Theorem xkotopon 23810

Description: The base set of the compact-open topology. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xkouni.1	⊢ 𝐽 = (𝑆 ↑ko 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
xkotopon	⊢ ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) → 𝐽 ∈ (TopOn‘(𝑅 Cn 𝑆)))

Proof of Theorem xkotopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xkouni.1	. . 3 ⊢ 𝐽 = (𝑆 ↑ko 𝑅)
2		xkotop 23798	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) → (𝑆 ↑ko 𝑅) ∈ Top)
3	1, 2	eqeltrid 2869	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) → 𝐽 ∈ Top)
4	1	xkouni 23809	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) → (𝑅 Cn 𝑆) = ∪ 𝐽)
5		istopon 23121	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘(𝑅 Cn 𝑆)) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ (𝑅 Cn 𝑆) = ∪ 𝐽))
6	3, 4, 5	sylanbrc 595	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) → 𝐽 ∈ (TopOn‘(𝑅 Cn 𝑆)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∪ cuni 4874  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  Topctop 23102  TopOnctopon 23119   Cn ccn 23433   ↑_ko cxko 23771

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-1o 8459  df-2o 8460  df-en 8950  df-fin 8953  df-fi 9378  df-rest 17499  df-topgen 17520  df-top 23103  df-topon 23120  df-bases 23155  df-cmp 23596  df-xko 23773

This theorem is used by:  xkoccn  23829  xkopjcn  23866  xkoco1cn  23867  xkoco2cn  23868  xkococn  23870  cnmptkp  23890  cnmptk1  23891  cnmpt1k  23892  cnmptkk  23893  xkofvcn  23894  cnmptk1p  23895  cnmptk2  23896  xkoinjcn  23897  xkocnv  24024  xkohmeo  24025  efmndtmd  24311  symgtgp  24316