Theorem gsumfzfsumlem0 14220

Description: Lemma for gsumfzfsum 14222. The case where the sum is empty. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumfzfsumlem0.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
gsumfzfsumlem0.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
gsumfzfsumlem0.lt	⊢ (𝜑 → 𝑁 < 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
gsumfzfsumlem0	⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐵)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem gsumfzfsumlem0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnring 14204	. . 3 ⊢ ℂfld ∈ Ring
2		cnfld0 14205	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
3	2	gsum0g 13100	. . 3 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → (ℂfld Σg ∅) = 0)
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℂfld Σg ∅) = 0
5		gsumfzfsumlem0.lt	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 < 𝑀)
6		gsumfzfsumlem0.m	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
7		gsumfzfsumlem0.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
8		fzn 10136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝑀 ↔ (𝑀...𝑁) = ∅))
9	6, 7, 8	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 < 𝑀 ↔ (𝑀...𝑁) = ∅))
10	5, 9	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) = ∅)
11	10	mpteq1d 4119	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝐵))
12		mpt0 5388	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝐵) = ∅
13	11, 12	eqtrdi 2245	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐵) = ∅)
14	13	oveq2d 5941	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐵)) = (ℂfld Σg ∅))
15	10	sumeq1d 11550	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐵 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
16		sum0 11572	. . 3 ⊢ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 0
17	15, 16	eqtrdi 2245	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐵 = 0)
18	4, 14, 17	3eqtr4a 2255	1 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∅c0 3451   class class class wbr 4034   ↦ cmpt 4095  (class class class)co 5925  0cc0 7898   < clt 8080  ℤcz 9345  ...cfz 10102  Σcsu 11537   Σ_g cgsu 12961  Ringcrg 13630  ℂ_fldccnfld 14190

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1cn 7991  ax-1re 7992  ax-icn 7993  ax-addcl 7994  ax-addrcl 7995  ax-mulcl 7996  ax-mulrcl 7997  ax-addcom 7998  ax-mulcom 7999  ax-addass 8000  ax-mulass 8001  ax-distr 8002  ax-i2m1 8003  ax-0lt1 8004  ax-1rid 8005  ax-0id 8006  ax-rnegex 8007  ax-precex 8008  ax-cnre 8009  ax-pre-ltirr 8010  ax-pre-ltwlin 8011  ax-pre-lttrn 8012  ax-pre-apti 8013  ax-pre-ltadd 8014  ax-pre-mulgt0 8015  ax-pre-mulext 8016  ax-arch 8017  ax-caucvg 8018  ax-addf 8020  ax-mulf 8021

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-tp 3631  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-irdg 6437  df-frec 6458  df-1o 6483  df-oadd 6487  df-er 6601  df-en 6809  df-dom 6810  df-fin 6811  df-pnf 8082  df-mnf 8083  df-xr 8084  df-ltxr 8085  df-le 8086  df-sub 8218  df-neg 8219  df-reap 8621  df-ap 8628  df-div 8719  df-inn 9010  df-2 9068  df-3 9069  df-4 9070  df-5 9071  df-6 9072  df-7 9073  df-8 9074  df-9 9075  df-n0 9269  df-z 9346  df-dec 9477  df-uz 9621  df-q 9713  df-rp 9748  df-fz 10103  df-fzo 10237  df-seqfrec 10559  df-exp 10650  df-ihash 10887  df-cj 11026  df-re 11027  df-im 11028  df-rsqrt 11182  df-abs 11183  df-clim 11463  df-sumdc 11538  df-struct 12707  df-ndx 12708  df-slot 12709  df-base 12711  df-sets 12712  df-plusg 12795  df-mulr 12796  df-starv 12797  df-tset 12801  df-ple 12802  df-ds 12804  df-unif 12805  df-0g 12962  df-igsum 12963  df-topgen 12964  df-mgm 13060  df-sgrp 13106  df-mnd 13121  df-grp 13207  df-cmn 13494  df-mgp 13555  df-ring 13632  df-cring 13633  df-bl 14180  df-mopn 14181  df-fg 14183  df-metu 14184  df-cnfld 14191

This theorem is referenced by:  gsumfzfsum  14222