Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trlcone Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trlcone 36684
Description: If two translations have different traces, the trace of their composition is also different. (Contributed by NM, 14-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
trlcone.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
trlcone.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
trlcone.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
trlcone.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
trlcone (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑅𝐹) ≠ (𝑅‘(𝐹𝐺)))

Proof of Theorem trlcone
StepHypRef Expression
1 simpl3l 1301 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾)) → (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))
2 simp11 1260 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
3 simp12l 1385 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → 𝐹𝑇)
4 trlcone.h . . . . . . . . . . 11 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5 trlcone.t . . . . . . . . . . 11 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
64, 5ltrncnv 36102 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹𝑇)
72, 3, 6syl2anc 579 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → 𝐹𝑇)
8 simp12r 1386 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → 𝐺𝑇)
94, 5ltrnco 36675 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (𝐹𝐺) ∈ 𝑇)
102, 3, 8, 9syl3anc 1490 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → (𝐹𝐺) ∈ 𝑇)
11 eqid 2765 . . . . . . . . . 10 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
12 eqid 2765 . . . . . . . . . 10 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
13 trlcone.r . . . . . . . . . 10 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
1411, 12, 4, 5, 13trlco 36683 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝐹𝐺) ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝐹 ∘ (𝐹𝐺)))(le‘𝐾)((𝑅𝐹)(join‘𝐾)(𝑅‘(𝐹𝐺))))
152, 7, 10, 14syl3anc 1490 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → (𝑅‘(𝐹 ∘ (𝐹𝐺)))(le‘𝐾)((𝑅𝐹)(join‘𝐾)(𝑅‘(𝐹𝐺))))
16 coass 5840 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝐹) ∘ 𝐺) = (𝐹 ∘ (𝐹𝐺))
17 trlcone.b . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐵 = (Base‘𝐾)
1817, 4, 5ltrn1o 36080 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝐵)
192, 3, 18syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝐵)
20 f1ococnv1 6348 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹:𝐵1-1-onto𝐵 → (𝐹𝐹) = ( I ↾ 𝐵))
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → (𝐹𝐹) = ( I ↾ 𝐵))
2221coeq1d 5452 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → ((𝐹𝐹) ∘ 𝐺) = (( I ↾ 𝐵) ∘ 𝐺))
2317, 4, 5ltrn1o 36080 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇) → 𝐺:𝐵1-1-onto𝐵)
242, 8, 23syl2anc 579 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → 𝐺:𝐵1-1-onto𝐵)
25 f1of 6320 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺:𝐵1-1-onto𝐵𝐺:𝐵𝐵)
26 fcoi2 6261 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺:𝐵𝐵 → (( I ↾ 𝐵) ∘ 𝐺) = 𝐺)
2724, 25, 263syl 18 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → (( I ↾ 𝐵) ∘ 𝐺) = 𝐺)
2822, 27eqtrd 2799 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → ((𝐹𝐹) ∘ 𝐺) = 𝐺)
2916, 28syl5reqr 2814 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → 𝐺 = (𝐹 ∘ (𝐹𝐺)))
3029fveq2d 6379 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → (𝑅𝐺) = (𝑅‘(𝐹 ∘ (𝐹𝐺))))
31 simp11l 1383 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → 𝐾 ∈ HL)
32 simp2 1167 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾))
33 eqid 2765 . . . . . . . . . . 11 (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
3412, 33hlatjidm 35325 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾)) → ((𝑅𝐹)(join‘𝐾)(𝑅𝐹)) = (𝑅𝐹))
3531, 32, 34syl2anc 579 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → ((𝑅𝐹)(join‘𝐾)(𝑅𝐹)) = (𝑅𝐹))
364, 5, 13trlcnv 36121 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝐹))
372, 3, 36syl2anc 579 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝐹))
3837eqcomd 2771 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝐹))
39 simp3 1168 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺)))
4038, 39oveq12d 6860 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → ((𝑅𝐹)(join‘𝐾)(𝑅𝐹)) = ((𝑅𝐹)(join‘𝐾)(𝑅‘(𝐹𝐺))))
4135, 40eqtr3d 2801 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → (𝑅𝐹) = ((𝑅𝐹)(join‘𝐾)(𝑅‘(𝐹𝐺))))
4215, 30, 413brtr4d 4841 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → (𝑅𝐺)(le‘𝐾)(𝑅𝐹))
43 hlatl 35316 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
4431, 43syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → 𝐾 ∈ AtLat)
45 simp13r 1388 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))
4617, 33, 4, 5, 13trlnidat 36129 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅𝐺) ∈ (Atoms‘𝐾))
472, 8, 45, 46syl3anc 1490 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → (𝑅𝐺) ∈ (Atoms‘𝐾))
4811, 33atcmp 35267 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑅𝐺) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾)) → ((𝑅𝐺)(le‘𝐾)(𝑅𝐹) ↔ (𝑅𝐺) = (𝑅𝐹)))
4944, 47, 32, 48syl3anc 1490 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → ((𝑅𝐺)(le‘𝐾)(𝑅𝐹) ↔ (𝑅𝐺) = (𝑅𝐹)))
5042, 49mpbid 223 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → (𝑅𝐺) = (𝑅𝐹))
5150eqcomd 2771 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺))
52513expia 1150 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾)) → ((𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺)) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)))
5352necon3d 2958 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾)) → ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) → (𝑅𝐹) ≠ (𝑅‘(𝐹𝐺))))
541, 53mpd 15 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾)) → (𝑅𝐹) ≠ (𝑅‘(𝐹𝐺)))
55 simpl3r 1303 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)) → 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))
56 simpl1 1242 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
57 simpl2r 1299 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)) → 𝐺𝑇)
58 eqid 2765 . . . . . . . 8 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
5917, 58, 4, 5, 13trlid0b 36134 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇) → (𝐺 = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑅𝐺) = (0.‘𝐾)))
6056, 57, 59syl2anc 579 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)) → (𝐺 = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑅𝐺) = (0.‘𝐾)))
6160necon3bid 2981 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)) → (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑅𝐺) ≠ (0.‘𝐾)))
6255, 61mpbid 223 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)) → (𝑅𝐺) ≠ (0.‘𝐾))
6362necomd 2992 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)) → (0.‘𝐾) ≠ (𝑅𝐺))
64 simpr 477 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)) → (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾))
65 simpl2l 1297 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)) → 𝐹𝑇)
6617, 58, 4, 5, 13trlid0b 36134 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝐹 = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)))
6756, 65, 66syl2anc 579 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)) → (𝐹 = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)))
6864, 67mpbird 248 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)) → 𝐹 = ( I ↾ 𝐵))
6968coeq1d 5452 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)) → (𝐹𝐺) = (( I ↾ 𝐵) ∘ 𝐺))
7056, 57, 23syl2anc 579 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)) → 𝐺:𝐵1-1-onto𝐵)
7170, 25, 263syl 18 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)) → (( I ↾ 𝐵) ∘ 𝐺) = 𝐺)
7269, 71eqtrd 2799 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)) → (𝐹𝐺) = 𝐺)
7372fveq2d 6379 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)) → (𝑅‘(𝐹𝐺)) = (𝑅𝐺))
7463, 64, 733netr4d 3014 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)) → (𝑅𝐹) ≠ (𝑅‘(𝐹𝐺)))
75 simp1 1166 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
76 simp2l 1256 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝐹𝑇)
7758, 33, 4, 5, 13trlator0 36127 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → ((𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∨ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)))
7875, 76, 77syl2anc 579 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∨ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)))
7954, 74, 78mpjaodan 981 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑅𝐹) ≠ (𝑅‘(𝐹𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  wo 873  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937   class class class wbr 4809   I cid 5184  ccnv 5276  cres 5279  ccom 5281  wf 6064  1-1-ontowf1o 6067  cfv 6068  (class class class)co 6842  Basecbs 16130  lecple 16221  joincjn 17210  0.cp0 17303  Atomscatm 35219  AtLatcal 35220  HLchlt 35306  LHypclh 35940  LTrncltrn 36057  trLctrl 36114
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-riotaBAD 34909
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-iin 4679  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-id 5185  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-undef 7602  df-map 8062  df-proset 17194  df-poset 17212  df-plt 17224  df-lub 17240  df-glb 17241  df-join 17242  df-meet 17243  df-p0 17305  df-p1 17306  df-lat 17312  df-clat 17374  df-oposet 35132  df-ol 35134  df-oml 35135  df-covers 35222  df-ats 35223  df-atl 35254  df-cvlat 35278  df-hlat 35307  df-llines 35454  df-lplanes 35455  df-lvols 35456  df-lines 35457  df-psubsp 35459  df-pmap 35460  df-padd 35752  df-lhyp 35944  df-laut 35945  df-ldil 36060  df-ltrn 36061  df-trl 36115
This theorem is referenced by:  trljco  36696  cdlemh2  36772  cdlemh  36773  cdlemk3  36789  cdlemk12  36806  cdlemk12u  36828  cdlemkfid1N  36877  cdlemk54  36914
  Copyright terms: Public domain W3C validator