Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esummulc1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem esummulc1 33074
Description: An extended sum multiplied by a constant. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esummulc2.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
esummulc2.b ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ (0[,]+∞))
esummulc2.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (0[,)+∞))
Assertion
Ref Expression
esummulc1 (πœ‘ β†’ (Ξ£*π‘˜ ∈ 𝐴𝐡 Β·e 𝐢) = Ξ£*π‘˜ ∈ 𝐴(𝐡 Β·e 𝐢))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜   𝐢,π‘˜   π‘˜,𝑉   πœ‘,π‘˜
Allowed substitution hint:   𝐡(π‘˜)
Proof of Theorem esummulc1
Dummy variables 𝑧 π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2732 . . 3 ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)) = ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞))
2 esummulc2.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
3 esummulc2.b . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ (0[,]+∞))
4 eqid 2732 . . . 4 (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 Β·e 𝐢)) = (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 Β·e 𝐢))
5 esummulc2.c . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (0[,)+∞))
61, 4, 5xrge0mulc1cn 32916 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 Β·e 𝐢)) ∈ (((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)) Cn ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞))))
7 eqidd 2733 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 Β·e 𝐢)) = (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 Β·e 𝐢)))
8 oveq1 7415 . . . . 5 (𝑧 = 0 β†’ (𝑧 Β·e 𝐢) = (0 Β·e 𝐢))
9 icossxr 13408 . . . . . . 7 (0[,)+∞) βŠ† ℝ*
109, 5sselid 3980 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ*)
11 xmul02 13246 . . . . . 6 (𝐢 ∈ ℝ* β†’ (0 Β·e 𝐢) = 0)
1210, 11syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (0 Β·e 𝐢) = 0)
138, 12sylan9eqr 2794 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 = 0) β†’ (𝑧 Β·e 𝐢) = 0)
14 0e0iccpnf 13435 . . . . 5 0 ∈ (0[,]+∞)
1514a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (0[,]+∞))
167, 13, 15, 15fvmptd 7005 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 Β·e 𝐢))β€˜0) = 0)
17 simp2 1137 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) β†’ π‘₯ ∈ (0[,]+∞))
18 simp3 1138 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) β†’ 𝑦 ∈ (0[,]+∞))
19 icossicc 13412 . . . . . 6 (0[,)+∞) βŠ† (0[,]+∞)
2053ad2ant1 1133 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) β†’ 𝐢 ∈ (0[,)+∞))
2119, 20sselid 3980 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) β†’ 𝐢 ∈ (0[,]+∞))
22 xrge0adddir 32188 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐢 ∈ (0[,]+∞)) β†’ ((π‘₯ +𝑒 𝑦) Β·e 𝐢) = ((π‘₯ Β·e 𝐢) +𝑒 (𝑦 Β·e 𝐢)))
2317, 18, 21, 22syl3anc 1371 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) β†’ ((π‘₯ +𝑒 𝑦) Β·e 𝐢) = ((π‘₯ Β·e 𝐢) +𝑒 (𝑦 Β·e 𝐢)))
24 eqidd 2733 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) β†’ (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 Β·e 𝐢)) = (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 Β·e 𝐢)))
25 simpr 485 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑧 = (π‘₯ +𝑒 𝑦)) β†’ 𝑧 = (π‘₯ +𝑒 𝑦))
2625oveq1d 7423 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑧 = (π‘₯ +𝑒 𝑦)) β†’ (𝑧 Β·e 𝐢) = ((π‘₯ +𝑒 𝑦) Β·e 𝐢))
27 ge0xaddcl 13438 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) β†’ (π‘₯ +𝑒 𝑦) ∈ (0[,]+∞))
28273adant1 1130 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) β†’ (π‘₯ +𝑒 𝑦) ∈ (0[,]+∞))
29 ovexd 7443 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) β†’ ((π‘₯ +𝑒 𝑦) Β·e 𝐢) ∈ V)
3024, 26, 28, 29fvmptd 7005 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) β†’ ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 Β·e 𝐢))β€˜(π‘₯ +𝑒 𝑦)) = ((π‘₯ +𝑒 𝑦) Β·e 𝐢))
31 simpr 485 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑧 = π‘₯) β†’ 𝑧 = π‘₯)
3231oveq1d 7423 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑧 = π‘₯) β†’ (𝑧 Β·e 𝐢) = (π‘₯ Β·e 𝐢))
33 ovexd 7443 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) β†’ (π‘₯ Β·e 𝐢) ∈ V)
3424, 32, 17, 33fvmptd 7005 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) β†’ ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 Β·e 𝐢))β€˜π‘₯) = (π‘₯ Β·e 𝐢))
35 simpr 485 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑧 = 𝑦) β†’ 𝑧 = 𝑦)
3635oveq1d 7423 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑧 = 𝑦) β†’ (𝑧 Β·e 𝐢) = (𝑦 Β·e 𝐢))
37 ovexd 7443 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) β†’ (𝑦 Β·e 𝐢) ∈ V)
3824, 36, 18, 37fvmptd 7005 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) β†’ ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 Β·e 𝐢))β€˜π‘¦) = (𝑦 Β·e 𝐢))
3934, 38oveq12d 7426 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) β†’ (((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 Β·e 𝐢))β€˜π‘₯) +𝑒 ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 Β·e 𝐢))β€˜π‘¦)) = ((π‘₯ Β·e 𝐢) +𝑒 (𝑦 Β·e 𝐢)))
4023, 30, 393eqtr4d 2782 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) β†’ ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 Β·e 𝐢))β€˜(π‘₯ +𝑒 𝑦)) = (((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 Β·e 𝐢))β€˜π‘₯) +𝑒 ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 Β·e 𝐢))β€˜π‘¦)))
411, 2, 3, 6, 16, 40esumcocn 33073 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 Β·e 𝐢))β€˜Ξ£*π‘˜ ∈ 𝐴𝐡) = Ξ£*π‘˜ ∈ 𝐴((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 Β·e 𝐢))β€˜π΅))
42 simpr 485 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 = Ξ£*π‘˜ ∈ 𝐴𝐡) β†’ 𝑧 = Ξ£*π‘˜ ∈ 𝐴𝐡)
4342oveq1d 7423 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑧 = Ξ£*π‘˜ ∈ 𝐴𝐡) β†’ (𝑧 Β·e 𝐢) = (Ξ£*π‘˜ ∈ 𝐴𝐡 Β·e 𝐢))
443ralrimiva 3146 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ (0[,]+∞))
45 nfcv 2903 . . . . 5 β„²π‘˜π΄
4645esumcl 33023 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ (0[,]+∞)) β†’ Ξ£*π‘˜ ∈ 𝐴𝐡 ∈ (0[,]+∞))
472, 44, 46syl2anc 584 . . 3 (πœ‘ β†’ Ξ£*π‘˜ ∈ 𝐴𝐡 ∈ (0[,]+∞))
48 ovexd 7443 . . 3 (πœ‘ β†’ (Ξ£*π‘˜ ∈ 𝐴𝐡 Β·e 𝐢) ∈ V)
497, 43, 47, 48fvmptd 7005 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 Β·e 𝐢))β€˜Ξ£*π‘˜ ∈ 𝐴𝐡) = (Ξ£*π‘˜ ∈ 𝐴𝐡 Β·e 𝐢))
50 eqidd 2733 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 Β·e 𝐢)) = (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 Β·e 𝐢)))
51 simpr 485 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 = 𝐡) β†’ 𝑧 = 𝐡)
5251oveq1d 7423 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 = 𝐡) β†’ (𝑧 Β·e 𝐢) = (𝐡 Β·e 𝐢))
53 ovexd 7443 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (𝐡 Β·e 𝐢) ∈ V)
5450, 52, 3, 53fvmptd 7005 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 Β·e 𝐢))β€˜π΅) = (𝐡 Β·e 𝐢))
5554esumeq2dv 33031 . 2 (πœ‘ β†’ Ξ£*π‘˜ ∈ 𝐴((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 Β·e 𝐢))β€˜π΅) = Ξ£*π‘˜ ∈ 𝐴(𝐡 Β·e 𝐢))
5641, 49, 553eqtr3d 2780 1 (πœ‘ β†’ (Ξ£*π‘˜ ∈ 𝐴𝐡 Β·e 𝐢) = Ξ£*π‘˜ ∈ 𝐴(𝐡 Β·e 𝐢))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  Vcvv 3474   ↦ cmpt 5231  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  0cc0 11109  +∞cpnf 11244  β„*cxr 11246   ≀ cle 11248   +𝑒 cxad 13089   Β·e cxmu 13090  [,)cico 13325  [,]cicc 13326   β†Ύt crest 17365  ordTopcordt 17444  Ξ£*cesum 33020
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-ioo 13327  df-ioc 13328  df-ico 13329  df-icc 13330  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-seq 13966  df-hash 14290  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-rest 17367  df-topn 17368  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-topgen 17388  df-ordt 17446  df-xrs 17447  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-ps 18518  df-tsr 18519  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-mhm 18670  df-submnd 18671  df-cntz 19180  df-cmn 19649  df-fbas 20940  df-fg 20941  df-top 22395  df-topon 22412  df-topsp 22434  df-bases 22448  df-ntr 22523  df-nei 22601  df-cn 22730  df-cnp 22731  df-haus 22818  df-fil 23349  df-fm 23441  df-flim 23442  df-flf 23443  df-tsms 23630  df-esum 33021
This theorem is referenced by:  esummulc2  33075  esumdivc  33076
  Copyright terms: Public domain W3C validator