Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esummulc1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esummulc1 34062
Description: An extended sum multiplied by a constant. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esummulc2.a (𝜑𝐴𝑉)
esummulc2.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
esummulc2.c (𝜑𝐶 ∈ (0[,)+∞))
Assertion
Ref Expression
esummulc1 (𝜑 → (Σ*𝑘𝐴𝐵 ·e 𝐶) = Σ*𝑘𝐴(𝐵 ·e 𝐶))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝑉   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem esummulc1
Dummy variables 𝑧 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2735 . . 3 ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
2 esummulc2.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
3 esummulc2.b . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
4 eqid 2735 . . . 4 (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶)) = (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶))
5 esummulc2.c . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ (0[,)+∞))
61, 4, 5xrge0mulc1cn 33902 . . 3 (𝜑 → (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶)) ∈ (((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) Cn ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))))
7 eqidd 2736 . . . 4 (𝜑 → (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶)) = (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶)))
8 oveq1 7438 . . . . 5 (𝑧 = 0 → (𝑧 ·e 𝐶) = (0 ·e 𝐶))
9 icossxr 13469 . . . . . . 7 (0[,)+∞) ⊆ ℝ*
109, 5sselid 3993 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
11 xmul02 13307 . . . . . 6 (𝐶 ∈ ℝ* → (0 ·e 𝐶) = 0)
1210, 11syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (0 ·e 𝐶) = 0)
138, 12sylan9eqr 2797 . . . 4 ((𝜑𝑧 = 0) → (𝑧 ·e 𝐶) = 0)
14 0e0iccpnf 13496 . . . . 5 0 ∈ (0[,]+∞)
1514a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ (0[,]+∞))
167, 13, 15, 15fvmptd 7023 . . 3 (𝜑 → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶))‘0) = 0)
17 simp2 1136 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → 𝑥 ∈ (0[,]+∞))
18 simp3 1137 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → 𝑦 ∈ (0[,]+∞))
19 icossicc 13473 . . . . . 6 (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
2053ad2ant1 1132 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
2119, 20sselid 3993 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
22 xrge0adddir 33006 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑥 +𝑒 𝑦) ·e 𝐶) = ((𝑥 ·e 𝐶) +𝑒 (𝑦 ·e 𝐶)))
2317, 18, 21, 22syl3anc 1370 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑥 +𝑒 𝑦) ·e 𝐶) = ((𝑥 ·e 𝐶) +𝑒 (𝑦 ·e 𝐶)))
24 eqidd 2736 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶)) = (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶)))
25 simpr 484 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑧 = (𝑥 +𝑒 𝑦)) → 𝑧 = (𝑥 +𝑒 𝑦))
2625oveq1d 7446 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑧 = (𝑥 +𝑒 𝑦)) → (𝑧 ·e 𝐶) = ((𝑥 +𝑒 𝑦) ·e 𝐶))
27 ge0xaddcl 13499 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑥 +𝑒 𝑦) ∈ (0[,]+∞))
28273adant1 1129 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑥 +𝑒 𝑦) ∈ (0[,]+∞))
29 ovexd 7466 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑥 +𝑒 𝑦) ·e 𝐶) ∈ V)
3024, 26, 28, 29fvmptd 7023 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶))‘(𝑥 +𝑒 𝑦)) = ((𝑥 +𝑒 𝑦) ·e 𝐶))
31 simpr 484 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑧 = 𝑥) → 𝑧 = 𝑥)
3231oveq1d 7446 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑧 = 𝑥) → (𝑧 ·e 𝐶) = (𝑥 ·e 𝐶))
33 ovexd 7466 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑥 ·e 𝐶) ∈ V)
3424, 32, 17, 33fvmptd 7023 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶))‘𝑥) = (𝑥 ·e 𝐶))
35 simpr 484 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑧 = 𝑦) → 𝑧 = 𝑦)
3635oveq1d 7446 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑧 = 𝑦) → (𝑧 ·e 𝐶) = (𝑦 ·e 𝐶))
37 ovexd 7466 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑦 ·e 𝐶) ∈ V)
3824, 36, 18, 37fvmptd 7023 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶))‘𝑦) = (𝑦 ·e 𝐶))
3934, 38oveq12d 7449 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → (((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶))‘𝑥) +𝑒 ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶))‘𝑦)) = ((𝑥 ·e 𝐶) +𝑒 (𝑦 ·e 𝐶)))
4023, 30, 393eqtr4d 2785 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶))‘(𝑥 +𝑒 𝑦)) = (((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶))‘𝑥) +𝑒 ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶))‘𝑦)))
411, 2, 3, 6, 16, 40esumcocn 34061 . 2 (𝜑 → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶))‘Σ*𝑘𝐴𝐵) = Σ*𝑘𝐴((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶))‘𝐵))
42 simpr 484 . . . 4 ((𝜑𝑧 = Σ*𝑘𝐴𝐵) → 𝑧 = Σ*𝑘𝐴𝐵)
4342oveq1d 7446 . . 3 ((𝜑𝑧 = Σ*𝑘𝐴𝐵) → (𝑧 ·e 𝐶) = (Σ*𝑘𝐴𝐵 ·e 𝐶))
443ralrimiva 3144 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
45 nfcv 2903 . . . . 5 𝑘𝐴
4645esumcl 34011 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞))
472, 44, 46syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞))
48 ovexd 7466 . . 3 (𝜑 → (Σ*𝑘𝐴𝐵 ·e 𝐶) ∈ V)
497, 43, 47, 48fvmptd 7023 . 2 (𝜑 → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶))‘Σ*𝑘𝐴𝐵) = (Σ*𝑘𝐴𝐵 ·e 𝐶))
50 eqidd 2736 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶)) = (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶)))
51 simpr 484 . . . . 5 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑧 = 𝐵) → 𝑧 = 𝐵)
5251oveq1d 7446 . . . 4 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑧 = 𝐵) → (𝑧 ·e 𝐶) = (𝐵 ·e 𝐶))
53 ovexd 7466 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐵 ·e 𝐶) ∈ V)
5450, 52, 3, 53fvmptd 7023 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶))‘𝐵) = (𝐵 ·e 𝐶))
5554esumeq2dv 34019 . 2 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶))‘𝐵) = Σ*𝑘𝐴(𝐵 ·e 𝐶))
5641, 49, 553eqtr3d 2783 1 (𝜑 → (Σ*𝑘𝐴𝐵 ·e 𝐶) = Σ*𝑘𝐴(𝐵 ·e 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  Vcvv 3478  cmpt 5231  cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153  +∞cpnf 11290  *cxr 11292  cle 11294   +𝑒 cxad 13150   ·e cxmu 13151  [,)cico 13386  [,]cicc 13387  t crest 17467  ordTopcordt 17546  Σ*cesum 34008
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ioc 13389  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-ordt 17548  df-xrs 17549  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-ps 18624  df-tsr 18625  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-submnd 18810  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-ntr 23044  df-nei 23122  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-haus 23339  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-tsms 24151  df-esum 34009
This theorem is referenced by:  esummulc2  34063  esumdivc  34064
  Copyright terms: Public domain W3C validator