MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xkotop Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem xkotop 23092
Description: The compact-open topology is a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
xkotop ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) β†’ (𝑆 ↑ko 𝑅) ∈ Top)
Proof of Theorem xkotop
Dummy variables 𝑓 π‘˜ 𝑣 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . 3 βˆͺ 𝑅 = βˆͺ 𝑅
2 eqid 2733 . . 3 {π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp} = {π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp}
3 eqid 2733 . . 3 (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}) = (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣})
41, 2, 3xkoval 23091 . 2 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) β†’ (𝑆 ↑ko 𝑅) = (topGenβ€˜(fiβ€˜ran (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}))))
5 fibas 22480 . . 3 (fiβ€˜ran (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣})) ∈ TopBases
6 tgcl 22472 . . 3 ((fiβ€˜ran (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣})) ∈ TopBases β†’ (topGenβ€˜(fiβ€˜ran (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}))) ∈ Top)
75, 6ax-mp 5 . 2 (topGenβ€˜(fiβ€˜ran (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝑅 ∣ (𝑅 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ {𝑓 ∈ (𝑅 Cn 𝑆) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}))) ∈ Top
84, 7eqeltrdi 2842 1 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) β†’ (𝑆 ↑ko 𝑅) ∈ Top)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107  {crab 3433   βŠ† wss 3949  π’« cpw 4603  βˆͺ cuni 4909  ran crn 5678   β€œ cima 5680  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ∈ cmpo 7411  ficfi 9405   β†Ύt crest 17366  topGenctg 17383  Topctop 22395  TopBasesctb 22448   Cn ccn 22728  Compccmp 22890   ↑ko cxko 23065
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-en 8940  df-fin 8943  df-fi 9406  df-topgen 17389  df-top 22396  df-bases 22449  df-xko 23067
This theorem is referenced by:  xkotopon  23104  xkohaus  23157  xkoptsub  23158  xkococnlem  23163  xkococn  23164  xkohmeo  23319
  Copyright terms: Public domain W3C validator