Theorem 4sqlem5 13080

Description: Lemma for 4sq 13108. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
4sqlem5.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
4sqlem5.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
4sqlem5.4	⊢ 𝐵 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))

Assertion

Ref	Expression
4sqlem5	⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ))

Proof of Theorem 4sqlem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4sqlem5.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2	1	zcnd 9701	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		4sqlem5.4	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4		zq 9958	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)
5	1, 4	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℚ)
6		4sqlem5.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
7	6	nnzd 9699	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
8		2nn 9399	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ
9		znq 9956	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ) → (𝑀 / 2) ∈ ℚ)
10	7, 8, 9	sylancl 413	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 / 2) ∈ ℚ)
11		qaddcl 9967	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝑀 / 2) ∈ ℚ) → (𝐴 + (𝑀 / 2)) ∈ ℚ)
12	5, 10, 11	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (𝑀 / 2)) ∈ ℚ)
13		nnq 9965	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℚ)
14	6, 13	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℚ)
15	6	nngt0d 9281	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑀)
16	12, 14, 15	modqcld 10690	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) ∈ ℚ)
17		qcn 9966	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) ∈ ℚ → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) ∈ ℂ)
18	16, 17	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) ∈ ℂ)
19	6	nnred 9250	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
20	19	rehalfcld 9485	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 / 2) ∈ ℝ)
21	20	recnd 8302	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 / 2) ∈ ℂ)
22	18, 21	subcld 8584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2)) ∈ ℂ)
23	3, 22	eqeltrid 2319	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
24	2, 23	nncand 8589	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)
25	2, 23	subcld 8584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
26	19	recnd 8302	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
27	6	nnap0d 9283	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 # 0)
28	25, 26, 27	divcanap1d 9065	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) · 𝑀) = (𝐴 − 𝐵))
29	3	oveq2i 6061	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 − 𝐵) = (𝐴 − (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2)))
30	2, 18, 21	subsub3d 8614	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))) = ((𝐴 + (𝑀 / 2)) − ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀)))
31	29, 30	eqtrid 2277	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) = ((𝐴 + (𝑀 / 2)) − ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀)))
32	31	oveq1d 6065	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) − ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀)) / 𝑀))
33		modqdifz 10698	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 + (𝑀 / 2)) ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → (((𝐴 + (𝑀 / 2)) − ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀)) / 𝑀) ∈ ℤ)
34	12, 14, 15, 33	syl3anc 1274	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + (𝑀 / 2)) − ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀)) / 𝑀) ∈ ℤ)
35	32, 34	eqeltrd 2309	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ)
36	35, 7	zmulcld 9706	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) · 𝑀) ∈ ℤ)
37	28, 36	eqeltrrd 2310	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
38	1, 37	zsubcld 9705	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) ∈ ℤ)
39	24, 38	eqeltrrd 2310	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
40	39, 35	jca 306	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2203   class class class wbr 4109  (class class class)co 6050  ℂcc 8125  0cc0 8127   + caddc 8130   · cmul 8132   < clt 8308   − cmin 8444   / cdiv 8946  ℕcn 9237  2c2 9288  ℤcz 9577  ℚcq 9951   mod cmo 10684

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244  ax-pre-mulext 8245  ax-arch 8246

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-ap 8856  df-div 8947  df-inn 9238  df-2 9296  df-n0 9497  df-z 9578  df-q 9952  df-rp 9987  df-fl 10630  df-mod 10685

This theorem is referenced by:  4sqlem7  13082  4sqlem8  13083  4sqlem9  13084  4sqlem10  13085  4sqlem14  13102  4sqlem15  13103  4sqlem16  13104  4sqlem17  13105  2sqlem8a  15995  2sqlem8  15996