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Theorem trlcone 40195
Description: If two translations have different traces, the trace of their composition is also different. (Contributed by NM, 14-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
trlcone.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
trlcone.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
trlcone.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
trlcone.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
trlcone (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)))

Proof of Theorem trlcone
StepHypRef Expression
1 simpl3l 1226 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))
2 simp11 1201 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
3 simp12l 1284 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
4 trlcone.h . . . . . . . . . . 11 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
5 trlcone.t . . . . . . . . . . 11 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
64, 5ltrncnv 39613 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ ◑𝐹 ∈ 𝑇)
72, 3, 6syl2anc 583 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) β†’ ◑𝐹 ∈ 𝑇)
8 simp12r 1285 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
94, 5ltrnco 40186 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ 𝑇)
102, 3, 8, 9syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) β†’ (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ 𝑇)
11 eqid 2728 . . . . . . . . . 10 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
12 eqid 2728 . . . . . . . . . 10 (joinβ€˜πΎ) = (joinβ€˜πΎ)
13 trlcone.r . . . . . . . . . 10 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
1411, 12, 4, 5, 13trlco 40194 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ◑𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜(◑𝐹 ∘ (𝐹 ∘ 𝐺)))(leβ€˜πΎ)((π‘…β€˜β—‘πΉ)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))))
152, 7, 10, 14syl3anc 1369 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) β†’ (π‘…β€˜(◑𝐹 ∘ (𝐹 ∘ 𝐺)))(leβ€˜πΎ)((π‘…β€˜β—‘πΉ)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))))
16 trlcone.b . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
1716, 4, 5ltrn1o 39591 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ 𝐹:𝐡–1-1-onto→𝐡)
182, 3, 17syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) β†’ 𝐹:𝐡–1-1-onto→𝐡)
19 f1ococnv1 6862 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹:𝐡–1-1-onto→𝐡 β†’ (◑𝐹 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝐡))
2018, 19syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) β†’ (◑𝐹 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝐡))
2120coeq1d 5858 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) β†’ ((◑𝐹 ∘ 𝐹) ∘ 𝐺) = (( I β†Ύ 𝐡) ∘ 𝐺))
2216, 4, 5ltrn1o 39591 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ 𝐺:𝐡–1-1-onto→𝐡)
232, 8, 22syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) β†’ 𝐺:𝐡–1-1-onto→𝐡)
24 f1of 6833 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺:𝐡–1-1-onto→𝐡 β†’ 𝐺:𝐡⟢𝐡)
25 fcoi2 6766 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺:𝐡⟢𝐡 β†’ (( I β†Ύ 𝐡) ∘ 𝐺) = 𝐺)
2623, 24, 253syl 18 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) β†’ (( I β†Ύ 𝐡) ∘ 𝐺) = 𝐺)
2721, 26eqtrd 2768 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) β†’ ((◑𝐹 ∘ 𝐹) ∘ 𝐺) = 𝐺)
28 coass 6263 . . . . . . . . . 10 ((◑𝐹 ∘ 𝐹) ∘ 𝐺) = (◑𝐹 ∘ (𝐹 ∘ 𝐺))
2927, 28eqtr3di 2783 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) β†’ 𝐺 = (◑𝐹 ∘ (𝐹 ∘ 𝐺)))
3029fveq2d 6895 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) β†’ (π‘…β€˜πΊ) = (π‘…β€˜(◑𝐹 ∘ (𝐹 ∘ 𝐺))))
31 simp11l 1282 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
32 simp2 1135 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
33 eqid 2728 . . . . . . . . . . 11 (Atomsβ€˜πΎ) = (Atomsβ€˜πΎ)
3412, 33hlatjidm 38835 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ ((π‘…β€˜πΉ)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ)) = (π‘…β€˜πΉ))
3531, 32, 34syl2anc 583 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) β†’ ((π‘…β€˜πΉ)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ)) = (π‘…β€˜πΉ))
364, 5, 13trlcnv 39632 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜β—‘πΉ) = (π‘…β€˜πΉ))
372, 3, 36syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) β†’ (π‘…β€˜β—‘πΉ) = (π‘…β€˜πΉ))
3837eqcomd 2734 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜β—‘πΉ))
39 simp3 1136 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)))
4038, 39oveq12d 7432 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) β†’ ((π‘…β€˜πΉ)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ)) = ((π‘…β€˜β—‘πΉ)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))))
4135, 40eqtr3d 2770 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = ((π‘…β€˜β—‘πΉ)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))))
4215, 30, 413brtr4d 5174 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) β†’ (π‘…β€˜πΊ)(leβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ))
43 hlatl 38826 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
4431, 43syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
45 simp13r 1287 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) β†’ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
4616, 33, 4, 5, 13trlnidat 39640 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ (π‘…β€˜πΊ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
472, 8, 45, 46syl3anc 1369 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) β†’ (π‘…β€˜πΊ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
4811, 33atcmp 38777 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (π‘…β€˜πΊ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ ((π‘…β€˜πΊ)(leβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ) ↔ (π‘…β€˜πΊ) = (π‘…β€˜πΉ)))
4944, 47, 32, 48syl3anc 1369 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) β†’ ((π‘…β€˜πΊ)(leβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ) ↔ (π‘…β€˜πΊ) = (π‘…β€˜πΉ)))
5042, 49mpbid 231 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) β†’ (π‘…β€˜πΊ) = (π‘…β€˜πΉ))
5150eqcomd 2734 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜πΊ))
52513expia 1119 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜πΊ)))
5352necon3d 2957 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) β†’ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))))
541, 53mpd 15 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)))
55 simpl3r 1227 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (0.β€˜πΎ)) β†’ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
56 simpl1 1189 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (0.β€˜πΎ)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
57 simpl2r 1225 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (0.β€˜πΎ)) β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
58 eqid 2728 . . . . . . . 8 (0.β€˜πΎ) = (0.β€˜πΎ)
5916, 58, 4, 5, 13trlid0b 39645 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ (𝐺 = ( I β†Ύ 𝐡) ↔ (π‘…β€˜πΊ) = (0.β€˜πΎ)))
6056, 57, 59syl2anc 583 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (0.β€˜πΎ)) β†’ (𝐺 = ( I β†Ύ 𝐡) ↔ (π‘…β€˜πΊ) = (0.β€˜πΎ)))
6160necon3bid 2981 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (0.β€˜πΎ)) β†’ (𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ↔ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (0.β€˜πΎ)))
6255, 61mpbid 231 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (0.β€˜πΎ)) β†’ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (0.β€˜πΎ))
6362necomd 2992 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (0.β€˜πΎ)) β†’ (0.β€˜πΎ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))
64 simpr 484 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (0.β€˜πΎ)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = (0.β€˜πΎ))
65 simpl2l 1224 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (0.β€˜πΎ)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
6616, 58, 4, 5, 13trlid0b 39645 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (𝐹 = ( I β†Ύ 𝐡) ↔ (π‘…β€˜πΉ) = (0.β€˜πΎ)))
6756, 65, 66syl2anc 583 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (0.β€˜πΎ)) β†’ (𝐹 = ( I β†Ύ 𝐡) ↔ (π‘…β€˜πΉ) = (0.β€˜πΎ)))
6864, 67mpbird 257 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (0.β€˜πΎ)) β†’ 𝐹 = ( I β†Ύ 𝐡))
6968coeq1d 5858 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (0.β€˜πΎ)) β†’ (𝐹 ∘ 𝐺) = (( I β†Ύ 𝐡) ∘ 𝐺))
7056, 57, 22syl2anc 583 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (0.β€˜πΎ)) β†’ 𝐺:𝐡–1-1-onto→𝐡)
7170, 24, 253syl 18 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (0.β€˜πΎ)) β†’ (( I β†Ύ 𝐡) ∘ 𝐺) = 𝐺)
7269, 71eqtrd 2768 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (0.β€˜πΎ)) β†’ (𝐹 ∘ 𝐺) = 𝐺)
7372fveq2d 6895 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (0.β€˜πΎ)) β†’ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)) = (π‘…β€˜πΊ))
7463, 64, 733netr4d 3014 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (0.β€˜πΎ)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)))
75 simp1 1134 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
76 simp2l 1197 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
7758, 33, 4, 5, 13trlator0 39638 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∨ (π‘…β€˜πΉ) = (0.β€˜πΎ)))
7875, 76, 77syl2anc 583 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∨ (π‘…β€˜πΉ) = (0.β€˜πΎ)))
7954, 74, 78mpjaodan 957 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 846   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2936   class class class wbr 5142   I cid 5569  β—‘ccnv 5671   β†Ύ cres 5674   ∘ ccom 5676  βŸΆwf 6538  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6541  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17173  lecple 17233  joincjn 18296  0.cp0 18408  Atomscatm 38729  AtLatcal 38730  HLchlt 38816  LHypclh 39451  LTrncltrn 39568  trLctrl 39625
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-riotaBAD 38419
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-undef 8272  df-map 8840  df-proset 18280  df-poset 18298  df-plt 18315  df-lub 18331  df-glb 18332  df-join 18333  df-meet 18334  df-p0 18410  df-p1 18411  df-lat 18417  df-clat 18484  df-oposet 38642  df-ol 38644  df-oml 38645  df-covers 38732  df-ats 38733  df-atl 38764  df-cvlat 38788  df-hlat 38817  df-llines 38965  df-lplanes 38966  df-lvols 38967  df-lines 38968  df-psubsp 38970  df-pmap 38971  df-padd 39263  df-lhyp 39455  df-laut 39456  df-ldil 39571  df-ltrn 39572  df-trl 39626
This theorem is referenced by:  trljco  40207  cdlemh2  40283  cdlemh  40284  cdlemk3  40300  cdlemk12  40317  cdlemk12u  40339  cdlemkfid1N  40388  cdlemk54  40425
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