Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trlval5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trlval5 38465
Description: The value of the trace of a lattice translation in terms of itself. (Contributed by NM, 19-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
trlval3.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
trlval3.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
trlval3.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
trlval3.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
trlval3.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
trlval3.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
trlval3.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
trlval5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΉ)) ∧ π‘Š))

Proof of Theorem trlval5
StepHypRef Expression
1 trlval3.l . . 3 ≀ = (leβ€˜πΎ)
2 trlval3.j . . 3 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
3 trlval3.m . . 3 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
4 trlval3.a . . 3 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
5 trlval3.h . . 3 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
6 trlval3.t . . 3 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
7 trlval3.r . . 3 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7trlval2 38439 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š))
91, 2, 4, 5, 6, 7trljat1 38442 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΉ)) = (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)))
109oveq1d 7352 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΉ)) ∧ π‘Š) = ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š))
118, 10eqtr4d 2779 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΉ)) ∧ π‘Š))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5092  β€˜cfv 6479  (class class class)co 7337  lecple 17066  joincjn 18126  meetcmee 18127  Atomscatm 37538  HLchlt 37625  LHypclh 38260  LTrncltrn 38377  trLctrl 38434
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-id 5518  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-map 8688  df-proset 18110  df-poset 18128  df-plt 18145  df-lub 18161  df-glb 18162  df-join 18163  df-meet 18164  df-p0 18240  df-p1 18241  df-lat 18247  df-clat 18314  df-oposet 37451  df-ol 37453  df-oml 37454  df-covers 37541  df-ats 37542  df-atl 37573  df-cvlat 37597  df-hlat 37626  df-psubsp 37779  df-pmap 37780  df-padd 38072  df-lhyp 38264  df-laut 38265  df-ldil 38380  df-ltrn 38381  df-trl 38435
This theorem is referenced by:  cdlemk39  39192
  Copyright terms: Public domain W3C validator