Users' Mathboxes Mathbox for Alan Sare < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zfregs2VD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zfregs2VD 42169
Description: Virtual deduction proof of zfregs2 9376. (Contributed by Alan Sare, 24-Oct-2011.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
zfregs2VD (𝐴 ≠ ∅ → ¬ ∀𝑥𝐴𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem zfregs2VD
StepHypRef Expression
1 idn1 41902 . . . . . . . 8 (   𝐴 ≠ ∅   ▶   𝐴 ≠ ∅   )
2 zfregs 9375 . . . . . . . 8 (𝐴 ≠ ∅ → ∃𝑥𝐴 (𝑥𝐴) = ∅)
31, 2e1a 41955 . . . . . . 7 (   𝐴 ≠ ∅   ▶   𝑥𝐴 (𝑥𝐴) = ∅   )
4 incom 4131 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐴) = (𝐴𝑥)
54eqeq1i 2744 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴) = ∅ ↔ (𝐴𝑥) = ∅)
65rexbii 3177 . . . . . . 7 (∃𝑥𝐴 (𝑥𝐴) = ∅ ↔ ∃𝑥𝐴 (𝐴𝑥) = ∅)
73, 6e1bi 41957 . . . . . 6 (   𝐴 ≠ ∅   ▶   𝑥𝐴 (𝐴𝑥) = ∅   )
8 disj1 4381 . . . . . . 7 ((𝐴𝑥) = ∅ ↔ ∀𝑦(𝑦𝐴 → ¬ 𝑦𝑥))
98rexbii 3177 . . . . . 6 (∃𝑥𝐴 (𝐴𝑥) = ∅ ↔ ∃𝑥𝐴𝑦(𝑦𝐴 → ¬ 𝑦𝑥))
107, 9e1bi 41957 . . . . 5 (   𝐴 ≠ ∅   ▶   𝑥𝐴𝑦(𝑦𝐴 → ¬ 𝑦𝑥)   )
11 alinexa 1850 . . . . . 6 (∀𝑦(𝑦𝐴 → ¬ 𝑦𝑥) ↔ ¬ ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥))
1211rexbii 3177 . . . . 5 (∃𝑥𝐴𝑦(𝑦𝐴 → ¬ 𝑦𝑥) ↔ ∃𝑥𝐴 ¬ ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥))
1310, 12e1bi 41957 . . . 4 (   𝐴 ≠ ∅   ▶   𝑥𝐴 ¬ ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥)   )
14 dfrex2 3166 . . . 4 (∃𝑥𝐴 ¬ ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥) ↔ ¬ ∀𝑥𝐴 ¬ ¬ ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥))
1513, 14e1bi 41957 . . 3 (   𝐴 ≠ ∅   ▶    ¬ ∀𝑥𝐴 ¬ ¬ ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥)   )
16 notnotr 132 . . . . . 6 (¬ ¬ ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥) → ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥))
17 notnot 144 . . . . . 6 (∃𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥) → ¬ ¬ ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥))
1816, 17impbii 212 . . . . 5 (¬ ¬ ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥) ↔ ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥))
1918ralbii 3090 . . . 4 (∀𝑥𝐴 ¬ ¬ ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥) ↔ ∀𝑥𝐴𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥))
2019notbii 323 . . 3 (¬ ∀𝑥𝐴 ¬ ¬ ∃𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥) ↔ ¬ ∀𝑥𝐴𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥))
2115, 20e1bi 41957 . 2 (   𝐴 ≠ ∅   ▶    ¬ ∀𝑥𝐴𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥)   )
2221in1 41899 1 (𝐴 ≠ ∅ → ¬ ∀𝑥𝐴𝑦(𝑦𝐴𝑦𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399  wal 1541   = wceq 1543  wex 1787  wcel 2112  wne 2942  wral 3063  wrex 3064  cin 3881  c0 4253
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2710  ax-rep 5195  ax-sep 5208  ax-nul 5215  ax-pr 5338  ax-un 7544  ax-reg 9235  ax-inf2 9283
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2818  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3711  df-csb 3828  df-dif 3885  df-un 3887  df-in 3889  df-ss 3899  df-pss 3901  df-nul 4254  df-if 4456  df-pw 4531  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4836  df-iun 4922  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5152  df-tr 5178  df-id 5471  df-eprel 5477  df-po 5485  df-so 5486  df-fr 5526  df-we 5528  df-xp 5574  df-rel 5575  df-cnv 5576  df-co 5577  df-dm 5578  df-rn 5579  df-res 5580  df-ima 5581  df-pred 6178  df-ord 6236  df-on 6237  df-lim 6238  df-suc 6239  df-iota 6358  df-fun 6402  df-fn 6403  df-f 6404  df-f1 6405  df-fo 6406  df-f1o 6407  df-fv 6408  df-om 7666  df-wrecs 8070  df-recs 8131  df-rdg 8169  df-vd1 41898
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator