MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  add4d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem add4d 10857
Description: Rearrangement of 4 terms in a sum. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
addd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
addd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
addd.3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
add4d.4 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
add4d (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐴 + 𝐶) + (𝐵 + 𝐷)))

Proof of Theorem add4d
StepHypRef Expression
1 addd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 addd.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 addd.3 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
4 add4d.4 . 2 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
5 add4 10849 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐴 + 𝐶) + (𝐵 + 𝐷)))
61, 2, 3, 4, 5syl22anc 836 1 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐴 + 𝐶) + (𝐵 + 𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1530  wcel 2107  (class class class)co 7148  cc 10524   + caddc 10529
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4838  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-id 5459  df-po 5473  df-so 5474  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-ov 7151  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-ltxr 10669
This theorem is referenced by:  binom3  13575  readd  14475  imadd  14483  bhmafibid1cn  14813  bhmafibid2cn  14814  bpoly4  15403  efi4p  15480  sadcaddlem  15796  sadadd2lem  15798  4sqlem11  16281  vdwlem6  16312  cphipval2  23759  ovolunlem1a  24012  uniioombllem3  24101  itgadd  24340  itgmulc2  24349  tanarg  25115  binom4  25341  dquart  25344  quart1  25347  axeuclidlem  26662  axcontlem8  26671  golem1  29962  archiabllem2c  30738  madjusmdetlem4  30981  itgaddnclem2  34818  itgaddnc  34819  itgmulc2nc  34827  dvnmul  42093  stoweidlem13  42164  sge0xaddlem1  42581  opoeALTV  43680  itsclc0xyqsolr  44588
  Copyright terms: Public domain W3C validator