Theorem xrge0slmod 32325

Description: The extended nonnegative real numbers form a semiring left module. One could also have used subringAlg to get the same structure. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrge0slmod.1	⊢ 𝐺 = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))
xrge0slmod.2	⊢ 𝑊 = (𝐺 ↾v (0[,)+∞))

Assertion

Ref	Expression
xrge0slmod	⊢ 𝑊 ∈ SLMod

Proof of Theorem xrge0slmod

Dummy variables 𝑟 𝑞 𝑤 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrge0slmod.1	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))
2		xrge0cmn 20921	. . . 4 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
3	1, 2	eqeltri 2828	. . 3 ⊢ 𝐺 ∈ CMnd
4		ovex 7426	. . . 4 ⊢ (0[,)+∞) ∈ V
5		xrge0slmod.2	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = (𝐺 ↾v (0[,)+∞))
6	5	resvcmn 32319	. . . 4 ⊢ ((0[,)+∞) ∈ V → (𝐺 ∈ CMnd ↔ 𝑊 ∈ CMnd))
7	4, 6	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd ↔ 𝑊 ∈ CMnd)
8	3, 7	mpbi 229	. 2 ⊢ 𝑊 ∈ CMnd
9		rge0srg 20950	. 2 ⊢ (ℂfld ↾s (0[,)+∞)) ∈ SRing
10		icossicc 13395	. . . . . . . 8 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
11		simplr 767	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → 𝑟 ∈ (0[,)+∞))
12	10, 11	sselid 3976	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → 𝑟 ∈ (0[,]+∞))
13		simprr 771	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → 𝑤 ∈ (0[,]+∞))
14		ge0xmulcl 13422	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑟 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑟 ·e 𝑤) ∈ (0[,]+∞))
15	12, 13, 14	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → (𝑟 ·e 𝑤) ∈ (0[,]+∞))
16		simprl 769	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → 𝑥 ∈ (0[,]+∞))
17		xrge0adddi 32065	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑤 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑟 ·e (𝑤 +𝑒 𝑥)) = ((𝑟 ·e 𝑤) +𝑒 (𝑟 ·e 𝑥)))
18	13, 16, 12, 17	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → (𝑟 ·e (𝑤 +𝑒 𝑥)) = ((𝑟 ·e 𝑤) +𝑒 (𝑟 ·e 𝑥)))
19		rge0ssre 13415	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
20		simpll 765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → 𝑞 ∈ (0[,)+∞))
21	19, 20	sselid 3976	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → 𝑞 ∈ ℝ)
22	19, 11	sselid 3976	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → 𝑟 ∈ ℝ)
23		rexadd 13193	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑞 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑞 +𝑒 𝑟) = (𝑞 + 𝑟))
24	21, 22, 23	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → (𝑞 +𝑒 𝑟) = (𝑞 + 𝑟))
25	24	oveq1d 7408	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → ((𝑞 +𝑒 𝑟) ·e 𝑤) = ((𝑞 + 𝑟) ·e 𝑤))
26	10, 20	sselid 3976	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → 𝑞 ∈ (0[,]+∞))
27		xrge0adddir 32064	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑞 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑞 +𝑒 𝑟) ·e 𝑤) = ((𝑞 ·e 𝑤) +𝑒 (𝑟 ·e 𝑤)))
28	26, 12, 13, 27	syl3anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → ((𝑞 +𝑒 𝑟) ·e 𝑤) = ((𝑞 ·e 𝑤) +𝑒 (𝑟 ·e 𝑤)))
29	25, 28	eqtr3d 2773	. . . . . 6 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → ((𝑞 + 𝑟) ·e 𝑤) = ((𝑞 ·e 𝑤) +𝑒 (𝑟 ·e 𝑤)))
30	15, 18, 29	3jca 1128	. . . . 5 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → ((𝑟 ·e 𝑤) ∈ (0[,]+∞) ∧ (𝑟 ·e (𝑤 +𝑒 𝑥)) = ((𝑟 ·e 𝑤) +𝑒 (𝑟 ·e 𝑥)) ∧ ((𝑞 + 𝑟) ·e 𝑤) = ((𝑞 ·e 𝑤) +𝑒 (𝑟 ·e 𝑤))))
31		rexmul 13232	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑞 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑞 ·e 𝑟) = (𝑞 · 𝑟))
32	21, 22, 31	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → (𝑞 ·e 𝑟) = (𝑞 · 𝑟))
33	32	oveq1d 7408	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → ((𝑞 ·e 𝑟) ·e 𝑤) = ((𝑞 · 𝑟) ·e 𝑤))
34	21	rexrd 11246	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → 𝑞 ∈ ℝ*)
35	22	rexrd 11246	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → 𝑟 ∈ ℝ*)
36		iccssxr 13389	. . . . . . . . 9 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
37	36, 13	sselid 3976	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → 𝑤 ∈ ℝ*)
38		xmulass 13248	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑞 ∈ ℝ* ∧ 𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → ((𝑞 ·e 𝑟) ·e 𝑤) = (𝑞 ·e (𝑟 ·e 𝑤)))
39	34, 35, 37, 38	syl3anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → ((𝑞 ·e 𝑟) ·e 𝑤) = (𝑞 ·e (𝑟 ·e 𝑤)))
40	33, 39	eqtr3d 2773	. . . . . 6 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → ((𝑞 · 𝑟) ·e 𝑤) = (𝑞 ·e (𝑟 ·e 𝑤)))
41		xmullid 13241	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ* → (1 ·e 𝑤) = 𝑤)
42	37, 41	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → (1 ·e 𝑤) = 𝑤)
43		xmul02 13229	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ* → (0 ·e 𝑤) = 0)
44	37, 43	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → (0 ·e 𝑤) = 0)
45	40, 42, 44	3jca 1128	. . . . 5 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → (((𝑞 · 𝑟) ·e 𝑤) = (𝑞 ·e (𝑟 ·e 𝑤)) ∧ (1 ·e 𝑤) = 𝑤 ∧ (0 ·e 𝑤) = 0))
46	30, 45	jca 512	. . . 4 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → (((𝑟 ·e 𝑤) ∈ (0[,]+∞) ∧ (𝑟 ·e (𝑤 +𝑒 𝑥)) = ((𝑟 ·e 𝑤) +𝑒 (𝑟 ·e 𝑥)) ∧ ((𝑞 + 𝑟) ·e 𝑤) = ((𝑞 ·e 𝑤) +𝑒 (𝑟 ·e 𝑤))) ∧ (((𝑞 · 𝑟) ·e 𝑤) = (𝑞 ·e (𝑟 ·e 𝑤)) ∧ (1 ·e 𝑤) = 𝑤 ∧ (0 ·e 𝑤) = 0)))
47	46	ralrimivva 3199	. . 3 ⊢ ((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) → ∀𝑥 ∈ (0[,]+∞)∀𝑤 ∈ (0[,]+∞)(((𝑟 ·e 𝑤) ∈ (0[,]+∞) ∧ (𝑟 ·e (𝑤 +𝑒 𝑥)) = ((𝑟 ·e 𝑤) +𝑒 (𝑟 ·e 𝑥)) ∧ ((𝑞 + 𝑟) ·e 𝑤) = ((𝑞 ·e 𝑤) +𝑒 (𝑟 ·e 𝑤))) ∧ (((𝑞 · 𝑟) ·e 𝑤) = (𝑞 ·e (𝑟 ·e 𝑤)) ∧ (1 ·e 𝑤) = 𝑤 ∧ (0 ·e 𝑤) = 0)))
48	47	rgen2 3196	. 2 ⊢ ∀𝑞 ∈ (0[,)+∞)∀𝑟 ∈ (0[,)+∞)∀𝑥 ∈ (0[,]+∞)∀𝑤 ∈ (0[,]+∞)(((𝑟 ·e 𝑤) ∈ (0[,]+∞) ∧ (𝑟 ·e (𝑤 +𝑒 𝑥)) = ((𝑟 ·e 𝑤) +𝑒 (𝑟 ·e 𝑥)) ∧ ((𝑞 + 𝑟) ·e 𝑤) = ((𝑞 ·e 𝑤) +𝑒 (𝑟 ·e 𝑤))) ∧ (((𝑞 · 𝑟) ·e 𝑤) = (𝑞 ·e (𝑟 ·e 𝑤)) ∧ (1 ·e 𝑤) = 𝑤 ∧ (0 ·e 𝑤) = 0))
49		xrge0base 32057	. . . . . 6 ⊢ (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
50	1	fveq2i 6881	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
51	49, 50	eqtr4i 2762	. . . . 5 ⊢ (0[,]+∞) = (Base‘𝐺)
52	5, 51	resvbas 32309	. . . 4 ⊢ ((0[,)+∞) ∈ V → (0[,]+∞) = (Base‘𝑊))
53	4, 52	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (0[,]+∞) = (Base‘𝑊)
54		xrge0plusg 32059	. . . . . 6 ⊢ +𝑒 = (+g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
55	1	fveq2i 6881	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
56	54, 55	eqtr4i 2762	. . . . 5 ⊢ +𝑒 = (+g‘𝐺)
57	5, 56	resvplusg 32311	. . . 4 ⊢ ((0[,)+∞) ∈ V → +𝑒 = (+g‘𝑊))
58	4, 57	ax-mp 5	. . 3 ⊢ +𝑒 = (+g‘𝑊)
59		ovex 7426	. . . . . 6 ⊢ (0[,]+∞) ∈ V
60		ax-xrsvsca 32046	. . . . . . 7 ⊢ ·e = ( ·𝑠 ‘ℝ*𝑠)
61	1, 60	ressvsca 17271	. . . . . 6 ⊢ ((0[,]+∞) ∈ V → ·e = ( ·𝑠 ‘𝐺))
62	59, 61	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ·e = ( ·𝑠 ‘𝐺)
63	5, 62	resvvsca 32313	. . . 4 ⊢ ((0[,)+∞) ∈ V → ·e = ( ·𝑠 ‘𝑊))
64	4, 63	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ·e = ( ·𝑠 ‘𝑊)
65		xrge00 32058	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
66	1	fveq2i 6881	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
67	65, 66	eqtr4i 2762	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
68	5, 67	resv0g 32317	. . . 4 ⊢ ((0[,)+∞) ∈ V → 0 = (0g‘𝑊))
69	4, 68	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
70		df-refld 21091	. . . . . 6 ⊢ ℝfld = (ℂfld ↾s ℝ)
71	70	oveq1i 7403	. . . . 5 ⊢ (ℝfld ↾s (0[,)+∞)) = ((ℂfld ↾s ℝ) ↾s (0[,)+∞))
72		reex 11183	. . . . . 6 ⊢ ℝ ∈ V
73		ressress 17175	. . . . . 6 ⊢ ((ℝ ∈ V ∧ (0[,)+∞) ∈ V) → ((ℂfld ↾s ℝ) ↾s (0[,)+∞)) = (ℂfld ↾s (ℝ ∩ (0[,)+∞))))
74	72, 4, 73	mp2an 690	. . . . 5 ⊢ ((ℂfld ↾s ℝ) ↾s (0[,)+∞)) = (ℂfld ↾s (ℝ ∩ (0[,)+∞)))
75	71, 74	eqtri 2759	. . . 4 ⊢ (ℝfld ↾s (0[,)+∞)) = (ℂfld ↾s (ℝ ∩ (0[,)+∞)))
76		ax-xrssca 32045	. . . . . . . 8 ⊢ ℝfld = (Scalar‘ℝ*𝑠)
77	1, 76	resssca 17270	. . . . . . 7 ⊢ ((0[,]+∞) ∈ V → ℝfld = (Scalar‘𝐺))
78	59, 77	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ℝfld = (Scalar‘𝐺)
79		rebase 21092	. . . . . 6 ⊢ ℝ = (Base‘ℝfld)
80	5, 78, 79	resvsca 32306	. . . . 5 ⊢ ((0[,)+∞) ∈ V → (ℝfld ↾s (0[,)+∞)) = (Scalar‘𝑊))
81	4, 80	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (ℝfld ↾s (0[,)+∞)) = (Scalar‘𝑊)
82		incom 4197	. . . . . 6 ⊢ ((0[,)+∞) ∩ ℝ) = (ℝ ∩ (0[,)+∞))
83		df-ss 3961	. . . . . . 7 ⊢ ((0[,)+∞) ⊆ ℝ ↔ ((0[,)+∞) ∩ ℝ) = (0[,)+∞))
84	19, 83	mpbi 229	. . . . . 6 ⊢ ((0[,)+∞) ∩ ℝ) = (0[,)+∞)
85	82, 84	eqtr3i 2761	. . . . 5 ⊢ (ℝ ∩ (0[,)+∞)) = (0[,)+∞)
86	85	oveq2i 7404	. . . 4 ⊢ (ℂfld ↾s (ℝ ∩ (0[,)+∞))) = (ℂfld ↾s (0[,)+∞))
87	75, 81, 86	3eqtr3ri 2768	. . 3 ⊢ (ℂfld ↾s (0[,)+∞)) = (Scalar‘𝑊)
88		ax-resscn 11149	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
89	19, 88	sstri 3987	. . . 4 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℂ
90		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ↾s (0[,)+∞)) = (ℂfld ↾s (0[,)+∞))
91		cnfldbas 20882	. . . . 5 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
92	90, 91	ressbas2 17164	. . . 4 ⊢ ((0[,)+∞) ⊆ ℂ → (0[,)+∞) = (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))
93	89, 92	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (0[,)+∞) = (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞)))
94		cnfldadd 20883	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
95	90, 94	ressplusg 17217	. . . 4 ⊢ ((0[,)+∞) ∈ V → + = (+g‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))
96	4, 95	ax-mp 5	. . 3 ⊢ + = (+g‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞)))
97		cnfldmul 20884	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
98	90, 97	ressmulr 17234	. . . 4 ⊢ ((0[,)+∞) ∈ V → · = (.r‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))
99	4, 98	ax-mp 5	. . 3 ⊢ · = (.r‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞)))
100		cndrng 20908	. . . . 5 ⊢ ℂfld ∈ DivRing
101		drngring 20272	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∈ DivRing → ℂfld ∈ Ring)
102	100, 101	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Ring
103		1re 11196	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
104		0le1 11719	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 1
105		ltpnf 13082	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℝ → 1 < +∞)
106	103, 105	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 1 < +∞
107	103, 104, 106	3pm3.2i 1339	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1 ∧ 1 < +∞)
108		0re 11198	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
109		pnfxr 11250	. . . . . 6 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
110		elico2 13370	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (1 ∈ (0[,)+∞) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1 ∧ 1 < +∞)))
111	108, 109, 110	mp2an 690	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ (0[,)+∞) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1 ∧ 1 < +∞))
112	107, 111	mpbir 230	. . . 4 ⊢ 1 ∈ (0[,)+∞)
113		cnfld1 20904	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
114	90, 91, 113	ress1r 32251	. . . 4 ⊢ ((ℂfld ∈ Ring ∧ 1 ∈ (0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℂ) → 1 = (1r‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))
115	102, 112, 89, 114	mp3an 1461	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞)))
116		ringmnd 20024	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
117	100, 101, 116	mp2b 10	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Mnd
118		0e0icopnf 13417	. . . 4 ⊢ 0 ∈ (0[,)+∞)
119		cnfld0 20903	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
120	90, 91, 119	ress0g 18630	. . . 4 ⊢ ((ℂfld ∈ Mnd ∧ 0 ∈ (0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℂ) → 0 = (0g‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))
121	117, 118, 89, 120	mp3an 1461	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞)))
122	53, 58, 64, 69, 87, 93, 96, 99, 115, 121	isslmd 32218	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ SLMod ↔ (𝑊 ∈ CMnd ∧ (ℂfld ↾s (0[,)+∞)) ∈ SRing ∧ ∀𝑞 ∈ (0[,)+∞)∀𝑟 ∈ (0[,)+∞)∀𝑥 ∈ (0[,]+∞)∀𝑤 ∈ (0[,]+∞)(((𝑟 ·e 𝑤) ∈ (0[,]+∞) ∧ (𝑟 ·e (𝑤 +𝑒 𝑥)) = ((𝑟 ·e 𝑤) +𝑒 (𝑟 ·e 𝑥)) ∧ ((𝑞 + 𝑟) ·e 𝑤) = ((𝑞 ·e 𝑤) +𝑒 (𝑟 ·e 𝑤))) ∧ (((𝑞 · 𝑟) ·e 𝑤) = (𝑞 ·e (𝑟 ·e 𝑤)) ∧ (1 ·e 𝑤) = 𝑤 ∧ (0 ·e 𝑤) = 0))))
123	8, 9, 48, 122	mpbir3an 1341	1 ⊢ 𝑊 ∈ SLMod

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3060  Vcvv 3473   ∩ cin 3943   ⊆ wss 3944   class class class wbr 5141  ‘cfv 6532  (class class class)co 7393  ℂcc 11090  ℝcr 11091  0cc0 11092  1c1 11093   + caddc 11095   · cmul 11097  +∞cpnf 11227  ℝ^*cxr 11229   < clt 11230   ≤ cle 11231   +_𝑒 cxad 13072   ·_e cxmu 13073  [,)cico 13308  [,]cicc 13309  Basecbs 17126   ↾_s cress 17155  +_gcplusg 17179  ._rcmulr 17180  Scalarcsca 17182   ·_𝑠 cvsca 17183  0_gc0g 17367  ℝ^*_𝑠cxrs 17428  Mndcmnd 18602  CMndccmn 19612  1_rcur 19963  SRingcsrg 19967  Ringcrg 20014  DivRingcdr 20265  ℂ_fldccnfld 20878  ℝ_fldcrefld 21090  SLModcslmd 32216   ↾_v cresv 32300

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169  ax-addf 11171  ax-mulf 11172  ax-xrssca 32045  ax-xrsvsca 32046

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-tp 4627  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-tpos 8193  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-er 8686  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-div 11854  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-4 12259  df-5 12260  df-6 12261  df-7 12262  df-8 12263  df-9 12264  df-n0 12455  df-z 12541  df-dec 12660  df-uz 12805  df-xneg 13074  df-xadd 13075  df-xmul 13076  df-ico 13312  df-icc 13313  df-fz 13467  df-struct 17062  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17127  df-ress 17156  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-0g 17369  df-xrs 17430  df-mgm 18543  df-sgrp 18592  df-mnd 18603  df-submnd 18648  df-grp 18797  df-minusg 18798  df-cmn 19614  df-abl 19615  df-mgp 19947  df-ur 19964  df-srg 19968  df-ring 20016  df-cring 20017  df-oppr 20102  df-dvdsr 20123  df-unit 20124  df-invr 20154  df-dvr 20165  df-drng 20267  df-cnfld 20879  df-refld 21091  df-slmd 32217  df-resv 32301

This theorem is referenced by: (None)