Theorem gsumfzfsumlem0 14846

Description: Lemma for gsumfzfsum 14848. The case where the sum is empty. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumfzfsumlem0.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
gsumfzfsumlem0.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
gsumfzfsumlem0.lt	⊢ (𝜑 → 𝑁 < 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
gsumfzfsumlem0	⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐵)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem gsumfzfsumlem0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnring 14830	. . 3 ⊢ ℂfld ∈ Ring
2		cnfld0 14831	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
3	2	gsum0g 13693	. . 3 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → (ℂfld Σg ∅) = 0)
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℂfld Σg ∅) = 0
5		gsumfzfsumlem0.lt	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 < 𝑀)
6		gsumfzfsumlem0.m	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
7		gsumfzfsumlem0.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
8		fzn 10396	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝑀 ↔ (𝑀...𝑁) = ∅))
9	6, 7, 8	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 < 𝑀 ↔ (𝑀...𝑁) = ∅))
10	5, 9	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) = ∅)
11	10	mpteq1d 4200	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝐵))
12		mpt0 5491	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝐵) = ∅
13	11, 12	eqtrdi 2283	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐵) = ∅)
14	13	oveq2d 6074	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐵)) = (ℂfld Σg ∅))
15	10	sumeq1d 12076	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐵 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
16		sum0 12099	. . 3 ⊢ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 0
17	15, 16	eqtrdi 2283	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐵 = 0)
18	4, 14, 17	3eqtr4a 2293	1 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ∅c0 3512   class class class wbr 4114   ↦ cmpt 4176  (class class class)co 6058  0cc0 8143   < clt 8324  ℤcz 9594  ...cfz 10361  Σcsu 12063   Σ_g cgsu 13554  Ringcrg 14224  ℂ_fldccnfld 14816

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262  ax-caucvg 8263  ax-addf 8265  ax-mulf 8266

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-tp 3702  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-isom 5366  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-irdg 6614  df-frec 6635  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-er 6780  df-en 6989  df-dom 6990  df-fin 6991  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-5 9316  df-6 9317  df-7 9318  df-8 9319  df-9 9320  df-n0 9514  df-z 9595  df-dec 9728  df-uz 9872  df-q 9970  df-rp 10005  df-fz 10362  df-fzo 10499  df-seqfrec 10834  df-exp 10925  df-ihash 11164  df-cj 11552  df-re 11553  df-im 11554  df-rsqrt 11708  df-abs 11709  df-clim 11989  df-sumdc 12064  df-struct 13298  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302  df-sets 13303  df-plusg 13387  df-mulr 13388  df-starv 13389  df-tset 13393  df-ple 13394  df-ds 13396  df-unif 13397  df-0g 13555  df-igsum 13556  df-topgen 13557  df-mgm 13653  df-sgrp 13699  df-mnd 13714  df-grp 13800  df-cmn 14087  df-mgp 14149  df-ring 14226  df-cring 14227  df-bl 14806  df-mopn 14807  df-fg 14809  df-metu 14810  df-cnfld 14817

This theorem is referenced by:  gsumfzfsum  14848