Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esummulc1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem esummulc1 33079
Description: An extended sum multiplied by a constant. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esummulc2.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
esummulc2.b ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ (0[,]+∞))
esummulc2.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (0[,)+∞))
Assertion
Ref Expression
esummulc1 (πœ‘ β†’ (Ξ£*π‘˜ ∈ 𝐴𝐡 Β·e 𝐢) = Ξ£*π‘˜ ∈ 𝐴(𝐡 Β·e 𝐢))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜   𝐢,π‘˜   π‘˜,𝑉   πœ‘,π‘˜
Allowed substitution hint:   𝐡(π‘˜)
Proof of Theorem esummulc1
Dummy variables 𝑧 π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . 3 ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)) = ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞))
2 esummulc2.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
3 esummulc2.b . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ (0[,]+∞))
4 eqid 2733 . . . 4 (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 Β·e 𝐢)) = (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 Β·e 𝐢))
5 esummulc2.c . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (0[,)+∞))
61, 4, 5xrge0mulc1cn 32921 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 Β·e 𝐢)) ∈ (((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)) Cn ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞))))
7 eqidd 2734 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 Β·e 𝐢)) = (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 Β·e 𝐢)))
8 oveq1 7416 . . . . 5 (𝑧 = 0 β†’ (𝑧 Β·e 𝐢) = (0 Β·e 𝐢))
9 icossxr 13409 . . . . . . 7 (0[,)+∞) βŠ† ℝ*
109, 5sselid 3981 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ*)
11 xmul02 13247 . . . . . 6 (𝐢 ∈ ℝ* β†’ (0 Β·e 𝐢) = 0)
1210, 11syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (0 Β·e 𝐢) = 0)
138, 12sylan9eqr 2795 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 = 0) β†’ (𝑧 Β·e 𝐢) = 0)
14 0e0iccpnf 13436 . . . . 5 0 ∈ (0[,]+∞)
1514a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (0[,]+∞))
167, 13, 15, 15fvmptd 7006 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 Β·e 𝐢))β€˜0) = 0)
17 simp2 1138 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) β†’ π‘₯ ∈ (0[,]+∞))
18 simp3 1139 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) β†’ 𝑦 ∈ (0[,]+∞))
19 icossicc 13413 . . . . . 6 (0[,)+∞) βŠ† (0[,]+∞)
2053ad2ant1 1134 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) β†’ 𝐢 ∈ (0[,)+∞))
2119, 20sselid 3981 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) β†’ 𝐢 ∈ (0[,]+∞))
22 xrge0adddir 32193 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐢 ∈ (0[,]+∞)) β†’ ((π‘₯ +𝑒 𝑦) Β·e 𝐢) = ((π‘₯ Β·e 𝐢) +𝑒 (𝑦 Β·e 𝐢)))
2317, 18, 21, 22syl3anc 1372 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) β†’ ((π‘₯ +𝑒 𝑦) Β·e 𝐢) = ((π‘₯ Β·e 𝐢) +𝑒 (𝑦 Β·e 𝐢)))
24 eqidd 2734 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) β†’ (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 Β·e 𝐢)) = (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 Β·e 𝐢)))
25 simpr 486 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑧 = (π‘₯ +𝑒 𝑦)) β†’ 𝑧 = (π‘₯ +𝑒 𝑦))
2625oveq1d 7424 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑧 = (π‘₯ +𝑒 𝑦)) β†’ (𝑧 Β·e 𝐢) = ((π‘₯ +𝑒 𝑦) Β·e 𝐢))
27 ge0xaddcl 13439 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) β†’ (π‘₯ +𝑒 𝑦) ∈ (0[,]+∞))
28273adant1 1131 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) β†’ (π‘₯ +𝑒 𝑦) ∈ (0[,]+∞))
29 ovexd 7444 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) β†’ ((π‘₯ +𝑒 𝑦) Β·e 𝐢) ∈ V)
3024, 26, 28, 29fvmptd 7006 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) β†’ ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 Β·e 𝐢))β€˜(π‘₯ +𝑒 𝑦)) = ((π‘₯ +𝑒 𝑦) Β·e 𝐢))
31 simpr 486 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑧 = π‘₯) β†’ 𝑧 = π‘₯)
3231oveq1d 7424 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑧 = π‘₯) β†’ (𝑧 Β·e 𝐢) = (π‘₯ Β·e 𝐢))
33 ovexd 7444 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) β†’ (π‘₯ Β·e 𝐢) ∈ V)
3424, 32, 17, 33fvmptd 7006 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) β†’ ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 Β·e 𝐢))β€˜π‘₯) = (π‘₯ Β·e 𝐢))
35 simpr 486 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑧 = 𝑦) β†’ 𝑧 = 𝑦)
3635oveq1d 7424 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑧 = 𝑦) β†’ (𝑧 Β·e 𝐢) = (𝑦 Β·e 𝐢))
37 ovexd 7444 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) β†’ (𝑦 Β·e 𝐢) ∈ V)
3824, 36, 18, 37fvmptd 7006 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) β†’ ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 Β·e 𝐢))β€˜π‘¦) = (𝑦 Β·e 𝐢))
3934, 38oveq12d 7427 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) β†’ (((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 Β·e 𝐢))β€˜π‘₯) +𝑒 ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 Β·e 𝐢))β€˜π‘¦)) = ((π‘₯ Β·e 𝐢) +𝑒 (𝑦 Β·e 𝐢)))
4023, 30, 393eqtr4d 2783 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) β†’ ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 Β·e 𝐢))β€˜(π‘₯ +𝑒 𝑦)) = (((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 Β·e 𝐢))β€˜π‘₯) +𝑒 ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 Β·e 𝐢))β€˜π‘¦)))
411, 2, 3, 6, 16, 40esumcocn 33078 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 Β·e 𝐢))β€˜Ξ£*π‘˜ ∈ 𝐴𝐡) = Ξ£*π‘˜ ∈ 𝐴((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 Β·e 𝐢))β€˜π΅))
42 simpr 486 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 = Ξ£*π‘˜ ∈ 𝐴𝐡) β†’ 𝑧 = Ξ£*π‘˜ ∈ 𝐴𝐡)
4342oveq1d 7424 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑧 = Ξ£*π‘˜ ∈ 𝐴𝐡) β†’ (𝑧 Β·e 𝐢) = (Ξ£*π‘˜ ∈ 𝐴𝐡 Β·e 𝐢))
443ralrimiva 3147 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ (0[,]+∞))
45 nfcv 2904 . . . . 5 β„²π‘˜π΄
4645esumcl 33028 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ (0[,]+∞)) β†’ Ξ£*π‘˜ ∈ 𝐴𝐡 ∈ (0[,]+∞))
472, 44, 46syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ Ξ£*π‘˜ ∈ 𝐴𝐡 ∈ (0[,]+∞))
48 ovexd 7444 . . 3 (πœ‘ β†’ (Ξ£*π‘˜ ∈ 𝐴𝐡 Β·e 𝐢) ∈ V)
497, 43, 47, 48fvmptd 7006 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 Β·e 𝐢))β€˜Ξ£*π‘˜ ∈ 𝐴𝐡) = (Ξ£*π‘˜ ∈ 𝐴𝐡 Β·e 𝐢))
50 eqidd 2734 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 Β·e 𝐢)) = (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 Β·e 𝐢)))
51 simpr 486 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 = 𝐡) β†’ 𝑧 = 𝐡)
5251oveq1d 7424 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 = 𝐡) β†’ (𝑧 Β·e 𝐢) = (𝐡 Β·e 𝐢))
53 ovexd 7444 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (𝐡 Β·e 𝐢) ∈ V)
5450, 52, 3, 53fvmptd 7006 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 Β·e 𝐢))β€˜π΅) = (𝐡 Β·e 𝐢))
5554esumeq2dv 33036 . 2 (πœ‘ β†’ Ξ£*π‘˜ ∈ 𝐴((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 Β·e 𝐢))β€˜π΅) = Ξ£*π‘˜ ∈ 𝐴(𝐡 Β·e 𝐢))
5641, 49, 553eqtr3d 2781 1 (πœ‘ β†’ (Ξ£*π‘˜ ∈ 𝐴𝐡 Β·e 𝐢) = Ξ£*π‘˜ ∈ 𝐴(𝐡 Β·e 𝐢))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  Vcvv 3475   ↦ cmpt 5232  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  0cc0 11110  +∞cpnf 11245  β„*cxr 11247   ≀ cle 11249   +𝑒 cxad 13090   Β·e cxmu 13091  [,)cico 13326  [,]cicc 13327   β†Ύt crest 17366  ordTopcordt 17445  Ξ£*cesum 33025
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-hash 14291  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-ordt 17447  df-xrs 17448  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-ps 18519  df-tsr 18520  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mhm 18671  df-submnd 18672  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-ntr 22524  df-nei 22602  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-tsms 23631  df-esum 33026
This theorem is referenced by:  esummulc2  33080  esumdivc  33081
  Copyright terms: Public domain W3C validator