MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  add4d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem add4d 11391
Description: Rearrangement of 4 terms in a sum. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
addd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
addd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
addd.3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
add4d.4 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
add4d (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐴 + 𝐶) + (𝐵 + 𝐷)))

Proof of Theorem add4d
StepHypRef Expression
1 addd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 addd.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 addd.3 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
4 add4d.4 . 2 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
5 add4 11383 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐴 + 𝐶) + (𝐵 + 𝐷)))
61, 2, 3, 4, 5syl22anc 838 1 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐴 + 𝐶) + (𝐵 + 𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2107  (class class class)co 7361  cc 11057   + caddc 11062
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-ltxr 11202
This theorem is referenced by:  binom3  14136  readd  15020  imadd  15028  bhmafibid1cn  15357  bhmafibid2cn  15358  bpoly4  15950  efi4p  16027  sadcaddlem  16345  sadadd2lem  16347  4sqlem11  16835  vdwlem6  16866  cphipval2  24628  ovolunlem1a  24883  uniioombllem3  24972  itgadd  25212  itgmulc2  25221  tanarg  25997  binom4  26223  dquart  26226  quart1  26229  axeuclidlem  27960  axcontlem8  27969  golem1  31262  archiabllem2c  32087  madjusmdetlem4  32475  itgaddnclem2  36187  itgaddnc  36188  itgmulc2nc  36196  dvnmul  44274  stoweidlem13  44344  sge0xaddlem1  44764  opoeALTV  45965  itsclc0xyqsolr  46945
  Copyright terms: Public domain W3C validator