Theorem xrge0addcld 32503

Description: Nonnegative extended reals are closed under addition. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrge0addcld.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
xrge0addcld.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))

Assertion

Ref	Expression
xrge0addcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ (0[,]+∞))

Proof of Theorem xrge0addcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrge0addcld.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
2		elxrge0 13452	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴))
3	1, 2	sylib 217	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴))
4	3	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
5		xrge0addcld.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
6		elxrge0 13452	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵))
7	5, 6	sylib 217	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵))
8	7	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
9	4, 8	xaddcld 13298	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
10	3	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
11	7	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
12		xaddge0 13255	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 +𝑒 𝐵))
13	4, 8, 10, 11, 12	syl22anc 838	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 +𝑒 𝐵))
14		elxrge0 13452	. 2 ⊢ ((𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐴 +𝑒 𝐵)))
15	9, 13, 14	sylanbrc 582	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ (0[,]+∞))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5142  (class class class)co 7414  0cc0 11124  +∞cpnf 11261  ℝ^*cxr 11263   ≤ cle 11265   +_𝑒 cxad 13108  [,]cicc 13345

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-xadd 13111  df-icc 13349

This theorem is referenced by:  omssubadd  33843