4sqlem15 - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem 4sqlem15 13041

Description: Lemma for 4sq 13046. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.) (Revised by AV, 14-Sep-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
4sqlem11.1	⊢ 𝑆 = {𝑛 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)))}
4sq.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4sq.3	⊢ (𝜑 → 𝑃 = ((2 · 𝑁) + 1))
4sq.4	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
4sq.5	⊢ (𝜑 → (0...(2 · 𝑁)) ⊆ 𝑆)
4sq.6	⊢ 𝑇 = {𝑖 ∈ ℕ ∣ (𝑖 · 𝑃) ∈ 𝑆}
4sq.7	⊢ 𝑀 = inf(𝑇, ℝ, < )
4sq.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ_≥‘2))
4sq.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
4sq.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
4sq.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
4sq.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
4sq.e	⊢ 𝐸 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4sq.f	⊢ 𝐹 = (((𝐵 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4sq.g	⊢ 𝐺 = (((𝐶 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4sq.h	⊢ 𝐻 = (((𝐷 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4sq.r	⊢ 𝑅 = ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀)
4sq.p	⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑃) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))))

**Assertion**
Ref	Expression
4sqlem15	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → ((((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐸↑2)) = 0 ∧ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐹↑2)) = 0) ∧ (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐺↑2)) = 0 ∧ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐻↑2)) = 0)))

Distinct variable groups: 𝑛,𝑁 𝑃,𝑖,𝑛,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧 𝑆,𝑖,𝑛 𝑇,𝑖 𝜑,𝑖,𝑛 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤) 𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖,𝑛) 𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖,𝑛) 𝐶(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖,𝑛) 𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖,𝑛) 𝑅(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖,𝑛) 𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤) 𝑇(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑛) 𝐸(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖,𝑛) 𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖,𝑛) 𝐺(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖,𝑛) 𝐻(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖,𝑛) 𝑀(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖,𝑛) 𝑁(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)

**Proof of Theorem 4sqlem15**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		4sq.m	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ_≥‘2))
2		eluz2nn 9844	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝑀 ∈ ℕ)
3	1, 2	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
4	3	nnred 9198	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
5	4	resqcld 11007	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑀↑2) ∈ ℝ)
6	5	rehalfcld 9433	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑀↑2) / 2) ∈ ℝ)
7	6	rehalfcld 9433	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑀↑2) / 2) / 2) ∈ ℝ)
8	7	recnd 8250	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑀↑2) / 2) / 2) ∈ ℂ)
9		4sq.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
10		4sq.e	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐸 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
11	9, 3, 10	4sqlem5 13018	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 𝐸) / 𝑀) ∈ ℤ))
12	11	simpld 112	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℤ)
13		zsqcl 10918	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐸 ∈ ℤ → (𝐸↑2) ∈ ℤ)
14	12, 13	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℤ)
15	14	zred 9646	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℝ)
16	15	recnd 8250	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℂ)
17		4sq.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
18		4sq.f	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐹 = (((𝐵 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
19	17, 3, 18	4sqlem5 13018	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ ℤ ∧ ((𝐵 − 𝐹) / 𝑀) ∈ ℤ))
20	19	simpld 112	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℤ)
21		zsqcl 10918	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ ℤ → (𝐹↑2) ∈ ℤ)
22	20, 21	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹↑2) ∈ ℤ)
23	22	zred 9646	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹↑2) ∈ ℝ)
24	23	recnd 8250	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹↑2) ∈ ℂ)
25	8, 8, 16, 24	addsub4d 8579	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((((𝑀↑2) / 2) / 2) + (((𝑀↑2) / 2) / 2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) = (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐸↑2)) + ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐹↑2))))
26	6	recnd 8250	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑀↑2) / 2) ∈ ℂ)
27	26	2halvesd 9432	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀↑2) / 2) / 2) + (((𝑀↑2) / 2) / 2)) = ((𝑀↑2) / 2))
28	27	oveq1d 6043	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((((𝑀↑2) / 2) / 2) + (((𝑀↑2) / 2) / 2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) = (((𝑀↑2) / 2) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))))
29	25, 28	eqtr3d 2266	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐸↑2)) + ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐹↑2))) = (((𝑀↑2) / 2) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))))
30	29	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐸↑2)) + ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐹↑2))) = (((𝑀↑2) / 2) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))))
31	5	recnd 8250	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑀↑2) ∈ ℂ)
32	31	2halvesd 9432	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑀↑2) / 2) + ((𝑀↑2) / 2)) = (𝑀↑2))
33	32	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (((𝑀↑2) / 2) + ((𝑀↑2) / 2)) = (𝑀↑2))
34	4	recnd 8250	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
35	34	sqvald 10978	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑀↑2) = (𝑀 · 𝑀))
36	35	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (𝑀↑2) = (𝑀 · 𝑀))
37		4sq.r	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑅 = ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀)
38		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → 𝑅 = 𝑀)
39	37, 38	eqtr3id 2278	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) = 𝑀)
40	39	oveq1d 6043	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) · 𝑀) = (𝑀 · 𝑀))
41	15, 23	readdcld 8251	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ ℝ)
42		4sq.c	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
43		4sq.g	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝐺 = (((𝐶 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
44	42, 3, 43	4sqlem5 13018	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ ℤ ∧ ((𝐶 − 𝐺) / 𝑀) ∈ ℤ))
45	44	simpld 112	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℤ)
46		zsqcl 10918	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐺 ∈ ℤ → (𝐺↑2) ∈ ℤ)
47	45, 46	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐺↑2) ∈ ℤ)
48	47	zred 9646	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐺↑2) ∈ ℝ)
49		4sq.d	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
50		4sq.h	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝐻 = (((𝐷 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
51	49, 3, 50	4sqlem5 13018	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∈ ℤ ∧ ((𝐷 − 𝐻) / 𝑀) ∈ ℤ))
52	51	simpld 112	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℤ)
53		zsqcl 10918	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐻 ∈ ℤ → (𝐻↑2) ∈ ℤ)
54	52, 53	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐻↑2) ∈ ℤ)
55	54	zred 9646	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐻↑2) ∈ ℝ)
56	48, 55	readdcld 8251	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) ∈ ℝ)
57	41, 56	readdcld 8251	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℝ)
58	57	recnd 8250	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℂ)
59	3	nnap0d 9231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 # 0)
60	58, 34, 59	divcanap1d 9013	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) · 𝑀) = (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))
61	60	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) · 𝑀) = (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))
62	36, 40, 61	3eqtr2rd 2271	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) = (𝑀↑2))
63	33, 62	oveq12d 6046	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → ((((𝑀↑2) / 2) + ((𝑀↑2) / 2)) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) = ((𝑀↑2) − (𝑀↑2)))
64	41	recnd 8250	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ ℂ)
65	56	recnd 8250	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) ∈ ℂ)
66	26, 26, 64, 65	addsub4d 8579	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀↑2) / 2) + ((𝑀↑2) / 2)) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) = ((((𝑀↑2) / 2) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) + (((𝑀↑2) / 2) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))))
67	66	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → ((((𝑀↑2) / 2) + ((𝑀↑2) / 2)) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) = ((((𝑀↑2) / 2) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) + (((𝑀↑2) / 2) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))))
68	31	subidd 8520	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑀↑2) − (𝑀↑2)) = 0)
69	68	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → ((𝑀↑2) − (𝑀↑2)) = 0)
70	63, 67, 69	3eqtr3d 2272	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → ((((𝑀↑2) / 2) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) + (((𝑀↑2) / 2) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) = 0)
71	6, 41	resubcld 8602	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑀↑2) / 2) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) ∈ ℝ)
72	9, 3, 10	4sqlem7 13020	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑2) ≤ (((𝑀↑2) / 2) / 2))
73	17, 3, 18	4sqlem7 13020	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹↑2) ≤ (((𝑀↑2) / 2) / 2))
74	15, 23, 7, 7, 72, 73	le2addd 8785	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ≤ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) + (((𝑀↑2) / 2) / 2)))
75	74, 27	breqtrd 4119	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ≤ ((𝑀↑2) / 2))
76	6, 41	subge0d 8757	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (((𝑀↑2) / 2) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) ↔ ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ≤ ((𝑀↑2) / 2)))
77	75, 76	mpbird 167	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (((𝑀↑2) / 2) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))))
78	6, 56	resubcld 8602	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑀↑2) / 2) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℝ)
79	42, 3, 43	4sqlem7 13020	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐺↑2) ≤ (((𝑀↑2) / 2) / 2))
80	49, 3, 50	4sqlem7 13020	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐻↑2) ≤ (((𝑀↑2) / 2) / 2))
81	48, 55, 7, 7, 79, 80	le2addd 8785	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) ≤ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) + (((𝑀↑2) / 2) / 2)))
82	81, 27	breqtrd 4119	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) ≤ ((𝑀↑2) / 2))
83	6, 56	subge0d 8757	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (((𝑀↑2) / 2) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ↔ ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) ≤ ((𝑀↑2) / 2)))
84	82, 83	mpbird 167	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (((𝑀↑2) / 2) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))
85		add20 8696	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑀↑2) / 2) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (((𝑀↑2) / 2) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)))) ∧ ((((𝑀↑2) / 2) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (((𝑀↑2) / 2) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))) → (((((𝑀↑2) / 2) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) + (((𝑀↑2) / 2) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) = 0 ↔ ((((𝑀↑2) / 2) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) = 0 ∧ (((𝑀↑2) / 2) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) = 0)))
86	71, 77, 78, 84, 85	syl22anc 1275	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((((𝑀↑2) / 2) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) + (((𝑀↑2) / 2) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) = 0 ↔ ((((𝑀↑2) / 2) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) = 0 ∧ (((𝑀↑2) / 2) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) = 0)))
87	86	biimpa 296	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((((𝑀↑2) / 2) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) + (((𝑀↑2) / 2) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) = 0) → ((((𝑀↑2) / 2) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) = 0 ∧ (((𝑀↑2) / 2) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) = 0))
88	70, 87	syldan 282	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → ((((𝑀↑2) / 2) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) = 0 ∧ (((𝑀↑2) / 2) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) = 0))
89	88	simpld 112	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (((𝑀↑2) / 2) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) = 0)
90	30, 89	eqtrd 2264	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐸↑2)) + ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐹↑2))) = 0)
91	7, 15	resubcld 8602	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐸↑2)) ∈ ℝ)
92	7, 15	subge0d 8757	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐸↑2)) ↔ (𝐸↑2) ≤ (((𝑀↑2) / 2) / 2)))
93	72, 92	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐸↑2)))
94	7, 23	resubcld 8602	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐹↑2)) ∈ ℝ)
95	7, 23	subge0d 8757	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐹↑2)) ↔ (𝐹↑2) ≤ (((𝑀↑2) / 2) / 2)))
96	73, 95	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐹↑2)))
97		add20 8696	. . . . 5 ⊢ (((((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐸↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐸↑2))) ∧ (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐹↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐹↑2)))) → ((((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐸↑2)) + ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐹↑2))) = 0 ↔ (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐸↑2)) = 0 ∧ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐹↑2)) = 0)))
98	91, 93, 94, 96, 97	syl22anc 1275	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐸↑2)) + ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐹↑2))) = 0 ↔ (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐸↑2)) = 0 ∧ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐹↑2)) = 0)))
99	98	biimpa 296	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐸↑2)) + ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐹↑2))) = 0) → (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐸↑2)) = 0 ∧ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐹↑2)) = 0))
100	90, 99	syldan 282	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐸↑2)) = 0 ∧ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐹↑2)) = 0))
101	48	recnd 8250	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺↑2) ∈ ℂ)
102	55	recnd 8250	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐻↑2) ∈ ℂ)
103	8, 8, 101, 102	addsub4d 8579	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((((𝑀↑2) / 2) / 2) + (((𝑀↑2) / 2) / 2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) = (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐺↑2)) + ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐻↑2))))
104	27	oveq1d 6043	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((((𝑀↑2) / 2) / 2) + (((𝑀↑2) / 2) / 2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) = (((𝑀↑2) / 2) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))
105	103, 104	eqtr3d 2266	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐺↑2)) + ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐻↑2))) = (((𝑀↑2) / 2) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))
106	105	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐺↑2)) + ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐻↑2))) = (((𝑀↑2) / 2) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))
107	88	simprd 114	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (((𝑀↑2) / 2) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) = 0)
108	106, 107	eqtrd 2264	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐺↑2)) + ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐻↑2))) = 0)
109	7, 48	resubcld 8602	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐺↑2)) ∈ ℝ)
110	7, 48	subge0d 8757	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐺↑2)) ↔ (𝐺↑2) ≤ (((𝑀↑2) / 2) / 2)))
111	79, 110	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐺↑2)))
112	7, 55	resubcld 8602	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐻↑2)) ∈ ℝ)
113	7, 55	subge0d 8757	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐻↑2)) ↔ (𝐻↑2) ≤ (((𝑀↑2) / 2) / 2)))
114	80, 113	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐻↑2)))
115		add20 8696	. . . . 5 ⊢ (((((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐺↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐺↑2))) ∧ (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐻↑2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐻↑2)))) → ((((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐺↑2)) + ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐻↑2))) = 0 ↔ (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐺↑2)) = 0 ∧ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐻↑2)) = 0)))
116	109, 111, 112, 114, 115	syl22anc 1275	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐺↑2)) + ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐻↑2))) = 0 ↔ (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐺↑2)) = 0 ∧ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐻↑2)) = 0)))
117	116	biimpa 296	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐺↑2)) + ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐻↑2))) = 0) → (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐺↑2)) = 0 ∧ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐻↑2)) = 0))
118	108, 117	syldan 282	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐺↑2)) = 0 ∧ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐻↑2)) = 0))
119	100, 118	jca 306	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = 𝑀) → ((((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐸↑2)) = 0 ∧ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐹↑2)) = 0) ∧ (((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐺↑2)) = 0 ∧ ((((𝑀↑2) / 2) / 2) − (𝐻↑2)) = 0)))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 104 ↔ wb 105 = wceq 1398 ∈ wcel 2202 {cab 2217 ∃wrex 2512 {crab 2515 ⊆ wss 3201 class class class wbr 4093 ‘cfv 5333 (class class class)co 6028 infcinf 7225 ℝcr 8074 0cc0 8075 1c1 8076 + caddc 8078 · cmul 8080 < clt 8256 ≤ cle 8257 − cmin 8392 / cdiv 8894 ℕcn 9185 2c2 9236 ℤcz 9523 ℤ_≥cuz 9799 ...cfz 10288 mod cmo 10630 ↑cexp 10846 ℙcprime 12742

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 717 ax-5 1496 ax-7 1497 ax-gen 1498 ax-ie1 1542 ax-ie2 1543 ax-8 1553 ax-10 1554 ax-11 1555 ax-i12 1556 ax-bndl 1558 ax-4 1559 ax-17 1575 ax-i9 1579 ax-ial 1583 ax-i5r 1584 ax-13 2204 ax-14 2205 ax-ext 2213 ax-coll 4209 ax-sep 4212 ax-nul 4220 ax-pow 4270 ax-pr 4305 ax-un 4536 ax-setind 4641 ax-iinf 4692 ax-cnex 8166 ax-resscn 8167 ax-1cn 8168 ax-1re 8169 ax-icn 8170 ax-addcl 8171 ax-addrcl 8172 ax-mulcl 8173 ax-mulrcl 8174 ax-addcom 8175 ax-mulcom 8176 ax-addass 8177 ax-mulass 8178 ax-distr 8179 ax-i2m1 8180 ax-0lt1 8181 ax-1rid 8182 ax-0id 8183 ax-rnegex 8184 ax-precex 8185 ax-cnre 8186 ax-pre-ltirr 8187 ax-pre-ltwlin 8188 ax-pre-lttrn 8189 ax-pre-apti 8190 ax-pre-ltadd 8191 ax-pre-mulgt0 8192 ax-pre-mulext 8193 ax-arch 8194 ax-caucvg 8195

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 843 df-3or 1006 df-3an 1007 df-tru 1401 df-fal 1404 df-nf 1510 df-sb 1811 df-eu 2082 df-mo 2083 df-clab 2218 df-cleq 2224 df-clel 2227 df-nfc 2364 df-ne 2404 df-nel 2499 df-ral 2516 df-rex 2517 df-reu 2518 df-rmo 2519 df-rab 2520 df-v 2805 df-sbc 3033 df-csb 3129 df-dif 3203 df-un 3205 df-in 3207 df-ss 3214 df-nul 3497 df-if 3608 df-pw 3658 df-sn 3679 df-pr 3680 df-op 3682 df-uni 3899 df-int 3934 df-iun 3977 df-br 4094 df-opab 4156 df-mpt 4157 df-tr 4193 df-id 4396 df-po 4399 df-iso 4400 df-iord 4469 df-on 4471 df-ilim 4472 df-suc 4474 df-iom 4695 df-xp 4737 df-rel 4738 df-cnv 4739 df-co 4740 df-dm 4741 df-rn 4742 df-res 4743 df-ima 4744 df-iota 5293 df-fun 5335 df-fn 5336 df-f 5337 df-f1 5338 df-fo 5339 df-f1o 5340 df-fv 5341 df-riota 5981 df-ov 6031 df-oprab 6032 df-mpo 6033 df-1st 6312 df-2nd 6313 df-recs 6514 df-frec 6600 df-pnf 8258 df-mnf 8259 df-xr 8260 df-ltxr 8261 df-le 8262 df-sub 8394 df-neg 8395 df-reap 8797 df-ap 8804 df-div 8895 df-inn 9186 df-2 9244 df-3 9245 df-4 9246 df-n0 9445 df-z 9524 df-uz 9800 df-q 9898 df-rp 9933 df-fl 10576 df-mod 10631 df-seqfrec 10756 df-exp 10847 df-cj 11465 df-re 11466 df-im 11467 df-rsqrt 11621 df-abs 11622

This theorem is referenced by: 4sqlem16 13042

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