Theorem 4sqlem5 12413

Description: Lemma for 4sq 12441. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
4sqlem5.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
4sqlem5.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
4sqlem5.4	⊢ 𝐵 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))

Assertion

Ref	Expression
4sqlem5	⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ))

Proof of Theorem 4sqlem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4sqlem5.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2	1	zcnd 9405	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		4sqlem5.4	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4		zq 9655	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)
5	1, 4	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℚ)
6		4sqlem5.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
7	6	nnzd 9403	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
8		2nn 9109	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ
9		znq 9653	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ) → (𝑀 / 2) ∈ ℚ)
10	7, 8, 9	sylancl 413	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 / 2) ∈ ℚ)
11		qaddcl 9664	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝑀 / 2) ∈ ℚ) → (𝐴 + (𝑀 / 2)) ∈ ℚ)
12	5, 10, 11	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (𝑀 / 2)) ∈ ℚ)
13		nnq 9662	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℚ)
14	6, 13	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℚ)
15	6	nngt0d 8992	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑀)
16	12, 14, 15	modqcld 10358	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) ∈ ℚ)
17		qcn 9663	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) ∈ ℚ → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) ∈ ℂ)
18	16, 17	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) ∈ ℂ)
19	6	nnred 8961	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
20	19	rehalfcld 9194	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 / 2) ∈ ℝ)
21	20	recnd 8015	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 / 2) ∈ ℂ)
22	18, 21	subcld 8297	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2)) ∈ ℂ)
23	3, 22	eqeltrid 2276	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
24	2, 23	nncand 8302	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)
25	2, 23	subcld 8297	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
26	19	recnd 8015	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
27	6	nnap0d 8994	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 # 0)
28	25, 26, 27	divcanap1d 8777	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) · 𝑀) = (𝐴 − 𝐵))
29	3	oveq2i 5906	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 − 𝐵) = (𝐴 − (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2)))
30	2, 18, 21	subsub3d 8327	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))) = ((𝐴 + (𝑀 / 2)) − ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀)))
31	29, 30	eqtrid 2234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) = ((𝐴 + (𝑀 / 2)) − ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀)))
32	31	oveq1d 5910	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) − ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀)) / 𝑀))
33		modqdifz 10366	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 + (𝑀 / 2)) ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → (((𝐴 + (𝑀 / 2)) − ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀)) / 𝑀) ∈ ℤ)
34	12, 14, 15, 33	syl3anc 1249	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + (𝑀 / 2)) − ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀)) / 𝑀) ∈ ℤ)
35	32, 34	eqeltrd 2266	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ)
36	35, 7	zmulcld 9410	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) · 𝑀) ∈ ℤ)
37	28, 36	eqeltrrd 2267	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
38	1, 37	zsubcld 9409	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) ∈ ℤ)
39	24, 38	eqeltrrd 2267	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
40	39, 35	jca 306	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2160   class class class wbr 4018  (class class class)co 5895  ℂcc 7838  0cc0 7840   + caddc 7843   · cmul 7845   < clt 8021   − cmin 8157   / cdiv 8658  ℕcn 8948  2c2 8999  ℤcz 9282  ℚcq 9648   mod cmo 10352

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7931  ax-resscn 7932  ax-1cn 7933  ax-1re 7934  ax-icn 7935  ax-addcl 7936  ax-addrcl 7937  ax-mulcl 7938  ax-mulrcl 7939  ax-addcom 7940  ax-mulcom 7941  ax-addass 7942  ax-mulass 7943  ax-distr 7944  ax-i2m1 7945  ax-0lt1 7946  ax-1rid 7947  ax-0id 7948  ax-rnegex 7949  ax-precex 7950  ax-cnre 7951  ax-pre-ltirr 7952  ax-pre-ltwlin 7953  ax-pre-lttrn 7954  ax-pre-apti 7955  ax-pre-ltadd 7956  ax-pre-mulgt0 7957  ax-pre-mulext 7958  ax-arch 7959

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-fv 5243  df-riota 5851  df-ov 5898  df-oprab 5899  df-mpo 5900  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-pnf 8023  df-mnf 8024  df-xr 8025  df-ltxr 8026  df-le 8027  df-sub 8159  df-neg 8160  df-reap 8561  df-ap 8568  df-div 8659  df-inn 8949  df-2 9007  df-n0 9206  df-z 9283  df-q 9649  df-rp 9683  df-fl 10300  df-mod 10353

This theorem is referenced by:  4sqlem7  12415  4sqlem8  12416  4sqlem9  12417  4sqlem10  12418  4sqlem14  12435  4sqlem15  12436  4sqlem16  12437  4sqlem17  12438  2sqlem8a  14922  2sqlem8  14923