Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrge0addcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrge0addcld 30401
Description: Nonnegative extended reals are closed under addition. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
xrge0addcld.a (𝜑𝐴 ∈ (0[,]+∞))
xrge0addcld.b (𝜑𝐵 ∈ (0[,]+∞))
Assertion
Ref Expression
xrge0addcld (𝜑 → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ (0[,]+∞))

Proof of Theorem xrge0addcld
StepHypRef Expression
1 xrge0addcld.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ (0[,]+∞))
2 elxrge0 12838 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴))
31, 2sylib 219 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴))
43simpld 495 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
5 xrge0addcld.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ (0[,]+∞))
6 elxrge0 12838 . . . . 5 (𝐵 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵))
75, 6sylib 219 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵))
87simpld 495 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
94, 8xaddcld 12687 . 2 (𝜑 → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
103simprd 496 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
117simprd 496 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
12 xaddge0 12644 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 +𝑒 𝐵))
134, 8, 10, 11, 12syl22anc 836 . 2 (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 +𝑒 𝐵))
14 elxrge0 12838 . 2 ((𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐴 +𝑒 𝐵)))
159, 13, 14sylanbrc 583 1 (𝜑 → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ (0[,]+∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wcel 2107   class class class wbr 5062  (class class class)co 7151  0cc0 10529  +∞cpnf 10664  *cxr 10666  cle 10668   +𝑒 cxad 12498  [,]cicc 12734
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4837  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-id 5458  df-po 5472  df-so 5473  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-er 8282  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-xadd 12501  df-icc 12738
This theorem is referenced by:  omssubadd  31446
  Copyright terms: Public domain W3C validator