Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esummulc1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem esummulc1 33377
Description: An extended sum multiplied by a constant. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esummulc2.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
esummulc2.b ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ (0[,]+∞))
esummulc2.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (0[,)+∞))
Assertion
Ref Expression
esummulc1 (πœ‘ β†’ (Ξ£*π‘˜ ∈ 𝐴𝐡 Β·e 𝐢) = Ξ£*π‘˜ ∈ 𝐴(𝐡 Β·e 𝐢))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜   𝐢,π‘˜   π‘˜,𝑉   πœ‘,π‘˜
Allowed substitution hint:   𝐡(π‘˜)
Proof of Theorem esummulc1
Dummy variables 𝑧 π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2730 . . 3 ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)) = ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞))
2 esummulc2.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
3 esummulc2.b . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ (0[,]+∞))
4 eqid 2730 . . . 4 (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 Β·e 𝐢)) = (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 Β·e 𝐢))
5 esummulc2.c . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (0[,)+∞))
61, 4, 5xrge0mulc1cn 33219 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 Β·e 𝐢)) ∈ (((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)) Cn ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞))))
7 eqidd 2731 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 Β·e 𝐢)) = (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 Β·e 𝐢)))
8 oveq1 7418 . . . . 5 (𝑧 = 0 β†’ (𝑧 Β·e 𝐢) = (0 Β·e 𝐢))
9 icossxr 13413 . . . . . . 7 (0[,)+∞) βŠ† ℝ*
109, 5sselid 3979 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ*)
11 xmul02 13251 . . . . . 6 (𝐢 ∈ ℝ* β†’ (0 Β·e 𝐢) = 0)
1210, 11syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (0 Β·e 𝐢) = 0)
138, 12sylan9eqr 2792 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 = 0) β†’ (𝑧 Β·e 𝐢) = 0)
14 0e0iccpnf 13440 . . . . 5 0 ∈ (0[,]+∞)
1514a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (0[,]+∞))
167, 13, 15, 15fvmptd 7004 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 Β·e 𝐢))β€˜0) = 0)
17 simp2 1135 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) β†’ π‘₯ ∈ (0[,]+∞))
18 simp3 1136 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) β†’ 𝑦 ∈ (0[,]+∞))
19 icossicc 13417 . . . . . 6 (0[,)+∞) βŠ† (0[,]+∞)
2053ad2ant1 1131 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) β†’ 𝐢 ∈ (0[,)+∞))
2119, 20sselid 3979 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) β†’ 𝐢 ∈ (0[,]+∞))
22 xrge0adddir 32460 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐢 ∈ (0[,]+∞)) β†’ ((π‘₯ +𝑒 𝑦) Β·e 𝐢) = ((π‘₯ Β·e 𝐢) +𝑒 (𝑦 Β·e 𝐢)))
2317, 18, 21, 22syl3anc 1369 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) β†’ ((π‘₯ +𝑒 𝑦) Β·e 𝐢) = ((π‘₯ Β·e 𝐢) +𝑒 (𝑦 Β·e 𝐢)))
24 eqidd 2731 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) β†’ (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 Β·e 𝐢)) = (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 Β·e 𝐢)))
25 simpr 483 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑧 = (π‘₯ +𝑒 𝑦)) β†’ 𝑧 = (π‘₯ +𝑒 𝑦))
2625oveq1d 7426 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑧 = (π‘₯ +𝑒 𝑦)) β†’ (𝑧 Β·e 𝐢) = ((π‘₯ +𝑒 𝑦) Β·e 𝐢))
27 ge0xaddcl 13443 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) β†’ (π‘₯ +𝑒 𝑦) ∈ (0[,]+∞))
28273adant1 1128 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) β†’ (π‘₯ +𝑒 𝑦) ∈ (0[,]+∞))
29 ovexd 7446 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) β†’ ((π‘₯ +𝑒 𝑦) Β·e 𝐢) ∈ V)
3024, 26, 28, 29fvmptd 7004 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) β†’ ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 Β·e 𝐢))β€˜(π‘₯ +𝑒 𝑦)) = ((π‘₯ +𝑒 𝑦) Β·e 𝐢))
31 simpr 483 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑧 = π‘₯) β†’ 𝑧 = π‘₯)
3231oveq1d 7426 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑧 = π‘₯) β†’ (𝑧 Β·e 𝐢) = (π‘₯ Β·e 𝐢))
33 ovexd 7446 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) β†’ (π‘₯ Β·e 𝐢) ∈ V)
3424, 32, 17, 33fvmptd 7004 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) β†’ ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 Β·e 𝐢))β€˜π‘₯) = (π‘₯ Β·e 𝐢))
35 simpr 483 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑧 = 𝑦) β†’ 𝑧 = 𝑦)
3635oveq1d 7426 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) ∧ 𝑧 = 𝑦) β†’ (𝑧 Β·e 𝐢) = (𝑦 Β·e 𝐢))
37 ovexd 7446 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) β†’ (𝑦 Β·e 𝐢) ∈ V)
3824, 36, 18, 37fvmptd 7004 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) β†’ ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 Β·e 𝐢))β€˜π‘¦) = (𝑦 Β·e 𝐢))
3934, 38oveq12d 7429 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) β†’ (((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 Β·e 𝐢))β€˜π‘₯) +𝑒 ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 Β·e 𝐢))β€˜π‘¦)) = ((π‘₯ Β·e 𝐢) +𝑒 (𝑦 Β·e 𝐢)))
4023, 30, 393eqtr4d 2780 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) β†’ ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 Β·e 𝐢))β€˜(π‘₯ +𝑒 𝑦)) = (((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 Β·e 𝐢))β€˜π‘₯) +𝑒 ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 Β·e 𝐢))β€˜π‘¦)))
411, 2, 3, 6, 16, 40esumcocn 33376 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 Β·e 𝐢))β€˜Ξ£*π‘˜ ∈ 𝐴𝐡) = Ξ£*π‘˜ ∈ 𝐴((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 Β·e 𝐢))β€˜π΅))
42 simpr 483 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 = Ξ£*π‘˜ ∈ 𝐴𝐡) β†’ 𝑧 = Ξ£*π‘˜ ∈ 𝐴𝐡)
4342oveq1d 7426 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑧 = Ξ£*π‘˜ ∈ 𝐴𝐡) β†’ (𝑧 Β·e 𝐢) = (Ξ£*π‘˜ ∈ 𝐴𝐡 Β·e 𝐢))
443ralrimiva 3144 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ (0[,]+∞))
45 nfcv 2901 . . . . 5 β„²π‘˜π΄
4645esumcl 33326 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ (0[,]+∞)) β†’ Ξ£*π‘˜ ∈ 𝐴𝐡 ∈ (0[,]+∞))
472, 44, 46syl2anc 582 . . 3 (πœ‘ β†’ Ξ£*π‘˜ ∈ 𝐴𝐡 ∈ (0[,]+∞))
48 ovexd 7446 . . 3 (πœ‘ β†’ (Ξ£*π‘˜ ∈ 𝐴𝐡 Β·e 𝐢) ∈ V)
497, 43, 47, 48fvmptd 7004 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 Β·e 𝐢))β€˜Ξ£*π‘˜ ∈ 𝐴𝐡) = (Ξ£*π‘˜ ∈ 𝐴𝐡 Β·e 𝐢))
50 eqidd 2731 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 Β·e 𝐢)) = (𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 Β·e 𝐢)))
51 simpr 483 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 = 𝐡) β†’ 𝑧 = 𝐡)
5251oveq1d 7426 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 = 𝐡) β†’ (𝑧 Β·e 𝐢) = (𝐡 Β·e 𝐢))
53 ovexd 7446 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (𝐡 Β·e 𝐢) ∈ V)
5450, 52, 3, 53fvmptd 7004 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ ((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 Β·e 𝐢))β€˜π΅) = (𝐡 Β·e 𝐢))
5554esumeq2dv 33334 . 2 (πœ‘ β†’ Ξ£*π‘˜ ∈ 𝐴((𝑧 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑧 Β·e 𝐢))β€˜π΅) = Ξ£*π‘˜ ∈ 𝐴(𝐡 Β·e 𝐢))
5641, 49, 553eqtr3d 2778 1 (πœ‘ β†’ (Ξ£*π‘˜ ∈ 𝐴𝐡 Β·e 𝐢) = Ξ£*π‘˜ ∈ 𝐴(𝐡 Β·e 𝐢))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  Vcvv 3472   ↦ cmpt 5230  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  0cc0 11112  +∞cpnf 11249  β„*cxr 11251   ≀ cle 11253   +𝑒 cxad 13094   Β·e cxmu 13095  [,)cico 13330  [,]cicc 13331   β†Ύt crest 17370  ordTopcordt 17449  Ξ£*cesum 33323
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ioc 13333  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-hash 14295  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-ordt 17451  df-xrs 17452  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-ps 18523  df-tsr 18524  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18705  df-submnd 18706  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-ntr 22744  df-nei 22822  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-haus 23039  df-fil 23570  df-fm 23662  df-flim 23663  df-flf 23664  df-tsms 23851  df-esum 33324
This theorem is referenced by:  esummulc2  33378  esumdivc  33379
  Copyright terms: Public domain W3C validator