Theorem zfregs2VD 44422

Description: Virtual deduction proof of zfregs2 9758. (Contributed by Alan Sare, 24-Oct-2011.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
zfregs2VD	⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem zfregs2VD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idn1 44155	. . . . . . . 8 ⊢ (   𝐴 ≠ ∅   ▶   𝐴 ≠ ∅   )
2		zfregs 9757	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ∩ 𝐴) = ∅)
3	1, 2	e1a 44208	. . . . . . 7 ⊢ (   𝐴 ≠ ∅   ▶   ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ∩ 𝐴) = ∅   )
4		incom 4199	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∩ 𝐴) = (𝐴 ∩ 𝑥)
5	4	eqeq1i 2730	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∩ 𝐴) = ∅ ↔ (𝐴 ∩ 𝑥) = ∅)
6	5	rexbii 3083	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ∩ 𝐴) = ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐴 ∩ 𝑥) = ∅)
7	3, 6	e1bi 44210	. . . . . 6 ⊢ (   𝐴 ≠ ∅   ▶   ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐴 ∩ 𝑥) = ∅   )
8		disj1 4452	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝑥) = ∅ ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑦 ∈ 𝑥))
9	8	rexbii 3083	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐴 ∩ 𝑥) = ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑦 ∈ 𝑥))
10	7, 9	e1bi 44210	. . . . 5 ⊢ (   𝐴 ≠ ∅   ▶   ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑦 ∈ 𝑥)   )
11		alinexa 1837	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑦 ∈ 𝑥) ↔ ¬ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥))
12	11	rexbii 3083	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑦 ∈ 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥))
13	10, 12	e1bi 44210	. . . 4 ⊢ (   𝐴 ≠ ∅   ▶   ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥)   )
14		dfrex2 3062	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ ¬ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥))
15	13, 14	e1bi 44210	. . 3 ⊢ (   𝐴 ≠ ∅   ▶    ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ ¬ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥)   )
16		notnotr 130	. . . . . 6 ⊢ (¬ ¬ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥))
17		notnot 142	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → ¬ ¬ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥))
18	16, 17	impbii 208	. . . . 5 ⊢ (¬ ¬ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥))
19	18	ralbii 3082	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ ¬ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥))
20	19	notbii 319	. . 3 ⊢ (¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ ¬ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥))
21	15, 20	e1bi 44210	. 2 ⊢ (   𝐴 ≠ ∅   ▶    ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥)   )
22	21	in1 44152	1 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394  ∀wal 1531   = wceq 1533  ∃wex 1773   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2929  ∀wral 3050  ∃wrex 3059   ∩ cin 3943  ∅c0 4322

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-reg 9617  ax-inf2 9666

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-ov 7422  df-om 7872  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-vd1 44151

This theorem is referenced by: (None)