Theorem xrge0subcld 30661

Description: Condition for closure of nonnegative extended reals under subtraction. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrge0subcld.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
xrge0subcld.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
xrge0subcld.c	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
xrge0subcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ (0[,]+∞))

Proof of Theorem xrge0subcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 12904	. . . . 5 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2		xrge0subcld.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
3	1, 2	sseldi 3875	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		xrge0subcld.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
5	1, 4	sseldi 3875	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
6	5	xnegcld 12776	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -𝑒𝐵 ∈ ℝ*)
7	3, 6	xaddcld 12777	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ ℝ*)
8		xrge0subcld.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐴)
9		xsubge0 12737	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))
10	3, 5, 9	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))
11	8, 10	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵))
12	7, 11	jca 515	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵)))
13		elxrge0 12931	. 2 ⊢ ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵)))
14	12, 13	sylibr 237	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ (0[,]+∞))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5030  (class class class)co 7170  0cc0 10615  +∞cpnf 10750  ℝ^*cxr 10752   ≤ cle 10754  -_𝑒cxne 12587   +_𝑒 cxad 12588  [,]cicc 12824

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5429  df-po 5442  df-so 5443  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-er 8320  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-xneg 12590  df-xadd 12591  df-icc 12828

This theorem is referenced by:  carsgclctunlem2  31856