Theorem xrge0slmod 33303

Description: The extended nonnegative real numbers form a semiring left module. One could also have used subringAlg to get the same structure. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrge0slmod.1	⊢ 𝐺 = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))
xrge0slmod.2	⊢ 𝑊 = (𝐺 ↾v (0[,)+∞))

Assertion

Ref	Expression
xrge0slmod	⊢ 𝑊 ∈ SLMod

Proof of Theorem xrge0slmod

Dummy variables 𝑟 𝑞 𝑤 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrge0slmod.1	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))
2		xrge0cmn 21374	. . . 4 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
3	1, 2	eqeltri 2825	. . 3 ⊢ 𝐺 ∈ CMnd
4		ovex 7374	. . . 4 ⊢ (0[,)+∞) ∈ V
5		xrge0slmod.2	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = (𝐺 ↾v (0[,)+∞))
6	5	resvcmn 33295	. . . 4 ⊢ ((0[,)+∞) ∈ V → (𝐺 ∈ CMnd ↔ 𝑊 ∈ CMnd))
7	4, 6	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd ↔ 𝑊 ∈ CMnd)
8	3, 7	mpbi 230	. 2 ⊢ 𝑊 ∈ CMnd
9		rge0srg 21368	. 2 ⊢ (ℂfld ↾s (0[,)+∞)) ∈ SRing
10		icossicc 13328	. . . . . . . 8 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
11		simplr 768	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → 𝑟 ∈ (0[,)+∞))
12	10, 11	sselid 3930	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → 𝑟 ∈ (0[,]+∞))
13		simprr 772	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → 𝑤 ∈ (0[,]+∞))
14		ge0xmulcl 13355	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑟 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑟 ·e 𝑤) ∈ (0[,]+∞))
15	12, 13, 14	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → (𝑟 ·e 𝑤) ∈ (0[,]+∞))
16		simprl 770	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → 𝑥 ∈ (0[,]+∞))
17		xrge0adddi 32990	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑤 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑟 ·e (𝑤 +𝑒 𝑥)) = ((𝑟 ·e 𝑤) +𝑒 (𝑟 ·e 𝑥)))
18	13, 16, 12, 17	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → (𝑟 ·e (𝑤 +𝑒 𝑥)) = ((𝑟 ·e 𝑤) +𝑒 (𝑟 ·e 𝑥)))
19		rge0ssre 13348	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
20		simpll 766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → 𝑞 ∈ (0[,)+∞))
21	19, 20	sselid 3930	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → 𝑞 ∈ ℝ)
22	19, 11	sselid 3930	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → 𝑟 ∈ ℝ)
23		rexadd 13123	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑞 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑞 +𝑒 𝑟) = (𝑞 + 𝑟))
24	21, 22, 23	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → (𝑞 +𝑒 𝑟) = (𝑞 + 𝑟))
25	24	oveq1d 7356	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → ((𝑞 +𝑒 𝑟) ·e 𝑤) = ((𝑞 + 𝑟) ·e 𝑤))
26	10, 20	sselid 3930	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → 𝑞 ∈ (0[,]+∞))
27		xrge0adddir 32989	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑞 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑞 +𝑒 𝑟) ·e 𝑤) = ((𝑞 ·e 𝑤) +𝑒 (𝑟 ·e 𝑤)))
28	26, 12, 13, 27	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → ((𝑞 +𝑒 𝑟) ·e 𝑤) = ((𝑞 ·e 𝑤) +𝑒 (𝑟 ·e 𝑤)))
29	25, 28	eqtr3d 2767	. . . . . 6 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → ((𝑞 + 𝑟) ·e 𝑤) = ((𝑞 ·e 𝑤) +𝑒 (𝑟 ·e 𝑤)))
30	15, 18, 29	3jca 1128	. . . . 5 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → ((𝑟 ·e 𝑤) ∈ (0[,]+∞) ∧ (𝑟 ·e (𝑤 +𝑒 𝑥)) = ((𝑟 ·e 𝑤) +𝑒 (𝑟 ·e 𝑥)) ∧ ((𝑞 + 𝑟) ·e 𝑤) = ((𝑞 ·e 𝑤) +𝑒 (𝑟 ·e 𝑤))))
31		rexmul 13162	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑞 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑞 ·e 𝑟) = (𝑞 · 𝑟))
32	21, 22, 31	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → (𝑞 ·e 𝑟) = (𝑞 · 𝑟))
33	32	oveq1d 7356	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → ((𝑞 ·e 𝑟) ·e 𝑤) = ((𝑞 · 𝑟) ·e 𝑤))
34	21	rexrd 11154	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → 𝑞 ∈ ℝ*)
35	22	rexrd 11154	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → 𝑟 ∈ ℝ*)
36		iccssxr 13322	. . . . . . . . 9 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
37	36, 13	sselid 3930	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → 𝑤 ∈ ℝ*)
38		xmulass 13178	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑞 ∈ ℝ* ∧ 𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → ((𝑞 ·e 𝑟) ·e 𝑤) = (𝑞 ·e (𝑟 ·e 𝑤)))
39	34, 35, 37, 38	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → ((𝑞 ·e 𝑟) ·e 𝑤) = (𝑞 ·e (𝑟 ·e 𝑤)))
40	33, 39	eqtr3d 2767	. . . . . 6 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → ((𝑞 · 𝑟) ·e 𝑤) = (𝑞 ·e (𝑟 ·e 𝑤)))
41		xmullid 13171	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ* → (1 ·e 𝑤) = 𝑤)
42	37, 41	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → (1 ·e 𝑤) = 𝑤)
43		xmul02 13159	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ* → (0 ·e 𝑤) = 0)
44	37, 43	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → (0 ·e 𝑤) = 0)
45	40, 42, 44	3jca 1128	. . . . 5 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → (((𝑞 · 𝑟) ·e 𝑤) = (𝑞 ·e (𝑟 ·e 𝑤)) ∧ (1 ·e 𝑤) = 𝑤 ∧ (0 ·e 𝑤) = 0))
46	30, 45	jca 511	. . . 4 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → (((𝑟 ·e 𝑤) ∈ (0[,]+∞) ∧ (𝑟 ·e (𝑤 +𝑒 𝑥)) = ((𝑟 ·e 𝑤) +𝑒 (𝑟 ·e 𝑥)) ∧ ((𝑞 + 𝑟) ·e 𝑤) = ((𝑞 ·e 𝑤) +𝑒 (𝑟 ·e 𝑤))) ∧ (((𝑞 · 𝑟) ·e 𝑤) = (𝑞 ·e (𝑟 ·e 𝑤)) ∧ (1 ·e 𝑤) = 𝑤 ∧ (0 ·e 𝑤) = 0)))
47	46	ralrimivva 3173	. . 3 ⊢ ((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) → ∀𝑥 ∈ (0[,]+∞)∀𝑤 ∈ (0[,]+∞)(((𝑟 ·e 𝑤) ∈ (0[,]+∞) ∧ (𝑟 ·e (𝑤 +𝑒 𝑥)) = ((𝑟 ·e 𝑤) +𝑒 (𝑟 ·e 𝑥)) ∧ ((𝑞 + 𝑟) ·e 𝑤) = ((𝑞 ·e 𝑤) +𝑒 (𝑟 ·e 𝑤))) ∧ (((𝑞 · 𝑟) ·e 𝑤) = (𝑞 ·e (𝑟 ·e 𝑤)) ∧ (1 ·e 𝑤) = 𝑤 ∧ (0 ·e 𝑤) = 0)))
48	47	rgen2 3170	. 2 ⊢ ∀𝑞 ∈ (0[,)+∞)∀𝑟 ∈ (0[,)+∞)∀𝑥 ∈ (0[,]+∞)∀𝑤 ∈ (0[,]+∞)(((𝑟 ·e 𝑤) ∈ (0[,]+∞) ∧ (𝑟 ·e (𝑤 +𝑒 𝑥)) = ((𝑟 ·e 𝑤) +𝑒 (𝑟 ·e 𝑥)) ∧ ((𝑞 + 𝑟) ·e 𝑤) = ((𝑞 ·e 𝑤) +𝑒 (𝑟 ·e 𝑤))) ∧ (((𝑞 · 𝑟) ·e 𝑤) = (𝑞 ·e (𝑟 ·e 𝑤)) ∧ (1 ·e 𝑤) = 𝑤 ∧ (0 ·e 𝑤) = 0))
49		xrge0base 17503	. . . . . 6 ⊢ (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
50	1	fveq2i 6820	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
51	49, 50	eqtr4i 2756	. . . . 5 ⊢ (0[,]+∞) = (Base‘𝐺)
52	5, 51	resvbas 33289	. . . 4 ⊢ ((0[,)+∞) ∈ V → (0[,]+∞) = (Base‘𝑊))
53	4, 52	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (0[,]+∞) = (Base‘𝑊)
54		xrge0plusg 21369	. . . . . 6 ⊢ +𝑒 = (+g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
55	1	fveq2i 6820	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
56	54, 55	eqtr4i 2756	. . . . 5 ⊢ +𝑒 = (+g‘𝐺)
57	5, 56	resvplusg 33290	. . . 4 ⊢ ((0[,)+∞) ∈ V → +𝑒 = (+g‘𝑊))
58	4, 57	ax-mp 5	. . 3 ⊢ +𝑒 = (+g‘𝑊)
59		ovex 7374	. . . . . 6 ⊢ (0[,]+∞) ∈ V
60		ax-xrsvsca 32976	. . . . . . 7 ⊢ ·e = ( ·𝑠 ‘ℝ*𝑠)
61	1, 60	ressvsca 17240	. . . . . 6 ⊢ ((0[,]+∞) ∈ V → ·e = ( ·𝑠 ‘𝐺))
62	59, 61	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ·e = ( ·𝑠 ‘𝐺)
63	5, 62	resvvsca 33291	. . . 4 ⊢ ((0[,)+∞) ∈ V → ·e = ( ·𝑠 ‘𝑊))
64	4, 63	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ·e = ( ·𝑠 ‘𝑊)
65		xrge00 32985	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
66	1	fveq2i 6820	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
67	65, 66	eqtr4i 2756	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
68	5, 67	resv0g 33293	. . . 4 ⊢ ((0[,)+∞) ∈ V → 0 = (0g‘𝑊))
69	4, 68	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
70		df-refld 21535	. . . . . 6 ⊢ ℝfld = (ℂfld ↾s ℝ)
71	70	oveq1i 7351	. . . . 5 ⊢ (ℝfld ↾s (0[,)+∞)) = ((ℂfld ↾s ℝ) ↾s (0[,)+∞))
72		reex 11089	. . . . . 6 ⊢ ℝ ∈ V
73		ressress 17150	. . . . . 6 ⊢ ((ℝ ∈ V ∧ (0[,)+∞) ∈ V) → ((ℂfld ↾s ℝ) ↾s (0[,)+∞)) = (ℂfld ↾s (ℝ ∩ (0[,)+∞))))
74	72, 4, 73	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ ((ℂfld ↾s ℝ) ↾s (0[,)+∞)) = (ℂfld ↾s (ℝ ∩ (0[,)+∞)))
75	71, 74	eqtri 2753	. . . 4 ⊢ (ℝfld ↾s (0[,)+∞)) = (ℂfld ↾s (ℝ ∩ (0[,)+∞)))
76		ax-xrssca 32975	. . . . . . . 8 ⊢ ℝfld = (Scalar‘ℝ*𝑠)
77	1, 76	resssca 17239	. . . . . . 7 ⊢ ((0[,]+∞) ∈ V → ℝfld = (Scalar‘𝐺))
78	59, 77	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ℝfld = (Scalar‘𝐺)
79		rebase 21536	. . . . . 6 ⊢ ℝ = (Base‘ℝfld)
80	5, 78, 79	resvsca 33287	. . . . 5 ⊢ ((0[,)+∞) ∈ V → (ℝfld ↾s (0[,)+∞)) = (Scalar‘𝑊))
81	4, 80	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (ℝfld ↾s (0[,)+∞)) = (Scalar‘𝑊)
82		incom 4157	. . . . . 6 ⊢ ((0[,)+∞) ∩ ℝ) = (ℝ ∩ (0[,)+∞))
83		dfss2 3918	. . . . . . 7 ⊢ ((0[,)+∞) ⊆ ℝ ↔ ((0[,)+∞) ∩ ℝ) = (0[,)+∞))
84	19, 83	mpbi 230	. . . . . 6 ⊢ ((0[,)+∞) ∩ ℝ) = (0[,)+∞)
85	82, 84	eqtr3i 2755	. . . . 5 ⊢ (ℝ ∩ (0[,)+∞)) = (0[,)+∞)
86	85	oveq2i 7352	. . . 4 ⊢ (ℂfld ↾s (ℝ ∩ (0[,)+∞))) = (ℂfld ↾s (0[,)+∞))
87	75, 81, 86	3eqtr3ri 2762	. . 3 ⊢ (ℂfld ↾s (0[,)+∞)) = (Scalar‘𝑊)
88		ax-resscn 11055	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
89	19, 88	sstri 3942	. . . 4 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℂ
90		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ↾s (0[,)+∞)) = (ℂfld ↾s (0[,)+∞))
91		cnfldbas 21288	. . . . 5 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
92	90, 91	ressbas2 17141	. . . 4 ⊢ ((0[,)+∞) ⊆ ℂ → (0[,)+∞) = (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))
93	89, 92	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (0[,)+∞) = (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞)))
94		cnfldadd 21290	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
95	90, 94	ressplusg 17187	. . . 4 ⊢ ((0[,)+∞) ∈ V → + = (+g‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))
96	4, 95	ax-mp 5	. . 3 ⊢ + = (+g‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞)))
97		cnfldmul 21292	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
98	90, 97	ressmulr 17203	. . . 4 ⊢ ((0[,)+∞) ∈ V → · = (.r‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))
99	4, 98	ax-mp 5	. . 3 ⊢ · = (.r‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞)))
100		cndrng 21328	. . . . 5 ⊢ ℂfld ∈ DivRing
101		drngring 20644	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∈ DivRing → ℂfld ∈ Ring)
102	100, 101	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Ring
103		1re 11104	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
104		0le1 11632	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 1
105		ltpnf 13011	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℝ → 1 < +∞)
106	103, 105	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 1 < +∞
107	103, 104, 106	3pm3.2i 1340	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1 ∧ 1 < +∞)
108		0re 11106	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
109		pnfxr 11158	. . . . . 6 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
110		elico2 13302	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (1 ∈ (0[,)+∞) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1 ∧ 1 < +∞)))
111	108, 109, 110	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ (0[,)+∞) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1 ∧ 1 < +∞))
112	107, 111	mpbir 231	. . . 4 ⊢ 1 ∈ (0[,)+∞)
113		cnfld1 21323	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
114	90, 91, 113	ress1r 33191	. . . 4 ⊢ ((ℂfld ∈ Ring ∧ 1 ∈ (0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℂ) → 1 = (1r‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))
115	102, 112, 89, 114	mp3an 1463	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞)))
116		ringmnd 20154	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
117	100, 101, 116	mp2b 10	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Mnd
118		0e0icopnf 13350	. . . 4 ⊢ 0 ∈ (0[,)+∞)
119		cnfld0 21322	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
120	90, 91, 119	ress0g 18662	. . . 4 ⊢ ((ℂfld ∈ Mnd ∧ 0 ∈ (0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℂ) → 0 = (0g‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))
121	117, 118, 89, 120	mp3an 1463	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞)))
122	53, 58, 64, 69, 87, 93, 96, 99, 115, 121	isslmd 33161	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ SLMod ↔ (𝑊 ∈ CMnd ∧ (ℂfld ↾s (0[,)+∞)) ∈ SRing ∧ ∀𝑞 ∈ (0[,)+∞)∀𝑟 ∈ (0[,)+∞)∀𝑥 ∈ (0[,]+∞)∀𝑤 ∈ (0[,]+∞)(((𝑟 ·e 𝑤) ∈ (0[,]+∞) ∧ (𝑟 ·e (𝑤 +𝑒 𝑥)) = ((𝑟 ·e 𝑤) +𝑒 (𝑟 ·e 𝑥)) ∧ ((𝑞 + 𝑟) ·e 𝑤) = ((𝑞 ·e 𝑤) +𝑒 (𝑟 ·e 𝑤))) ∧ (((𝑞 · 𝑟) ·e 𝑤) = (𝑞 ·e (𝑟 ·e 𝑤)) ∧ (1 ·e 𝑤) = 𝑤 ∧ (0 ·e 𝑤) = 0))))
123	8, 9, 48, 122	mpbir3an 1342	1 ⊢ 𝑊 ∈ SLMod

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2110  ∀wral 3045  Vcvv 3434   ∩ cin 3899   ⊆ wss 3900   class class class wbr 5089  ‘cfv 6477  (class class class)co 7341  ℂcc 10996  ℝcr 10997  0cc0 10998  1c1 10999   + caddc 11001   · cmul 11003  +∞cpnf 11135  ℝ^*cxr 11137   < clt 11138   ≤ cle 11139   +_𝑒 cxad 13001   ·_e cxmu 13002  [,)cico 13239  [,]cicc 13240  Basecbs 17112   ↾_s cress 17133  +_gcplusg 17153  ._rcmulr 17154  Scalarcsca 17156   ·_𝑠 cvsca 17157  0_gc0g 17335  ℝ^*_𝑠cxrs 17396  Mndcmnd 18634  CMndccmn 19685  1_rcur 20092  SRingcsrg 20097  Ringcrg 20144  DivRingcdr 20637  ℂ_fldccnfld 21284  ℝ_fldcrefld 21534  SLModcslmd 33159   ↾_v cresv 33281

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075  ax-addf 11077  ax-mulf 11078  ax-xrssca 32975  ax-xrsvsca 32976

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-tp 4579  df-op 4581  df-uni 4858  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-tpos 8151  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-div 11767  df-nn 12118  df-2 12180  df-3 12181  df-4 12182  df-5 12183  df-6 12184  df-7 12185  df-8 12186  df-9 12187  df-n0 12374  df-z 12461  df-dec 12581  df-uz 12725  df-xneg 13003  df-xadd 13004  df-xmul 13005  df-ico 13243  df-icc 13244  df-fz 13400  df-struct 17050  df-sets 17067  df-slot 17085  df-ndx 17097  df-base 17113  df-ress 17134  df-plusg 17166  df-mulr 17167  df-starv 17168  df-sca 17169  df-vsca 17170  df-tset 17172  df-ple 17173  df-ds 17175  df-unif 17176  df-0g 17337  df-xrs 17398  df-mgm 18540  df-sgrp 18619  df-mnd 18635  df-submnd 18684  df-grp 18841  df-minusg 18842  df-cmn 19687  df-abl 19688  df-mgp 20052  df-rng 20064  df-ur 20093  df-srg 20098  df-ring 20146  df-cring 20147  df-oppr 20248  df-dvdsr 20268  df-unit 20269  df-invr 20299  df-dvr 20312  df-drng 20639  df-cnfld 21285  df-refld 21535  df-slmd 33160  df-resv 33282

This theorem is referenced by: (None)