MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xkotop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xkotop 22845
Description: The compact-open topology is a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
xkotop ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) β†’ (𝑆 ↑ko 𝑅) ∈ Top)

Proof of Theorem xkotop
Dummy variables 𝑓 π‘˜ 𝑣 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2736 . . 3 βˆͺ 𝑅 = βˆͺ 𝑅
2 eqid 2736 . . 3 {π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp} = {π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp}
3 eqid 2736 . . 3 (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}) = (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣})
41, 2, 3xkoval 22844 . 2 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) β†’ (𝑆 ↑ko 𝑅) = (topGenβ€˜(fiβ€˜ran (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}))))
5 fibas 22233 . . 3 (fiβ€˜ran (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣})) ∈ TopBases
6 tgcl 22225 . . 3 ((fiβ€˜ran (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣})) ∈ TopBases β†’ (topGenβ€˜(fiβ€˜ran (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}))) ∈ Top)
75, 6ax-mp 5 . 2 (topGenβ€˜(fiβ€˜ran (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}))) ∈ Top
84, 7eqeltrdi 2845 1 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) β†’ (𝑆 ↑ko 𝑅) ∈ Top)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2105  {crab 3403   βŠ† wss 3898  π’« cpw 4547  βˆͺ cuni 4852  ran crn 5621   β€œ cima 5623  β€˜cfv 6479  (class class class)co 7337   ∈ cmpo 7339  ficfi 9267   β†Ύt crest 17228  topGenctg 17245  Topctop 22148  TopBasesctb 22201   Cn ccn 22481  Compccmp 22643   ↑ko cxko 22818
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-int 4895  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-en 8805  df-fin 8808  df-fi 9268  df-topgen 17251  df-top 22149  df-bases 22202  df-xko 22820
This theorem is referenced by:  xkotopon  22857  xkohaus  22910  xkoptsub  22911  xkococnlem  22916  xkococn  22917  xkohmeo  23072
  Copyright terms: Public domain W3C validator