Theorem xrge0subcld 32859

Description: Condition for closure of nonnegative extended reals under subtraction. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrge0subcld.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
xrge0subcld.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
xrge0subcld.c	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
xrge0subcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ (0[,]+∞))

Proof of Theorem xrge0subcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 13378	. . . . 5 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2		xrge0subcld.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
3	1, 2	sselid 3915	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		xrge0subcld.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
5	1, 4	sselid 3915	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
6	5	xnegcld 13247	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -𝑒𝐵 ∈ ℝ*)
7	3, 6	xaddcld 13248	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ ℝ*)
8		xrge0subcld.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐴)
9		xsubge0 13208	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))
10	3, 5, 9	syl2anc 591	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))
11	8, 10	mpbird 259	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵))
12	7, 11	jca 517	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵)))
13		elxrge0 13405	. 2 ⊢ ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵)))
14	12, 13	sylibr 236	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ (0[,]+∞))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   ∈ wcel 2121   class class class wbr 5075  (class class class)co 7360  0cc0 11033  +∞cpnf 11171  ℝ^*cxr 11173   ≤ cle 11175  -_𝑒cxne 13055   +_𝑒 cxad 13056  [,]cicc 13296

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-id 5516  df-po 5529  df-so 5530  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-xneg 13058  df-xadd 13059  df-icc 13300

This theorem is referenced by:  carsgclctunlem2  34515