
6160necon3bid 3057 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)) → (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑅𝐺) ≠ (0.‘𝐾)))
6255, 61mpbid 233 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)) → (𝑅𝐺) ≠ (0.‘𝐾))
6362necomd 3068 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)) → (0.‘𝐾) ≠ (𝑅𝐺))
64 simpr 485 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)) → (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾))
65 simpl2l 1218 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)) → 𝐹𝑇)
6617, 58, 4, 5, 13trlid0b 37194 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝐹 = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)))
6756, 65, 66syl2anc 584 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)) → (𝐹 = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)))
6864, 67mpbird 258 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)) → 𝐹 = ( I ↾ 𝐵))
6968coeq1d 5725 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)) → (𝐹𝐺) = (( I ↾ 𝐵) ∘ 𝐺))
7056, 57, 23syl2anc 584 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)) → 𝐺:𝐵1-1-onto𝐵)
7170, 25, 263syl 18 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)) → (( I ↾ 𝐵) ∘ 𝐺) = 𝐺)
7269, 71eqtrd 2853 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)) → (𝐹𝐺) = 𝐺)
7372fveq2d 6667 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)) → (𝑅‘(𝐹𝐺)) = (𝑅𝐺))
7463, 64, 733netr4d 3090 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)) → (𝑅𝐹) ≠ (𝑅‘(𝐹𝐺)))
75 simp1 1128 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
76 simp2l 1191 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝐹𝑇)
7758, 33, 4, 5, 13trlator0 37187 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → ((𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∨ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)))
7875, 76, 77syl2anc 584 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∨ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)))
7954, 74, 78mpjaodan 952 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑅𝐹) ≠ (𝑅‘(𝐹𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  wo 841  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013   class class class wbr 5057   I cid 5452  ccnv 5547  cres 5550  ccom 5552  wf 6344  1-1-ontowf1o 6347  cfv 6348  (class class class)co 7145  Basecbs 16471  lecple 16560  joincjn 17542  0.cp0 17635  Atomscatm 36279  AtLatcal 36280  HLchlt 36366  LHypclh 37000  LTrncltrn 37117  trLctrl 37174
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-riotaBAD 35969
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-undef 7928  df-map 8397  df-proset 17526  df-poset 17544  df-plt 17556  df-lub 17572  df-glb 17573  df-join 17574  df-meet 17575  df-p0 17637  df-p1 17638  df-lat 17644  df-clat 17706  df-oposet 36192  df-ol 36194  df-oml 36195  df-covers 36282  df-ats 36283  df-atl 36314  df-cvlat 36338  df-hlat 36367  df-llines 36514  df-lplanes 36515  df-lvols 36516  df-lines 36517  df-psubsp 36519  df-pmap 36520  df-padd 36812  df-lhyp 37004  df-laut 37005  df-ldil 37120  df-ltrn 37121  df-trl 37175
This theorem is referenced by:  trljco  37756  cdlemh2  37832  cdlemh  37833  cdlemk3  37849  cdlemk12  37866  cdlemk12u  37888  cdlemkfid1N  37937  cdlemk54  37974
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