MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xkotopon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xkotopon 22180
Description: The base set of the compact-open topology. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xkouni.1 𝐽 = (𝑆ko 𝑅)
Assertion
Ref Expression
xkotopon ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) → 𝐽 ∈ (TopOn‘(𝑅 Cn 𝑆)))

Proof of Theorem xkotopon
StepHypRef Expression
1 xkouni.1 . . 3 𝐽 = (𝑆ko 𝑅)
2 xkotop 22168 . . 3 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) → (𝑆ko 𝑅) ∈ Top)
31, 2eqeltrid 2915 . 2 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) → 𝐽 ∈ Top)
41xkouni 22179 . 2 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) → (𝑅 Cn 𝑆) = 𝐽)
5 istopon 21492 . 2 (𝐽 ∈ (TopOn‘(𝑅 Cn 𝑆)) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ (𝑅 Cn 𝑆) = 𝐽))
63, 4, 5sylanbrc 585 1 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) → 𝐽 ∈ (TopOn‘(𝑅 Cn 𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398   = wceq 1537  wcel 2114   cuni 4810  cfv 6327  (class class class)co 7129  Topctop 21473  TopOnctopon 21490   Cn ccn 21804  ko cxko 22141
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5162  ax-sep 5175  ax-nul 5182  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7435
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rab 3134  df-v 3472  df-sbc 3749  df-csb 3857  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4811  df-int 4849  df-iun 4893  df-br 5039  df-opab 5101  df-mpt 5119  df-tr 5145  df-id 5432  df-eprel 5437  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6286  df-fun 6329  df-fn 6330  df-f 6331  df-f1 6332  df-fo 6333  df-f1o 6334  df-fv 6335  df-ov 7132  df-oprab 7133  df-mpo 7134  df-om 7555  df-1st 7663  df-2nd 7664  df-wrecs 7921  df-recs 7982  df-rdg 8020  df-1o 8076  df-oadd 8080  df-er 8263  df-en 8484  df-fin 8487  df-fi 8849  df-rest 16671  df-topgen 16692  df-top 21474  df-topon 21491  df-bases 21526  df-cmp 21967  df-xko 22143
This theorem is referenced by:  xkoccn  22199  xkopjcn  22236  xkoco1cn  22237  xkoco2cn  22238  xkococn  22240  cnmptkp  22260  cnmptk1  22261  cnmpt1k  22262  cnmptkk  22263  xkofvcn  22264  cnmptk1p  22265  cnmptk2  22266  xkoinjcn  22267  xkocnv  22394  xkohmeo  22395  efmndtmd  22681  symgtgp  22686
  Copyright terms: Public domain W3C validator