Theorem xrge0slmod 33355

Description: The extended nonnegative real numbers form a semiring left module. One could also have used subringAlg to get the same structure. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrge0slmod.1	⊢ 𝐺 = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))
xrge0slmod.2	⊢ 𝑊 = (𝐺 ↾v (0[,)+∞))

Assertion

Ref	Expression
xrge0slmod	⊢ 𝑊 ∈ SLMod

Proof of Theorem xrge0slmod

Dummy variables 𝑟 𝑞 𝑤 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrge0slmod.1	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))
2		xrge0cmn 21443	. . . 4 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
3	1, 2	eqeltri 2834	. . 3 ⊢ 𝐺 ∈ CMnd
4		ovex 7463	. . . 4 ⊢ (0[,)+∞) ∈ V
5		xrge0slmod.2	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = (𝐺 ↾v (0[,)+∞))
6	5	resvcmn 33348	. . . 4 ⊢ ((0[,)+∞) ∈ V → (𝐺 ∈ CMnd ↔ 𝑊 ∈ CMnd))
7	4, 6	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd ↔ 𝑊 ∈ CMnd)
8	3, 7	mpbi 230	. 2 ⊢ 𝑊 ∈ CMnd
9		rge0srg 21473	. 2 ⊢ (ℂfld ↾s (0[,)+∞)) ∈ SRing
10		icossicc 13472	. . . . . . . 8 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
11		simplr 769	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → 𝑟 ∈ (0[,)+∞))
12	10, 11	sselid 3992	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → 𝑟 ∈ (0[,]+∞))
13		simprr 773	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → 𝑤 ∈ (0[,]+∞))
14		ge0xmulcl 13499	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑟 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑟 ·e 𝑤) ∈ (0[,]+∞))
15	12, 13, 14	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → (𝑟 ·e 𝑤) ∈ (0[,]+∞))
16		simprl 771	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → 𝑥 ∈ (0[,]+∞))
17		xrge0adddi 33006	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑤 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑟 ·e (𝑤 +𝑒 𝑥)) = ((𝑟 ·e 𝑤) +𝑒 (𝑟 ·e 𝑥)))
18	13, 16, 12, 17	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → (𝑟 ·e (𝑤 +𝑒 𝑥)) = ((𝑟 ·e 𝑤) +𝑒 (𝑟 ·e 𝑥)))
19		rge0ssre 13492	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
20		simpll 767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → 𝑞 ∈ (0[,)+∞))
21	19, 20	sselid 3992	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → 𝑞 ∈ ℝ)
22	19, 11	sselid 3992	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → 𝑟 ∈ ℝ)
23		rexadd 13270	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑞 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑞 +𝑒 𝑟) = (𝑞 + 𝑟))
24	21, 22, 23	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → (𝑞 +𝑒 𝑟) = (𝑞 + 𝑟))
25	24	oveq1d 7445	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → ((𝑞 +𝑒 𝑟) ·e 𝑤) = ((𝑞 + 𝑟) ·e 𝑤))
26	10, 20	sselid 3992	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → 𝑞 ∈ (0[,]+∞))
27		xrge0adddir 33005	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑞 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑞 +𝑒 𝑟) ·e 𝑤) = ((𝑞 ·e 𝑤) +𝑒 (𝑟 ·e 𝑤)))
28	26, 12, 13, 27	syl3anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → ((𝑞 +𝑒 𝑟) ·e 𝑤) = ((𝑞 ·e 𝑤) +𝑒 (𝑟 ·e 𝑤)))
29	25, 28	eqtr3d 2776	. . . . . 6 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → ((𝑞 + 𝑟) ·e 𝑤) = ((𝑞 ·e 𝑤) +𝑒 (𝑟 ·e 𝑤)))
30	15, 18, 29	3jca 1127	. . . . 5 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → ((𝑟 ·e 𝑤) ∈ (0[,]+∞) ∧ (𝑟 ·e (𝑤 +𝑒 𝑥)) = ((𝑟 ·e 𝑤) +𝑒 (𝑟 ·e 𝑥)) ∧ ((𝑞 + 𝑟) ·e 𝑤) = ((𝑞 ·e 𝑤) +𝑒 (𝑟 ·e 𝑤))))
31		rexmul 13309	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑞 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑞 ·e 𝑟) = (𝑞 · 𝑟))
32	21, 22, 31	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → (𝑞 ·e 𝑟) = (𝑞 · 𝑟))
33	32	oveq1d 7445	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → ((𝑞 ·e 𝑟) ·e 𝑤) = ((𝑞 · 𝑟) ·e 𝑤))
34	21	rexrd 11308	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → 𝑞 ∈ ℝ*)
35	22	rexrd 11308	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → 𝑟 ∈ ℝ*)
36		iccssxr 13466	. . . . . . . . 9 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
37	36, 13	sselid 3992	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → 𝑤 ∈ ℝ*)
38		xmulass 13325	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑞 ∈ ℝ* ∧ 𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → ((𝑞 ·e 𝑟) ·e 𝑤) = (𝑞 ·e (𝑟 ·e 𝑤)))
39	34, 35, 37, 38	syl3anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → ((𝑞 ·e 𝑟) ·e 𝑤) = (𝑞 ·e (𝑟 ·e 𝑤)))
40	33, 39	eqtr3d 2776	. . . . . 6 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → ((𝑞 · 𝑟) ·e 𝑤) = (𝑞 ·e (𝑟 ·e 𝑤)))
41		xmullid 13318	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ* → (1 ·e 𝑤) = 𝑤)
42	37, 41	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → (1 ·e 𝑤) = 𝑤)
43		xmul02 13306	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ* → (0 ·e 𝑤) = 0)
44	37, 43	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → (0 ·e 𝑤) = 0)
45	40, 42, 44	3jca 1127	. . . . 5 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → (((𝑞 · 𝑟) ·e 𝑤) = (𝑞 ·e (𝑟 ·e 𝑤)) ∧ (1 ·e 𝑤) = 𝑤 ∧ (0 ·e 𝑤) = 0))
46	30, 45	jca 511	. . . 4 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → (((𝑟 ·e 𝑤) ∈ (0[,]+∞) ∧ (𝑟 ·e (𝑤 +𝑒 𝑥)) = ((𝑟 ·e 𝑤) +𝑒 (𝑟 ·e 𝑥)) ∧ ((𝑞 + 𝑟) ·e 𝑤) = ((𝑞 ·e 𝑤) +𝑒 (𝑟 ·e 𝑤))) ∧ (((𝑞 · 𝑟) ·e 𝑤) = (𝑞 ·e (𝑟 ·e 𝑤)) ∧ (1 ·e 𝑤) = 𝑤 ∧ (0 ·e 𝑤) = 0)))
47	46	ralrimivva 3199	. . 3 ⊢ ((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) → ∀𝑥 ∈ (0[,]+∞)∀𝑤 ∈ (0[,]+∞)(((𝑟 ·e 𝑤) ∈ (0[,]+∞) ∧ (𝑟 ·e (𝑤 +𝑒 𝑥)) = ((𝑟 ·e 𝑤) +𝑒 (𝑟 ·e 𝑥)) ∧ ((𝑞 + 𝑟) ·e 𝑤) = ((𝑞 ·e 𝑤) +𝑒 (𝑟 ·e 𝑤))) ∧ (((𝑞 · 𝑟) ·e 𝑤) = (𝑞 ·e (𝑟 ·e 𝑤)) ∧ (1 ·e 𝑤) = 𝑤 ∧ (0 ·e 𝑤) = 0)))
48	47	rgen2 3196	. 2 ⊢ ∀𝑞 ∈ (0[,)+∞)∀𝑟 ∈ (0[,)+∞)∀𝑥 ∈ (0[,]+∞)∀𝑤 ∈ (0[,]+∞)(((𝑟 ·e 𝑤) ∈ (0[,]+∞) ∧ (𝑟 ·e (𝑤 +𝑒 𝑥)) = ((𝑟 ·e 𝑤) +𝑒 (𝑟 ·e 𝑥)) ∧ ((𝑞 + 𝑟) ·e 𝑤) = ((𝑞 ·e 𝑤) +𝑒 (𝑟 ·e 𝑤))) ∧ (((𝑞 · 𝑟) ·e 𝑤) = (𝑞 ·e (𝑟 ·e 𝑤)) ∧ (1 ·e 𝑤) = 𝑤 ∧ (0 ·e 𝑤) = 0))
49		xrge0base 32998	. . . . . 6 ⊢ (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
50	1	fveq2i 6909	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
51	49, 50	eqtr4i 2765	. . . . 5 ⊢ (0[,]+∞) = (Base‘𝐺)
52	5, 51	resvbas 33338	. . . 4 ⊢ ((0[,)+∞) ∈ V → (0[,]+∞) = (Base‘𝑊))
53	4, 52	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (0[,]+∞) = (Base‘𝑊)
54		xrge0plusg 33000	. . . . . 6 ⊢ +𝑒 = (+g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
55	1	fveq2i 6909	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
56	54, 55	eqtr4i 2765	. . . . 5 ⊢ +𝑒 = (+g‘𝐺)
57	5, 56	resvplusg 33340	. . . 4 ⊢ ((0[,)+∞) ∈ V → +𝑒 = (+g‘𝑊))
58	4, 57	ax-mp 5	. . 3 ⊢ +𝑒 = (+g‘𝑊)
59		ovex 7463	. . . . . 6 ⊢ (0[,]+∞) ∈ V
60		ax-xrsvsca 32989	. . . . . . 7 ⊢ ·e = ( ·𝑠 ‘ℝ*𝑠)
61	1, 60	ressvsca 17389	. . . . . 6 ⊢ ((0[,]+∞) ∈ V → ·e = ( ·𝑠 ‘𝐺))
62	59, 61	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ·e = ( ·𝑠 ‘𝐺)
63	5, 62	resvvsca 33342	. . . 4 ⊢ ((0[,)+∞) ∈ V → ·e = ( ·𝑠 ‘𝑊))
64	4, 63	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ·e = ( ·𝑠 ‘𝑊)
65		xrge00 32999	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
66	1	fveq2i 6909	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
67	65, 66	eqtr4i 2765	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
68	5, 67	resv0g 33346	. . . 4 ⊢ ((0[,)+∞) ∈ V → 0 = (0g‘𝑊))
69	4, 68	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
70		df-refld 21640	. . . . . 6 ⊢ ℝfld = (ℂfld ↾s ℝ)
71	70	oveq1i 7440	. . . . 5 ⊢ (ℝfld ↾s (0[,)+∞)) = ((ℂfld ↾s ℝ) ↾s (0[,)+∞))
72		reex 11243	. . . . . 6 ⊢ ℝ ∈ V
73		ressress 17293	. . . . . 6 ⊢ ((ℝ ∈ V ∧ (0[,)+∞) ∈ V) → ((ℂfld ↾s ℝ) ↾s (0[,)+∞)) = (ℂfld ↾s (ℝ ∩ (0[,)+∞))))
74	72, 4, 73	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ ((ℂfld ↾s ℝ) ↾s (0[,)+∞)) = (ℂfld ↾s (ℝ ∩ (0[,)+∞)))
75	71, 74	eqtri 2762	. . . 4 ⊢ (ℝfld ↾s (0[,)+∞)) = (ℂfld ↾s (ℝ ∩ (0[,)+∞)))
76		ax-xrssca 32988	. . . . . . . 8 ⊢ ℝfld = (Scalar‘ℝ*𝑠)
77	1, 76	resssca 17388	. . . . . . 7 ⊢ ((0[,]+∞) ∈ V → ℝfld = (Scalar‘𝐺))
78	59, 77	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ℝfld = (Scalar‘𝐺)
79		rebase 21641	. . . . . 6 ⊢ ℝ = (Base‘ℝfld)
80	5, 78, 79	resvsca 33335	. . . . 5 ⊢ ((0[,)+∞) ∈ V → (ℝfld ↾s (0[,)+∞)) = (Scalar‘𝑊))
81	4, 80	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (ℝfld ↾s (0[,)+∞)) = (Scalar‘𝑊)
82		incom 4216	. . . . . 6 ⊢ ((0[,)+∞) ∩ ℝ) = (ℝ ∩ (0[,)+∞))
83		dfss2 3980	. . . . . . 7 ⊢ ((0[,)+∞) ⊆ ℝ ↔ ((0[,)+∞) ∩ ℝ) = (0[,)+∞))
84	19, 83	mpbi 230	. . . . . 6 ⊢ ((0[,)+∞) ∩ ℝ) = (0[,)+∞)
85	82, 84	eqtr3i 2764	. . . . 5 ⊢ (ℝ ∩ (0[,)+∞)) = (0[,)+∞)
86	85	oveq2i 7441	. . . 4 ⊢ (ℂfld ↾s (ℝ ∩ (0[,)+∞))) = (ℂfld ↾s (0[,)+∞))
87	75, 81, 86	3eqtr3ri 2771	. . 3 ⊢ (ℂfld ↾s (0[,)+∞)) = (Scalar‘𝑊)
88		ax-resscn 11209	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
89	19, 88	sstri 4004	. . . 4 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℂ
90		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ↾s (0[,)+∞)) = (ℂfld ↾s (0[,)+∞))
91		cnfldbas 21385	. . . . 5 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
92	90, 91	ressbas2 17282	. . . 4 ⊢ ((0[,)+∞) ⊆ ℂ → (0[,)+∞) = (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))
93	89, 92	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (0[,)+∞) = (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞)))
94		cnfldadd 21387	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
95	90, 94	ressplusg 17335	. . . 4 ⊢ ((0[,)+∞) ∈ V → + = (+g‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))
96	4, 95	ax-mp 5	. . 3 ⊢ + = (+g‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞)))
97		cnfldmul 21389	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
98	90, 97	ressmulr 17352	. . . 4 ⊢ ((0[,)+∞) ∈ V → · = (.r‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))
99	4, 98	ax-mp 5	. . 3 ⊢ · = (.r‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞)))
100		cndrng 21428	. . . . 5 ⊢ ℂfld ∈ DivRing
101		drngring 20752	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∈ DivRing → ℂfld ∈ Ring)
102	100, 101	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Ring
103		1re 11258	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
104		0le1 11783	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 1
105		ltpnf 13159	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℝ → 1 < +∞)
106	103, 105	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 1 < +∞
107	103, 104, 106	3pm3.2i 1338	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1 ∧ 1 < +∞)
108		0re 11260	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
109		pnfxr 11312	. . . . . 6 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
110		elico2 13447	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (1 ∈ (0[,)+∞) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1 ∧ 1 < +∞)))
111	108, 109, 110	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ (0[,)+∞) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1 ∧ 1 < +∞))
112	107, 111	mpbir 231	. . . 4 ⊢ 1 ∈ (0[,)+∞)
113		cnfld1 21423	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
114	90, 91, 113	ress1r 33223	. . . 4 ⊢ ((ℂfld ∈ Ring ∧ 1 ∈ (0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℂ) → 1 = (1r‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))
115	102, 112, 89, 114	mp3an 1460	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞)))
116		ringmnd 20260	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
117	100, 101, 116	mp2b 10	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Mnd
118		0e0icopnf 13494	. . . 4 ⊢ 0 ∈ (0[,)+∞)
119		cnfld0 21422	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
120	90, 91, 119	ress0g 18787	. . . 4 ⊢ ((ℂfld ∈ Mnd ∧ 0 ∈ (0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℂ) → 0 = (0g‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))
121	117, 118, 89, 120	mp3an 1460	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞)))
122	53, 58, 64, 69, 87, 93, 96, 99, 115, 121	isslmd 33190	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ SLMod ↔ (𝑊 ∈ CMnd ∧ (ℂfld ↾s (0[,)+∞)) ∈ SRing ∧ ∀𝑞 ∈ (0[,)+∞)∀𝑟 ∈ (0[,)+∞)∀𝑥 ∈ (0[,]+∞)∀𝑤 ∈ (0[,]+∞)(((𝑟 ·e 𝑤) ∈ (0[,]+∞) ∧ (𝑟 ·e (𝑤 +𝑒 𝑥)) = ((𝑟 ·e 𝑤) +𝑒 (𝑟 ·e 𝑥)) ∧ ((𝑞 + 𝑟) ·e 𝑤) = ((𝑞 ·e 𝑤) +𝑒 (𝑟 ·e 𝑤))) ∧ (((𝑞 · 𝑟) ·e 𝑤) = (𝑞 ·e (𝑟 ·e 𝑤)) ∧ (1 ·e 𝑤) = 𝑤 ∧ (0 ·e 𝑤) = 0))))
123	8, 9, 48, 122	mpbir3an 1340	1 ⊢ 𝑊 ∈ SLMod

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  ∀wral 3058  Vcvv 3477   ∩ cin 3961   ⊆ wss 3962   class class class wbr 5147  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  ℂcc 11150  ℝcr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157  +∞cpnf 11289  ℝ^*cxr 11291   < clt 11292   ≤ cle 11293   +_𝑒 cxad 13149   ·_e cxmu 13150  [,)cico 13385  [,]cicc 13386  Basecbs 17244   ↾_s cress 17273  +_gcplusg 17297  ._rcmulr 17298  Scalarcsca 17300   ·_𝑠 cvsca 17301  0_gc0g 17485  ℝ^*_𝑠cxrs 17546  Mndcmnd 18759  CMndccmn 19812  1_rcur 20198  SRingcsrg 20203  Ringcrg 20250  DivRingcdr 20745  ℂ_fldccnfld 21381  ℝ_fldcrefld 21639  SLModcslmd 33188   ↾_v cresv 33329

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-addf 11231  ax-mulf 11232  ax-xrssca 32988  ax-xrsvsca 32989

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-tpos 8249  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-0g 17487  df-xrs 17548  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-cmn 19814  df-abl 19815  df-mgp 20152  df-rng 20170  df-ur 20199  df-srg 20204  df-ring 20252  df-cring 20253  df-oppr 20350  df-dvdsr 20373  df-unit 20374  df-invr 20404  df-dvr 20417  df-drng 20747  df-cnfld 21382  df-refld 21640  df-slmd 33189  df-resv 33330

This theorem is referenced by: (None)