Theorem 4sqlem5 12523

Description: Lemma for 4sq 12551. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
4sqlem5.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
4sqlem5.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
4sqlem5.4	⊢ 𝐵 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))

Assertion

Ref	Expression
4sqlem5	⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ))

Proof of Theorem 4sqlem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4sqlem5.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2	1	zcnd 9443	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		4sqlem5.4	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4		zq 9694	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)
5	1, 4	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℚ)
6		4sqlem5.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
7	6	nnzd 9441	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
8		2nn 9146	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ
9		znq 9692	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ) → (𝑀 / 2) ∈ ℚ)
10	7, 8, 9	sylancl 413	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 / 2) ∈ ℚ)
11		qaddcl 9703	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝑀 / 2) ∈ ℚ) → (𝐴 + (𝑀 / 2)) ∈ ℚ)
12	5, 10, 11	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (𝑀 / 2)) ∈ ℚ)
13		nnq 9701	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℚ)
14	6, 13	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℚ)
15	6	nngt0d 9028	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑀)
16	12, 14, 15	modqcld 10402	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) ∈ ℚ)
17		qcn 9702	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) ∈ ℚ → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) ∈ ℂ)
18	16, 17	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) ∈ ℂ)
19	6	nnred 8997	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
20	19	rehalfcld 9232	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 / 2) ∈ ℝ)
21	20	recnd 8050	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 / 2) ∈ ℂ)
22	18, 21	subcld 8332	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2)) ∈ ℂ)
23	3, 22	eqeltrid 2280	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
24	2, 23	nncand 8337	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)
25	2, 23	subcld 8332	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
26	19	recnd 8050	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
27	6	nnap0d 9030	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 # 0)
28	25, 26, 27	divcanap1d 8812	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) · 𝑀) = (𝐴 − 𝐵))
29	3	oveq2i 5930	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 − 𝐵) = (𝐴 − (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2)))
30	2, 18, 21	subsub3d 8362	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))) = ((𝐴 + (𝑀 / 2)) − ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀)))
31	29, 30	eqtrid 2238	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) = ((𝐴 + (𝑀 / 2)) − ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀)))
32	31	oveq1d 5934	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) − ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀)) / 𝑀))
33		modqdifz 10410	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 + (𝑀 / 2)) ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → (((𝐴 + (𝑀 / 2)) − ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀)) / 𝑀) ∈ ℤ)
34	12, 14, 15, 33	syl3anc 1249	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + (𝑀 / 2)) − ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀)) / 𝑀) ∈ ℤ)
35	32, 34	eqeltrd 2270	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ)
36	35, 7	zmulcld 9448	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) · 𝑀) ∈ ℤ)
37	28, 36	eqeltrrd 2271	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
38	1, 37	zsubcld 9447	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) ∈ ℤ)
39	24, 38	eqeltrrd 2271	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
40	39, 35	jca 306	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) ∈ ℤ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4030  (class class class)co 5919  ℂcc 7872  0cc0 7874   + caddc 7877   · cmul 7879   < clt 8056   − cmin 8192   / cdiv 8693  ℕcn 8984  2c2 9035  ℤcz 9320  ℚcq 9687   mod cmo 10396

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992  ax-arch 7993

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-inn 8985  df-2 9043  df-n0 9244  df-z 9321  df-q 9688  df-rp 9723  df-fl 10342  df-mod 10397

This theorem is referenced by:  4sqlem7  12525  4sqlem8  12526  4sqlem9  12527  4sqlem10  12528  4sqlem14  12545  4sqlem15  12546  4sqlem16  12547  4sqlem17  12548  2sqlem8a  15279  2sqlem8  15280