Theorem xrge0slmod 33649

Description: The extended nonnegative real numbers form a semiring left module. One could also have used subringAlg to get the same structure. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrge0slmod.1	⊢ 𝐺 = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))
xrge0slmod.2	⊢ 𝑊 = (𝐺 ↾v (0[,)+∞))

Assertion

Ref	Expression
xrge0slmod	⊢ 𝑊 ∈ SLMod

Proof of Theorem xrge0slmod

Dummy variables 𝑟 𝑞 𝑤 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrge0slmod.1	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))
2		xrge0cmn 21575	. . . 4 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
3	1, 2	eqeltri 2859	. . 3 ⊢ 𝐺 ∈ CMnd
4		ovex 7445	. . . 4 ⊢ (0[,)+∞) ∈ V
5		xrge0slmod.2	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = (𝐺 ↾v (0[,)+∞))
6	5	resvcmn 33641	. . . 4 ⊢ ((0[,)+∞) ∈ V → (𝐺 ∈ CMnd ↔ 𝑊 ∈ CMnd))
7	4, 6	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd ↔ 𝑊 ∈ CMnd)
8	3, 7	mpbi 233	. 2 ⊢ 𝑊 ∈ CMnd
9		rge0srg 21569	. 2 ⊢ (ℂfld ↾s (0[,)+∞)) ∈ SRing
10		icossicc 13464	. . . . . . . 8 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
11		simplr 780	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → 𝑟 ∈ (0[,)+∞))
12	10, 11	sselid 3936	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → 𝑟 ∈ (0[,]+∞))
13		simprr 784	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → 𝑤 ∈ (0[,]+∞))
14		ge0xmulcl 13491	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑟 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑟 ·e 𝑤) ∈ (0[,]+∞))
15	12, 13, 14	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → (𝑟 ·e 𝑤) ∈ (0[,]+∞))
16		simprl 782	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → 𝑥 ∈ (0[,]+∞))
17		xrge0adddi 33320	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑤 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑟 ·e (𝑤 +𝑒 𝑥)) = ((𝑟 ·e 𝑤) +𝑒 (𝑟 ·e 𝑥)))
18	13, 16, 12, 17	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → (𝑟 ·e (𝑤 +𝑒 𝑥)) = ((𝑟 ·e 𝑤) +𝑒 (𝑟 ·e 𝑥)))
19		rge0ssre 13484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
20		simpll 778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → 𝑞 ∈ (0[,)+∞))
21	19, 20	sselid 3936	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → 𝑞 ∈ ℝ)
22	19, 11	sselid 3936	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → 𝑟 ∈ ℝ)
23		rexadd 13259	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑞 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑞 +𝑒 𝑟) = (𝑞 + 𝑟))
24	21, 22, 23	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → (𝑞 +𝑒 𝑟) = (𝑞 + 𝑟))
25	24	oveq1d 7427	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → ((𝑞 +𝑒 𝑟) ·e 𝑤) = ((𝑞 + 𝑟) ·e 𝑤))
26	10, 20	sselid 3936	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → 𝑞 ∈ (0[,]+∞))
27		xrge0adddir 33319	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑞 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑞 +𝑒 𝑟) ·e 𝑤) = ((𝑞 ·e 𝑤) +𝑒 (𝑟 ·e 𝑤)))
28	26, 12, 13, 27	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → ((𝑞 +𝑒 𝑟) ·e 𝑤) = ((𝑞 ·e 𝑤) +𝑒 (𝑟 ·e 𝑤)))
29	25, 28	eqtr3d 2800	. . . . . 6 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → ((𝑞 + 𝑟) ·e 𝑤) = ((𝑞 ·e 𝑤) +𝑒 (𝑟 ·e 𝑤)))
30	15, 18, 29	3jca 1146	. . . . 5 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → ((𝑟 ·e 𝑤) ∈ (0[,]+∞) ∧ (𝑟 ·e (𝑤 +𝑒 𝑥)) = ((𝑟 ·e 𝑤) +𝑒 (𝑟 ·e 𝑥)) ∧ ((𝑞 + 𝑟) ·e 𝑤) = ((𝑞 ·e 𝑤) +𝑒 (𝑟 ·e 𝑤))))
31		rexmul 13298	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑞 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑞 ·e 𝑟) = (𝑞 · 𝑟))
32	21, 22, 31	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → (𝑞 ·e 𝑟) = (𝑞 · 𝑟))
33	32	oveq1d 7427	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → ((𝑞 ·e 𝑟) ·e 𝑤) = ((𝑞 · 𝑟) ·e 𝑤))
34	21	rexrd 11260	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → 𝑞 ∈ ℝ*)
35	22	rexrd 11260	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → 𝑟 ∈ ℝ*)
36		iccssxr 13458	. . . . . . . . 9 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
37	36, 13	sselid 3936	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → 𝑤 ∈ ℝ*)
38		xmulass 13314	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑞 ∈ ℝ* ∧ 𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → ((𝑞 ·e 𝑟) ·e 𝑤) = (𝑞 ·e (𝑟 ·e 𝑤)))
39	34, 35, 37, 38	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → ((𝑞 ·e 𝑟) ·e 𝑤) = (𝑞 ·e (𝑟 ·e 𝑤)))
40	33, 39	eqtr3d 2800	. . . . . 6 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → ((𝑞 · 𝑟) ·e 𝑤) = (𝑞 ·e (𝑟 ·e 𝑤)))
41		xmullid 13307	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ* → (1 ·e 𝑤) = 𝑤)
42	37, 41	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → (1 ·e 𝑤) = 𝑤)
43		xmul02 13295	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ* → (0 ·e 𝑤) = 0)
44	37, 43	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → (0 ·e 𝑤) = 0)
45	40, 42, 44	3jca 1146	. . . . 5 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → (((𝑞 · 𝑟) ·e 𝑤) = (𝑞 ·e (𝑟 ·e 𝑤)) ∧ (1 ·e 𝑤) = 𝑤 ∧ (0 ·e 𝑤) = 0))
46	30, 45	jca 520	. . . 4 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → (((𝑟 ·e 𝑤) ∈ (0[,]+∞) ∧ (𝑟 ·e (𝑤 +𝑒 𝑥)) = ((𝑟 ·e 𝑤) +𝑒 (𝑟 ·e 𝑥)) ∧ ((𝑞 + 𝑟) ·e 𝑤) = ((𝑞 ·e 𝑤) +𝑒 (𝑟 ·e 𝑤))) ∧ (((𝑞 · 𝑟) ·e 𝑤) = (𝑞 ·e (𝑟 ·e 𝑤)) ∧ (1 ·e 𝑤) = 𝑤 ∧ (0 ·e 𝑤) = 0)))
47	46	ralrimivva 3208	. . 3 ⊢ ((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) → ∀𝑥 ∈ (0[,]+∞)∀𝑤 ∈ (0[,]+∞)(((𝑟 ·e 𝑤) ∈ (0[,]+∞) ∧ (𝑟 ·e (𝑤 +𝑒 𝑥)) = ((𝑟 ·e 𝑤) +𝑒 (𝑟 ·e 𝑥)) ∧ ((𝑞 + 𝑟) ·e 𝑤) = ((𝑞 ·e 𝑤) +𝑒 (𝑟 ·e 𝑤))) ∧ (((𝑞 · 𝑟) ·e 𝑤) = (𝑞 ·e (𝑟 ·e 𝑤)) ∧ (1 ·e 𝑤) = 𝑤 ∧ (0 ·e 𝑤) = 0)))
48	47	rgen2 3205	. 2 ⊢ ∀𝑞 ∈ (0[,)+∞)∀𝑟 ∈ (0[,)+∞)∀𝑥 ∈ (0[,]+∞)∀𝑤 ∈ (0[,]+∞)(((𝑟 ·e 𝑤) ∈ (0[,]+∞) ∧ (𝑟 ·e (𝑤 +𝑒 𝑥)) = ((𝑟 ·e 𝑤) +𝑒 (𝑟 ·e 𝑥)) ∧ ((𝑞 + 𝑟) ·e 𝑤) = ((𝑞 ·e 𝑤) +𝑒 (𝑟 ·e 𝑤))) ∧ (((𝑞 · 𝑟) ·e 𝑤) = (𝑞 ·e (𝑟 ·e 𝑤)) ∧ (1 ·e 𝑤) = 𝑤 ∧ (0 ·e 𝑤) = 0))
49		xrge0base 17662	. . . . . 6 ⊢ (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
50	1	fveq2i 6886	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
51	49, 50	eqtr4i 2789	. . . . 5 ⊢ (0[,]+∞) = (Base‘𝐺)
52	5, 51	resvbas 33635	. . . 4 ⊢ ((0[,)+∞) ∈ V → (0[,]+∞) = (Base‘𝑊))
53	4, 52	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (0[,]+∞) = (Base‘𝑊)
54		xrge0plusg 21570	. . . . . 6 ⊢ +𝑒 = (+g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
55	1	fveq2i 6886	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
56	54, 55	eqtr4i 2789	. . . . 5 ⊢ +𝑒 = (+g‘𝐺)
57	5, 56	resvplusg 33636	. . . 4 ⊢ ((0[,)+∞) ∈ V → +𝑒 = (+g‘𝑊))
58	4, 57	ax-mp 5	. . 3 ⊢ +𝑒 = (+g‘𝑊)
59		ovex 7445	. . . . . 6 ⊢ (0[,]+∞) ∈ V
60		ax-xrsvsca 33306	. . . . . . 7 ⊢ ·e = ( ·𝑠 ‘ℝ*𝑠)
61	1, 60	ressvsca 17398	. . . . . 6 ⊢ ((0[,]+∞) ∈ V → ·e = ( ·𝑠 ‘𝐺))
62	59, 61	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ·e = ( ·𝑠 ‘𝐺)
63	5, 62	resvvsca 33637	. . . 4 ⊢ ((0[,)+∞) ∈ V → ·e = ( ·𝑠 ‘𝑊))
64	4, 63	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ·e = ( ·𝑠 ‘𝑊)
65		xrge00 33315	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
66	1	fveq2i 6886	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
67	65, 66	eqtr4i 2789	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
68	5, 67	resv0g 33639	. . . 4 ⊢ ((0[,)+∞) ∈ V → 0 = (0g‘𝑊))
69	4, 68	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
70		df-refld 21736	. . . . . 6 ⊢ ℝfld = (ℂfld ↾s ℝ)
71	70	oveq1i 7422	. . . . 5 ⊢ (ℝfld ↾s (0[,)+∞)) = ((ℂfld ↾s ℝ) ↾s (0[,)+∞))
72		reex 11192	. . . . . 6 ⊢ ℝ ∈ V
73		ressress 17308	. . . . . 6 ⊢ ((ℝ ∈ V ∧ (0[,)+∞) ∈ V) → ((ℂfld ↾s ℝ) ↾s (0[,)+∞)) = (ℂfld ↾s (ℝ ∩ (0[,)+∞))))
74	72, 4, 73	mp2an 704	. . . . 5 ⊢ ((ℂfld ↾s ℝ) ↾s (0[,)+∞)) = (ℂfld ↾s (ℝ ∩ (0[,)+∞)))
75	71, 74	eqtri 2786	. . . 4 ⊢ (ℝfld ↾s (0[,)+∞)) = (ℂfld ↾s (ℝ ∩ (0[,)+∞)))
76		ax-xrssca 33305	. . . . . . . 8 ⊢ ℝfld = (Scalar‘ℝ*𝑠)
77	1, 76	resssca 17397	. . . . . . 7 ⊢ ((0[,]+∞) ∈ V → ℝfld = (Scalar‘𝐺))
78	59, 77	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ℝfld = (Scalar‘𝐺)
79		rebase 21737	. . . . . 6 ⊢ ℝ = (Base‘ℝfld)
80	5, 78, 79	resvsca 33633	. . . . 5 ⊢ ((0[,)+∞) ∈ V → (ℝfld ↾s (0[,)+∞)) = (Scalar‘𝑊))
81	4, 80	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (ℝfld ↾s (0[,)+∞)) = (Scalar‘𝑊)
82		incom 4163	. . . . . 6 ⊢ ((0[,)+∞) ∩ ℝ) = (ℝ ∩ (0[,)+∞))
83		dfss2 3924	. . . . . . 7 ⊢ ((0[,)+∞) ⊆ ℝ ↔ ((0[,)+∞) ∩ ℝ) = (0[,)+∞))
84	19, 83	mpbi 233	. . . . . 6 ⊢ ((0[,)+∞) ∩ ℝ) = (0[,)+∞)
85	82, 84	eqtr3i 2788	. . . . 5 ⊢ (ℝ ∩ (0[,)+∞)) = (0[,)+∞)
86	85	oveq2i 7423	. . . 4 ⊢ (ℂfld ↾s (ℝ ∩ (0[,)+∞))) = (ℂfld ↾s (0[,)+∞))
87	75, 81, 86	3eqtr3ri 2795	. . 3 ⊢ (ℂfld ↾s (0[,)+∞)) = (Scalar‘𝑊)
88		ax-resscn 11158	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
89	19, 88	sstri 3947	. . . 4 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℂ
90		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ↾s (0[,)+∞)) = (ℂfld ↾s (0[,)+∞))
91		cnfldbas 21507	. . . . 5 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
92	90, 91	ressbas2 17299	. . . 4 ⊢ ((0[,)+∞) ⊆ ℂ → (0[,)+∞) = (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))
93	89, 92	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (0[,)+∞) = (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞)))
94		cnfldadd 21509	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
95	90, 94	ressplusg 17345	. . . 4 ⊢ ((0[,)+∞) ∈ V → + = (+g‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))
96	4, 95	ax-mp 5	. . 3 ⊢ + = (+g‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞)))
97		cnfldmul 21511	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
98	90, 97	ressmulr 17361	. . . 4 ⊢ ((0[,)+∞) ∈ V → · = (.r‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))
99	4, 98	ax-mp 5	. . 3 ⊢ · = (.r‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞)))
100		cndrng 21532	. . . . 5 ⊢ ℂfld ∈ DivRing
101		drngring 20821	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∈ DivRing → ℂfld ∈ Ring)
102	100, 101	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Ring
103		1re 11209	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
104		0le1 11738	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 1
105		ltpnf 13146	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℝ → 1 < +∞)
106	103, 105	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 1 < +∞
107	103, 104, 106	3pm3.2i 1358	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1 ∧ 1 < +∞)
108		0re 11211	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
109		pnfxr 11264	. . . . . 6 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
110		elico2 13438	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (1 ∈ (0[,)+∞) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1 ∧ 1 < +∞)))
111	108, 109, 110	mp2an 704	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ (0[,)+∞) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1 ∧ 1 < +∞))
112	107, 111	mpbir 234	. . . 4 ⊢ 1 ∈ (0[,)+∞)
113		cnfld1 21528	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
114	90, 91, 113	ress1r 33533	. . . 4 ⊢ ((ℂfld ∈ Ring ∧ 1 ∈ (0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℂ) → 1 = (1r‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))
115	102, 112, 89, 114	mp3an 1490	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞)))
116		ringmnd 20326	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
117	100, 101, 116	mp2b 10	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Mnd
118		0e0icopnf 13486	. . . 4 ⊢ 0 ∈ (0[,)+∞)
119		cnfld0 21527	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
120	90, 91, 119	ress0g 18821	. . . 4 ⊢ ((ℂfld ∈ Mnd ∧ 0 ∈ (0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℂ) → 0 = (0g‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))
121	117, 118, 89, 120	mp3an 1490	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞)))
122	53, 58, 64, 69, 87, 93, 96, 99, 115, 121	isslmd 33503	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ SLMod ↔ (𝑊 ∈ CMnd ∧ (ℂfld ↾s (0[,)+∞)) ∈ SRing ∧ ∀𝑞 ∈ (0[,)+∞)∀𝑟 ∈ (0[,)+∞)∀𝑥 ∈ (0[,]+∞)∀𝑤 ∈ (0[,]+∞)(((𝑟 ·e 𝑤) ∈ (0[,]+∞) ∧ (𝑟 ·e (𝑤 +𝑒 𝑥)) = ((𝑟 ·e 𝑤) +𝑒 (𝑟 ·e 𝑥)) ∧ ((𝑞 + 𝑟) ·e 𝑤) = ((𝑞 ·e 𝑤) +𝑒 (𝑟 ·e 𝑤))) ∧ (((𝑞 · 𝑟) ·e 𝑤) = (𝑞 ·e (𝑟 ·e 𝑤)) ∧ (1 ·e 𝑤) = 𝑤 ∧ (0 ·e 𝑤) = 0))))
123	8, 9, 48, 122	mpbir3an 1360	1 ⊢ 𝑊 ∈ SLMod

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  Vcvv 3455   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906   class class class wbr 5110  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  ℂcc 11099  ℝcr 11100  0cc0 11101  1c1 11102   + caddc 11104   · cmul 11106  +∞cpnf 11241  ℝ^*cxr 11243   < clt 11244   ≤ cle 11245   +_𝑒 cxad 13136   ·_e cxmu 13137  [,)cico 13375  [,]cicc 13376  Basecbs 17270   ↾_s cress 17291  +_gcplusg 17311  ._rcmulr 17312  Scalarcsca 17314   ·_𝑠 cvsca 17315  0_gc0g 17493  ℝ^*_𝑠cxrs 17555  Mndcmnd 18793  CMndccmn 19851  1_rcur 20264  SRingcsrg 20269  Ringcrg 20316  DivRingcdr 20814  ℂ_fldccnfld 21503  ℝ_fldcrefld 21735  SLModcslmd 33501   ↾_v cresv 33627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-addf 11180  ax-mulf 11181  ax-xrssca 33305  ax-xrsvsca 33306

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8223  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-z 12593  df-dec 12713  df-uz 12864  df-xneg 13138  df-xadd 13139  df-xmul 13140  df-ico 13379  df-icc 13380  df-fz 13537  df-struct 17208  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-0g 17495  df-xrs 17557  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-submnd 18843  df-grp 19004  df-minusg 19005  df-cmn 19853  df-abl 19854  df-mgp 20218  df-rng 20232  df-ur 20265  df-srg 20270  df-ring 20318  df-cring 20319  df-oppr 20420  df-dvdsr 20440  df-unit 20441  df-invr 20471  df-dvr 20484  df-drng 20816  df-cnfld 21504  df-refld 21736  df-slmd 33502  df-resv 33628

This theorem is referenced by: (None)