Theorem gsumfzfsumlem0 14142

Description: Lemma for gsumfzfsum 14144. The case where the sum is empty. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumfzfsumlem0.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
gsumfzfsumlem0.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
gsumfzfsumlem0.lt	⊢ (𝜑 → 𝑁 < 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
gsumfzfsumlem0	⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐵)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem gsumfzfsumlem0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnring 14126	. . 3 ⊢ ℂfld ∈ Ring
2		cnfld0 14127	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
3	2	gsum0g 13039	. . 3 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → (ℂfld Σg ∅) = 0)
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℂfld Σg ∅) = 0
5		gsumfzfsumlem0.lt	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 < 𝑀)
6		gsumfzfsumlem0.m	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
7		gsumfzfsumlem0.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
8		fzn 10117	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝑀 ↔ (𝑀...𝑁) = ∅))
9	6, 7, 8	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 < 𝑀 ↔ (𝑀...𝑁) = ∅))
10	5, 9	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) = ∅)
11	10	mpteq1d 4118	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝐵))
12		mpt0 5385	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ∅ ↦ 𝐵) = ∅
13	11, 12	eqtrdi 2245	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐵) = ∅)
14	13	oveq2d 5938	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐵)) = (ℂfld Σg ∅))
15	10	sumeq1d 11531	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐵 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
16		sum0 11553	. . 3 ⊢ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 0
17	15, 16	eqtrdi 2245	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐵 = 0)
18	4, 14, 17	3eqtr4a 2255	1 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∅c0 3450   class class class wbr 4033   ↦ cmpt 4094  (class class class)co 5922  0cc0 7879   < clt 8061  ℤcz 9326  ...cfz 10083  Σcsu 11518   Σ_g cgsu 12928  Ringcrg 13552  ℂ_fldccnfld 14112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998  ax-caucvg 7999  ax-addf 8001  ax-mulf 8002

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-tp 3630  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-isom 5267  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-irdg 6428  df-frec 6449  df-1o 6474  df-oadd 6478  df-er 6592  df-en 6800  df-dom 6801  df-fin 6802  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-5 9052  df-6 9053  df-7 9054  df-8 9055  df-9 9056  df-n0 9250  df-z 9327  df-dec 9458  df-uz 9602  df-q 9694  df-rp 9729  df-fz 10084  df-fzo 10218  df-seqfrec 10540  df-exp 10631  df-ihash 10868  df-cj 11007  df-re 11008  df-im 11009  df-rsqrt 11163  df-abs 11164  df-clim 11444  df-sumdc 11519  df-struct 12680  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-sets 12685  df-plusg 12768  df-mulr 12769  df-starv 12770  df-tset 12774  df-ple 12775  df-ds 12777  df-unif 12778  df-0g 12929  df-igsum 12930  df-topgen 12931  df-mgm 12999  df-sgrp 13045  df-mnd 13058  df-grp 13135  df-cmn 13416  df-mgp 13477  df-ring 13554  df-cring 13555  df-bl 14102  df-mopn 14103  df-fg 14105  df-metu 14106  df-cnfld 14113

This theorem is referenced by:  gsumfzfsum  14144