Users' Mathboxes Mathbox for Alan Sare < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zfregs2VD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zfregs2VD 44861
Description: Virtual deduction proof of zfregs2 9773. (Contributed by Alan Sare, 24-Oct-2011.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
zfregs2VD (𝐴 ≠ ∅ → ¬ ∀𝑥𝐴𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem zfregs2VD
StepHypRef Expression
1 idn1 44594 . . . . . . . 8 (   𝐴 ≠ ∅   ▶   𝐴 ≠ ∅   )
2 zfregs 9772 . . . . . . . 8 (𝐴 ≠ ∅ → ∃𝑥𝐴 (𝑥𝐴) = ∅)
31, 2e1a 44647 . . . . . . 7 (   𝐴 ≠ ∅   ▶   𝑥𝐴 (𝑥𝐴) = ∅   )
4 incom 4209 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐴) = (𝐴𝑥)
54eqeq1i 2742 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴) = ∅ ↔ (𝐴𝑥) = ∅)
65rexbii 3094 . . . . . . 7 (∃𝑥𝐴 (𝑥𝐴) = ∅ ↔ ∃𝑥𝐴 (𝐴𝑥) = ∅)
73, 6e1bi 44649 . . . . . 6 (   𝐴 ≠ ∅   ▶   𝑥𝐴 (𝐴𝑥) = ∅   )
8 disj1 4452 . . . . . . 7 ((𝐴𝑥) = ∅ ↔ ∀𝑦(𝑦𝐴 → ¬ 𝑦𝑥))
98rexbii 3094 . . . . . 6 (∃𝑥𝐴 (𝐴𝑥) = ∅ ↔ ∃𝑥𝐴𝑦(𝑦𝐴 → ¬ 𝑦𝑥))
107, 9e1bi 44649 . . . . 5 (   𝐴 ≠ ∅   ▶   𝑥𝐴𝑦(𝑦𝐴 → ¬ 𝑦𝑥)   )
11 alinexa 1843 . . . . . 6 (∀𝑦(𝑦𝐴 → ¬ 𝑦𝑥) ↔ ¬ ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥))
1211rexbii 3094 . . . . 5 (∃𝑥𝐴𝑦(𝑦𝐴 → ¬ 𝑦𝑥) ↔ ∃𝑥𝐴 ¬ ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥))
1310, 12e1bi 44649 . . . 4 (   𝐴 ≠ ∅   ▶   𝑥𝐴 ¬ ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥)   )
14 dfrex2 3073 . . . 4 (∃𝑥𝐴 ¬ ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥) ↔ ¬ ∀𝑥𝐴 ¬ ¬ ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥))
1513, 14e1bi 44649 . . 3 (   𝐴 ≠ ∅   ▶    ¬ ∀𝑥𝐴 ¬ ¬ ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥)   )
16 notnotr 130 . . . . . 6 (¬ ¬ ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥) → ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥))
17 notnot 142 . . . . . 6 (∃𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥) → ¬ ¬ ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥))
1816, 17impbii 209 . . . . 5 (¬ ¬ ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥) ↔ ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥))
1918ralbii 3093 . . . 4 (∀𝑥𝐴 ¬ ¬ ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥) ↔ ∀𝑥𝐴𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥))
2019notbii 320 . . 3 (¬ ∀𝑥𝐴 ¬ ¬ ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥) ↔ ¬ ∀𝑥𝐴𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥))
2115, 20e1bi 44649 . 2 (   𝐴 ≠ ∅   ▶    ¬ ∀𝑥𝐴𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥)   )
2221in1 44591 1 (𝐴 ≠ ∅ → ¬ ∀𝑥𝐴𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  wal 1538   = wceq 1540  wex 1779  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  cin 3950  c0 4333
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-reg 9632  ax-inf2 9681
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-vd1 44590
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator