Theorem hoverb 15391

Description: A point at which the hover function is greater than a given value. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Jul-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
hover.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({inf({𝑥, 0}, ℝ, < ), (𝑥 − 1)}, ℝ, < ))

Assertion

Ref	Expression
hoverb	⊢ (𝑍 ∈ ℝ → 𝑍 < (𝐹‘(𝑍 + 2)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑍

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem hoverb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → 𝑍 ∈ ℝ)
2		peano2re 8315	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → (𝑍 + 1) ∈ ℝ)
3		hover.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({inf({𝑥, 0}, ℝ, < ), (𝑥 − 1)}, ℝ, < ))
4		preq1 3748	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑍 + 2) → {𝑥, 0} = {(𝑍 + 2), 0})
5	4	infeq1d 7211	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑍 + 2) → inf({𝑥, 0}, ℝ, < ) = inf({(𝑍 + 2), 0}, ℝ, < ))
6		oveq1 6025	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑍 + 2) → (𝑥 − 1) = ((𝑍 + 2) − 1))
7	5, 6	preq12d 3756	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑍 + 2) → {inf({𝑥, 0}, ℝ, < ), (𝑥 − 1)} = {inf({(𝑍 + 2), 0}, ℝ, < ), ((𝑍 + 2) − 1)})
8	7	supeq1d 7186	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑍 + 2) → sup({inf({𝑥, 0}, ℝ, < ), (𝑥 − 1)}, ℝ, < ) = sup({inf({(𝑍 + 2), 0}, ℝ, < ), ((𝑍 + 2) − 1)}, ℝ, < ))
9		2re 9213	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
10	9	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → 2 ∈ ℝ)
11	1, 10	readdcld 8209	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → (𝑍 + 2) ∈ ℝ)
12		0red 8180	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
13		mincl 11809	. . . . . 6 ⊢ (((𝑍 + 2) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → inf({(𝑍 + 2), 0}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
14	11, 12, 13	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → inf({(𝑍 + 2), 0}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
15		peano2rem 8446	. . . . . 6 ⊢ ((𝑍 + 2) ∈ ℝ → ((𝑍 + 2) − 1) ∈ ℝ)
16	11, 15	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → ((𝑍 + 2) − 1) ∈ ℝ)
17		maxcl 11788	. . . . 5 ⊢ ((inf({(𝑍 + 2), 0}, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ ((𝑍 + 2) − 1) ∈ ℝ) → sup({inf({(𝑍 + 2), 0}, ℝ, < ), ((𝑍 + 2) − 1)}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
18	14, 16, 17	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → sup({inf({(𝑍 + 2), 0}, ℝ, < ), ((𝑍 + 2) − 1)}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
19	3, 8, 11, 18	fvmptd3 5740	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → (𝐹‘(𝑍 + 2)) = sup({inf({(𝑍 + 2), 0}, ℝ, < ), ((𝑍 + 2) − 1)}, ℝ, < ))
20	19, 18	eqeltrd 2308	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → (𝐹‘(𝑍 + 2)) ∈ ℝ)
21		ltp1 9024	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → 𝑍 < (𝑍 + 1))
22		recn 8165	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → 𝑍 ∈ ℂ)
23		2cnd 9216	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → 2 ∈ ℂ)
24		1cnd 8195	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → 1 ∈ ℂ)
25	22, 23, 24	addsubassd 8510	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → ((𝑍 + 2) − 1) = (𝑍 + (2 − 1)))
26		2m1e1 9261	. . . . 5 ⊢ (2 − 1) = 1
27	26	oveq2i 6029	. . . 4 ⊢ (𝑍 + (2 − 1)) = (𝑍 + 1)
28	25, 27	eqtrdi 2280	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → ((𝑍 + 2) − 1) = (𝑍 + 1))
29		maxle2 11790	. . . . 5 ⊢ ((inf({(𝑍 + 2), 0}, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ ((𝑍 + 2) − 1) ∈ ℝ) → ((𝑍 + 2) − 1) ≤ sup({inf({(𝑍 + 2), 0}, ℝ, < ), ((𝑍 + 2) − 1)}, ℝ, < ))
30	14, 16, 29	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → ((𝑍 + 2) − 1) ≤ sup({inf({(𝑍 + 2), 0}, ℝ, < ), ((𝑍 + 2) − 1)}, ℝ, < ))
31	30, 19	breqtrrd 4116	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → ((𝑍 + 2) − 1) ≤ (𝐹‘(𝑍 + 2)))
32	28, 31	eqbrtrrd 4112	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → (𝑍 + 1) ≤ (𝐹‘(𝑍 + 2)))
33	1, 2, 20, 21, 32	ltletrd 8603	1 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ → 𝑍 < (𝐹‘(𝑍 + 2)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  {cpr 3670   class class class wbr 4088   ↦ cmpt 4150  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018  supcsup 7181  infcinf 7182  ℝcr 8031  0cc0 8032  1c1 8033   + caddc 8035   < clt 8214   ≤ cle 8215   − cmin 8350  2c2 9194

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150  ax-arch 8151  ax-caucvg 8152

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-isom 5335  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-frec 6557  df-sup 7183  df-inf 7184  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-rp 9889  df-seqfrec 10711  df-exp 10802  df-cj 11420  df-re 11421  df-im 11422  df-rsqrt 11576  df-abs 11577

This theorem is referenced by:  ivthdichlem  15394