Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrge0slmod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrge0slmod 30291
Description: The extended nonnegative real numbers form a semiring left module. One could also have used subringAlg to get the same structure. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
xrge0slmod.1 𝐺 = (ℝ*𝑠s (0[,]+∞))
xrge0slmod.2 𝑊 = (𝐺v (0[,)+∞))
Assertion
Ref Expression
xrge0slmod 𝑊 ∈ SLMod

Proof of Theorem xrge0slmod
Dummy variables 𝑟 𝑞 𝑤 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrge0slmod.1 . . . 4 𝐺 = (ℝ*𝑠s (0[,]+∞))
2 xrge0cmn 20061 . . . 4 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
31, 2eqeltri 2840 . . 3 𝐺 ∈ CMnd
4 ovex 6874 . . . 4 (0[,)+∞) ∈ V
5 xrge0slmod.2 . . . . 5 𝑊 = (𝐺v (0[,)+∞))
65resvcmn 30285 . . . 4 ((0[,)+∞) ∈ V → (𝐺 ∈ CMnd ↔ 𝑊 ∈ CMnd))
74, 6ax-mp 5 . . 3 (𝐺 ∈ CMnd ↔ 𝑊 ∈ CMnd)
83, 7mpbi 221 . 2 𝑊 ∈ CMnd
9 rge0srg 20090 . 2 (ℂflds (0[,)+∞)) ∈ SRing
10 icossicc 12463 . . . . . . . 8 (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
11 simplr 785 . . . . . . . 8 (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → 𝑟 ∈ (0[,)+∞))
1210, 11sseldi 3759 . . . . . . 7 (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → 𝑟 ∈ (0[,]+∞))
13 simprr 789 . . . . . . 7 (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → 𝑤 ∈ (0[,]+∞))
14 ge0xmulcl 12491 . . . . . . 7 ((𝑟 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑟 ·e 𝑤) ∈ (0[,]+∞))
1512, 13, 14syl2anc 579 . . . . . 6 (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → (𝑟 ·e 𝑤) ∈ (0[,]+∞))
16 simprl 787 . . . . . . 7 (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → 𝑥 ∈ (0[,]+∞))
17 xrge0adddi 30140 . . . . . . 7 ((𝑤 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑟 ·e (𝑤 +𝑒 𝑥)) = ((𝑟 ·e 𝑤) +𝑒 (𝑟 ·e 𝑥)))
1813, 16, 12, 17syl3anc 1490 . . . . . 6 (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → (𝑟 ·e (𝑤 +𝑒 𝑥)) = ((𝑟 ·e 𝑤) +𝑒 (𝑟 ·e 𝑥)))
19 rge0ssre 12484 . . . . . . . . . 10 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
20 simpll 783 . . . . . . . . . 10 (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → 𝑞 ∈ (0[,)+∞))
2119, 20sseldi 3759 . . . . . . . . 9 (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → 𝑞 ∈ ℝ)
2219, 11sseldi 3759 . . . . . . . . 9 (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → 𝑟 ∈ ℝ)
23 rexadd 12265 . . . . . . . . 9 ((𝑞 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑞 +𝑒 𝑟) = (𝑞 + 𝑟))
2421, 22, 23syl2anc 579 . . . . . . . 8 (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → (𝑞 +𝑒 𝑟) = (𝑞 + 𝑟))
2524oveq1d 6857 . . . . . . 7 (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → ((𝑞 +𝑒 𝑟) ·e 𝑤) = ((𝑞 + 𝑟) ·e 𝑤))
2610, 20sseldi 3759 . . . . . . . 8 (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → 𝑞 ∈ (0[,]+∞))
27 xrge0adddir 30139 . . . . . . . 8 ((𝑞 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑞 +𝑒 𝑟) ·e 𝑤) = ((𝑞 ·e 𝑤) +𝑒 (𝑟 ·e 𝑤)))
2826, 12, 13, 27syl3anc 1490 . . . . . . 7 (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → ((𝑞 +𝑒 𝑟) ·e 𝑤) = ((𝑞 ·e 𝑤) +𝑒 (𝑟 ·e 𝑤)))
2925, 28eqtr3d 2801 . . . . . 6 (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → ((𝑞 + 𝑟) ·e 𝑤) = ((𝑞 ·e 𝑤) +𝑒 (𝑟 ·e 𝑤)))
3015, 18, 293jca 1158 . . . . 5 (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → ((𝑟 ·e 𝑤) ∈ (0[,]+∞) ∧ (𝑟 ·e (𝑤 +𝑒 𝑥)) = ((𝑟 ·e 𝑤) +𝑒 (𝑟 ·e 𝑥)) ∧ ((𝑞 + 𝑟) ·e 𝑤) = ((𝑞 ·e 𝑤) +𝑒 (𝑟 ·e 𝑤))))
31 rexmul 12303 . . . . . . . . 9 ((𝑞 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑞 ·e 𝑟) = (𝑞 · 𝑟))
3221, 22, 31syl2anc 579 . . . . . . . 8 (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → (𝑞 ·e 𝑟) = (𝑞 · 𝑟))
3332oveq1d 6857 . . . . . . 7 (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → ((𝑞 ·e 𝑟) ·e 𝑤) = ((𝑞 · 𝑟) ·e 𝑤))
3421rexrd 10343 . . . . . . . 8 (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → 𝑞 ∈ ℝ*)
3522rexrd 10343 . . . . . . . 8 (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → 𝑟 ∈ ℝ*)
36 iccssxr 12458 . . . . . . . . 9 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
3736, 13sseldi 3759 . . . . . . . 8 (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → 𝑤 ∈ ℝ*)
38 xmulass 12319 . . . . . . . 8 ((𝑞 ∈ ℝ*𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → ((𝑞 ·e 𝑟) ·e 𝑤) = (𝑞 ·e (𝑟 ·e 𝑤)))
3934, 35, 37, 38syl3anc 1490 . . . . . . 7 (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → ((𝑞 ·e 𝑟) ·e 𝑤) = (𝑞 ·e (𝑟 ·e 𝑤)))
4033, 39eqtr3d 2801 . . . . . 6 (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → ((𝑞 · 𝑟) ·e 𝑤) = (𝑞 ·e (𝑟 ·e 𝑤)))
41 xmulid2 12312 . . . . . . 7 (𝑤 ∈ ℝ* → (1 ·e 𝑤) = 𝑤)
4237, 41syl 17 . . . . . 6 (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → (1 ·e 𝑤) = 𝑤)
43 xmul02 12300 . . . . . . 7 (𝑤 ∈ ℝ* → (0 ·e 𝑤) = 0)
4437, 43syl 17 . . . . . 6 (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → (0 ·e 𝑤) = 0)
4540, 42, 443jca 1158 . . . . 5 (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → (((𝑞 · 𝑟) ·e 𝑤) = (𝑞 ·e (𝑟 ·e 𝑤)) ∧ (1 ·e 𝑤) = 𝑤 ∧ (0 ·e 𝑤) = 0))
4630, 45jca 507 . . . 4 (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → (((𝑟 ·e 𝑤) ∈ (0[,]+∞) ∧ (𝑟 ·e (𝑤 +𝑒 𝑥)) = ((𝑟 ·e 𝑤) +𝑒 (𝑟 ·e 𝑥)) ∧ ((𝑞 + 𝑟) ·e 𝑤) = ((𝑞 ·e 𝑤) +𝑒 (𝑟 ·e 𝑤))) ∧ (((𝑞 · 𝑟) ·e 𝑤) = (𝑞 ·e (𝑟 ·e 𝑤)) ∧ (1 ·e 𝑤) = 𝑤 ∧ (0 ·e 𝑤) = 0)))
4746ralrimivva 3118 . . 3 ((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) → ∀𝑥 ∈ (0[,]+∞)∀𝑤 ∈ (0[,]+∞)(((𝑟 ·e 𝑤) ∈ (0[,]+∞) ∧ (𝑟 ·e (𝑤 +𝑒 𝑥)) = ((𝑟 ·e 𝑤) +𝑒 (𝑟 ·e 𝑥)) ∧ ((𝑞 + 𝑟) ·e 𝑤) = ((𝑞 ·e 𝑤) +𝑒 (𝑟 ·e 𝑤))) ∧ (((𝑞 · 𝑟) ·e 𝑤) = (𝑞 ·e (𝑟 ·e 𝑤)) ∧ (1 ·e 𝑤) = 𝑤 ∧ (0 ·e 𝑤) = 0)))
4847rgen2a 3124 . 2 𝑞 ∈ (0[,)+∞)∀𝑟 ∈ (0[,)+∞)∀𝑥 ∈ (0[,]+∞)∀𝑤 ∈ (0[,]+∞)(((𝑟 ·e 𝑤) ∈ (0[,]+∞) ∧ (𝑟 ·e (𝑤 +𝑒 𝑥)) = ((𝑟 ·e 𝑤) +𝑒 (𝑟 ·e 𝑥)) ∧ ((𝑞 + 𝑟) ·e 𝑤) = ((𝑞 ·e 𝑤) +𝑒 (𝑟 ·e 𝑤))) ∧ (((𝑞 · 𝑟) ·e 𝑤) = (𝑞 ·e (𝑟 ·e 𝑤)) ∧ (1 ·e 𝑤) = 𝑤 ∧ (0 ·e 𝑤) = 0))
49 xrge0base 30132 . . . . . 6 (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
501fveq2i 6378 . . . . . 6 (Base‘𝐺) = (Base‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
5149, 50eqtr4i 2790 . . . . 5 (0[,]+∞) = (Base‘𝐺)
525, 51resvbas 30279 . . . 4 ((0[,)+∞) ∈ V → (0[,]+∞) = (Base‘𝑊))
534, 52ax-mp 5 . . 3 (0[,]+∞) = (Base‘𝑊)
54 xrge0plusg 30134 . . . . . 6 +𝑒 = (+g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
551fveq2i 6378 . . . . . 6 (+g𝐺) = (+g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
5654, 55eqtr4i 2790 . . . . 5 +𝑒 = (+g𝐺)
575, 56resvplusg 30280 . . . 4 ((0[,)+∞) ∈ V → +𝑒 = (+g𝑊))
584, 57ax-mp 5 . . 3 +𝑒 = (+g𝑊)
59 ovex 6874 . . . . . 6 (0[,]+∞) ∈ V
60 ax-xrsvsca 30121 . . . . . . 7 ·e = ( ·𝑠 ‘ℝ*𝑠)
611, 60ressvsca 16304 . . . . . 6 ((0[,]+∞) ∈ V → ·e = ( ·𝑠𝐺))
6259, 61ax-mp 5 . . . . 5 ·e = ( ·𝑠𝐺)
635, 62resvvsca 30281 . . . 4 ((0[,)+∞) ∈ V → ·e = ( ·𝑠𝑊))
644, 63ax-mp 5 . . 3 ·e = ( ·𝑠𝑊)
65 xrge00 30133 . . . . . 6 0 = (0g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
661fveq2i 6378 . . . . . 6 (0g𝐺) = (0g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
6765, 66eqtr4i 2790 . . . . 5 0 = (0g𝐺)
685, 67resv0g 30283 . . . 4 ((0[,)+∞) ∈ V → 0 = (0g𝑊))
694, 68ax-mp 5 . . 3 0 = (0g𝑊)
70 df-refld 20225 . . . . . 6 fld = (ℂflds ℝ)
7170oveq1i 6852 . . . . 5 (ℝflds (0[,)+∞)) = ((ℂflds ℝ) ↾s (0[,)+∞))
72 reex 10280 . . . . . 6 ℝ ∈ V
73 ressress 16211 . . . . . 6 ((ℝ ∈ V ∧ (0[,)+∞) ∈ V) → ((ℂflds ℝ) ↾s (0[,)+∞)) = (ℂflds (ℝ ∩ (0[,)+∞))))
7472, 4, 73mp2an 683 . . . . 5 ((ℂflds ℝ) ↾s (0[,)+∞)) = (ℂflds (ℝ ∩ (0[,)+∞)))
7571, 74eqtri 2787 . . . 4 (ℝflds (0[,)+∞)) = (ℂflds (ℝ ∩ (0[,)+∞)))
76 ax-xrssca 30120 . . . . . . . 8 fld = (Scalar‘ℝ*𝑠)
771, 76resssca 16303 . . . . . . 7 ((0[,]+∞) ∈ V → ℝfld = (Scalar‘𝐺))
7859, 77ax-mp 5 . . . . . 6 fld = (Scalar‘𝐺)
79 rebase 20226 . . . . . 6 ℝ = (Base‘ℝfld)
805, 78, 79resvsca 30277 . . . . 5 ((0[,)+∞) ∈ V → (ℝflds (0[,)+∞)) = (Scalar‘𝑊))
814, 80ax-mp 5 . . . 4 (ℝflds (0[,)+∞)) = (Scalar‘𝑊)
82 incom 3967 . . . . . 6 ((0[,)+∞) ∩ ℝ) = (ℝ ∩ (0[,)+∞))
83 df-ss 3746 . . . . . . 7 ((0[,)+∞) ⊆ ℝ ↔ ((0[,)+∞) ∩ ℝ) = (0[,)+∞))
8419, 83mpbi 221 . . . . . 6 ((0[,)+∞) ∩ ℝ) = (0[,)+∞)
8582, 84eqtr3i 2789 . . . . 5 (ℝ ∩ (0[,)+∞)) = (0[,)+∞)
8685oveq2i 6853 . . . 4 (ℂflds (ℝ ∩ (0[,)+∞))) = (ℂflds (0[,)+∞))
8775, 81, 863eqtr3ri 2796 . . 3 (ℂflds (0[,)+∞)) = (Scalar‘𝑊)
88 ax-resscn 10246 . . . . 5 ℝ ⊆ ℂ
8919, 88sstri 3770 . . . 4 (0[,)+∞) ⊆ ℂ
90 eqid 2765 . . . . 5 (ℂflds (0[,)+∞)) = (ℂflds (0[,)+∞))
91 cnfldbas 20023 . . . . 5 ℂ = (Base‘ℂfld)
9290, 91ressbas2 16203 . . . 4 ((0[,)+∞) ⊆ ℂ → (0[,)+∞) = (Base‘(ℂflds (0[,)+∞))))
9389, 92ax-mp 5 . . 3 (0[,)+∞) = (Base‘(ℂflds (0[,)+∞)))
94 cnfldadd 20024 . . . . 5 + = (+g‘ℂfld)
9590, 94ressplusg 16265 . . . 4 ((0[,)+∞) ∈ V → + = (+g‘(ℂflds (0[,)+∞))))
964, 95ax-mp 5 . . 3 + = (+g‘(ℂflds (0[,)+∞)))
97 cnfldmul 20025 . . . . 5 · = (.r‘ℂfld)
9890, 97ressmulr 16278 . . . 4 ((0[,)+∞) ∈ V → · = (.r‘(ℂflds (0[,)+∞))))
994, 98ax-mp 5 . . 3 · = (.r‘(ℂflds (0[,)+∞)))
100 cndrng 20048 . . . . 5 fld ∈ DivRing
101 drngring 19023 . . . . 5 (ℂfld ∈ DivRing → ℂfld ∈ Ring)
102100, 101ax-mp 5 . . . 4 fld ∈ Ring
103 1re 10293 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
104 0le1 10805 . . . . . 6 0 ≤ 1
105 ltpnf 12154 . . . . . . 7 (1 ∈ ℝ → 1 < +∞)
106103, 105ax-mp 5 . . . . . 6 1 < +∞
107103, 104, 1063pm3.2i 1438 . . . . 5 (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1 ∧ 1 < +∞)
108 0re 10295 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
109 pnfxr 10346 . . . . . 6 +∞ ∈ ℝ*
110 elico2 12439 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (1 ∈ (0[,)+∞) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1 ∧ 1 < +∞)))
111108, 109, 110mp2an 683 . . . . 5 (1 ∈ (0[,)+∞) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1 ∧ 1 < +∞))
112107, 111mpbir 222 . . . 4 1 ∈ (0[,)+∞)
113 cnfld1 20044 . . . . 5 1 = (1r‘ℂfld)
11490, 91, 113ress1r 30236 . . . 4 ((ℂfld ∈ Ring ∧ 1 ∈ (0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℂ) → 1 = (1r‘(ℂflds (0[,)+∞))))
115102, 112, 89, 114mp3an 1585 . . 3 1 = (1r‘(ℂflds (0[,)+∞)))
116 ringmnd 18823 . . . . 5 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
117100, 101, 116mp2b 10 . . . 4 fld ∈ Mnd
118 0e0icopnf 12486 . . . 4 0 ∈ (0[,)+∞)
119 cnfld0 20043 . . . . 5 0 = (0g‘ℂfld)
12090, 91, 119ress0g 17585 . . . 4 ((ℂfld ∈ Mnd ∧ 0 ∈ (0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℂ) → 0 = (0g‘(ℂflds (0[,)+∞))))
121117, 118, 89, 120mp3an 1585 . . 3 0 = (0g‘(ℂflds (0[,)+∞)))
12253, 58, 64, 69, 87, 93, 96, 99, 115, 121isslmd 30202 . 2 (𝑊 ∈ SLMod ↔ (𝑊 ∈ CMnd ∧ (ℂflds (0[,)+∞)) ∈ SRing ∧ ∀𝑞 ∈ (0[,)+∞)∀𝑟 ∈ (0[,)+∞)∀𝑥 ∈ (0[,]+∞)∀𝑤 ∈ (0[,]+∞)(((𝑟 ·e 𝑤) ∈ (0[,]+∞) ∧ (𝑟 ·e (𝑤 +𝑒 𝑥)) = ((𝑟 ·e 𝑤) +𝑒 (𝑟 ·e 𝑥)) ∧ ((𝑞 + 𝑟) ·e 𝑤) = ((𝑞 ·e 𝑤) +𝑒 (𝑟 ·e 𝑤))) ∧ (((𝑞 · 𝑟) ·e 𝑤) = (𝑞 ·e (𝑟 ·e 𝑤)) ∧ (1 ·e 𝑤) = 𝑤 ∧ (0 ·e 𝑤) = 0))))
1238, 9, 48, 122mpbir3an 1441 1 𝑊 ∈ SLMod
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wral 3055  Vcvv 3350  cin 3731  wss 3732   class class class wbr 4809  cfv 6068  (class class class)co 6842  cc 10187  cr 10188  0cc0 10189  1c1 10190   + caddc 10192   · cmul 10194  +∞cpnf 10325  *cxr 10327   < clt 10328  cle 10329   +𝑒 cxad 12144   ·e cxmu 12145  [,)cico 12379  [,]cicc 12380  Basecbs 16130  s cress 16131  +gcplusg 16214  .rcmulr 16215  Scalarcsca 16217   ·𝑠 cvsca 16218  0gc0g 16366  *𝑠cxrs 16426  Mndcmnd 17560  CMndccmn 18459  1rcur 18768  SRingcsrg 18772  Ringcrg 18814  DivRingcdr 19016  fldccnfld 20019  fldcrefld 20224  SLModcslmd 30200  v cresv 30271
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-addf 10268  ax-mulf 10269  ax-xrssca 30120  ax-xrsvsca 30121
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-tpos 7555  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-oadd 7768  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-z 11625  df-dec 11741  df-uz 11887  df-xneg 12146  df-xadd 12147  df-xmul 12148  df-ico 12383  df-icc 12384  df-fz 12534  df-struct 16132  df-ndx 16133  df-slot 16134  df-base 16136  df-sets 16137  df-ress 16138  df-plusg 16227  df-mulr 16228  df-starv 16229  df-sca 16230  df-vsca 16231  df-tset 16233  df-ple 16234  df-ds 16236  df-unif 16237  df-0g 16368  df-xrs 16428  df-mgm 17508  df-sgrp 17550  df-mnd 17561  df-submnd 17602  df-grp 17692  df-minusg 17693  df-cmn 18461  df-abl 18462  df-mgp 18757  df-ur 18769  df-srg 18773  df-ring 18816  df-cring 18817  df-oppr 18890  df-dvdsr 18908  df-unit 18909  df-invr 18939  df-dvr 18950  df-drng 19018  df-cnfld 20020  df-refld 20225  df-slmd 30201  df-resv 30272
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator