Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esummulc1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esummulc1 31619
Description: An extended sum multiplied by a constant. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esummulc2.a (𝜑𝐴𝑉)
esummulc2.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
esummulc2.c (𝜑𝐶 ∈ (0[,)+∞))
Assertion
Ref Expression
esummulc1 (𝜑 → (Σ*𝑘𝐴𝐵 ·e 𝐶) = Σ*𝑘𝐴(𝐵 ·e 𝐶))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝑉   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem esummulc1
Dummy variables 𝑧 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2738 . . 3 ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
2 esummulc2.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
3 esummulc2.b . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
4 eqid 2738 . . . 4 (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶)) = (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶))
5 esummulc2.c . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ (0[,)+∞))
61, 4, 5xrge0mulc1cn 31463 . . 3 (𝜑 → (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶)) ∈ (((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) Cn ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))))
7 eqidd 2739 . . . 4 (𝜑 → (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶)) = (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶)))
8 oveq1 7178 . . . . 5 (𝑧 = 0 → (𝑧 ·e 𝐶) = (0 ·e 𝐶))
9 icossxr 12907 . . . . . . 7 (0[,)+∞) ⊆ ℝ*
109, 5sseldi 3876 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
11 xmul02 12745 . . . . . 6 (𝐶 ∈ ℝ* → (0 ·e 𝐶) = 0)
1210, 11syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (0 ·e 𝐶) = 0)
138, 12sylan9eqr 2795 . . . 4 ((𝜑𝑧 = 0) → (𝑧 ·e 𝐶) = 0)
14 0e0iccpnf 12934 . . . . 5 0 ∈ (0[,]+∞)
1514a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ (0[,]+∞))
167, 13, 15, 15fvmptd 6783 . . 3 (𝜑 → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶))‘0) = 0)
17 simp2 1138 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → 𝑥 ∈ (0[,]+∞))
18 simp3 1139 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → 𝑦 ∈ (0[,]+∞))
19 icossicc 12911 . . . . . 6 (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
2053ad2ant1 1134 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
2119, 20sseldi 3876 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
22 xrge0adddir 30878 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑥 +𝑒 𝑦) ·e 𝐶) = ((𝑥 ·e 𝐶) +𝑒 (𝑦 ·e 𝐶)))
2317, 18, 21, 22syl3anc 1372 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑥 +𝑒 𝑦) ·e 𝐶) = ((𝑥 ·e 𝐶) +𝑒 (𝑦 ·e 𝐶)))
24 eqidd 2739 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶)) = (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶)))
25 simpr 488 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑧 = (𝑥 +𝑒 𝑦)) → 𝑧 = (𝑥 +𝑒 𝑦))
2625oveq1d 7186 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑧 = (𝑥 +𝑒 𝑦)) → (𝑧 ·e 𝐶) = ((𝑥 +𝑒 𝑦) ·e 𝐶))
27 ge0xaddcl 12937 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑥 +𝑒 𝑦) ∈ (0[,]+∞))
28273adant1 1131 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑥 +𝑒 𝑦) ∈ (0[,]+∞))
29 ovexd 7206 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑥 +𝑒 𝑦) ·e 𝐶) ∈ V)
3024, 26, 28, 29fvmptd 6783 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶))‘(𝑥 +𝑒 𝑦)) = ((𝑥 +𝑒 𝑦) ·e 𝐶))
31 simpr 488 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑧 = 𝑥) → 𝑧 = 𝑥)
3231oveq1d 7186 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑧 = 𝑥) → (𝑧 ·e 𝐶) = (𝑥 ·e 𝐶))
33 ovexd 7206 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑥 ·e 𝐶) ∈ V)
3424, 32, 17, 33fvmptd 6783 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶))‘𝑥) = (𝑥 ·e 𝐶))
35 simpr 488 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑧 = 𝑦) → 𝑧 = 𝑦)
3635oveq1d 7186 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑧 = 𝑦) → (𝑧 ·e 𝐶) = (𝑦 ·e 𝐶))
37 ovexd 7206 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑦 ·e 𝐶) ∈ V)
3824, 36, 18, 37fvmptd 6783 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶))‘𝑦) = (𝑦 ·e 𝐶))
3934, 38oveq12d 7189 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → (((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶))‘𝑥) +𝑒 ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶))‘𝑦)) = ((𝑥 ·e 𝐶) +𝑒 (𝑦 ·e 𝐶)))
4023, 30, 393eqtr4d 2783 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶))‘(𝑥 +𝑒 𝑦)) = (((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶))‘𝑥) +𝑒 ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶))‘𝑦)))
411, 2, 3, 6, 16, 40esumcocn 31618 . 2 (𝜑 → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶))‘Σ*𝑘𝐴𝐵) = Σ*𝑘𝐴((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶))‘𝐵))
42 simpr 488 . . . 4 ((𝜑𝑧 = Σ*𝑘𝐴𝐵) → 𝑧 = Σ*𝑘𝐴𝐵)
4342oveq1d 7186 . . 3 ((𝜑𝑧 = Σ*𝑘𝐴𝐵) → (𝑧 ·e 𝐶) = (Σ*𝑘𝐴𝐵 ·e 𝐶))
443ralrimiva 3096 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
45 nfcv 2899 . . . . 5 𝑘𝐴
4645esumcl 31568 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞))
472, 44, 46syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞))
48 ovexd 7206 . . 3 (𝜑 → (Σ*𝑘𝐴𝐵 ·e 𝐶) ∈ V)
497, 43, 47, 48fvmptd 6783 . 2 (𝜑 → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶))‘Σ*𝑘𝐴𝐵) = (Σ*𝑘𝐴𝐵 ·e 𝐶))
50 eqidd 2739 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶)) = (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶)))
51 simpr 488 . . . . 5 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑧 = 𝐵) → 𝑧 = 𝐵)
5251oveq1d 7186 . . . 4 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑧 = 𝐵) → (𝑧 ·e 𝐶) = (𝐵 ·e 𝐶))
53 ovexd 7206 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐵 ·e 𝐶) ∈ V)
5450, 52, 3, 53fvmptd 6783 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶))‘𝐵) = (𝐵 ·e 𝐶))
5554esumeq2dv 31576 . 2 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶))‘𝐵) = Σ*𝑘𝐴(𝐵 ·e 𝐶))
5641, 49, 553eqtr3d 2781 1 (𝜑 → (Σ*𝑘𝐴𝐵 ·e 𝐶) = Σ*𝑘𝐴(𝐵 ·e 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2113  wral 3053  Vcvv 3398  cmpt 5111  cfv 6340  (class class class)co 7171  0cc0 10616  +∞cpnf 10751  *cxr 10753  cle 10755   +𝑒 cxad 12589   ·e cxmu 12590  [,)cico 12824  [,]cicc 12825  t crest 16798  ordTopcordt 16876  Σ*cesum 31565
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5233  ax-pr 5297  ax-un 7480  ax-cnex 10672  ax-resscn 10673  ax-1cn 10674  ax-icn 10675  ax-addcl 10676  ax-addrcl 10677  ax-mulcl 10678  ax-mulrcl 10679  ax-mulcom 10680  ax-addass 10681  ax-mulass 10682  ax-distr 10683  ax-i2m1 10684  ax-1ne0 10685  ax-1rid 10686  ax-rnegex 10687  ax-rrecex 10688  ax-cnre 10689  ax-pre-lttri 10690  ax-pre-lttrn 10691  ax-pre-ltadd 10692  ax-pre-mulgt0 10693  ax-pre-sup 10694
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3683  df-csb 3792  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-pss 3863  df-nul 4213  df-if 4416  df-pw 4491  df-sn 4518  df-pr 4520  df-tp 4522  df-op 4524  df-uni 4798  df-int 4838  df-iun 4884  df-iin 4885  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5484  df-se 5485  df-we 5486  df-xp 5532  df-rel 5533  df-cnv 5534  df-co 5535  df-dm 5536  df-rn 5537  df-res 5538  df-ima 5539  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-isom 6349  df-riota 7128  df-ov 7174  df-oprab 7175  df-mpo 7176  df-of 7426  df-om 7601  df-1st 7715  df-2nd 7716  df-supp 7858  df-wrecs 7977  df-recs 8038  df-rdg 8076  df-1o 8132  df-er 8321  df-map 8440  df-en 8557  df-dom 8558  df-sdom 8559  df-fin 8560  df-fsupp 8908  df-fi 8949  df-sup 8980  df-inf 8981  df-oi 9048  df-card 9442  df-pnf 10756  df-mnf 10757  df-xr 10758  df-ltxr 10759  df-le 10760  df-sub 10951  df-neg 10952  df-div 11377  df-nn 11718  df-2 11780  df-3 11781  df-4 11782  df-5 11783  df-6 11784  df-7 11785  df-8 11786  df-9 11787  df-n0 11978  df-z 12064  df-dec 12181  df-uz 12326  df-q 12432  df-rp 12474  df-xneg 12591  df-xadd 12592  df-xmul 12593  df-ioo 12826  df-ioc 12827  df-ico 12828  df-icc 12829  df-fz 12983  df-fzo 13126  df-seq 13462  df-hash 13784  df-struct 16589  df-ndx 16590  df-slot 16591  df-base 16593  df-sets 16594  df-ress 16595  df-plusg 16682  df-mulr 16683  df-tset 16688  df-ple 16689  df-ds 16691  df-rest 16800  df-topn 16801  df-0g 16819  df-gsum 16820  df-topgen 16821  df-ordt 16878  df-xrs 16879  df-mre 16961  df-mrc 16962  df-acs 16964  df-ps 17927  df-tsr 17928  df-mgm 17969  df-sgrp 18018  df-mnd 18029  df-mhm 18073  df-submnd 18074  df-cntz 18566  df-cmn 19027  df-fbas 20215  df-fg 20216  df-top 21646  df-topon 21663  df-topsp 21685  df-bases 21698  df-ntr 21772  df-nei 21850  df-cn 21979  df-cnp 21980  df-haus 22067  df-fil 22598  df-fm 22690  df-flim 22691  df-flf 22692  df-tsms 22879  df-esum 31566
This theorem is referenced by:  esummulc2  31620  esumdivc  31621
  Copyright terms: Public domain W3C validator