Theorem xkotop 23531

Description: The compact-open topology is a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xkotop	⊢ ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) → (𝑆 ↑ko 𝑅) ∈ Top)

Proof of Theorem xkotop

Dummy variables 𝑓 𝑘 𝑣 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . 3 ⊢ ∪ 𝑅 = ∪ 𝑅
2		eqid 2736	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ 𝒫 ∪ 𝑅 ∣ (𝑅 ↾t 𝑥) ∈ Comp} = {𝑥 ∈ 𝒫 ∪ 𝑅 ∣ (𝑅 ↾t 𝑥) ∈ Comp}
3		eqid 2736	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 ∪ 𝑅 ∣ (𝑅 ↾t 𝑥) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 “ 𝑘) ⊆ 𝑣}) = (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 ∪ 𝑅 ∣ (𝑅 ↾t 𝑥) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 “ 𝑘) ⊆ 𝑣})
4	1, 2, 3	xkoval 23530	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) → (𝑆 ↑ko 𝑅) = (topGen‘(fi‘ran (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 ∪ 𝑅 ∣ (𝑅 ↾t 𝑥) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 “ 𝑘) ⊆ 𝑣}))))
5		fibas 22920	. . 3 ⊢ (fi‘ran (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 ∪ 𝑅 ∣ (𝑅 ↾t 𝑥) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 “ 𝑘) ⊆ 𝑣})) ∈ TopBases
6		tgcl 22912	. . 3 ⊢ ((fi‘ran (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 ∪ 𝑅 ∣ (𝑅 ↾t 𝑥) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 “ 𝑘) ⊆ 𝑣})) ∈ TopBases → (topGen‘(fi‘ran (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 ∪ 𝑅 ∣ (𝑅 ↾t 𝑥) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 “ 𝑘) ⊆ 𝑣}))) ∈ Top)
7	5, 6	ax-mp 5	. 2 ⊢ (topGen‘(fi‘ran (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 ∪ 𝑅 ∣ (𝑅 ↾t 𝑥) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 “ 𝑘) ⊆ 𝑣}))) ∈ Top
8	4, 7	eqeltrdi 2843	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) → (𝑆 ↑ko 𝑅) ∈ Top)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  {crab 3420   ⊆ wss 3931  𝒫 cpw 4580  ∪ cuni 4888  ran crn 5660   “ cima 5662  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ∈ cmpo 7412  ficfi 9427   ↾_t crest 17439  topGenctg 17456  Topctop 22836  TopBasesctb 22888   Cn ccn 23167  Compccmp 23329   ↑_ko cxko 23504

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-en 8965  df-fin 8968  df-fi 9428  df-topgen 17462  df-top 22837  df-bases 22889  df-xko 23506

This theorem is referenced by:  xkotopon  23543  xkohaus  23596  xkoptsub  23597  xkococnlem  23602  xkococn  23603  xkohmeo  23758