Theorem unfilem3 9343

Description: Lemma for proving that the union of two finite sets is finite. (Contributed by NM, 16-Nov-2002.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
unfilem3	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐵 ≈ ((𝐴 +o 𝐵) ∖ 𝐴))

Proof of Theorem unfilem3

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7438	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) → (𝐴 +o 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵))
2		id 22	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) → 𝐴 = if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅))
3	1, 2	difeq12d 4137	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) → ((𝐴 +o 𝐵) ∖ 𝐴) = ((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵) ∖ if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅)))
4	3	breq2d 5160	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) → (𝐵 ≈ ((𝐴 +o 𝐵) ∖ 𝐴) ↔ 𝐵 ≈ ((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵) ∖ if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅))))
5		id 22	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) → 𝐵 = if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅))
6		oveq2 7439	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) → (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)))
7	6	difeq1d 4135	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) → ((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵) ∖ if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅)) = ((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ∖ if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅)))
8	5, 7	breq12d 5161	. 2 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) → (𝐵 ≈ ((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵) ∖ if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅)) ↔ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) ≈ ((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ∖ if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅))))
9		peano1 7911	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ ω
10	9	elimel 4600	. . 3 ⊢ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) ∈ ω
11		ovex 7464	. . . 4 ⊢ (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ∈ V
12	11	difexi 5336	. . 3 ⊢ ((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ∖ if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅)) ∈ V
13	9	elimel 4600	. . . 4 ⊢ if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) ∈ ω
14		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) ↦ (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝑥)) = (𝑥 ∈ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) ↦ (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝑥))
15	13, 10, 14	unfilem2 9342	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) ↦ (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝑥)):if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)–1-1-onto→((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ∖ if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅))
16		f1oen2g 9008	. . 3 ⊢ ((if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) ∈ ω ∧ ((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ∖ if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅)) ∈ V ∧ (𝑥 ∈ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) ↦ (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝑥)):if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)–1-1-onto→((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ∖ if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅))) → if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) ≈ ((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ∖ if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅)))
17	10, 12, 15, 16	mp3an 1460	. 2 ⊢ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) ≈ ((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ∖ if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅))
18	4, 8, 17	dedth2h 4590	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐵 ≈ ((𝐴 +o 𝐵) ∖ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  Vcvv 3478   ∖ cdif 3960  ∅c0 4339  ifcif 4531   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  –1-1-onto→wf1o 6562  (class class class)co 7431  ωcom 7887   +_o coa 8502   ≈ cen 8981

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-oadd 8509  df-en 8985

This theorem is referenced by: (None)