Theorem xkotopon 23532

Description: The base set of the compact-open topology. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xkouni.1	⊢ 𝐽 = (𝑆 ↑ko 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
xkotopon	⊢ ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) → 𝐽 ∈ (TopOn‘(𝑅 Cn 𝑆)))

Proof of Theorem xkotopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xkouni.1	. . 3 ⊢ 𝐽 = (𝑆 ↑ko 𝑅)
2		xkotop 23520	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) → (𝑆 ↑ko 𝑅) ∈ Top)
3	1, 2	eqeltrid 2833	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) → 𝐽 ∈ Top)
4	1	xkouni 23531	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) → (𝑅 Cn 𝑆) = ∪ 𝐽)
5		istopon 22842	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘(𝑅 Cn 𝑆)) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ (𝑅 Cn 𝑆) = ∪ 𝐽))
6	3, 4, 5	sylanbrc 581	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) → 𝐽 ∈ (TopOn‘(𝑅 Cn 𝑆)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∪ cuni 4912  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426  Topctop 22823  TopOnctopon 22840   Cn ccn 23156   ↑_ko cxko 23493

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-1o 8495  df-er 8733  df-en 8973  df-fin 8976  df-fi 9444  df-rest 17413  df-topgen 17434  df-top 22824  df-topon 22841  df-bases 22877  df-cmp 23319  df-xko 23495

This theorem is referenced by:  xkoccn  23551  xkopjcn  23588  xkoco1cn  23589  xkoco2cn  23590  xkococn  23592  cnmptkp  23612  cnmptk1  23613  cnmpt1k  23614  cnmptkk  23615  xkofvcn  23616  cnmptk1p  23617  cnmptk2  23618  xkoinjcn  23619  xkocnv  23746  xkohmeo  23747  efmndtmd  24033  symgtgp  24038