Theorem xkotopon 23919

Description: The base set of the compact-open topology. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xkouni.1	⊢ 𝐽 = (𝑆 ↑ko 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
xkotopon	⊢ ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) → 𝐽 ∈ (TopOn‘(𝑅 Cn 𝑆)))

Proof of Theorem xkotopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xkouni.1	. . 3 ⊢ 𝐽 = (𝑆 ↑ko 𝑅)
2		xkotop 23907	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) → (𝑆 ↑ko 𝑅) ∈ Top)
3	1, 2	eqeltrid 2865	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) → 𝐽 ∈ Top)
4	1	xkouni 23918	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) → (𝑅 Cn 𝑆) = ∪ 𝐽)
5		istopon 23230	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘(𝑅 Cn 𝑆)) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ (𝑅 Cn 𝑆) = ∪ 𝐽))
6	3, 4, 5	sylanbrc 595	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) → 𝐽 ∈ (TopOn‘(𝑅 Cn 𝑆)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∪ cuni 4867  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Topctop 23211  TopOnctopon 23228   Cn ccn 23542   ↑_ko cxko 23880

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-1o 8476  df-2o 8477  df-en 8974  df-fin 8977  df-fi 9403  df-rest 17593  df-topgen 17614  df-top 23212  df-topon 23229  df-bases 23264  df-cmp 23705  df-xko 23882

This theorem is used by:  xkoccn  23938  xkopjcn  23975  xkoco1cn  23976  xkoco2cn  23977  xkococn  23979  cnmptkp  23999  cnmptk1  24000  cnmpt1k  24001  cnmptkk  24002  xkofvcn  24003  cnmptk1p  24004  cnmptk2  24005  xkoinjcn  24006  xkocnv  24133  xkohmeo  24134  efmndtmd  24420  symgtgp  24425