Theorem esummulc1 34780

Description: An extended sum multiplied by a constant. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jul-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
esummulc2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
esummulc2.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
esummulc2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))

Assertion

Ref	Expression
esummulc1	⊢ (𝜑 → (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ·e 𝐶) = Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐵 ·e 𝐶))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝑉   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem esummulc1

Dummy variables 𝑧 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . 3 ⊢ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
2		esummulc2.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		esummulc2.b	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
4		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶)) = (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶))
5		esummulc2.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
6	1, 4, 5	xrge0mulc1cn 34640	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶)) ∈ (((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) Cn ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))))
7		eqidd 2764	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶)) = (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶)))
8		oveq1 7447	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 0 → (𝑧 ·e 𝐶) = (0 ·e 𝐶))
9		icossxr 13587	. . . . . . 7 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ*
10	9, 5	sselid 3911	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
11		xmul02 13422	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ* → (0 ·e 𝐶) = 0)
12	10, 11	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 ·e 𝐶) = 0)
13	8, 12	sylan9eqr 2820	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = 0) → (𝑧 ·e 𝐶) = 0)
14		0e0iccpnf 13614	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ (0[,]+∞)
15	14	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0[,]+∞))
16	7, 13, 15, 15	fvmptd 7021	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶))‘0) = 0)
17		simp2 1155	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → 𝑥 ∈ (0[,]+∞))
18		simp3 1156	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → 𝑦 ∈ (0[,]+∞))
19		icossicc 13591	. . . . . 6 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
20	5	3ad2ant1 1151	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
21	19, 20	sselid 3911	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
22		xrge0adddir 33646	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑥 +e 𝑦) ·e 𝐶) = ((𝑥 ·e 𝐶) +e (𝑦 ·e 𝐶)))
23	17, 18, 21, 22	syl3anc 1399	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑥 +e 𝑦) ·e 𝐶) = ((𝑥 ·e 𝐶) +e (𝑦 ·e 𝐶)))
24		eqidd 2764	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶)) = (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶)))
25		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑧 = (𝑥 +e 𝑦)) → 𝑧 = (𝑥 +e 𝑦))
26	25	oveq1d 7455	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑧 = (𝑥 +e 𝑦)) → (𝑧 ·e 𝐶) = ((𝑥 +e 𝑦) ·e 𝐶))
27		ge0xaddcl 13617	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑥 +e 𝑦) ∈ (0[,]+∞))
28	27	3adant1 1148	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑥 +e 𝑦) ∈ (0[,]+∞))
29		ovexd 7475	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑥 +e 𝑦) ·e 𝐶) ∈ V)
30	24, 26, 28, 29	fvmptd 7021	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶))‘(𝑥 +e 𝑦)) = ((𝑥 +e 𝑦) ·e 𝐶))
31		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑧 = 𝑥) → 𝑧 = 𝑥)
32	31	oveq1d 7455	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑧 = 𝑥) → (𝑧 ·e 𝐶) = (𝑥 ·e 𝐶))
33		ovexd 7475	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑥 ·e 𝐶) ∈ V)
34	24, 32, 17, 33	fvmptd 7021	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶))‘𝑥) = (𝑥 ·e 𝐶))
35		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑧 = 𝑦) → 𝑧 = 𝑦)
36	35	oveq1d 7455	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑧 = 𝑦) → (𝑧 ·e 𝐶) = (𝑦 ·e 𝐶))
37		ovexd 7475	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑦 ·e 𝐶) ∈ V)
38	24, 36, 18, 37	fvmptd 7021	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶))‘𝑦) = (𝑦 ·e 𝐶))
39	34, 38	oveq12d 7458	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → (((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶))‘𝑥) +e ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶))‘𝑦)) = ((𝑥 ·e 𝐶) +e (𝑦 ·e 𝐶)))
40	23, 30, 39	3eqtr4d 2808	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶))‘(𝑥 +e 𝑦)) = (((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶))‘𝑥) +e ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶))‘𝑦)))
41	1, 2, 3, 6, 16, 40	esumcocn 34779	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶))‘Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵) = Σ*𝑘 ∈ 𝐴((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶))‘𝐵))
42		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵) → 𝑧 = Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵)
43	42	oveq1d 7455	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵) → (𝑧 ·e 𝐶) = (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ·e 𝐶))
44	3	ralrimiva 3158	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
45		nfcv 2926	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
46	45	esumcl 34729	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞))
47	2, 44, 46	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞))
48		ovexd 7475	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ·e 𝐶) ∈ V)
49	7, 43, 47, 48	fvmptd 7021	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶))‘Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵) = (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ·e 𝐶))
50		eqidd 2764	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶)) = (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶)))
51		simpr 490	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 = 𝐵) → 𝑧 = 𝐵)
52	51	oveq1d 7455	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 = 𝐵) → (𝑧 ·e 𝐶) = (𝐵 ·e 𝐶))
53		ovexd 7475	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 ·e 𝐶) ∈ V)
54	50, 52, 3, 53	fvmptd 7021	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶))‘𝐵) = (𝐵 ·e 𝐶))
55	54	esumeq2dv 34737	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 ·e 𝐶))‘𝐵) = Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐵 ·e 𝐶))
56	41, 49, 55	3eqtr3d 2806	1 ⊢ (𝜑 → (Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 ·e 𝐶) = Σ*𝑘 ∈ 𝐴(𝐵 ·e 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  Vcvv 3454   ↦ cmpt 5189  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  0cc0 11224  +∞cpnf 11364  ℝ^*cxr 11366   ≤ cle 11368   +_e cxad 13263   ·_e cxmu 13264  [,)cico 13502  [,]cicc 13503   ↾_t crest 17617  ordTopcordt 17697  Σ^*cesum 34726

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301  ax-pre-sup 11302

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-isom 6564  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-of 7714  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-supp 8202  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-2o 8502  df-er 8742  df-map 8874  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-fsupp 9379  df-fi 9427  df-sup 9458  df-inf 9459  df-oi 9528  df-card 10044  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-div 11998  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-4 12431  df-5 12432  df-6 12433  df-7 12434  df-8 12435  df-9 12436  df-n0 12631  df-z 12718  df-dec 12839  df-uz 12990  df-q 13100  df-rp 13145  df-xneg 13265  df-xadd 13266  df-xmul 13267  df-ioo 13504  df-ioc 13505  df-ico 13506  df-icc 13507  df-fz 13664  df-fzo 13813  df-seq 14169  df-hash 14499  df-struct 17351  df-sets 17368  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-ress 17435  df-plusg 17467  df-mulr 17468  df-tset 17473  df-ple 17474  df-ds 17476  df-rest 17619  df-topn 17620  df-0g 17638  df-gsum 17639  df-topgen 17640  df-ordt 17699  df-xrs 17700  df-mre 17782  df-mrc 17783  df-acs 17785  df-ps 18766  df-tsr 18767  df-mgm 18842  df-sgrp 18934  df-mnd 18950  df-mhm 19004  df-submnd 19005  df-cntz 19558  df-cmn 20023  df-fbas 21702  df-fg 21703  df-top 23239  df-topon 23256  df-topsp 23278  df-bases 23291  df-ntr 23365  df-nei 23443  df-cn 23572  df-cnp 23573  df-haus 23660  df-fil 24192  df-fm 24284  df-flim 24285  df-flf 24286  df-tsms 24473  df-esum 34727

This theorem is used by:  esummulc2  34781  esumdivc  34782