Theorem esummulc1 34755

Description: An extended sum multiplied by a constant. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jul-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
esummulc2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
esummulc2.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
esummulc2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))

Assertion

Ref	Expression
esummulc1	⊢ (𝜑 → (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ·e 𝐶) = Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐵 ·e 𝐶))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝑉   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem esummulc1

Dummy variables 𝑧 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . 3 ⊢ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
2		esummulc2.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		esummulc2.b	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
4		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶)) = (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶))
5		esummulc2.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
6	1, 4, 5	xrge0mulc1cn 34615	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶)) ∈ (((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) Cn ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))))
7		eqidd 2761	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶)) = (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶)))
8		oveq1 7427	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 0 → (𝑧 ·e 𝐶) = (0 ·e 𝐶))
9		icossxr 13563	. . . . . . 7 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ*
10	9, 5	sselid 3906	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
11		xmul02 13398	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ* → (0 ·e 𝐶) = 0)
12	10, 11	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 ·e 𝐶) = 0)
13	8, 12	sylan9eqr 2817	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = 0) → (𝑧 ·e 𝐶) = 0)
14		0e0iccpnf 13590	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ (0[,]+∞)
15	14	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0[,]+∞))
16	7, 13, 15, 15	fvmptd 7001	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶))‘0) = 0)
17		simp2 1155	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → 𝑥 ∈ (0[,]+∞))
18		simp3 1156	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → 𝑦 ∈ (0[,]+∞))
19		icossicc 13567	. . . . . 6 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
20	5	3ad2ant1 1151	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
21	19, 20	sselid 3906	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
22		xrge0adddir 33621	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑥 +e 𝑦) ·e 𝐶) = ((𝑥 ·e 𝐶) +e (𝑦 ·e 𝐶)))
23	17, 18, 21, 22	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑥 +e 𝑦) ·e 𝐶) = ((𝑥 ·e 𝐶) +e (𝑦 ·e 𝐶)))
24		eqidd 2761	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶)) = (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶)))
25		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑧 = (𝑥 +e 𝑦)) → 𝑧 = (𝑥 +e 𝑦))
26	25	oveq1d 7435	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑧 = (𝑥 +e 𝑦)) → (𝑧 ·e 𝐶) = ((𝑥 +e 𝑦) ·e 𝐶))
27		ge0xaddcl 13593	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑥 +e 𝑦) ∈ (0[,]+∞))
28	27	3adant1 1148	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑥 +e 𝑦) ∈ (0[,]+∞))
29		ovexd 7455	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑥 +e 𝑦) ·e 𝐶) ∈ V)
30	24, 26, 28, 29	fvmptd 7001	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶))‘(𝑥 +e 𝑦)) = ((𝑥 +e 𝑦) ·e 𝐶))
31		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑧 = 𝑥) → 𝑧 = 𝑥)
32	31	oveq1d 7435	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑧 = 𝑥) → (𝑧 ·e 𝐶) = (𝑥 ·e 𝐶))
33		ovexd 7455	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑥 ·e 𝐶) ∈ V)
34	24, 32, 17, 33	fvmptd 7001	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶))‘𝑥) = (𝑥 ·e 𝐶))
35		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑧 = 𝑦) → 𝑧 = 𝑦)
36	35	oveq1d 7435	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑧 = 𝑦) → (𝑧 ·e 𝐶) = (𝑦 ·e 𝐶))
37		ovexd 7455	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑦 ·e 𝐶) ∈ V)
38	24, 36, 18, 37	fvmptd 7001	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶))‘𝑦) = (𝑦 ·e 𝐶))
39	34, 38	oveq12d 7438	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → (((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶))‘𝑥) +e ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶))‘𝑦)) = ((𝑥 ·e 𝐶) +e (𝑦 ·e 𝐶)))
40	23, 30, 39	3eqtr4d 2805	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶))‘(𝑥 +e 𝑦)) = (((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶))‘𝑥) +e ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶))‘𝑦)))
41	1, 2, 3, 6, 16, 40	esumcocn 34754	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶))‘Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵) = Σ*𝑘 ∈ 𝐴((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶))‘𝐵))
42		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵) → 𝑧 = Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵)
43	42	oveq1d 7435	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵) → (𝑧 ·e 𝐶) = (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ·e 𝐶))
44	3	ralrimiva 3154	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
45		nfcv 2922	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
46	45	esumcl 34704	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞))
47	2, 44, 46	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞))
48		ovexd 7455	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ·e 𝐶) ∈ V)
49	7, 43, 47, 48	fvmptd 7001	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶))‘Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵) = (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ·e 𝐶))
50		eqidd 2761	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶)) = (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶)))
51		simpr 490	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 = 𝐵) → 𝑧 = 𝐵)
52	51	oveq1d 7435	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 = 𝐵) → (𝑧 ·e 𝐶) = (𝐵 ·e 𝐶))
53		ovexd 7455	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 ·e 𝐶) ∈ V)
54	50, 52, 3, 53	fvmptd 7001	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶))‘𝐵) = (𝐵 ·e 𝐶))
55	54	esumeq2dv 34712	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶))‘𝐵) = Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐵 ·e 𝐶))
56	41, 49, 55	3eqtr3d 2803	1 ⊢ (𝜑 → (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ·e 𝐶) = Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐵 ·e 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  Vcvv 3450   ↦ cmpt 5185  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  0cc0 11200  +∞cpnf 11340  ℝ^*cxr 11342   ≤ cle 11344   +_e cxad 13239   ·_e cxmu 13240  [,)cico 13478  [,]cicc 13479   ↾_t crest 17591  ordTopcordt 17671  Σ^*cesum 34701

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-q 13076  df-rp 13121  df-xneg 13241  df-xadd 13242  df-xmul 13243  df-ioo 13480  df-ioc 13481  df-ico 13482  df-icc 13483  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-seq 14145  df-hash 14475  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-rest 17593  df-topn 17594  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-topgen 17614  df-ordt 17673  df-xrs 17674  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-ps 18740  df-tsr 18741  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-mhm 18978  df-submnd 18979  df-cntz 19531  df-cmn 19996  df-fbas 21675  df-fg 21676  df-top 23212  df-topon 23229  df-topsp 23251  df-bases 23264  df-ntr 23338  df-nei 23416  df-cn 23545  df-cnp 23546  df-haus 23633  df-fil 24165  df-fm 24257  df-flim 24258  df-flf 24259  df-tsms 24446  df-esum 34702

This theorem is used by:  esummulc2  34756  esumdivc  34757