Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrge0subcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrge0subcld 31462
Description: Condition for closure of nonnegative extended reals under subtraction. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
xrge0subcld.a (𝜑𝐴 ∈ (0[,]+∞))
xrge0subcld.b (𝜑𝐵 ∈ (0[,]+∞))
xrge0subcld.c (𝜑𝐵𝐴)
Assertion
Ref Expression
xrge0subcld (𝜑 → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ (0[,]+∞))

Proof of Theorem xrge0subcld
StepHypRef Expression
1 iccssxr 13275 . . . . 5 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2 xrge0subcld.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ (0[,]+∞))
31, 2sselid 3940 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
4 xrge0subcld.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ (0[,]+∞))
51, 4sselid 3940 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
65xnegcld 13147 . . . 4 (𝜑 → -𝑒𝐵 ∈ ℝ*)
73, 6xaddcld 13148 . . 3 (𝜑 → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ ℝ*)
8 xrge0subcld.c . . . 4 (𝜑𝐵𝐴)
9 xsubge0 13108 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ↔ 𝐵𝐴))
103, 5, 9syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ↔ 𝐵𝐴))
118, 10mpbird 256 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵))
127, 11jca 512 . 2 (𝜑 → ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵)))
13 elxrge0 13302 . 2 ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵)))
1412, 13sylibr 233 1 (𝜑 → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ (0[,]+∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wcel 2106   class class class wbr 5103  (class class class)co 7349  0cc0 10984  +∞cpnf 11119  *cxr 11121  cle 11123  -𝑒cxne 12958   +𝑒 cxad 12959  [,]cicc 13195
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7662  ax-cnex 11040  ax-resscn 11041  ax-1cn 11042  ax-icn 11043  ax-addcl 11044  ax-addrcl 11045  ax-mulcl 11046  ax-mulrcl 11047  ax-mulcom 11048  ax-addass 11049  ax-mulass 11050  ax-distr 11051  ax-i2m1 11052  ax-1ne0 11053  ax-1rid 11054  ax-rnegex 11055  ax-rrecex 11056  ax-cnre 11057  ax-pre-lttri 11058  ax-pre-lttrn 11059  ax-pre-ltadd 11060
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5528  df-po 5542  df-so 5543  df-xp 5636  df-rel 5637  df-cnv 5638  df-co 5639  df-dm 5640  df-rn 5641  df-res 5642  df-ima 5643  df-iota 6443  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7305  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-1st 7911  df-2nd 7912  df-er 8581  df-en 8817  df-dom 8818  df-sdom 8819  df-pnf 11124  df-mnf 11125  df-xr 11126  df-ltxr 11127  df-le 11128  df-sub 11320  df-neg 11321  df-xneg 12961  df-xadd 12962  df-icc 13199
This theorem is referenced by:  carsgclctunlem2  32692
  Copyright terms: Public domain W3C validator