Theorem zfregs2VD 45288

Description: Virtual deduction proof of zfregs2 9648. (Contributed by Alan Sare, 24-Oct-2011.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
zfregs2VD	⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem zfregs2VD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idn1 45022	. . . . . . . 8 ⊢ (   𝐴 ≠ ∅   ▶   𝐴 ≠ ∅   )
2		zfregs 9647	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ∩ 𝐴) = ∅)
3	1, 2	e1a 45075	. . . . . . 7 ⊢ (   𝐴 ≠ ∅   ▶   ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ∩ 𝐴) = ∅   )
4		incom 4150	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∩ 𝐴) = (𝐴 ∩ 𝑥)
5	4	eqeq1i 2742	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∩ 𝐴) = ∅ ↔ (𝐴 ∩ 𝑥) = ∅)
6	5	rexbii 3085	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ∩ 𝐴) = ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐴 ∩ 𝑥) = ∅)
7	3, 6	e1bi 45077	. . . . . 6 ⊢ (   𝐴 ≠ ∅   ▶   ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐴 ∩ 𝑥) = ∅   )
8		disj1 4393	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝑥) = ∅ ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑦 ∈ 𝑥))
9	8	rexbii 3085	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐴 ∩ 𝑥) = ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑦 ∈ 𝑥))
10	7, 9	e1bi 45077	. . . . 5 ⊢ (   𝐴 ≠ ∅   ▶   ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑦 ∈ 𝑥)   )
11		alinexa 1845	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑦 ∈ 𝑥) ↔ ¬ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥))
12	11	rexbii 3085	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑦 ∈ 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥))
13	10, 12	e1bi 45077	. . . 4 ⊢ (   𝐴 ≠ ∅   ▶   ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥)   )
14		dfrex2 3065	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ ¬ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥))
15	13, 14	e1bi 45077	. . 3 ⊢ (   𝐴 ≠ ∅   ▶    ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ ¬ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥)   )
16		notnotr 130	. . . . . 6 ⊢ (¬ ¬ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥))
17		notnot 142	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → ¬ ¬ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥))
18	16, 17	impbii 209	. . . . 5 ⊢ (¬ ¬ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥))
19	18	ralbii 3084	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ ¬ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥))
20	19	notbii 320	. . 3 ⊢ (¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ ¬ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥))
21	15, 20	e1bi 45077	. 2 ⊢ (   𝐴 ≠ ∅   ▶    ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥)   )
22	21	in1 45019	1 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395  ∀wal 1540   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3062   ∩ cin 3889  ∅c0 4274

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-reg 9501  ax-inf2 9556

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7364  df-om 7812  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-vd1 45018

This theorem is referenced by: (None)