Theorem zfregs2VD 44803

Description: Virtual deduction proof of zfregs2 9662. (Contributed by Alan Sare, 24-Oct-2011.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
zfregs2VD	⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem zfregs2VD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idn1 44537	. . . . . . . 8 ⊢ (   𝐴 ≠ ∅   ▶   𝐴 ≠ ∅   )
2		zfregs 9661	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ∩ 𝐴) = ∅)
3	1, 2	e1a 44590	. . . . . . 7 ⊢ (   𝐴 ≠ ∅   ▶   ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ∩ 𝐴) = ∅   )
4		incom 4168	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∩ 𝐴) = (𝐴 ∩ 𝑥)
5	4	eqeq1i 2734	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∩ 𝐴) = ∅ ↔ (𝐴 ∩ 𝑥) = ∅)
6	5	rexbii 3076	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ∩ 𝐴) = ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐴 ∩ 𝑥) = ∅)
7	3, 6	e1bi 44592	. . . . . 6 ⊢ (   𝐴 ≠ ∅   ▶   ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐴 ∩ 𝑥) = ∅   )
8		disj1 4411	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝑥) = ∅ ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑦 ∈ 𝑥))
9	8	rexbii 3076	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐴 ∩ 𝑥) = ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑦 ∈ 𝑥))
10	7, 9	e1bi 44592	. . . . 5 ⊢ (   𝐴 ≠ ∅   ▶   ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑦 ∈ 𝑥)   )
11		alinexa 1843	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑦 ∈ 𝑥) ↔ ¬ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥))
12	11	rexbii 3076	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑦 ∈ 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥))
13	10, 12	e1bi 44592	. . . 4 ⊢ (   𝐴 ≠ ∅   ▶   ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥)   )
14		dfrex2 3056	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ ¬ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥))
15	13, 14	e1bi 44592	. . 3 ⊢ (   𝐴 ≠ ∅   ▶    ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ ¬ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥)   )
16		notnotr 130	. . . . . 6 ⊢ (¬ ¬ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥))
17		notnot 142	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → ¬ ¬ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥))
18	16, 17	impbii 209	. . . . 5 ⊢ (¬ ¬ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥))
19	18	ralbii 3075	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ ¬ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥))
20	19	notbii 320	. . 3 ⊢ (¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ ¬ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥))
21	15, 20	e1bi 44592	. 2 ⊢ (   𝐴 ≠ ∅   ▶    ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥)   )
22	21	in1 44534	1 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395  ∀wal 1538   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∃wrex 3053   ∩ cin 3910  ∅c0 4292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-reg 9521  ax-inf2 9570

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-vd1 44533

This theorem is referenced by: (None)