Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrge0slmod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrge0slmod 32325
Description: The extended nonnegative real numbers form a semiring left module. One could also have used subringAlg to get the same structure. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
xrge0slmod.1 𝐺 = (ℝ*𝑠s (0[,]+∞))
xrge0slmod.2 𝑊 = (𝐺v (0[,)+∞))
Assertion
Ref Expression
xrge0slmod 𝑊 ∈ SLMod

Proof of Theorem xrge0slmod
Dummy variables 𝑟 𝑞 𝑤 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrge0slmod.1 . . . 4 𝐺 = (ℝ*𝑠s (0[,]+∞))
2 xrge0cmn 20921 . . . 4 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
31, 2eqeltri 2828 . . 3 𝐺 ∈ CMnd
4 ovex 7426 . . . 4 (0[,)+∞) ∈ V
5 xrge0slmod.2 . . . . 5 𝑊 = (𝐺v (0[,)+∞))
65resvcmn 32319 . . . 4 ((0[,)+∞) ∈ V → (𝐺 ∈ CMnd ↔ 𝑊 ∈ CMnd))
74, 6ax-mp 5 . . 3 (𝐺 ∈ CMnd ↔ 𝑊 ∈ CMnd)
83, 7mpbi 229 . 2 𝑊 ∈ CMnd
9 rge0srg 20950 . 2 (ℂflds (0[,)+∞)) ∈ SRing
10 icossicc 13395 . . . . . . . 8 (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
11 simplr 767 . . . . . . . 8 (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → 𝑟 ∈ (0[,)+∞))
1210, 11sselid 3976 . . . . . . 7 (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → 𝑟 ∈ (0[,]+∞))
13 simprr 771 . . . . . . 7 (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → 𝑤 ∈ (0[,]+∞))
14 ge0xmulcl 13422 . . . . . . 7 ((𝑟 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑟 ·e 𝑤) ∈ (0[,]+∞))
1512, 13, 14syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → (𝑟 ·e 𝑤) ∈ (0[,]+∞))
16 simprl 769 . . . . . . 7 (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → 𝑥 ∈ (0[,]+∞))
17 xrge0adddi 32065 . . . . . . 7 ((𝑤 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑟 ·e (𝑤 +𝑒 𝑥)) = ((𝑟 ·e 𝑤) +𝑒 (𝑟 ·e 𝑥)))
1813, 16, 12, 17syl3anc 1371 . . . . . 6 (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → (𝑟 ·e (𝑤 +𝑒 𝑥)) = ((𝑟 ·e 𝑤) +𝑒 (𝑟 ·e 𝑥)))
19 rge0ssre 13415 . . . . . . . . . 10 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
20 simpll 765 . . . . . . . . . 10 (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → 𝑞 ∈ (0[,)+∞))
2119, 20sselid 3976 . . . . . . . . 9 (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → 𝑞 ∈ ℝ)
2219, 11sselid 3976 . . . . . . . . 9 (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → 𝑟 ∈ ℝ)
23 rexadd 13193 . . . . . . . . 9 ((𝑞 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑞 +𝑒 𝑟) = (𝑞 + 𝑟))
2421, 22, 23syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → (𝑞 +𝑒 𝑟) = (𝑞 + 𝑟))
2524oveq1d 7408 . . . . . . 7 (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → ((𝑞 +𝑒 𝑟) ·e 𝑤) = ((𝑞 + 𝑟) ·e 𝑤))
2610, 20sselid 3976 . . . . . . . 8 (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → 𝑞 ∈ (0[,]+∞))
27 xrge0adddir 32064 . . . . . . . 8 ((𝑞 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑞 +𝑒 𝑟) ·e 𝑤) = ((𝑞 ·e 𝑤) +𝑒 (𝑟 ·e 𝑤)))
2826, 12, 13, 27syl3anc 1371 . . . . . . 7 (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → ((𝑞 +𝑒 𝑟) ·e 𝑤) = ((𝑞 ·e 𝑤) +𝑒 (𝑟 ·e 𝑤)))
2925, 28eqtr3d 2773 . . . . . 6 (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → ((𝑞 + 𝑟) ·e 𝑤) = ((𝑞 ·e 𝑤) +𝑒 (𝑟 ·e 𝑤)))
3015, 18, 293jca 1128 . . . . 5 (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → ((𝑟 ·e 𝑤) ∈ (0[,]+∞) ∧ (𝑟 ·e (𝑤 +𝑒 𝑥)) = ((𝑟 ·e 𝑤) +𝑒 (𝑟 ·e 𝑥)) ∧ ((𝑞 + 𝑟) ·e 𝑤) = ((𝑞 ·e 𝑤) +𝑒 (𝑟 ·e 𝑤))))
31 rexmul 13232 . . . . . . . . 9 ((𝑞 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑞 ·e 𝑟) = (𝑞 · 𝑟))
3221, 22, 31syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → (𝑞 ·e 𝑟) = (𝑞 · 𝑟))
3332oveq1d 7408 . . . . . . 7 (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → ((𝑞 ·e 𝑟) ·e 𝑤) = ((𝑞 · 𝑟) ·e 𝑤))
3421rexrd 11246 . . . . . . . 8 (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → 𝑞 ∈ ℝ*)
3522rexrd 11246 . . . . . . . 8 (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → 𝑟 ∈ ℝ*)
36 iccssxr 13389 . . . . . . . . 9 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
3736, 13sselid 3976 . . . . . . . 8 (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → 𝑤 ∈ ℝ*)
38 xmulass 13248 . . . . . . . 8 ((𝑞 ∈ ℝ*𝑟 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → ((𝑞 ·e 𝑟) ·e 𝑤) = (𝑞 ·e (𝑟 ·e 𝑤)))
3934, 35, 37, 38syl3anc 1371 . . . . . . 7 (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → ((𝑞 ·e 𝑟) ·e 𝑤) = (𝑞 ·e (𝑟 ·e 𝑤)))
4033, 39eqtr3d 2773 . . . . . 6 (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → ((𝑞 · 𝑟) ·e 𝑤) = (𝑞 ·e (𝑟 ·e 𝑤)))
41 xmullid 13241 . . . . . . 7 (𝑤 ∈ ℝ* → (1 ·e 𝑤) = 𝑤)
4237, 41syl 17 . . . . . 6 (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → (1 ·e 𝑤) = 𝑤)
43 xmul02 13229 . . . . . . 7 (𝑤 ∈ ℝ* → (0 ·e 𝑤) = 0)
4437, 43syl 17 . . . . . 6 (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → (0 ·e 𝑤) = 0)
4540, 42, 443jca 1128 . . . . 5 (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → (((𝑞 · 𝑟) ·e 𝑤) = (𝑞 ·e (𝑟 ·e 𝑤)) ∧ (1 ·e 𝑤) = 𝑤 ∧ (0 ·e 𝑤) = 0))
4630, 45jca 512 . . . 4 (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → (((𝑟 ·e 𝑤) ∈ (0[,]+∞) ∧ (𝑟 ·e (𝑤 +𝑒 𝑥)) = ((𝑟 ·e 𝑤) +𝑒 (𝑟 ·e 𝑥)) ∧ ((𝑞 + 𝑟) ·e 𝑤) = ((𝑞 ·e 𝑤) +𝑒 (𝑟 ·e 𝑤))) ∧ (((𝑞 · 𝑟) ·e 𝑤) = (𝑞 ·e (𝑟 ·e 𝑤)) ∧ (1 ·e 𝑤) = 𝑤 ∧ (0 ·e 𝑤) = 0)))
4746ralrimivva 3199 . . 3 ((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) → ∀𝑥 ∈ (0[,]+∞)∀𝑤 ∈ (0[,]+∞)(((𝑟 ·e 𝑤) ∈ (0[,]+∞) ∧ (𝑟 ·e (𝑤 +𝑒 𝑥)) = ((𝑟 ·e 𝑤) +𝑒 (𝑟 ·e 𝑥)) ∧ ((𝑞 + 𝑟) ·e 𝑤) = ((𝑞 ·e 𝑤) +𝑒 (𝑟 ·e 𝑤))) ∧ (((𝑞 · 𝑟) ·e 𝑤) = (𝑞 ·e (𝑟 ·e 𝑤)) ∧ (1 ·e 𝑤) = 𝑤 ∧ (0 ·e 𝑤) = 0)))
4847rgen2 3196 . 2 𝑞 ∈ (0[,)+∞)∀𝑟 ∈ (0[,)+∞)∀𝑥 ∈ (0[,]+∞)∀𝑤 ∈ (0[,]+∞)(((𝑟 ·e 𝑤) ∈ (0[,]+∞) ∧ (𝑟 ·e (𝑤 +𝑒 𝑥)) = ((𝑟 ·e 𝑤) +𝑒 (𝑟 ·e 𝑥)) ∧ ((𝑞 + 𝑟) ·e 𝑤) = ((𝑞 ·e 𝑤) +𝑒 (𝑟 ·e 𝑤))) ∧ (((𝑞 · 𝑟) ·e 𝑤) = (𝑞 ·e (𝑟 ·e 𝑤)) ∧ (1 ·e 𝑤) = 𝑤 ∧ (0 ·e 𝑤) = 0))
49 xrge0base 32057 . . . . . 6 (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
501fveq2i 6881 . . . . . 6 (Base‘𝐺) = (Base‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
5149, 50eqtr4i 2762 . . . . 5 (0[,]+∞) = (Base‘𝐺)
525, 51resvbas 32309 . . . 4 ((0[,)+∞) ∈ V → (0[,]+∞) = (Base‘𝑊))
534, 52ax-mp 5 . . 3 (0[,]+∞) = (Base‘𝑊)
54 xrge0plusg 32059 . . . . . 6 +𝑒 = (+g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
551fveq2i 6881 . . . . . 6 (+g𝐺) = (+g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
5654, 55eqtr4i 2762 . . . . 5 +𝑒 = (+g𝐺)
575, 56resvplusg 32311 . . . 4 ((0[,)+∞) ∈ V → +𝑒 = (+g𝑊))
584, 57ax-mp 5 . . 3 +𝑒 = (+g𝑊)
59 ovex 7426 . . . . . 6 (0[,]+∞) ∈ V
60 ax-xrsvsca 32046 . . . . . . 7 ·e = ( ·𝑠 ‘ℝ*𝑠)
611, 60ressvsca 17271 . . . . . 6 ((0[,]+∞) ∈ V → ·e = ( ·𝑠𝐺))
6259, 61ax-mp 5 . . . . 5 ·e = ( ·𝑠𝐺)
635, 62resvvsca 32313 . . . 4 ((0[,)+∞) ∈ V → ·e = ( ·𝑠𝑊))
644, 63ax-mp 5 . . 3 ·e = ( ·𝑠𝑊)
65 xrge00 32058 . . . . . 6 0 = (0g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
661fveq2i 6881 . . . . . 6 (0g𝐺) = (0g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
6765, 66eqtr4i 2762 . . . . 5 0 = (0g𝐺)
685, 67resv0g 32317 . . . 4 ((0[,)+∞) ∈ V → 0 = (0g𝑊))
694, 68ax-mp 5 . . 3 0 = (0g𝑊)
70 df-refld 21091 . . . . . 6 fld = (ℂflds ℝ)
7170oveq1i 7403 . . . . 5 (ℝflds (0[,)+∞)) = ((ℂflds ℝ) ↾s (0[,)+∞))
72 reex 11183 . . . . . 6 ℝ ∈ V
73 ressress 17175 . . . . . 6 ((ℝ ∈ V ∧ (0[,)+∞) ∈ V) → ((ℂflds ℝ) ↾s (0[,)+∞)) = (ℂflds (ℝ ∩ (0[,)+∞))))
7472, 4, 73mp2an 690 . . . . 5 ((ℂflds ℝ) ↾s (0[,)+∞)) = (ℂflds (ℝ ∩ (0[,)+∞)))
7571, 74eqtri 2759 . . . 4 (ℝflds (0[,)+∞)) = (ℂflds (ℝ ∩ (0[,)+∞)))
76 ax-xrssca 32045 . . . . . . . 8 fld = (Scalar‘ℝ*𝑠)
771, 76resssca 17270 . . . . . . 7 ((0[,]+∞) ∈ V → ℝfld = (Scalar‘𝐺))
7859, 77ax-mp 5 . . . . . 6 fld = (Scalar‘𝐺)
79 rebase 21092 . . . . . 6 ℝ = (Base‘ℝfld)
805, 78, 79resvsca 32306 . . . . 5 ((0[,)+∞) ∈ V → (ℝflds (0[,)+∞)) = (Scalar‘𝑊))
814, 80ax-mp 5 . . . 4 (ℝflds (0[,)+∞)) = (Scalar‘𝑊)
82 incom 4197 . . . . . 6 ((0[,)+∞) ∩ ℝ) = (ℝ ∩ (0[,)+∞))
83 df-ss 3961 . . . . . . 7 ((0[,)+∞) ⊆ ℝ ↔ ((0[,)+∞) ∩ ℝ) = (0[,)+∞))
8419, 83mpbi 229 . . . . . 6 ((0[,)+∞) ∩ ℝ) = (0[,)+∞)
8582, 84eqtr3i 2761 . . . . 5 (ℝ ∩ (0[,)+∞)) = (0[,)+∞)
8685oveq2i 7404 . . . 4 (ℂflds (ℝ ∩ (0[,)+∞))) = (ℂflds (0[,)+∞))
8775, 81, 863eqtr3ri 2768 . . 3 (ℂflds (0[,)+∞)) = (Scalar‘𝑊)
88 ax-resscn 11149 . . . . 5 ℝ ⊆ ℂ
8919, 88sstri 3987 . . . 4 (0[,)+∞) ⊆ ℂ
90 eqid 2731 . . . . 5 (ℂflds (0[,)+∞)) = (ℂflds (0[,)+∞))
91 cnfldbas 20882 . . . . 5 ℂ = (Base‘ℂfld)
9290, 91ressbas2 17164 . . . 4 ((0[,)+∞) ⊆ ℂ → (0[,)+∞) = (Base‘(ℂflds (0[,)+∞))))
9389, 92ax-mp 5 . . 3 (0[,)+∞) = (Base‘(ℂflds (0[,)+∞)))
94 cnfldadd 20883 . . . . 5 + = (+g‘ℂfld)
9590, 94ressplusg 17217 . . . 4 ((0[,)+∞) ∈ V → + = (+g‘(ℂflds (0[,)+∞))))
964, 95ax-mp 5 . . 3 + = (+g‘(ℂflds (0[,)+∞)))
97 cnfldmul 20884 . . . . 5 · = (.r‘ℂfld)
9890, 97ressmulr 17234 . . . 4 ((0[,)+∞) ∈ V → · = (.r‘(ℂflds (0[,)+∞))))
994, 98ax-mp 5 . . 3 · = (.r‘(ℂflds (0[,)+∞)))
100 cndrng 20908 . . . . 5 fld ∈ DivRing
101 drngring 20272 . . . . 5 (ℂfld ∈ DivRing → ℂfld ∈ Ring)
102100, 101ax-mp 5 . . . 4 fld ∈ Ring
103 1re 11196 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
104 0le1 11719 . . . . . 6 0 ≤ 1
105 ltpnf 13082 . . . . . . 7 (1 ∈ ℝ → 1 < +∞)
106103, 105ax-mp 5 . . . . . 6 1 < +∞
107103, 104, 1063pm3.2i 1339 . . . . 5 (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1 ∧ 1 < +∞)
108 0re 11198 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
109 pnfxr 11250 . . . . . 6 +∞ ∈ ℝ*
110 elico2 13370 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (1 ∈ (0[,)+∞) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1 ∧ 1 < +∞)))
111108, 109, 110mp2an 690 . . . . 5 (1 ∈ (0[,)+∞) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1 ∧ 1 < +∞))
112107, 111mpbir 230 . . . 4 1 ∈ (0[,)+∞)
113 cnfld1 20904 . . . . 5 1 = (1r‘ℂfld)
11490, 91, 113ress1r 32251 . . . 4 ((ℂfld ∈ Ring ∧ 1 ∈ (0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℂ) → 1 = (1r‘(ℂflds (0[,)+∞))))
115102, 112, 89, 114mp3an 1461 . . 3 1 = (1r‘(ℂflds (0[,)+∞)))
116 ringmnd 20024 . . . . 5 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
117100, 101, 116mp2b 10 . . . 4 fld ∈ Mnd
118 0e0icopnf 13417 . . . 4 0 ∈ (0[,)+∞)
119 cnfld0 20903 . . . . 5 0 = (0g‘ℂfld)
12090, 91, 119ress0g 18630 . . . 4 ((ℂfld ∈ Mnd ∧ 0 ∈ (0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℂ) → 0 = (0g‘(ℂflds (0[,)+∞))))
121117, 118, 89, 120mp3an 1461 . . 3 0 = (0g‘(ℂflds (0[,)+∞)))
12253, 58, 64, 69, 87, 93, 96, 99, 115, 121isslmd 32218 . 2 (𝑊 ∈ SLMod ↔ (𝑊 ∈ CMnd ∧ (ℂflds (0[,)+∞)) ∈ SRing ∧ ∀𝑞 ∈ (0[,)+∞)∀𝑟 ∈ (0[,)+∞)∀𝑥 ∈ (0[,]+∞)∀𝑤 ∈ (0[,]+∞)(((𝑟 ·e 𝑤) ∈ (0[,]+∞) ∧ (𝑟 ·e (𝑤 +𝑒 𝑥)) = ((𝑟 ·e 𝑤) +𝑒 (𝑟 ·e 𝑥)) ∧ ((𝑞 + 𝑟) ·e 𝑤) = ((𝑞 ·e 𝑤) +𝑒 (𝑟 ·e 𝑤))) ∧ (((𝑞 · 𝑟) ·e 𝑤) = (𝑞 ·e (𝑟 ·e 𝑤)) ∧ (1 ·e 𝑤) = 𝑤 ∧ (0 ·e 𝑤) = 0))))
1238, 9, 48, 122mpbir3an 1341 1 𝑊 ∈ SLMod
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3060  Vcvv 3473  cin 3943  wss 3944   class class class wbr 5141  cfv 6532  (class class class)co 7393  cc 11090  cr 11091  0cc0 11092  1c1 11093   + caddc 11095   · cmul 11097  +∞cpnf 11227  *cxr 11229   < clt 11230  cle 11231   +𝑒 cxad 13072   ·e cxmu 13073  [,)cico 13308  [,]cicc 13309  Basecbs 17126  s cress 17155  +gcplusg 17179  .rcmulr 17180  Scalarcsca 17182   ·𝑠 cvsca 17183  0gc0g 17367  *𝑠cxrs 17428  Mndcmnd 18602  CMndccmn 19612  1rcur 19963  SRingcsrg 19967  Ringcrg 20014  DivRingcdr 20265  fldccnfld 20878  fldcrefld 21090  SLModcslmd 32216  v cresv 32300
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169  ax-addf 11171  ax-mulf 11172  ax-xrssca 32045  ax-xrsvsca 32046
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-tp 4627  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-tpos 8193  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-er 8686  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-div 11854  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-4 12259  df-5 12260  df-6 12261  df-7 12262  df-8 12263  df-9 12264  df-n0 12455  df-z 12541  df-dec 12660  df-uz 12805  df-xneg 13074  df-xadd 13075  df-xmul 13076  df-ico 13312  df-icc 13313  df-fz 13467  df-struct 17062  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17127  df-ress 17156  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-0g 17369  df-xrs 17430  df-mgm 18543  df-sgrp 18592  df-mnd 18603  df-submnd 18648  df-grp 18797  df-minusg 18798  df-cmn 19614  df-abl 19615  df-mgp 19947  df-ur 19964  df-srg 19968  df-ring 20016  df-cring 20017  df-oppr 20102  df-dvdsr 20123  df-unit 20124  df-invr 20154  df-dvr 20165  df-drng 20267  df-cnfld 20879  df-refld 21091  df-slmd 32217  df-resv 32301
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator