Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esummulc1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esummulc1 32680
Description: An extended sum multiplied by a constant. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esummulc2.a (𝜑𝐴𝑉)
esummulc2.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
esummulc2.c (𝜑𝐶 ∈ (0[,)+∞))
Assertion
Ref Expression
esummulc1 (𝜑 → (Σ*𝑘𝐴𝐵 ·e 𝐶) = Σ*𝑘𝐴(𝐵 ·e 𝐶))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝑉   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem esummulc1
Dummy variables 𝑧 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2736 . . 3 ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
2 esummulc2.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
3 esummulc2.b . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
4 eqid 2736 . . . 4 (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶)) = (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶))
5 esummulc2.c . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ (0[,)+∞))
61, 4, 5xrge0mulc1cn 32522 . . 3 (𝜑 → (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶)) ∈ (((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) Cn ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))))
7 eqidd 2737 . . . 4 (𝜑 → (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶)) = (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶)))
8 oveq1 7364 . . . . 5 (𝑧 = 0 → (𝑧 ·e 𝐶) = (0 ·e 𝐶))
9 icossxr 13349 . . . . . . 7 (0[,)+∞) ⊆ ℝ*
109, 5sselid 3942 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
11 xmul02 13187 . . . . . 6 (𝐶 ∈ ℝ* → (0 ·e 𝐶) = 0)
1210, 11syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (0 ·e 𝐶) = 0)
138, 12sylan9eqr 2798 . . . 4 ((𝜑𝑧 = 0) → (𝑧 ·e 𝐶) = 0)
14 0e0iccpnf 13376 . . . . 5 0 ∈ (0[,]+∞)
1514a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ (0[,]+∞))
167, 13, 15, 15fvmptd 6955 . . 3 (𝜑 → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶))‘0) = 0)
17 simp2 1137 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → 𝑥 ∈ (0[,]+∞))
18 simp3 1138 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → 𝑦 ∈ (0[,]+∞))
19 icossicc 13353 . . . . . 6 (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
2053ad2ant1 1133 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
2119, 20sselid 3942 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
22 xrge0adddir 31883 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑥 +𝑒 𝑦) ·e 𝐶) = ((𝑥 ·e 𝐶) +𝑒 (𝑦 ·e 𝐶)))
2317, 18, 21, 22syl3anc 1371 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑥 +𝑒 𝑦) ·e 𝐶) = ((𝑥 ·e 𝐶) +𝑒 (𝑦 ·e 𝐶)))
24 eqidd 2737 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶)) = (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶)))
25 simpr 485 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑧 = (𝑥 +𝑒 𝑦)) → 𝑧 = (𝑥 +𝑒 𝑦))
2625oveq1d 7372 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑧 = (𝑥 +𝑒 𝑦)) → (𝑧 ·e 𝐶) = ((𝑥 +𝑒 𝑦) ·e 𝐶))
27 ge0xaddcl 13379 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑥 +𝑒 𝑦) ∈ (0[,]+∞))
28273adant1 1130 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑥 +𝑒 𝑦) ∈ (0[,]+∞))
29 ovexd 7392 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑥 +𝑒 𝑦) ·e 𝐶) ∈ V)
3024, 26, 28, 29fvmptd 6955 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶))‘(𝑥 +𝑒 𝑦)) = ((𝑥 +𝑒 𝑦) ·e 𝐶))
31 simpr 485 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑧 = 𝑥) → 𝑧 = 𝑥)
3231oveq1d 7372 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑧 = 𝑥) → (𝑧 ·e 𝐶) = (𝑥 ·e 𝐶))
33 ovexd 7392 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑥 ·e 𝐶) ∈ V)
3424, 32, 17, 33fvmptd 6955 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶))‘𝑥) = (𝑥 ·e 𝐶))
35 simpr 485 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑧 = 𝑦) → 𝑧 = 𝑦)
3635oveq1d 7372 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑧 = 𝑦) → (𝑧 ·e 𝐶) = (𝑦 ·e 𝐶))
37 ovexd 7392 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑦 ·e 𝐶) ∈ V)
3824, 36, 18, 37fvmptd 6955 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶))‘𝑦) = (𝑦 ·e 𝐶))
3934, 38oveq12d 7375 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → (((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶))‘𝑥) +𝑒 ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶))‘𝑦)) = ((𝑥 ·e 𝐶) +𝑒 (𝑦 ·e 𝐶)))
4023, 30, 393eqtr4d 2786 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶))‘(𝑥 +𝑒 𝑦)) = (((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶))‘𝑥) +𝑒 ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶))‘𝑦)))
411, 2, 3, 6, 16, 40esumcocn 32679 . 2 (𝜑 → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶))‘Σ*𝑘𝐴𝐵) = Σ*𝑘𝐴((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶))‘𝐵))
42 simpr 485 . . . 4 ((𝜑𝑧 = Σ*𝑘𝐴𝐵) → 𝑧 = Σ*𝑘𝐴𝐵)
4342oveq1d 7372 . . 3 ((𝜑𝑧 = Σ*𝑘𝐴𝐵) → (𝑧 ·e 𝐶) = (Σ*𝑘𝐴𝐵 ·e 𝐶))
443ralrimiva 3143 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
45 nfcv 2907 . . . . 5 𝑘𝐴
4645esumcl 32629 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞))
472, 44, 46syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞))
48 ovexd 7392 . . 3 (𝜑 → (Σ*𝑘𝐴𝐵 ·e 𝐶) ∈ V)
497, 43, 47, 48fvmptd 6955 . 2 (𝜑 → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶))‘Σ*𝑘𝐴𝐵) = (Σ*𝑘𝐴𝐵 ·e 𝐶))
50 eqidd 2737 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶)) = (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶)))
51 simpr 485 . . . . 5 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑧 = 𝐵) → 𝑧 = 𝐵)
5251oveq1d 7372 . . . 4 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑧 = 𝐵) → (𝑧 ·e 𝐶) = (𝐵 ·e 𝐶))
53 ovexd 7392 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐵 ·e 𝐶) ∈ V)
5450, 52, 3, 53fvmptd 6955 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶))‘𝐵) = (𝐵 ·e 𝐶))
5554esumeq2dv 32637 . 2 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶))‘𝐵) = Σ*𝑘𝐴(𝐵 ·e 𝐶))
5641, 49, 553eqtr3d 2784 1 (𝜑 → (Σ*𝑘𝐴𝐵 ·e 𝐶) = Σ*𝑘𝐴(𝐵 ·e 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  Vcvv 3445  cmpt 5188  cfv 6496  (class class class)co 7357  0cc0 11051  +∞cpnf 11186  *cxr 11188  cle 11190   +𝑒 cxad 13031   ·e cxmu 13032  [,)cico 13266  [,]cicc 13267  t crest 17302  ordTopcordt 17381  Σ*cesum 32626
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-hash 14231  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-ordt 17383  df-xrs 17384  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-ps 18455  df-tsr 18456  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-submnd 18602  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-ntr 22371  df-nei 22449  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-tsms 23478  df-esum 32627
This theorem is referenced by:  esummulc2  32681  esumdivc  32682
  Copyright terms: Public domain W3C validator