Theorem wuncss 10161

Description: The weak universe closure is a subset of any other weak universe containing the set. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
wuncss	⊢ ((𝑈 ∈ WUni ∧ 𝐴 ⊆ 𝑈) → (wUniCl‘𝐴) ⊆ 𝑈)

Proof of Theorem wuncss

Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssexg 5219	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑈 ∧ 𝑈 ∈ WUni) → 𝐴 ∈ V)
2	1	ancoms 461	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ WUni ∧ 𝐴 ⊆ 𝑈) → 𝐴 ∈ V)
3		wuncval 10158	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (wUniCl‘𝐴) = ∩ {𝑢 ∈ WUni ∣ 𝐴 ⊆ 𝑢})
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ WUni ∧ 𝐴 ⊆ 𝑈) → (wUniCl‘𝐴) = ∩ {𝑢 ∈ WUni ∣ 𝐴 ⊆ 𝑢})
5		sseq2 3992	. . 3 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (𝐴 ⊆ 𝑢 ↔ 𝐴 ⊆ 𝑈))
6	5	intminss 4894	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ WUni ∧ 𝐴 ⊆ 𝑈) → ∩ {𝑢 ∈ WUni ∣ 𝐴 ⊆ 𝑢} ⊆ 𝑈)
7	4, 6	eqsstrd 4004	1 ⊢ ((𝑈 ∈ WUni ∧ 𝐴 ⊆ 𝑈) → (wUniCl‘𝐴) ⊆ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  {crab 3142  Vcvv 3494   ⊆ wss 3935  ∩ cint 4868  ‘cfv 6349  WUnicwun 10116  wUniClcwunm 10117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-inf2 9098

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-om 7575  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-wun 10118  df-wunc 10119

This theorem is referenced by:  wuncidm  10162  wuncval2  10163