Theorem nntccl 6171

Description: Cardinal T is closed under the natural numbers. (Contributed by SF, 3-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nntccl	⊢ (A ∈ Nn → Tc A ∈ Nn )

Proof of Theorem nntccl

Dummy variables a m n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nulnnn 4557	. . . . 5 ⊢ ¬ ∅ ∈ Nn
2		eleq1 2413	. . . . 5 ⊢ (A = ∅ → (A ∈ Nn ↔ ∅ ∈ Nn ))
3	1, 2	mtbiri 294	. . . 4 ⊢ (A = ∅ → ¬ A ∈ Nn )
4	3	necon2ai 2562	. . 3 ⊢ (A ∈ Nn → A ≠ ∅)
5		n0 3560	. . 3 ⊢ (A ≠ ∅ ↔ ∃n n ∈ A)
6	4, 5	sylib 188	. 2 ⊢ (A ∈ Nn → ∃n n ∈ A)
7		eleq2 2414	. . . . . . . . 9 ⊢ (a = A → (n ∈ a ↔ n ∈ A))
8	7	rspcev 2956	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∈ Nn ∧ n ∈ A) → ∃a ∈ Nn n ∈ a)
9		elfin 4421	. . . . . . . 8 ⊢ (n ∈ Fin ↔ ∃a ∈ Nn n ∈ a)
10	8, 9	sylibr 203	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ Nn ∧ n ∈ A) → n ∈ Fin )
11		pw1fin 6170	. . . . . . 7 ⊢ (n ∈ Fin → ℘1n ∈ Fin )
12	10, 11	syl 15	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ Nn ∧ n ∈ A) → ℘1n ∈ Fin )
13		elfin 4421	. . . . . 6 ⊢ (℘1n ∈ Fin ↔ ∃m ∈ Nn ℘1n ∈ m)
14	12, 13	sylib 188	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ Nn ∧ n ∈ A) → ∃m ∈ Nn ℘1n ∈ m)
15		nnnc 6147	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (A ∈ Nn → A ∈ NC )
16		tccl 6161	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (A ∈ NC → Tc A ∈ NC )
17	15, 16	syl 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (A ∈ Nn → Tc A ∈ NC )
18	17	ad2antrr 706	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((A ∈ Nn ∧ m ∈ Nn ) ∧ (n ∈ A ∧ ℘1n ∈ m)) → Tc A ∈ NC )
19		nnnc 6147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (m ∈ Nn → m ∈ NC )
20	19	ad2antlr 707	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((A ∈ Nn ∧ m ∈ Nn ) ∧ (n ∈ A ∧ ℘1n ∈ m)) → m ∈ NC )
21	15	ad2antrr 706	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((A ∈ Nn ∧ m ∈ Nn ) ∧ (n ∈ A ∧ ℘1n ∈ m)) → A ∈ NC )
22		simprl 732	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((A ∈ Nn ∧ m ∈ Nn ) ∧ (n ∈ A ∧ ℘1n ∈ m)) → n ∈ A)
23		pw1eltc 6163	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((A ∈ NC ∧ n ∈ A) → ℘1n ∈ Tc A)
24	21, 22, 23	syl2anc 642	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((A ∈ Nn ∧ m ∈ Nn ) ∧ (n ∈ A ∧ ℘1n ∈ m)) → ℘1n ∈ Tc A)
25		simprr 733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((A ∈ Nn ∧ m ∈ Nn ) ∧ (n ∈ A ∧ ℘1n ∈ m)) → ℘1n ∈ m)
26		nceleq 6150	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((( Tc A ∈ NC ∧ m ∈ NC ) ∧ (℘1n ∈ Tc A ∧ ℘1n ∈ m)) → Tc A = m)
27	18, 20, 24, 25, 26	syl22anc 1183	. . . . . . . . 9 ⊢ (((A ∈ Nn ∧ m ∈ Nn ) ∧ (n ∈ A ∧ ℘1n ∈ m)) → Tc A = m)
28		simplr 731	. . . . . . . . 9 ⊢ (((A ∈ Nn ∧ m ∈ Nn ) ∧ (n ∈ A ∧ ℘1n ∈ m)) → m ∈ Nn )
29	27, 28	eqeltrd 2427	. . . . . . . 8 ⊢ (((A ∈ Nn ∧ m ∈ Nn ) ∧ (n ∈ A ∧ ℘1n ∈ m)) → Tc A ∈ Nn )
30	29	expr 598	. . . . . . 7 ⊢ (((A ∈ Nn ∧ m ∈ Nn ) ∧ n ∈ A) → (℘1n ∈ m → Tc A ∈ Nn ))
31	30	an32s 779	. . . . . 6 ⊢ (((A ∈ Nn ∧ n ∈ A) ∧ m ∈ Nn ) → (℘1n ∈ m → Tc A ∈ Nn ))
32	31	rexlimdva 2739	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ Nn ∧ n ∈ A) → (∃m ∈ Nn ℘1n ∈ m → Tc A ∈ Nn ))
33	14, 32	mpd 14	. . . 4 ⊢ ((A ∈ Nn ∧ n ∈ A) → Tc A ∈ Nn )
34	33	ex 423	. . 3 ⊢ (A ∈ Nn → (n ∈ A → Tc A ∈ Nn ))
35	34	exlimdv 1636	. 2 ⊢ (A ∈ Nn → (∃n n ∈ A → Tc A ∈ Nn ))
36	6, 35	mpd 14	1 ⊢ (A ∈ Nn → Tc A ∈ Nn )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 358  ∃wex 1541   = wceq 1642   ∈ wcel 1710   ≠ wne 2517  ∃wrex 2616  ∅c0 3551  ℘₁cpw1 4136   Nn cnnc 4374   Fin cfin 4377   NC cncs 6089   T_c ctc 6094

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-ins2 4085  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-reu 2622  df-rmo 2623  df-rab 2624  df-v 2862  df-sbc 3048  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-pss 3262  df-nul 3552  df-if 3664  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-uni 3893  df-int 3928  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-uni1 4139  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-cok 4191  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194  df-imagek 4195  df-idk 4196  df-iota 4340  df-0c 4378  df-addc 4379  df-nnc 4380  df-fin 4381  df-lefin 4441  df-ltfin 4442  df-ncfin 4443  df-tfin 4444  df-evenfin 4445  df-oddfin 4446  df-sfin 4447  df-spfin 4448  df-phi 4566  df-op 4567  df-proj1 4568  df-proj2 4569  df-opab 4624  df-br 4641  df-1st 4724  df-swap 4725  df-sset 4726  df-co 4727  df-ima 4728  df-si 4729  df-id 4768  df-xp 4785  df-cnv 4786  df-rn 4787  df-dm 4788  df-res 4789  df-fun 4790  df-fn 4791  df-f 4792  df-f1 4793  df-fo 4794  df-f1o 4795  df-fv 4796  df-2nd 4798  df-txp 5737  df-ins2 5751  df-ins3 5753  df-image 5755  df-ins4 5757  df-si3 5759  df-funs 5761  df-fns 5763  df-trans 5900  df-sym 5909  df-er 5910  df-ec 5948  df-qs 5952  df-en 6030  df-ncs 6099  df-nc 6102  df-tc 6104

This theorem is referenced by:  nmembers1  6272  nchoicelem1  6290  nchoicelem2  6291