Theorem xrge0addcld 31064

Description: Nonnegative extended reals are closed under addition. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrge0addcld.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
xrge0addcld.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))

Assertion

Ref	Expression
xrge0addcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ (0[,]+∞))

Proof of Theorem xrge0addcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrge0addcld.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
2		elxrge0 13171	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴))
3	1, 2	sylib 217	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴))
4	3	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
5		xrge0addcld.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
6		elxrge0 13171	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵))
7	5, 6	sylib 217	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵))
8	7	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
9	4, 8	xaddcld 13017	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
10	3	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
11	7	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
12		xaddge0 12974	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 +𝑒 𝐵))
13	4, 8, 10, 11, 12	syl22anc 835	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 +𝑒 𝐵))
14		elxrge0 13171	. 2 ⊢ ((𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐴 +𝑒 𝐵)))
15	9, 13, 14	sylanbrc 582	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ (0[,]+∞))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5078  (class class class)co 7268  0cc0 10855  +∞cpnf 10990  ℝ^*cxr 10992   ≤ cle 10994   +_𝑒 cxad 12828  [,]cicc 13064

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4845  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-id 5488  df-po 5502  df-so 5503  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-xadd 12831  df-icc 13068

This theorem is referenced by:  omssubadd  32246