Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simpl3l 1229 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π
βπΉ) β (π
βπΊ) β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) β§ (π
βπΉ) β (AtomsβπΎ)) β (π
βπΉ) β (π
βπΊ)) |
2 | | simp11 1204 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π
βπΉ) β (π
βπΊ) β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) β§ (π
βπΉ) β (AtomsβπΎ) β§ (π
βπΉ) = (π
β(πΉ β πΊ))) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
3 | | simp12l 1287 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π
βπΉ) β (π
βπΊ) β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) β§ (π
βπΉ) β (AtomsβπΎ) β§ (π
βπΉ) = (π
β(πΉ β πΊ))) β πΉ β π) |
4 | | trlcone.h |
. . . . . . . . . . 11
β’ π» = (LHypβπΎ) |
5 | | trlcone.t |
. . . . . . . . . . 11
β’ π = ((LTrnβπΎ)βπ) |
6 | 4, 5 | ltrncnv 39017 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π) β β‘πΉ β π) |
7 | 2, 3, 6 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π
βπΉ) β (π
βπΊ) β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) β§ (π
βπΉ) β (AtomsβπΎ) β§ (π
βπΉ) = (π
β(πΉ β πΊ))) β β‘πΉ β π) |
8 | | simp12r 1288 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π
βπΉ) β (π
βπΊ) β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) β§ (π
βπΉ) β (AtomsβπΎ) β§ (π
βπΉ) = (π
β(πΉ β πΊ))) β πΊ β π) |
9 | 4, 5 | ltrnco 39590 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β (πΉ β πΊ) β π) |
10 | 2, 3, 8, 9 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π
βπΉ) β (π
βπΊ) β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) β§ (π
βπΉ) β (AtomsβπΎ) β§ (π
βπΉ) = (π
β(πΉ β πΊ))) β (πΉ β πΊ) β π) |
11 | | eqid 2733 |
. . . . . . . . . 10
β’
(leβπΎ) =
(leβπΎ) |
12 | | eqid 2733 |
. . . . . . . . . 10
β’
(joinβπΎ) =
(joinβπΎ) |
13 | | trlcone.r |
. . . . . . . . . 10
β’ π
= ((trLβπΎ)βπ) |
14 | 11, 12, 4, 5, 13 | trlco 39598 |
. . . . . . . . 9
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ β‘πΉ β π β§ (πΉ β πΊ) β π) β (π
β(β‘πΉ β (πΉ β πΊ)))(leβπΎ)((π
ββ‘πΉ)(joinβπΎ)(π
β(πΉ β πΊ)))) |
15 | 2, 7, 10, 14 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π
βπΉ) β (π
βπΊ) β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) β§ (π
βπΉ) β (AtomsβπΎ) β§ (π
βπΉ) = (π
β(πΉ β πΊ))) β (π
β(β‘πΉ β (πΉ β πΊ)))(leβπΎ)((π
ββ‘πΉ)(joinβπΎ)(π
β(πΉ β πΊ)))) |
16 | | trlcone.b |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
17 | 16, 4, 5 | ltrn1o 38995 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π) β πΉ:π΅β1-1-ontoβπ΅) |
18 | 2, 3, 17 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π
βπΉ) β (π
βπΊ) β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) β§ (π
βπΉ) β (AtomsβπΎ) β§ (π
βπΉ) = (π
β(πΉ β πΊ))) β πΉ:π΅β1-1-ontoβπ΅) |
19 | | f1ococnv1 6863 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (πΉ:π΅β1-1-ontoβπ΅ β (β‘πΉ β πΉ) = ( I βΎ π΅)) |
20 | 18, 19 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π
βπΉ) β (π
βπΊ) β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) β§ (π
βπΉ) β (AtomsβπΎ) β§ (π
βπΉ) = (π
β(πΉ β πΊ))) β (β‘πΉ β πΉ) = ( I βΎ π΅)) |
21 | 20 | coeq1d 5862 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π
βπΉ) β (π
βπΊ) β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) β§ (π
βπΉ) β (AtomsβπΎ) β§ (π
βπΉ) = (π
β(πΉ β πΊ))) β ((β‘πΉ β πΉ) β πΊ) = (( I βΎ π΅) β πΊ)) |
22 | 16, 4, 5 | ltrn1o 38995 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΊ β π) β πΊ:π΅β1-1-ontoβπ΅) |
23 | 2, 8, 22 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π
βπΉ) β (π
βπΊ) β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) β§ (π
βπΉ) β (AtomsβπΎ) β§ (π
βπΉ) = (π
β(πΉ β πΊ))) β πΊ:π΅β1-1-ontoβπ΅) |
24 | | f1of 6834 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (πΊ:π΅β1-1-ontoβπ΅ β πΊ:π΅βΆπ΅) |
25 | | fcoi2 6767 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (πΊ:π΅βΆπ΅ β (( I βΎ π΅) β πΊ) = πΊ) |
26 | 23, 24, 25 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π
βπΉ) β (π
βπΊ) β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) β§ (π
βπΉ) β (AtomsβπΎ) β§ (π
βπΉ) = (π
β(πΉ β πΊ))) β (( I βΎ π΅) β πΊ) = πΊ) |
27 | 21, 26 | eqtrd 2773 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π
βπΉ) β (π
βπΊ) β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) β§ (π
βπΉ) β (AtomsβπΎ) β§ (π
βπΉ) = (π
β(πΉ β πΊ))) β ((β‘πΉ β πΉ) β πΊ) = πΊ) |
28 | | coass 6265 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((β‘πΉ β πΉ) β πΊ) = (β‘πΉ β (πΉ β πΊ)) |
29 | 27, 28 | eqtr3di 2788 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π
βπΉ) β (π
βπΊ) β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) β§ (π
βπΉ) β (AtomsβπΎ) β§ (π
βπΉ) = (π
β(πΉ β πΊ))) β πΊ = (β‘πΉ β (πΉ β πΊ))) |
30 | 29 | fveq2d 6896 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π
βπΉ) β (π
βπΊ) β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) β§ (π
βπΉ) β (AtomsβπΎ) β§ (π
βπΉ) = (π
β(πΉ β πΊ))) β (π
βπΊ) = (π
β(β‘πΉ β (πΉ β πΊ)))) |
31 | | simp11l 1285 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π
βπΉ) β (π
βπΊ) β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) β§ (π
βπΉ) β (AtomsβπΎ) β§ (π
βπΉ) = (π
β(πΉ β πΊ))) β πΎ β HL) |
32 | | simp2 1138 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π
βπΉ) β (π
βπΊ) β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) β§ (π
βπΉ) β (AtomsβπΎ) β§ (π
βπΉ) = (π
β(πΉ β πΊ))) β (π
βπΉ) β (AtomsβπΎ)) |
33 | | eqid 2733 |
. . . . . . . . . . 11
β’
(AtomsβπΎ) =
(AtomsβπΎ) |
34 | 12, 33 | hlatjidm 38239 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((πΎ β HL β§ (π
βπΉ) β (AtomsβπΎ)) β ((π
βπΉ)(joinβπΎ)(π
βπΉ)) = (π
βπΉ)) |
35 | 31, 32, 34 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π
βπΉ) β (π
βπΊ) β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) β§ (π
βπΉ) β (AtomsβπΎ) β§ (π
βπΉ) = (π
β(πΉ β πΊ))) β ((π
βπΉ)(joinβπΎ)(π
βπΉ)) = (π
βπΉ)) |
36 | 4, 5, 13 | trlcnv 39036 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π) β (π
ββ‘πΉ) = (π
βπΉ)) |
37 | 2, 3, 36 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π
βπΉ) β (π
βπΊ) β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) β§ (π
βπΉ) β (AtomsβπΎ) β§ (π
βπΉ) = (π
β(πΉ β πΊ))) β (π
ββ‘πΉ) = (π
βπΉ)) |
38 | 37 | eqcomd 2739 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π
βπΉ) β (π
βπΊ) β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) β§ (π
βπΉ) β (AtomsβπΎ) β§ (π
βπΉ) = (π
β(πΉ β πΊ))) β (π
βπΉ) = (π
ββ‘πΉ)) |
39 | | simp3 1139 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π
βπΉ) β (π
βπΊ) β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) β§ (π
βπΉ) β (AtomsβπΎ) β§ (π
βπΉ) = (π
β(πΉ β πΊ))) β (π
βπΉ) = (π
β(πΉ β πΊ))) |
40 | 38, 39 | oveq12d 7427 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π
βπΉ) β (π
βπΊ) β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) β§ (π
βπΉ) β (AtomsβπΎ) β§ (π
βπΉ) = (π
β(πΉ β πΊ))) β ((π
βπΉ)(joinβπΎ)(π
βπΉ)) = ((π
ββ‘πΉ)(joinβπΎ)(π
β(πΉ β πΊ)))) |
41 | 35, 40 | eqtr3d 2775 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π
βπΉ) β (π
βπΊ) β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) β§ (π
βπΉ) β (AtomsβπΎ) β§ (π
βπΉ) = (π
β(πΉ β πΊ))) β (π
βπΉ) = ((π
ββ‘πΉ)(joinβπΎ)(π
β(πΉ β πΊ)))) |
42 | 15, 30, 41 | 3brtr4d 5181 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π
βπΉ) β (π
βπΊ) β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) β§ (π
βπΉ) β (AtomsβπΎ) β§ (π
βπΉ) = (π
β(πΉ β πΊ))) β (π
βπΊ)(leβπΎ)(π
βπΉ)) |
43 | | hlatl 38230 |
. . . . . . . . 9
β’ (πΎ β HL β πΎ β AtLat) |
44 | 31, 43 | syl 17 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π
βπΉ) β (π
βπΊ) β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) β§ (π
βπΉ) β (AtomsβπΎ) β§ (π
βπΉ) = (π
β(πΉ β πΊ))) β πΎ β AtLat) |
45 | | simp13r 1290 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π
βπΉ) β (π
βπΊ) β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) β§ (π
βπΉ) β (AtomsβπΎ) β§ (π
βπΉ) = (π
β(πΉ β πΊ))) β πΊ β ( I βΎ π΅)) |
46 | 16, 33, 4, 5, 13 | trlnidat 39044 |
. . . . . . . . 9
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΊ β π β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β (π
βπΊ) β (AtomsβπΎ)) |
47 | 2, 8, 45, 46 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π
βπΉ) β (π
βπΊ) β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) β§ (π
βπΉ) β (AtomsβπΎ) β§ (π
βπΉ) = (π
β(πΉ β πΊ))) β (π
βπΊ) β (AtomsβπΎ)) |
48 | 11, 33 | atcmp 38181 |
. . . . . . . 8
β’ ((πΎ β AtLat β§ (π
βπΊ) β (AtomsβπΎ) β§ (π
βπΉ) β (AtomsβπΎ)) β ((π
βπΊ)(leβπΎ)(π
βπΉ) β (π
βπΊ) = (π
βπΉ))) |
49 | 44, 47, 32, 48 | syl3anc 1372 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π
βπΉ) β (π
βπΊ) β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) β§ (π
βπΉ) β (AtomsβπΎ) β§ (π
βπΉ) = (π
β(πΉ β πΊ))) β ((π
βπΊ)(leβπΎ)(π
βπΉ) β (π
βπΊ) = (π
βπΉ))) |
50 | 42, 49 | mpbid 231 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π
βπΉ) β (π
βπΊ) β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) β§ (π
βπΉ) β (AtomsβπΎ) β§ (π
βπΉ) = (π
β(πΉ β πΊ))) β (π
βπΊ) = (π
βπΉ)) |
51 | 50 | eqcomd 2739 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π
βπΉ) β (π
βπΊ) β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) β§ (π
βπΉ) β (AtomsβπΎ) β§ (π
βπΉ) = (π
β(πΉ β πΊ))) β (π
βπΉ) = (π
βπΊ)) |
52 | 51 | 3expia 1122 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π
βπΉ) β (π
βπΊ) β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) β§ (π
βπΉ) β (AtomsβπΎ)) β ((π
βπΉ) = (π
β(πΉ β πΊ)) β (π
βπΉ) = (π
βπΊ))) |
53 | 52 | necon3d 2962 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π
βπΉ) β (π
βπΊ) β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) β§ (π
βπΉ) β (AtomsβπΎ)) β ((π
βπΉ) β (π
βπΊ) β (π
βπΉ) β (π
β(πΉ β πΊ)))) |
54 | 1, 53 | mpd 15 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π
βπΉ) β (π
βπΊ) β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) β§ (π
βπΉ) β (AtomsβπΎ)) β (π
βπΉ) β (π
β(πΉ β πΊ))) |
55 | | simpl3r 1230 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π
βπΉ) β (π
βπΊ) β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) β§ (π
βπΉ) = (0.βπΎ)) β πΊ β ( I βΎ π΅)) |
56 | | simpl1 1192 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π
βπΉ) β (π
βπΊ) β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) β§ (π
βπΉ) = (0.βπΎ)) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
57 | | simpl2r 1228 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π
βπΉ) β (π
βπΊ) β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) β§ (π
βπΉ) = (0.βπΎ)) β πΊ β π) |
58 | | eqid 2733 |
. . . . . . . 8
β’
(0.βπΎ) =
(0.βπΎ) |
59 | 16, 58, 4, 5, 13 | trlid0b 39049 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΊ β π) β (πΊ = ( I βΎ π΅) β (π
βπΊ) = (0.βπΎ))) |
60 | 56, 57, 59 | syl2anc 585 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π
βπΉ) β (π
βπΊ) β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) β§ (π
βπΉ) = (0.βπΎ)) β (πΊ = ( I βΎ π΅) β (π
βπΊ) = (0.βπΎ))) |
61 | 60 | necon3bid 2986 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π
βπΉ) β (π
βπΊ) β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) β§ (π
βπΉ) = (0.βπΎ)) β (πΊ β ( I βΎ π΅) β (π
βπΊ) β (0.βπΎ))) |
62 | 55, 61 | mpbid 231 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π
βπΉ) β (π
βπΊ) β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) β§ (π
βπΉ) = (0.βπΎ)) β (π
βπΊ) β (0.βπΎ)) |
63 | 62 | necomd 2997 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π
βπΉ) β (π
βπΊ) β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) β§ (π
βπΉ) = (0.βπΎ)) β (0.βπΎ) β (π
βπΊ)) |
64 | | simpr 486 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π
βπΉ) β (π
βπΊ) β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) β§ (π
βπΉ) = (0.βπΎ)) β (π
βπΉ) = (0.βπΎ)) |
65 | | simpl2l 1227 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π
βπΉ) β (π
βπΊ) β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) β§ (π
βπΉ) = (0.βπΎ)) β πΉ β π) |
66 | 16, 58, 4, 5, 13 | trlid0b 39049 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π) β (πΉ = ( I βΎ π΅) β (π
βπΉ) = (0.βπΎ))) |
67 | 56, 65, 66 | syl2anc 585 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π
βπΉ) β (π
βπΊ) β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) β§ (π
βπΉ) = (0.βπΎ)) β (πΉ = ( I βΎ π΅) β (π
βπΉ) = (0.βπΎ))) |
68 | 64, 67 | mpbird 257 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π
βπΉ) β (π
βπΊ) β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) β§ (π
βπΉ) = (0.βπΎ)) β πΉ = ( I βΎ π΅)) |
69 | 68 | coeq1d 5862 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π
βπΉ) β (π
βπΊ) β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) β§ (π
βπΉ) = (0.βπΎ)) β (πΉ β πΊ) = (( I βΎ π΅) β πΊ)) |
70 | 56, 57, 22 | syl2anc 585 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π
βπΉ) β (π
βπΊ) β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) β§ (π
βπΉ) = (0.βπΎ)) β πΊ:π΅β1-1-ontoβπ΅) |
71 | 70, 24, 25 | 3syl 18 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π
βπΉ) β (π
βπΊ) β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) β§ (π
βπΉ) = (0.βπΎ)) β (( I βΎ π΅) β πΊ) = πΊ) |
72 | 69, 71 | eqtrd 2773 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π
βπΉ) β (π
βπΊ) β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) β§ (π
βπΉ) = (0.βπΎ)) β (πΉ β πΊ) = πΊ) |
73 | 72 | fveq2d 6896 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π
βπΉ) β (π
βπΊ) β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) β§ (π
βπΉ) = (0.βπΎ)) β (π
β(πΉ β πΊ)) = (π
βπΊ)) |
74 | 63, 64, 73 | 3netr4d 3019 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π
βπΉ) β (π
βπΊ) β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) β§ (π
βπΉ) = (0.βπΎ)) β (π
βπΉ) β (π
β(πΉ β πΊ))) |
75 | | simp1 1137 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π
βπΉ) β (π
βπΊ) β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
76 | | simp2l 1200 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π
βπΉ) β (π
βπΊ) β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) β πΉ β π) |
77 | 58, 33, 4, 5, 13 | trlator0 39042 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π) β ((π
βπΉ) β (AtomsβπΎ) β¨ (π
βπΉ) = (0.βπΎ))) |
78 | 75, 76, 77 | syl2anc 585 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π
βπΉ) β (π
βπΊ) β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) β ((π
βπΉ) β (AtomsβπΎ) β¨ (π
βπΉ) = (0.βπΎ))) |
79 | 54, 74, 78 | mpjaodan 958 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π
βπΉ) β (π
βπΊ) β§ πΊ β ( I βΎ π΅))) β (π
βπΉ) β (π
β(πΉ β πΊ))) |