Theorem unfilem3 9236

Description: Lemma for proving that the union of two finite sets is finite. (Contributed by NM, 16-Nov-2002.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
unfilem3	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐵 ≈ ((𝐴 +o 𝐵) ∖ 𝐴))

Proof of Theorem unfilem3

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7388	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) → (𝐴 +o 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵))
2		id 22	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) → 𝐴 = if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅))
3	1, 2	difeq12d 4072	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) → ((𝐴 +o 𝐵) ∖ 𝐴) = ((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵) ∖ if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅)))
4	3	breq2d 5102	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) → (𝐵 ≈ ((𝐴 +o 𝐵) ∖ 𝐴) ↔ 𝐵 ≈ ((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵) ∖ if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅))))
5		id 22	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) → 𝐵 = if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅))
6		oveq2 7389	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) → (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)))
7	6	difeq1d 4070	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) → ((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵) ∖ if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅)) = ((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ∖ if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅)))
8	5, 7	breq12d 5103	. 2 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) → (𝐵 ≈ ((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵) ∖ if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅)) ↔ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) ≈ ((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ∖ if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅))))
9		peano1 7854	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ ω
10	9	elimel 4540	. . 3 ⊢ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) ∈ ω
11		ovex 7414	. . . 4 ⊢ (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ∈ V
12	11	difexi 5276	. . 3 ⊢ ((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ∖ if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅)) ∈ V
13	9	elimel 4540	. . . 4 ⊢ if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) ∈ ω
14		eqid 2752	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) ↦ (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝑥)) = (𝑥 ∈ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) ↦ (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝑥))
15	13, 10, 14	unfilem2 9235	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) ↦ (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝑥)):if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)–1-1-onto→((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ∖ if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅))
16		f1oen2g 8934	. . 3 ⊢ ((if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) ∈ ω ∧ ((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ∖ if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅)) ∈ V ∧ (𝑥 ∈ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) ↦ (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝑥)):if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)–1-1-onto→((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ∖ if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅))) → if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) ≈ ((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ∖ if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅)))
17	10, 12, 15, 16	mp3an 1472	. 2 ⊢ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) ≈ ((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ∖ if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅))
18	4, 8, 17	dedth2h 4530	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐵 ≈ ((𝐴 +o 𝐵) ∖ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1550   ∈ wcel 2132  Vcvv 3444   ∖ cdif 3892  ∅c0 4276  ifcif 4470   class class class wbr 5090   ↦ cmpt 5171  –1-1-onto→wf1o 6505  (class class class)co 7381  ωcom 7831   +_o coa 8418   ≈ cen 8909

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-ral 3067  df-rex 3077  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4856  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-om 7832  df-2nd 7956  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-rdg 8365  df-oadd 8425  df-en 8913

This theorem is referenced by: (None)