Theorem gsumfzfsumlem0 14571

Description: Lemma for gsumfzfsum 14573. The case where the sum is empty. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumfzfsumlem0.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
gsumfzfsumlem0.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
gsumfzfsumlem0.lt	⊢ (𝜑 → 𝑁 < 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
gsumfzfsumlem0	⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐵)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem gsumfzfsumlem0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnring 14555	. . 3 ⊢ ℂfld ∈ Ring
2		cnfld0 14556	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
3	2	gsum0g 13450	. . 3 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → (ℂfld Σg ∅) = 0)
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℂfld Σg ∅) = 0
5		gsumfzfsumlem0.lt	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 < 𝑀)
6		gsumfzfsumlem0.m	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
7		gsumfzfsumlem0.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
8		fzn 10255	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝑀 ↔ (𝑀...𝑁) = ∅))
9	6, 7, 8	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 < 𝑀 ↔ (𝑀...𝑁) = ∅))
10	5, 9	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) = ∅)
11	10	mpteq1d 4169	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝐵))
12		mpt0 5454	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝐵) = ∅
13	11, 12	eqtrdi 2278	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐵) = ∅)
14	13	oveq2d 6026	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐵)) = (ℂfld Σg ∅))
15	10	sumeq1d 11898	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐵 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
16		sum0 11920	. . 3 ⊢ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 0
17	15, 16	eqtrdi 2278	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐵 = 0)
18	4, 14, 17	3eqtr4a 2288	1 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∅c0 3491   class class class wbr 4083   ↦ cmpt 4145  (class class class)co 6010  0cc0 8015   < clt 8197  ℤcz 9462  ...cfz 10221  Σcsu 11885   Σ_g cgsu 13311  Ringcrg 13980  ℂ_fldccnfld 14541

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-iinf 4681  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-mulrcl 8114  ax-addcom 8115  ax-mulcom 8116  ax-addass 8117  ax-mulass 8118  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-1rid 8122  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-precex 8125  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-apti 8130  ax-pre-ltadd 8131  ax-pre-mulgt0 8132  ax-pre-mulext 8133  ax-arch 8134  ax-caucvg 8135  ax-addf 8137  ax-mulf 8138

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-tp 3674  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4385  df-po 4388  df-iso 4389  df-iord 4458  df-on 4460  df-ilim 4461  df-suc 4463  df-iom 4684  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-isom 5330  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-recs 6462  df-irdg 6527  df-frec 6548  df-1o 6573  df-oadd 6577  df-er 6693  df-en 6901  df-dom 6902  df-fin 6903  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-reap 8738  df-ap 8745  df-div 8836  df-inn 9127  df-2 9185  df-3 9186  df-4 9187  df-5 9188  df-6 9189  df-7 9190  df-8 9191  df-9 9192  df-n0 9386  df-z 9463  df-dec 9595  df-uz 9739  df-q 9832  df-rp 9867  df-fz 10222  df-fzo 10356  df-seqfrec 10687  df-exp 10778  df-ihash 11015  df-cj 11374  df-re 11375  df-im 11376  df-rsqrt 11530  df-abs 11531  df-clim 11811  df-sumdc 11886  df-struct 13055  df-ndx 13056  df-slot 13057  df-base 13059  df-sets 13060  df-plusg 13144  df-mulr 13145  df-starv 13146  df-tset 13150  df-ple 13151  df-ds 13153  df-unif 13154  df-0g 13312  df-igsum 13313  df-topgen 13314  df-mgm 13410  df-sgrp 13456  df-mnd 13471  df-grp 13557  df-cmn 13844  df-mgp 13905  df-ring 13982  df-cring 13983  df-bl 14531  df-mopn 14532  df-fg 14534  df-metu 14535  df-cnfld 14542

This theorem is referenced by:  gsumfzfsum  14573