Users' Mathboxes Mathbox for Alan Sare < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zfregs2VD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zfregs2VD 44422
Description: Virtual deduction proof of zfregs2 9758. (Contributed by Alan Sare, 24-Oct-2011.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
zfregs2VD (𝐴 ≠ ∅ → ¬ ∀𝑥𝐴𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem zfregs2VD
StepHypRef Expression
1 idn1 44155 . . . . . . . 8 (   𝐴 ≠ ∅   ▶   𝐴 ≠ ∅   )
2 zfregs 9757 . . . . . . . 8 (𝐴 ≠ ∅ → ∃𝑥𝐴 (𝑥𝐴) = ∅)
31, 2e1a 44208 . . . . . . 7 (   𝐴 ≠ ∅   ▶   𝑥𝐴 (𝑥𝐴) = ∅   )
4 incom 4199 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐴) = (𝐴𝑥)
54eqeq1i 2730 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴) = ∅ ↔ (𝐴𝑥) = ∅)
65rexbii 3083 . . . . . . 7 (∃𝑥𝐴 (𝑥𝐴) = ∅ ↔ ∃𝑥𝐴 (𝐴𝑥) = ∅)
73, 6e1bi 44210 . . . . . 6 (   𝐴 ≠ ∅   ▶   𝑥𝐴 (𝐴𝑥) = ∅   )
8 disj1 4452 . . . . . . 7 ((𝐴𝑥) = ∅ ↔ ∀𝑦(𝑦𝐴 → ¬ 𝑦𝑥))
98rexbii 3083 . . . . . 6 (∃𝑥𝐴 (𝐴𝑥) = ∅ ↔ ∃𝑥𝐴𝑦(𝑦𝐴 → ¬ 𝑦𝑥))
107, 9e1bi 44210 . . . . 5 (   𝐴 ≠ ∅   ▶   𝑥𝐴𝑦(𝑦𝐴 → ¬ 𝑦𝑥)   )
11 alinexa 1837 . . . . . 6 (∀𝑦(𝑦𝐴 → ¬ 𝑦𝑥) ↔ ¬ ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥))
1211rexbii 3083 . . . . 5 (∃𝑥𝐴𝑦(𝑦𝐴 → ¬ 𝑦𝑥) ↔ ∃𝑥𝐴 ¬ ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥))
1310, 12e1bi 44210 . . . 4 (   𝐴 ≠ ∅   ▶   𝑥𝐴 ¬ ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥)   )
14 dfrex2 3062 . . . 4 (∃𝑥𝐴 ¬ ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥) ↔ ¬ ∀𝑥𝐴 ¬ ¬ ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥))
1513, 14e1bi 44210 . . 3 (   𝐴 ≠ ∅   ▶    ¬ ∀𝑥𝐴 ¬ ¬ ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥)   )
16 notnotr 130 . . . . . 6 (¬ ¬ ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥) → ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥))
17 notnot 142 . . . . . 6 (∃𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥) → ¬ ¬ ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥))
1816, 17impbii 208 . . . . 5 (¬ ¬ ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥) ↔ ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥))
1918ralbii 3082 . . . 4 (∀𝑥𝐴 ¬ ¬ ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥) ↔ ∀𝑥𝐴𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥))
2019notbii 319 . . 3 (¬ ∀𝑥𝐴 ¬ ¬ ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥) ↔ ¬ ∀𝑥𝐴𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥))
2115, 20e1bi 44210 . 2 (   𝐴 ≠ ∅   ▶    ¬ ∀𝑥𝐴𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥)   )
2221in1 44152 1 (𝐴 ≠ ∅ → ¬ ∀𝑥𝐴𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394  wal 1531   = wceq 1533  wex 1773  wcel 2098  wne 2929  wral 3050  wrex 3059  cin 3943  c0 4322
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-reg 9617  ax-inf2 9666
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-ov 7422  df-om 7872  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-vd1 44151
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator