Theorem 4sqlem5 12705

Description: Lemma for 4sq 12733. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
4sqlem5.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
4sqlem5.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
4sqlem5.4	⊢ 𝐵 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))

Assertion

Ref	Expression
4sqlem5	⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ))

Proof of Theorem 4sqlem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4sqlem5.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2	1	zcnd 9496	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		4sqlem5.4	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4		zq 9747	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)
5	1, 4	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℚ)
6		4sqlem5.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
7	6	nnzd 9494	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
8		2nn 9198	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ
9		znq 9745	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ) → (𝑀 / 2) ∈ ℚ)
10	7, 8, 9	sylancl 413	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 / 2) ∈ ℚ)
11		qaddcl 9756	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝑀 / 2) ∈ ℚ) → (𝐴 + (𝑀 / 2)) ∈ ℚ)
12	5, 10, 11	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (𝑀 / 2)) ∈ ℚ)
13		nnq 9754	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℚ)
14	6, 13	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℚ)
15	6	nngt0d 9080	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑀)
16	12, 14, 15	modqcld 10473	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) ∈ ℚ)
17		qcn 9755	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) ∈ ℚ → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) ∈ ℂ)
18	16, 17	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) ∈ ℂ)
19	6	nnred 9049	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
20	19	rehalfcld 9284	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 / 2) ∈ ℝ)
21	20	recnd 8101	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 / 2) ∈ ℂ)
22	18, 21	subcld 8383	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2)) ∈ ℂ)
23	3, 22	eqeltrid 2292	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
24	2, 23	nncand 8388	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)
25	2, 23	subcld 8383	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
26	19	recnd 8101	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
27	6	nnap0d 9082	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 # 0)
28	25, 26, 27	divcanap1d 8864	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) · 𝑀) = (𝐴 − 𝐵))
29	3	oveq2i 5955	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 − 𝐵) = (𝐴 − (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2)))
30	2, 18, 21	subsub3d 8413	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))) = ((𝐴 + (𝑀 / 2)) − ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀)))
31	29, 30	eqtrid 2250	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) = ((𝐴 + (𝑀 / 2)) − ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀)))
32	31	oveq1d 5959	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) − ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀)) / 𝑀))
33		modqdifz 10481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 + (𝑀 / 2)) ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → (((𝐴 + (𝑀 / 2)) − ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀)) / 𝑀) ∈ ℤ)
34	12, 14, 15, 33	syl3anc 1250	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + (𝑀 / 2)) − ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀)) / 𝑀) ∈ ℤ)
35	32, 34	eqeltrd 2282	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ)
36	35, 7	zmulcld 9501	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) · 𝑀) ∈ ℤ)
37	28, 36	eqeltrrd 2283	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
38	1, 37	zsubcld 9500	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) ∈ ℤ)
39	24, 38	eqeltrrd 2283	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
40	39, 35	jca 306	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2176   class class class wbr 4044  (class class class)co 5944  ℂcc 7923  0cc0 7925   + caddc 7928   · cmul 7930   < clt 8107   − cmin 8243   / cdiv 8745  ℕcn 9036  2c2 9087  ℤcz 9372  ℚcq 9740   mod cmo 10467

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-mulrcl 8024  ax-addcom 8025  ax-mulcom 8026  ax-addass 8027  ax-mulass 8028  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-1rid 8032  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-precex 8035  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-apti 8040  ax-pre-ltadd 8041  ax-pre-mulgt0 8042  ax-pre-mulext 8043  ax-arch 8044

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-po 4343  df-iso 4344  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-reap 8648  df-ap 8655  df-div 8746  df-inn 9037  df-2 9095  df-n0 9296  df-z 9373  df-q 9741  df-rp 9776  df-fl 10413  df-mod 10468

This theorem is referenced by:  4sqlem7  12707  4sqlem8  12708  4sqlem9  12709  4sqlem10  12710  4sqlem14  12727  4sqlem15  12728  4sqlem16  12729  4sqlem17  12730  2sqlem8a  15599  2sqlem8  15600