Theorem xrge0subcld 32659

Description: Condition for closure of nonnegative extended reals under subtraction. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrge0subcld.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
xrge0subcld.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
xrge0subcld.c	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
xrge0subcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ (0[,]+∞))

Proof of Theorem xrge0subcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 13367	. . . . 5 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2		xrge0subcld.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
3	1, 2	sselid 3941	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		xrge0subcld.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
5	1, 4	sselid 3941	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
6	5	xnegcld 13236	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -𝑒𝐵 ∈ ℝ*)
7	3, 6	xaddcld 13237	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ ℝ*)
8		xrge0subcld.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐴)
9		xsubge0 13197	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))
10	3, 5, 9	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))
11	8, 10	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵))
12	7, 11	jca 511	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵)))
13		elxrge0 13394	. 2 ⊢ ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵)))
14	12, 13	sylibr 234	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ (0[,]+∞))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5102  (class class class)co 7369  0cc0 11044  +∞cpnf 11181  ℝ^*cxr 11183   ≤ cle 11185  -_𝑒cxne 13045   +_𝑒 cxad 13046  [,]cicc 13285

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-xneg 13048  df-xadd 13049  df-icc 13289

This theorem is referenced by:  carsgclctunlem2  34283