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Theorem trlcone 38339
 Description: If two translations have different traces, the trace of their composition is also different. (Contributed by NM, 14-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
trlcone.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
trlcone.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
trlcone.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
trlcone.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
trlcone (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑅𝐹) ≠ (𝑅‘(𝐹𝐺)))

Proof of Theorem trlcone
StepHypRef Expression
1 simpl3l 1225 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾)) → (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))
2 simp11 1200 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
3 simp12l 1283 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → 𝐹𝑇)
4 trlcone.h . . . . . . . . . . 11 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5 trlcone.t . . . . . . . . . . 11 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
64, 5ltrncnv 37757 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹𝑇)
72, 3, 6syl2anc 587 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → 𝐹𝑇)
8 simp12r 1284 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → 𝐺𝑇)
94, 5ltrnco 38330 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (𝐹𝐺) ∈ 𝑇)
102, 3, 8, 9syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → (𝐹𝐺) ∈ 𝑇)
11 eqid 2758 . . . . . . . . . 10 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
12 eqid 2758 . . . . . . . . . 10 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
13 trlcone.r . . . . . . . . . 10 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
1411, 12, 4, 5, 13trlco 38338 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝐹𝐺) ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝐹 ∘ (𝐹𝐺)))(le‘𝐾)((𝑅𝐹)(join‘𝐾)(𝑅‘(𝐹𝐺))))
152, 7, 10, 14syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → (𝑅‘(𝐹 ∘ (𝐹𝐺)))(le‘𝐾)((𝑅𝐹)(join‘𝐾)(𝑅‘(𝐹𝐺))))
16 coass 6100 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝐹) ∘ 𝐺) = (𝐹 ∘ (𝐹𝐺))
17 trlcone.b . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐵 = (Base‘𝐾)
1817, 4, 5ltrn1o 37735 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝐵)
192, 3, 18syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝐵)
20 f1ococnv1 6635 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹:𝐵1-1-onto𝐵 → (𝐹𝐹) = ( I ↾ 𝐵))
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → (𝐹𝐹) = ( I ↾ 𝐵))
2221coeq1d 5707 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → ((𝐹𝐹) ∘ 𝐺) = (( I ↾ 𝐵) ∘ 𝐺))
2317, 4, 5ltrn1o 37735 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇) → 𝐺:𝐵1-1-onto𝐵)
242, 8, 23syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → 𝐺:𝐵1-1-onto𝐵)
25 f1of 6607 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺:𝐵1-1-onto𝐵𝐺:𝐵𝐵)
26 fcoi2 6543 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺:𝐵𝐵 → (( I ↾ 𝐵) ∘ 𝐺) = 𝐺)
2724, 25, 263syl 18 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → (( I ↾ 𝐵) ∘ 𝐺) = 𝐺)
2822, 27eqtrd 2793 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → ((𝐹𝐹) ∘ 𝐺) = 𝐺)
2916, 28syl5reqr 2808 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → 𝐺 = (𝐹 ∘ (𝐹𝐺)))
3029fveq2d 6667 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → (𝑅𝐺) = (𝑅‘(𝐹 ∘ (𝐹𝐺))))
31 simp11l 1281 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → 𝐾 ∈ HL)
32 simp2 1134 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾))
33 eqid 2758 . . . . . . . . . . 11 (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
3412, 33hlatjidm 36980 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾)) → ((𝑅𝐹)(join‘𝐾)(𝑅𝐹)) = (𝑅𝐹))
3531, 32, 34syl2anc 587 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → ((𝑅𝐹)(join‘𝐾)(𝑅𝐹)) = (𝑅𝐹))
364, 5, 13trlcnv 37776 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝐹))
372, 3, 36syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝐹))
3837eqcomd 2764 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝐹))
39 simp3 1135 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺)))
4038, 39oveq12d 7174 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → ((𝑅𝐹)(join‘𝐾)(𝑅𝐹)) = ((𝑅𝐹)(join‘𝐾)(𝑅‘(𝐹𝐺))))
4135, 40eqtr3d 2795 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → (𝑅𝐹) = ((𝑅𝐹)(join‘𝐾)(𝑅‘(𝐹𝐺))))
4215, 30, 413brtr4d 5068 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → (𝑅𝐺)(le‘𝐾)(𝑅𝐹))
43 hlatl 36971 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
4431, 43syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → 𝐾 ∈ AtLat)
45 simp13r 1286 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))
4617, 33, 4, 5, 13trlnidat 37784 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅𝐺) ∈ (Atoms‘𝐾))
472, 8, 45, 46syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → (𝑅𝐺) ∈ (Atoms‘𝐾))
4811, 33atcmp 36922 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑅𝐺) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾)) → ((𝑅𝐺)(le‘𝐾)(𝑅𝐹) ↔ (𝑅𝐺) = (𝑅𝐹)))
4944, 47, 32, 48syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → ((𝑅𝐺)(le‘𝐾)(𝑅𝐹) ↔ (𝑅𝐺) = (𝑅𝐹)))
5042, 49mpbid 235 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → (𝑅𝐺) = (𝑅𝐹))
5150eqcomd 2764 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺))
52513expia 1118 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾)) → ((𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺)) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)))
5352necon3d 2972 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾)) → ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) → (𝑅𝐹) ≠ (𝑅‘(𝐹𝐺))))
541, 53mpd 15 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾)) → (𝑅𝐹) ≠ (𝑅‘(𝐹𝐺)))
55 simpl3r 1226 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)) → 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))
56 simpl1 1188 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
57 simpl2r 1224 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)) → 𝐺𝑇)
58 eqid 2758 . . . . . . . 8 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
5917, 58, 4, 5, 13trlid0b 37789 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇) → (𝐺 = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑅𝐺) = (0.‘𝐾)))
6056, 57, 59syl2anc 587 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)) → (𝐺 = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑅𝐺) = (0.‘𝐾)))
6160necon3bid 2995 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)) → (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑅𝐺) ≠ (0.‘𝐾)))
6255, 61mpbid 235 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)) → (𝑅𝐺) ≠ (0.‘𝐾))
6362necomd 3006 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)) → (0.‘𝐾) ≠ (𝑅𝐺))
64 simpr 488 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)) → (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾))
65 simpl2l 1223 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)) → 𝐹𝑇)
6617, 58, 4, 5, 13trlid0b 37789 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝐹 = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)))
6756, 65, 66syl2anc 587 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)) → (𝐹 = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)))
6864, 67mpbird 260 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)) → 𝐹 = ( I ↾ 𝐵))
6968coeq1d 5707 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)) → (𝐹𝐺) = (( I ↾ 𝐵) ∘ 𝐺))
7056, 57, 23syl2anc 587 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)) → 𝐺:𝐵1-1-onto𝐵)
7170, 25, 263syl 18 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)) → (( I ↾ 𝐵) ∘ 𝐺) = 𝐺)
7269, 71eqtrd 2793 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)) → (𝐹𝐺) = 𝐺)
7372fveq2d 6667 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)) → (𝑅‘(𝐹𝐺)) = (𝑅𝐺))
7463, 64, 733netr4d 3028 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)) → (𝑅𝐹) ≠ (𝑅‘(𝐹𝐺)))
75 simp1 1133 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
76 simp2l 1196 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝐹𝑇)
7758, 33, 4, 5, 13trlator0 37782 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → ((𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∨ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)))
7875, 76, 77syl2anc 587 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∨ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)))
7954, 74, 78mpjaodan 956 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑅𝐹) ≠ (𝑅‘(𝐹𝐺)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951   class class class wbr 5036   I cid 5433  ◡ccnv 5527   ↾ cres 5530   ∘ ccom 5532  ⟶wf 6336  –1-1-onto→wf1o 6339  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156  Basecbs 16555  lecple 16644  joincjn 17634  0.cp0 17727  Atomscatm 36874  AtLatcal 36875  HLchlt 36961  LHypclh 37595  LTrncltrn 37712  trLctrl 37769 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-riotaBAD 36564 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-iin 4889  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-id 5434  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-undef 7955  df-map 8424  df-proset 17618  df-poset 17636  df-plt 17648  df-lub 17664  df-glb 17665  df-join 17666  df-meet 17667  df-p0 17729  df-p1 17730  df-lat 17736  df-clat 17798  df-oposet 36787  df-ol 36789  df-oml 36790  df-covers 36877  df-ats 36878  df-atl 36909  df-cvlat 36933  df-hlat 36962  df-llines 37109  df-lplanes 37110  df-lvols 37111  df-lines 37112  df-psubsp 37114  df-pmap 37115  df-padd 37407  df-lhyp 37599  df-laut 37600  df-ldil 37715  df-ltrn 37716  df-trl 37770 This theorem is referenced by:  trljco  38351  cdlemh2  38427  cdlemh  38428  cdlemk3  38444  cdlemk12  38461  cdlemk12u  38483  cdlemkfid1N  38532  cdlemk54  38569
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