MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xkotop Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem xkotop 23312
Description: The compact-open topology is a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
xkotop ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) β†’ (𝑆 ↑ko 𝑅) ∈ Top)
Proof of Theorem xkotop
Dummy variables 𝑓 π‘˜ 𝑣 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2732 . . 3 βˆͺ 𝑅 = βˆͺ 𝑅
2 eqid 2732 . . 3 {π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp} = {π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp}
3 eqid 2732 . . 3 (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}) = (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣})
41, 2, 3xkoval 23311 . 2 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) β†’ (𝑆 ↑ko 𝑅) = (topGenβ€˜(fiβ€˜ran (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}))))
5 fibas 22700 . . 3 (fiβ€˜ran (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣})) ∈ TopBases
6 tgcl 22692 . . 3 ((fiβ€˜ran (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣})) ∈ TopBases β†’ (topGenβ€˜(fiβ€˜ran (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}))) ∈ Top)
75, 6ax-mp 5 . 2 (topGenβ€˜(fiβ€˜ran (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}))) ∈ Top
84, 7eqeltrdi 2841 1 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) β†’ (𝑆 ↑ko 𝑅) ∈ Top)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106  {crab 3432   βŠ† wss 3948  π’« cpw 4602  βˆͺ cuni 4908  ran crn 5677   β€œ cima 5679  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413  ficfi 9407   β†Ύt crest 17370  topGenctg 17387  Topctop 22615  TopBasesctb 22668   Cn ccn 22948  Compccmp 23110   ↑ko cxko 23285
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-en 8942  df-fin 8945  df-fi 9408  df-topgen 17393  df-top 22616  df-bases 22669  df-xko 23287
This theorem is referenced by:  xkotopon  23324  xkohaus  23377  xkoptsub  23378  xkococnlem  23383  xkococn  23384  xkohmeo  23539
  Copyright terms: Public domain W3C validator