Theorem xrge0subcld 33049

Description: Condition for closure of nonnegative extended reals under subtraction. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrge0subcld.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
xrge0subcld.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
xrge0subcld.c	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
xrge0subcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ (0[,]+∞))

Proof of Theorem xrge0subcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 13457	. . . . 5 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2		xrge0subcld.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
3	1, 2	sselid 3941	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		xrge0subcld.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
5	1, 4	sselid 3941	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
6	5	xnegcld 13326	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -𝑒𝐵 ∈ ℝ*)
7	3, 6	xaddcld 13327	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ ℝ*)
8		xrge0subcld.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐴)
9		xsubge0 13287	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))
10	3, 5, 9	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))
11	8, 10	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵))
12	7, 11	jca 520	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵)))
13		elxrge0 13484	. 2 ⊢ ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵)))
14	12, 13	sylibr 237	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ (0[,]+∞))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∈ wcel 2149   class class class wbr 5111  (class class class)co 7411  0cc0 11100  +∞cpnf 11240  ℝ^*cxr 11242   ≤ cle 11244  -_𝑒cxne 13134   +_𝑒 cxad 13135  [,]cicc 13375

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5557  df-po 5570  df-so 5571  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-xneg 13137  df-xadd 13138  df-icc 13379

This theorem is referenced by:  carsgclctunlem2  34654