MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unfilem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unfilem3 9345
Description: Lemma for proving that the union of two finite sets is finite. (Contributed by NM, 16-Nov-2002.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
unfilem3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐵 ≈ ((𝐴 +o 𝐵) ∖ 𝐴))

Proof of Theorem unfilem3
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 7433 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) → (𝐴 +o 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵))
2 id 22 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) → 𝐴 = if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅))
31, 2difeq12d 4123 . . 3 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) → ((𝐴 +o 𝐵) ∖ 𝐴) = ((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵) ∖ if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅)))
43breq2d 5164 . 2 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) → (𝐵 ≈ ((𝐴 +o 𝐵) ∖ 𝐴) ↔ 𝐵 ≈ ((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵) ∖ if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅))))
5 id 22 . . 3 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) → 𝐵 = if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅))
6 oveq2 7434 . . . 4 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) → (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)))
76difeq1d 4121 . . 3 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) → ((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵) ∖ if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅)) = ((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ∖ if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅)))
85, 7breq12d 5165 . 2 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) → (𝐵 ≈ ((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝐵) ∖ if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅)) ↔ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) ≈ ((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ∖ if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅))))
9 peano1 7902 . . . 4 ∅ ∈ ω
109elimel 4601 . . 3 if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) ∈ ω
11 ovex 7459 . . . 4 (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ∈ V
1211difexi 5334 . . 3 ((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ∖ if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅)) ∈ V
139elimel 4601 . . . 4 if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) ∈ ω
14 eqid 2728 . . . 4 (𝑥 ∈ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) ↦ (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝑥)) = (𝑥 ∈ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) ↦ (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝑥))
1513, 10, 14unfilem2 9344 . . 3 (𝑥 ∈ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) ↦ (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝑥)):if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)–1-1-onto→((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ∖ if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅))
16 f1oen2g 8997 . . 3 ((if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) ∈ ω ∧ ((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ∖ if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅)) ∈ V ∧ (𝑥 ∈ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) ↦ (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o 𝑥)):if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)–1-1-onto→((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ∖ if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅))) → if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) ≈ ((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ∖ if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅)))
1710, 12, 15, 16mp3an 1457 . 2 if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) ≈ ((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +o if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ∖ if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅))
184, 8, 17dedth2h 4591 1 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → 𝐵 ≈ ((𝐴 +o 𝐵) ∖ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  Vcvv 3473  cdif 3946  c0 4326  ifcif 4532   class class class wbr 5152  cmpt 5235  1-1-ontowf1o 6552  (class class class)co 7426  ωcom 7878   +o coa 8492  cen 8969
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-oadd 8499  df-en 8973
This theorem is referenced by:  unfiOLD  9346
  Copyright terms: Public domain W3C validator