Theorem lgsprme0 14314

Description: The Legendre symbol at any prime (even at 2) is 0 iff the prime does not divide the first argument. See definition in [ApostolNT] p. 179. (Contributed by AV, 20-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
lgsprme0	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((𝐴 /L 𝑃) = 0 ↔ (𝐴 mod 𝑃) = 0))

Proof of Theorem lgsprme0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmz 12103	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
2		lgscl 14286	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 𝑃) ∈ ℤ)
3	1, 2	sylan2 286	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝐴 /L 𝑃) ∈ ℤ)
4		0z 9260	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
5		zdceq 9324	. . 3 ⊢ (((𝐴 /L 𝑃) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID (𝐴 /L 𝑃) = 0)
6	3, 4, 5	sylancl 413	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → DECID (𝐴 /L 𝑃) = 0)
7		simpl 109	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℤ)
8		prmnn 12102	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
9	8	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℕ)
10	7, 9	zmodcld 10340	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝐴 mod 𝑃) ∈ ℕ0)
11	10	nn0zd 9369	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝐴 mod 𝑃) ∈ ℤ)
12		zdceq 9324	. . 3 ⊢ (((𝐴 mod 𝑃) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID (𝐴 mod 𝑃) = 0)
13	11, 4, 12	sylancl 413	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → DECID (𝐴 mod 𝑃) = 0)
14		lgsne0 14310	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((𝐴 /L 𝑃) ≠ 0 ↔ (𝐴 gcd 𝑃) = 1))
15	1, 14	sylan2 286	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((𝐴 /L 𝑃) ≠ 0 ↔ (𝐴 gcd 𝑃) = 1))
16		coprm 12136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃 ∥ 𝐴 ↔ (𝑃 gcd 𝐴) = 1))
17	16	ancoms 268	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (¬ 𝑃 ∥ 𝐴 ↔ (𝑃 gcd 𝐴) = 1))
18	1	anim1i 340	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ))
19	18	ancoms 268	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ))
20		gcdcom 11966	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 gcd 𝐴) = (𝐴 gcd 𝑃))
21	19, 20	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 gcd 𝐴) = (𝐴 gcd 𝑃))
22	21	eqeq1d 2186	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((𝑃 gcd 𝐴) = 1 ↔ (𝐴 gcd 𝑃) = 1))
23	17, 22	bitr2d 189	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((𝐴 gcd 𝑃) = 1 ↔ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴))
24		dvdsval3 11791	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 mod 𝑃) = 0))
25	8, 24	sylan 283	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 mod 𝑃) = 0))
26	25	ancoms 268	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 mod 𝑃) = 0))
27	26	notbid 667	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (¬ 𝑃 ∥ 𝐴 ↔ ¬ (𝐴 mod 𝑃) = 0))
28	15, 23, 27	3bitrd 214	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((𝐴 /L 𝑃) ≠ 0 ↔ ¬ (𝐴 mod 𝑃) = 0))
29	28	2a1d 23	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (DECID (𝐴 /L 𝑃) = 0 → (DECID (𝐴 mod 𝑃) = 0 → ((𝐴 /L 𝑃) ≠ 0 ↔ ¬ (𝐴 mod 𝑃) = 0))))
30	29	necon4abiddc 2420	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (DECID (𝐴 /L 𝑃) = 0 → (DECID (𝐴 mod 𝑃) = 0 → ((𝐴 /L 𝑃) = 0 ↔ (𝐴 mod 𝑃) = 0))))
31	6, 13, 30	mp2d 47	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((𝐴 /L 𝑃) = 0 ↔ (𝐴 mod 𝑃) = 0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  DECID wdc 834   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   ≠ wne 2347   class class class wbr 4002  (class class class)co 5872  0cc0 7808  1c1 7809  ℕcn 8915  ℤcz 9249   mod cmo 10317   ∥ cdvds 11787   gcd cgcd 11935  ℙcprime 12099   /_L clgs 14269

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4117  ax-sep 4120  ax-nul 4128  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-iinf 4586  ax-cnex 7899  ax-resscn 7900  ax-1cn 7901  ax-1re 7902  ax-icn 7903  ax-addcl 7904  ax-addrcl 7905  ax-mulcl 7906  ax-mulrcl 7907  ax-addcom 7908  ax-mulcom 7909  ax-addass 7910  ax-mulass 7911  ax-distr 7912  ax-i2m1 7913  ax-0lt1 7914  ax-1rid 7915  ax-0id 7916  ax-rnegex 7917  ax-precex 7918  ax-cnre 7919  ax-pre-ltirr 7920  ax-pre-ltwlin 7921  ax-pre-lttrn 7922  ax-pre-apti 7923  ax-pre-ltadd 7924  ax-pre-mulgt0 7925  ax-pre-mulext 7926  ax-arch 7927  ax-caucvg 7928

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-xor 1376  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-tr 4101  df-id 4292  df-po 4295  df-iso 4296  df-iord 4365  df-on 4367  df-ilim 4368  df-suc 4370  df-iom 4589  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-f 5219  df-f1 5220  df-fo 5221  df-f1o 5222  df-fv 5223  df-isom 5224  df-riota 5828  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6303  df-irdg 6368  df-frec 6389  df-1o 6414  df-2o 6415  df-oadd 6418  df-er 6532  df-en 6738  df-dom 6739  df-fin 6740  df-sup 6980  df-inf 6981  df-pnf 7990  df-mnf 7991  df-xr 7992  df-ltxr 7993  df-le 7994  df-sub 8126  df-neg 8127  df-reap 8528  df-ap 8535  df-div 8626  df-inn 8916  df-2 8974  df-3 8975  df-4 8976  df-5 8977  df-6 8978  df-7 8979  df-8 8980  df-n0 9173  df-z 9250  df-uz 9525  df-q 9616  df-rp 9650  df-fz 10005  df-fzo 10138  df-fl 10265  df-mod 10318  df-seqfrec 10441  df-exp 10515  df-ihash 10749  df-cj 10844  df-re 10845  df-im 10846  df-rsqrt 11000  df-abs 11001  df-clim 11280  df-proddc 11552  df-dvds 11788  df-gcd 11936  df-prm 12100  df-phi 12203  df-pc 12277  df-lgs 14270

This theorem is referenced by: (None)