Theorem wuncss 10645

Description: The weak universe closure is a subset of any other weak universe containing the set. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
wuncss	⊢ ((𝑈 ∈ WUni ∧ 𝐴 ⊆ 𝑈) → (wUniCl‘𝐴) ⊆ 𝑈)

Proof of Theorem wuncss

Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssexg 5265	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑈 ∧ 𝑈 ∈ WUni) → 𝐴 ∈ V)
2	1	ancoms 458	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ WUni ∧ 𝐴 ⊆ 𝑈) → 𝐴 ∈ V)
3		wuncval 10642	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (wUniCl‘𝐴) = ∩ {𝑢 ∈ WUni ∣ 𝐴 ⊆ 𝑢})
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ WUni ∧ 𝐴 ⊆ 𝑈) → (wUniCl‘𝐴) = ∩ {𝑢 ∈ WUni ∣ 𝐴 ⊆ 𝑢})
5		sseq2 3957	. . 3 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (𝐴 ⊆ 𝑢 ↔ 𝐴 ⊆ 𝑈))
6	5	intminss 4926	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ WUni ∧ 𝐴 ⊆ 𝑈) → ∩ {𝑢 ∈ WUni ∣ 𝐴 ⊆ 𝑢} ⊆ 𝑈)
7	4, 6	eqsstrd 3965	1 ⊢ ((𝑈 ∈ WUni ∧ 𝐴 ⊆ 𝑈) → (wUniCl‘𝐴) ⊆ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {crab 3396  Vcvv 3437   ⊆ wss 3898  ∩ cint 4899  ‘cfv 6488  WUnicwun 10600  wUniClcwunm 10601

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-inf2 9540

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-ov 7357  df-om 7805  df-2nd 7930  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-1o 8393  df-wun 10602  df-wunc 10603

This theorem is referenced by:  wuncidm  10646  wuncval2  10647