MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wuncss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wuncss 10722
Description: The weak universe closure is a subset of any other weak universe containing the set. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
wuncss ((𝑈 ∈ WUni ∧ 𝐴𝑈) → (wUniCl‘𝐴) ⊆ 𝑈)

Proof of Theorem wuncss
Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssexg 5316 . . . 4 ((𝐴𝑈𝑈 ∈ WUni) → 𝐴 ∈ V)
21ancoms 459 . . 3 ((𝑈 ∈ WUni ∧ 𝐴𝑈) → 𝐴 ∈ V)
3 wuncval 10719 . . 3 (𝐴 ∈ V → (wUniCl‘𝐴) = {𝑢 ∈ WUni ∣ 𝐴𝑢})
42, 3syl 17 . 2 ((𝑈 ∈ WUni ∧ 𝐴𝑈) → (wUniCl‘𝐴) = {𝑢 ∈ WUni ∣ 𝐴𝑢})
5 sseq2 4004 . . 3 (𝑢 = 𝑈 → (𝐴𝑢𝐴𝑈))
65intminss 4971 . 2 ((𝑈 ∈ WUni ∧ 𝐴𝑈) → {𝑢 ∈ WUni ∣ 𝐴𝑢} ⊆ 𝑈)
74, 6eqsstrd 4016 1 ((𝑈 ∈ WUni ∧ 𝐴𝑈) → (wUniCl‘𝐴) ⊆ 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  {crab 3431  Vcvv 3473  wss 3944   cint 4943  cfv 6532  WUnicwun 10677  wUniClcwunm 10678
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-inf2 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-ov 7396  df-om 7839  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-wun 10679  df-wunc 10680
This theorem is referenced by:  wuncidm  10723  wuncval2  10724
  Copyright terms: Public domain W3C validator