MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wuncss Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem wuncss 10746
Description: The weak universe closure is a subset of any other weak universe containing the set. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
wuncss ((π‘ˆ ∈ WUni ∧ 𝐴 βŠ† π‘ˆ) β†’ (wUniClβ€˜π΄) βŠ† π‘ˆ)
Proof of Theorem wuncss
Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssexg 5323 . . . 4 ((𝐴 βŠ† π‘ˆ ∧ π‘ˆ ∈ WUni) β†’ 𝐴 ∈ V)
21ancoms 458 . . 3 ((π‘ˆ ∈ WUni ∧ 𝐴 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝐴 ∈ V)
3 wuncval 10743 . . 3 (𝐴 ∈ V β†’ (wUniClβ€˜π΄) = ∩ {𝑒 ∈ WUni ∣ 𝐴 βŠ† 𝑒})
42, 3syl 17 . 2 ((π‘ˆ ∈ WUni ∧ 𝐴 βŠ† π‘ˆ) β†’ (wUniClβ€˜π΄) = ∩ {𝑒 ∈ WUni ∣ 𝐴 βŠ† 𝑒})
5 sseq2 4008 . . 3 (𝑒 = π‘ˆ β†’ (𝐴 βŠ† 𝑒 ↔ 𝐴 βŠ† π‘ˆ))
65intminss 4978 . 2 ((π‘ˆ ∈ WUni ∧ 𝐴 βŠ† π‘ˆ) β†’ ∩ {𝑒 ∈ WUni ∣ 𝐴 βŠ† 𝑒} βŠ† π‘ˆ)
74, 6eqsstrd 4020 1 ((π‘ˆ ∈ WUni ∧ 𝐴 βŠ† π‘ˆ) β†’ (wUniClβ€˜π΄) βŠ† π‘ˆ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  {crab 3431  Vcvv 3473   βŠ† wss 3948  βˆ© cint 4950  β€˜cfv 6543  WUnicwun 10701  wUniClcwunm 10702
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9642
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7415  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-wun 10703  df-wunc 10704
This theorem is referenced by:  wuncidm  10747  wuncval2  10748
  Copyright terms: Public domain W3C validator