Theorem xkotopon 23583

Description: The base set of the compact-open topology. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xkouni.1	⊢ 𝐽 = (𝑆 ↑ko 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
xkotopon	⊢ ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) → 𝐽 ∈ (TopOn‘(𝑅 Cn 𝑆)))

Proof of Theorem xkotopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xkouni.1	. . 3 ⊢ 𝐽 = (𝑆 ↑ko 𝑅)
2		xkotop 23571	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) → (𝑆 ↑ko 𝑅) ∈ Top)
3	1, 2	eqeltrid 2843	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) → 𝐽 ∈ Top)
4	1	xkouni 23582	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) → (𝑅 Cn 𝑆) = ∪ 𝐽)
5		istopon 22895	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘(𝑅 Cn 𝑆)) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ (𝑅 Cn 𝑆) = ∪ 𝐽))
6	3, 4, 5	sylanbrc 589	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) → 𝐽 ∈ (TopOn‘(𝑅 Cn 𝑆)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∪ cuni 4838  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  Topctop 22876  TopOnctopon 22893   Cn ccn 23207   ↑_ko cxko 23544

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-1o 8395  df-2o 8396  df-en 8884  df-fin 8887  df-fi 9314  df-rest 17376  df-topgen 17397  df-top 22877  df-topon 22894  df-bases 22929  df-cmp 23370  df-xko 23546

This theorem is referenced by:  xkoccn  23602  xkopjcn  23639  xkoco1cn  23640  xkoco2cn  23641  xkococn  23643  cnmptkp  23663  cnmptk1  23664  cnmpt1k  23665  cnmptkk  23666  xkofvcn  23667  cnmptk1p  23668  cnmptk2  23669  xkoinjcn  23670  xkocnv  23797  xkohmeo  23798  efmndtmd  24084  symgtgp  24089