Theorem gsumfzfsumlem0 14662

Description: Lemma for gsumfzfsum 14664. The case where the sum is empty. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumfzfsumlem0.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
gsumfzfsumlem0.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
gsumfzfsumlem0.lt	⊢ (𝜑 → 𝑁 < 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
gsumfzfsumlem0	⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐵)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem gsumfzfsumlem0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnring 14646	. . 3 ⊢ ℂfld ∈ Ring
2		cnfld0 14647	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
3	2	gsum0g 13540	. . 3 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → (ℂfld Σg ∅) = 0)
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℂfld Σg ∅) = 0
5		gsumfzfsumlem0.lt	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 < 𝑀)
6		gsumfzfsumlem0.m	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
7		gsumfzfsumlem0.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
8		fzn 10320	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝑀 ↔ (𝑀...𝑁) = ∅))
9	6, 7, 8	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 < 𝑀 ↔ (𝑀...𝑁) = ∅))
10	5, 9	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) = ∅)
11	10	mpteq1d 4179	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝐵))
12		mpt0 5467	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝐵) = ∅
13	11, 12	eqtrdi 2280	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐵) = ∅)
14	13	oveq2d 6044	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐵)) = (ℂfld Σg ∅))
15	10	sumeq1d 11987	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐵 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
16		sum0 12010	. . 3 ⊢ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 0
17	15, 16	eqtrdi 2280	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐵 = 0)
18	4, 14, 17	3eqtr4a 2290	1 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  ∅c0 3496   class class class wbr 4093   ↦ cmpt 4155  (class class class)co 6028  0cc0 8075   < clt 8257  ℤcz 9522  ...cfz 10286  Σcsu 11974   Σ_g cgsu 13401  Ringcrg 14071  ℂ_fldccnfld 14632

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193  ax-arch 8194  ax-caucvg 8195  ax-addf 8197  ax-mulf 8198

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-tp 3681  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-isom 5342  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-irdg 6579  df-frec 6600  df-1o 6625  df-oadd 6629  df-er 6745  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263  df-sub 8395  df-neg 8396  df-reap 8798  df-ap 8805  df-div 8896  df-inn 9187  df-2 9245  df-3 9246  df-4 9247  df-5 9248  df-6 9249  df-7 9250  df-8 9251  df-9 9252  df-n0 9446  df-z 9523  df-dec 9655  df-uz 9799  df-q 9897  df-rp 9932  df-fz 10287  df-fzo 10421  df-seqfrec 10754  df-exp 10845  df-ihash 11082  df-cj 11463  df-re 11464  df-im 11465  df-rsqrt 11619  df-abs 11620  df-clim 11900  df-sumdc 11975  df-struct 13145  df-ndx 13146  df-slot 13147  df-base 13149  df-sets 13150  df-plusg 13234  df-mulr 13235  df-starv 13236  df-tset 13240  df-ple 13241  df-ds 13243  df-unif 13244  df-0g 13402  df-igsum 13403  df-topgen 13404  df-mgm 13500  df-sgrp 13546  df-mnd 13561  df-grp 13647  df-cmn 13934  df-mgp 13996  df-ring 14073  df-cring 14074  df-bl 14622  df-mopn 14623  df-fg 14625  df-metu 14626  df-cnfld 14633

This theorem is referenced by:  gsumfzfsum  14664