Theorem zfregs2VD 45962

Description: Virtual deduction proof of zfregs2 9744. (Contributed by Alan Sare, 24-Oct-2011.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
zfregs2VD	⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem zfregs2VD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idn1 45696	. . . . . . . 8 ⊢ (   𝐴 ≠ ∅   ▶   𝐴 ≠ ∅   )
2		zfregs 9743	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ∩ 𝐴) = ∅)
3	1, 2	e1a 45749	. . . . . . 7 ⊢ (   𝐴 ≠ ∅   ▶   ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ∩ 𝐴) = ∅   )
4		incom 4108	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∩ 𝐴) = (𝐴 ∩ 𝑥)
5	4	eqeq1i 2768	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∩ 𝐴) = ∅ ↔ (𝐴 ∩ 𝑥) = ∅)
6	5	rexbii 3112	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ∩ 𝐴) = ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐴 ∩ 𝑥) = ∅)
7	3, 6	e1bi 45751	. . . . . 6 ⊢ (   𝐴 ≠ ∅   ▶   ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐴 ∩ 𝑥) = ∅   )
8		disj1 4407	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝑥) = ∅ ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑦 ∈ 𝑥))
9	8	rexbii 3112	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐴 ∩ 𝑥) = ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑦 ∈ 𝑥))
10	7, 9	e1bi 45751	. . . . 5 ⊢ (   𝐴 ≠ ∅   ▶   ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑦 ∈ 𝑥)   )
11		alinexa 1875	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑦 ∈ 𝑥) ↔ ¬ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥))
12	11	rexbii 3112	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑦 ∈ 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥))
13	10, 12	e1bi 45751	. . . 4 ⊢ (   𝐴 ≠ ∅   ▶   ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥)   )
14		dfrex2 3092	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ ¬ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥))
15	13, 14	e1bi 45751	. . 3 ⊢ (   𝐴 ≠ ∅   ▶    ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ ¬ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥)   )
16		notnotr 131	. . . . . 6 ⊢ (¬ ¬ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥))
17		notnot 143	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → ¬ ¬ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥))
18	16, 17	impbii 212	. . . . 5 ⊢ (¬ ¬ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥))
19	18	ralbii 3111	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ ¬ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥))
20	19	notbii 323	. . 3 ⊢ (¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ ¬ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥))
21	15, 20	e1bi 45751	. 2 ⊢ (   𝐴 ≠ ∅   ▶    ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥)   )
22	21	in1 45693	1 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401  ∀wal 1567   = wceq 1569  ∃wex 1811   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2958  ∀wral 3079  ∃wrex 3089   ∩ cin 4091  ∅c0 4280

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-reg 9596  ax-inf2 9652

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-ov 7430  df-om 7885  df-2nd 8009  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-vd1 45692

This theorem is used by: (None)