Theorem 0sgmppw 15723

Description: A prime power P ^ K has K + 1 divisors. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
0sgmppw	|- ( ( P e. Prime /\ K e. NN0 ) -> ( 0 sigma ( P ^ K ) ) = ( K + 1 ) )

Proof of Theorem 0sgmppw

Dummy variables n x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmnn 12687	. . . . 5 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
2		nnexpcl 10815	. . . . 5 |- ( ( P e. NN /\ K e. NN0 ) -> ( P ^ K ) e. NN )
3	1, 2	sylan 283	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ K e. NN0 ) -> ( P ^ K ) e. NN )
4		0sgm 15715	. . . 4 |- ( ( P ^ K ) e. NN -> ( 0 sigma ( P ^ K ) ) = (♯ ` { x e. NN | x || ( P ^ K ) } ) )
5	3, 4	syl 14	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ K e. NN0 ) -> ( 0 sigma ( P ^ K ) ) = (♯ ` { x e. NN | x || ( P ^ K ) } ) )
6		0zd 9491	. . . . 5 |- ( ( P e. Prime /\ K e. NN0 ) -> 0 e. ZZ )
7		nn0z 9499	. . . . . 6 |- ( K e. NN0 -> K e. ZZ )
8	7	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( P e. Prime /\ K e. NN0 ) -> K e. ZZ )
9	6, 8	fzfigd 10694	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ K e. NN0 ) -> ( 0 ... K ) e. Fin )
10		eqid 2231	. . . . 5 |- ( n e. ( 0 ... K ) |-> ( P ^ n ) ) = ( n e. ( 0 ... K ) |-> ( P ^ n ) )
11	10	dvdsppwf1o 15719	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ K e. NN0 ) -> ( n e. ( 0 ... K ) |-> ( P ^ n ) ) : ( 0 ... K ) -1-1-onto-> { x e. NN | x || ( P ^ K ) } )
12	9, 11	fihasheqf1od 11052	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ K e. NN0 ) -> (♯ ` ( 0 ... K ) ) = (♯ ` { x e. NN | x || ( P ^ K ) } ) )
13	5, 12	eqtr4d 2267	. 2 |- ( ( P e. Prime /\ K e. NN0 ) -> ( 0 sigma ( P ^ K ) ) = (♯ ` ( 0 ... K ) ) )
14		simpr 110	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ K e. NN0 ) -> K e. NN0 )
15		nn0uz 9791	. . . 4 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
16	14, 15	eleqtrdi 2324	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ K e. NN0 ) -> K e. ( ZZ>= ` 0 ) )
17		hashfz 11086	. . 3 |- ( K e. ( ZZ>= ` 0 ) -> (♯ ` ( 0 ... K ) ) = ( ( K - 0 ) + 1 ) )
18	16, 17	syl 14	. 2 |- ( ( P e. Prime /\ K e. NN0 ) -> (♯ ` ( 0 ... K ) ) = ( ( K - 0 ) + 1 ) )
19		nn0cn 9412	. . . . 5 |- ( K e. NN0 -> K e. CC )
20	19	adantl 277	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ K e. NN0 ) -> K e. CC )
21	20	subid1d 8479	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ K e. NN0 ) -> ( K - 0 ) = K )
22	21	oveq1d 6033	. 2 |- ( ( P e. Prime /\ K e. NN0 ) -> ( ( K - 0 ) + 1 ) = ( K + 1 ) )
23	13, 18, 22	3eqtrd 2268	1 |- ( ( P e. Prime /\ K e. NN0 ) -> ( 0 sigma ( P ^ K ) ) = ( K + 1 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2202   {crab 2514   class class class wbr 4088   |-> cmpt 4150   ` cfv 5326  (class class class)co 6018   CCcc 8030   0cc0 8032   1c1 8033   + caddc 8035   - cmin 8350   NNcn 9143   NN0cn0 9402   ZZcz 9479   ZZ>=cuz 9755   ...cfz 10243   ^cexp 10801  ♯chash 11038   || cdvds 12353   Primecprime 12684   sigma csgm 15711

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150  ax-arch 8151  ax-caucvg 8152  ax-pre-suploc 8153  ax-addf 8154  ax-mulf 8155

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 838  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-disj 4065  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-isom 5335  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-of 6235  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-irdg 6536  df-frec 6557  df-1o 6582  df-2o 6583  df-oadd 6586  df-er 6702  df-map 6819  df-pm 6820  df-en 6910  df-dom 6911  df-fin 6912  df-sup 7183  df-inf 7184  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-n0 9403  df-xnn0 9466  df-z 9480  df-uz 9756  df-q 9854  df-rp 9889  df-xneg 10007  df-xadd 10008  df-ioo 10127  df-ico 10129  df-icc 10130  df-fz 10244  df-fzo 10378  df-fl 10531  df-mod 10586  df-seqfrec 10711  df-exp 10802  df-fac 10989  df-bc 11011  df-ihash 11039  df-shft 11380  df-cj 11407  df-re 11408  df-im 11409  df-rsqrt 11563  df-abs 11564  df-clim 11844  df-sumdc 11919  df-ef 12214  df-e 12215  df-dvds 12354  df-gcd 12530  df-prm 12685  df-pc 12863  df-rest 13329  df-topgen 13348  df-psmet 14563  df-xmet 14564  df-met 14565  df-bl 14566  df-mopn 14567  df-top 14728  df-topon 14741  df-bases 14773  df-ntr 14826  df-cn 14918  df-cnp 14919  df-tx 14983  df-cncf 15301  df-limced 15386  df-dvap 15387  df-relog 15588  df-rpcxp 15589  df-sgm 15712

This theorem is referenced by: (None)