Theorem unfilem3 9217

Description: Lemma for proving that the union of two finite sets is finite. (Contributed by NM, 16-Nov-2002.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
unfilem3	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐵 ≈ ((𝐴 +o 𝐵) ∖ 𝐴))

Proof of Theorem unfilem3

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7374	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) → (𝐴 +o 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵))
2		id 22	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) → 𝐴 = if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅))
3	1, 2	difeq12d 4067	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) → ((𝐴 +o 𝐵) ∖ 𝐴) = ((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵) ∖ if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅)))
4	3	breq2d 5097	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) → (𝐵 ≈ ((𝐴 +o 𝐵) ∖ 𝐴) ↔ 𝐵 ≈ ((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵) ∖ if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅))))
5		id 22	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) → 𝐵 = if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅))
6		oveq2 7375	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) → (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)))
7	6	difeq1d 4065	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) → ((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵) ∖ if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅)) = ((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ∖ if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅)))
8	5, 7	breq12d 5098	. 2 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) → (𝐵 ≈ ((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵) ∖ if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅)) ↔ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) ≈ ((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ∖ if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅))))
9		peano1 7840	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ ω
10	9	elimel 4536	. . 3 ⊢ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) ∈ ω
11		ovex 7400	. . . 4 ⊢ (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ∈ V
12	11	difexi 5271	. . 3 ⊢ ((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ∖ if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅)) ∈ V
13	9	elimel 4536	. . . 4 ⊢ if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) ∈ ω
14		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) ↦ (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝑥)) = (𝑥 ∈ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) ↦ (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝑥))
15	13, 10, 14	unfilem2 9216	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) ↦ (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝑥)):if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)–1-1-onto→((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ∖ if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅))
16		f1oen2g 8915	. . 3 ⊢ ((if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) ∈ ω ∧ ((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ∖ if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅)) ∈ V ∧ (𝑥 ∈ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) ↦ (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝑥)):if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)–1-1-onto→((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ∖ if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅))) → if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) ≈ ((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ∖ if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅)))
17	10, 12, 15, 16	mp3an 1464	. 2 ⊢ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) ≈ ((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ∖ if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅))
18	4, 8, 17	dedth2h 4526	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐵 ≈ ((𝐴 +o 𝐵) ∖ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3429   ∖ cdif 3886  ∅c0 4273  ifcif 4466   class class class wbr 5085   ↦ cmpt 5166  –1-1-onto→wf1o 6497  (class class class)co 7367  ωcom 7817   +_o coa 8402   ≈ cen 8890

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-oadd 8409  df-en 8894

This theorem is referenced by: (None)