Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trlcone Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trlcone 39599
Description: If two translations have different traces, the trace of their composition is also different. (Contributed by NM, 14-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
trlcone.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
trlcone.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
trlcone.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
trlcone.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
trlcone (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)))

Proof of Theorem trlcone
StepHypRef Expression
1 simpl3l 1229 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))
2 simp11 1204 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
3 simp12l 1287 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
4 trlcone.h . . . . . . . . . . 11 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
5 trlcone.t . . . . . . . . . . 11 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
64, 5ltrncnv 39017 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ ◑𝐹 ∈ 𝑇)
72, 3, 6syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) β†’ ◑𝐹 ∈ 𝑇)
8 simp12r 1288 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
94, 5ltrnco 39590 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ 𝑇)
102, 3, 8, 9syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) β†’ (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ 𝑇)
11 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
12 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (joinβ€˜πΎ) = (joinβ€˜πΎ)
13 trlcone.r . . . . . . . . . 10 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
1411, 12, 4, 5, 13trlco 39598 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ◑𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜(◑𝐹 ∘ (𝐹 ∘ 𝐺)))(leβ€˜πΎ)((π‘…β€˜β—‘πΉ)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))))
152, 7, 10, 14syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) β†’ (π‘…β€˜(◑𝐹 ∘ (𝐹 ∘ 𝐺)))(leβ€˜πΎ)((π‘…β€˜β—‘πΉ)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))))
16 trlcone.b . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
1716, 4, 5ltrn1o 38995 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ 𝐹:𝐡–1-1-onto→𝐡)
182, 3, 17syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) β†’ 𝐹:𝐡–1-1-onto→𝐡)
19 f1ococnv1 6863 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹:𝐡–1-1-onto→𝐡 β†’ (◑𝐹 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝐡))
2018, 19syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) β†’ (◑𝐹 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝐡))
2120coeq1d 5862 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) β†’ ((◑𝐹 ∘ 𝐹) ∘ 𝐺) = (( I β†Ύ 𝐡) ∘ 𝐺))
2216, 4, 5ltrn1o 38995 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ 𝐺:𝐡–1-1-onto→𝐡)
232, 8, 22syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) β†’ 𝐺:𝐡–1-1-onto→𝐡)
24 f1of 6834 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺:𝐡–1-1-onto→𝐡 β†’ 𝐺:𝐡⟢𝐡)
25 fcoi2 6767 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺:𝐡⟢𝐡 β†’ (( I β†Ύ 𝐡) ∘ 𝐺) = 𝐺)
2623, 24, 253syl 18 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) β†’ (( I β†Ύ 𝐡) ∘ 𝐺) = 𝐺)
2721, 26eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) β†’ ((◑𝐹 ∘ 𝐹) ∘ 𝐺) = 𝐺)
28 coass 6265 . . . . . . . . . 10 ((◑𝐹 ∘ 𝐹) ∘ 𝐺) = (◑𝐹 ∘ (𝐹 ∘ 𝐺))
2927, 28eqtr3di 2788 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) β†’ 𝐺 = (◑𝐹 ∘ (𝐹 ∘ 𝐺)))
3029fveq2d 6896 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) β†’ (π‘…β€˜πΊ) = (π‘…β€˜(◑𝐹 ∘ (𝐹 ∘ 𝐺))))
31 simp11l 1285 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
32 simp2 1138 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
33 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (Atomsβ€˜πΎ) = (Atomsβ€˜πΎ)
3412, 33hlatjidm 38239 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ ((π‘…β€˜πΉ)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ)) = (π‘…β€˜πΉ))
3531, 32, 34syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) β†’ ((π‘…β€˜πΉ)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ)) = (π‘…β€˜πΉ))
364, 5, 13trlcnv 39036 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜β—‘πΉ) = (π‘…β€˜πΉ))
372, 3, 36syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) β†’ (π‘…β€˜β—‘πΉ) = (π‘…β€˜πΉ))
3837eqcomd 2739 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜β—‘πΉ))
39 simp3 1139 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)))
4038, 39oveq12d 7427 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) β†’ ((π‘…β€˜πΉ)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ)) = ((π‘…β€˜β—‘πΉ)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))))
4135, 40eqtr3d 2775 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = ((π‘…β€˜β—‘πΉ)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))))
4215, 30, 413brtr4d 5181 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) β†’ (π‘…β€˜πΊ)(leβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ))
43 hlatl 38230 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
4431, 43syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
45 simp13r 1290 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) β†’ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
4616, 33, 4, 5, 13trlnidat 39044 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ (π‘…β€˜πΊ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
472, 8, 45, 46syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) β†’ (π‘…β€˜πΊ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
4811, 33atcmp 38181 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (π‘…β€˜πΊ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ ((π‘…β€˜πΊ)(leβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ) ↔ (π‘…β€˜πΊ) = (π‘…β€˜πΉ)))
4944, 47, 32, 48syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) β†’ ((π‘…β€˜πΊ)(leβ€˜πΎ)(π‘…β€˜πΉ) ↔ (π‘…β€˜πΊ) = (π‘…β€˜πΉ)))
5042, 49mpbid 231 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) β†’ (π‘…β€˜πΊ) = (π‘…β€˜πΉ))
5150eqcomd 2739 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜πΊ))
52513expia 1122 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜πΊ)))
5352necon3d 2962 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) β†’ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))))
541, 53mpd 15 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)))
55 simpl3r 1230 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (0.β€˜πΎ)) β†’ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
56 simpl1 1192 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (0.β€˜πΎ)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
57 simpl2r 1228 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (0.β€˜πΎ)) β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
58 eqid 2733 . . . . . . . 8 (0.β€˜πΎ) = (0.β€˜πΎ)
5916, 58, 4, 5, 13trlid0b 39049 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ (𝐺 = ( I β†Ύ 𝐡) ↔ (π‘…β€˜πΊ) = (0.β€˜πΎ)))
6056, 57, 59syl2anc 585 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (0.β€˜πΎ)) β†’ (𝐺 = ( I β†Ύ 𝐡) ↔ (π‘…β€˜πΊ) = (0.β€˜πΎ)))
6160necon3bid 2986 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (0.β€˜πΎ)) β†’ (𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ↔ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (0.β€˜πΎ)))
6255, 61mpbid 231 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (0.β€˜πΎ)) β†’ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (0.β€˜πΎ))
6362necomd 2997 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (0.β€˜πΎ)) β†’ (0.β€˜πΎ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))
64 simpr 486 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (0.β€˜πΎ)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = (0.β€˜πΎ))
65 simpl2l 1227 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (0.β€˜πΎ)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
6616, 58, 4, 5, 13trlid0b 39049 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (𝐹 = ( I β†Ύ 𝐡) ↔ (π‘…β€˜πΉ) = (0.β€˜πΎ)))
6756, 65, 66syl2anc 585 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (0.β€˜πΎ)) β†’ (𝐹 = ( I β†Ύ 𝐡) ↔ (π‘…β€˜πΉ) = (0.β€˜πΎ)))
6864, 67mpbird 257 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (0.β€˜πΎ)) β†’ 𝐹 = ( I β†Ύ 𝐡))
6968coeq1d 5862 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (0.β€˜πΎ)) β†’ (𝐹 ∘ 𝐺) = (( I β†Ύ 𝐡) ∘ 𝐺))
7056, 57, 22syl2anc 585 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (0.β€˜πΎ)) β†’ 𝐺:𝐡–1-1-onto→𝐡)
7170, 24, 253syl 18 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (0.β€˜πΎ)) β†’ (( I β†Ύ 𝐡) ∘ 𝐺) = 𝐺)
7269, 71eqtrd 2773 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (0.β€˜πΎ)) β†’ (𝐹 ∘ 𝐺) = 𝐺)
7372fveq2d 6896 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (0.β€˜πΎ)) β†’ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)) = (π‘…β€˜πΊ))
7463, 64, 733netr4d 3019 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (0.β€˜πΎ)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)))
75 simp1 1137 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
76 simp2l 1200 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
7758, 33, 4, 5, 13trlator0 39042 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∨ (π‘…β€˜πΉ) = (0.β€˜πΎ)))
7875, 76, 77syl2anc 585 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∨ (π‘…β€˜πΉ) = (0.β€˜πΎ)))
7954, 74, 78mpjaodan 958 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) β†’ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941   class class class wbr 5149   I cid 5574  β—‘ccnv 5676   β†Ύ cres 5679   ∘ ccom 5681  βŸΆwf 6540  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6543  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  lecple 17204  joincjn 18264  0.cp0 18376  Atomscatm 38133  AtLatcal 38134  HLchlt 38220  LHypclh 38855  LTrncltrn 38972  trLctrl 39029
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-riotaBAD 37823
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-undef 8258  df-map 8822  df-proset 18248  df-poset 18266  df-plt 18283  df-lub 18299  df-glb 18300  df-join 18301  df-meet 18302  df-p0 18378  df-p1 18379  df-lat 18385  df-clat 18452  df-oposet 38046  df-ol 38048  df-oml 38049  df-covers 38136  df-ats 38137  df-atl 38168  df-cvlat 38192  df-hlat 38221  df-llines 38369  df-lplanes 38370  df-lvols 38371  df-lines 38372  df-psubsp 38374  df-pmap 38375  df-padd 38667  df-lhyp 38859  df-laut 38860  df-ldil 38975  df-ltrn 38976  df-trl 39030
This theorem is referenced by:  trljco  39611  cdlemh2  39687  cdlemh  39688  cdlemk3  39704  cdlemk12  39721  cdlemk12u  39743  cdlemkfid1N  39792  cdlemk54  39829
  Copyright terms: Public domain W3C validator