Theorem lgsprme0 15761

Description: The Legendre symbol at any prime (even at 2) is 0 iff the prime does not divide the first argument. See definition in [ApostolNT] p. 179. (Contributed by AV, 20-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
lgsprme0	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((𝐴 /L 𝑃) = 0 ↔ (𝐴 mod 𝑃) = 0))

Proof of Theorem lgsprme0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmz 12673	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
2		lgscl 15733	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 𝑃) ∈ ℤ)
3	1, 2	sylan2 286	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝐴 /L 𝑃) ∈ ℤ)
4		0z 9480	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
5		zdceq 9545	. . 3 ⊢ (((𝐴 /L 𝑃) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID (𝐴 /L 𝑃) = 0)
6	3, 4, 5	sylancl 413	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → DECID (𝐴 /L 𝑃) = 0)
7		simpl 109	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℤ)
8		prmnn 12672	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
9	8	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℕ)
10	7, 9	zmodcld 10597	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝐴 mod 𝑃) ∈ ℕ0)
11	10	nn0zd 9590	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝐴 mod 𝑃) ∈ ℤ)
12		zdceq 9545	. . 3 ⊢ (((𝐴 mod 𝑃) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID (𝐴 mod 𝑃) = 0)
13	11, 4, 12	sylancl 413	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → DECID (𝐴 mod 𝑃) = 0)
14		lgsne0 15757	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((𝐴 /L 𝑃) ≠ 0 ↔ (𝐴 gcd 𝑃) = 1))
15	1, 14	sylan2 286	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((𝐴 /L 𝑃) ≠ 0 ↔ (𝐴 gcd 𝑃) = 1))
16		coprm 12706	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃 ∥ 𝐴 ↔ (𝑃 gcd 𝐴) = 1))
17	16	ancoms 268	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (¬ 𝑃 ∥ 𝐴 ↔ (𝑃 gcd 𝐴) = 1))
18	1	anim1i 340	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ))
19	18	ancoms 268	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ))
20		gcdcom 12534	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 gcd 𝐴) = (𝐴 gcd 𝑃))
21	19, 20	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 gcd 𝐴) = (𝐴 gcd 𝑃))
22	21	eqeq1d 2238	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((𝑃 gcd 𝐴) = 1 ↔ (𝐴 gcd 𝑃) = 1))
23	17, 22	bitr2d 189	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((𝐴 gcd 𝑃) = 1 ↔ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴))
24		dvdsval3 12342	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 mod 𝑃) = 0))
25	8, 24	sylan 283	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 mod 𝑃) = 0))
26	25	ancoms 268	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 mod 𝑃) = 0))
27	26	notbid 671	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (¬ 𝑃 ∥ 𝐴 ↔ ¬ (𝐴 mod 𝑃) = 0))
28	15, 23, 27	3bitrd 214	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((𝐴 /L 𝑃) ≠ 0 ↔ ¬ (𝐴 mod 𝑃) = 0))
29	28	2a1d 23	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (DECID (𝐴 /L 𝑃) = 0 → (DECID (𝐴 mod 𝑃) = 0 → ((𝐴 /L 𝑃) ≠ 0 ↔ ¬ (𝐴 mod 𝑃) = 0))))
30	29	necon4abiddc 2473	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (DECID (𝐴 /L 𝑃) = 0 → (DECID (𝐴 mod 𝑃) = 0 → ((𝐴 /L 𝑃) = 0 ↔ (𝐴 mod 𝑃) = 0))))
31	6, 13, 30	mp2d 47	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((𝐴 /L 𝑃) = 0 ↔ (𝐴 mod 𝑃) = 0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  DECID wdc 839   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ≠ wne 2400   class class class wbr 4086  (class class class)co 6013  0cc0 8022  1c1 8023  ℕcn 9133  ℤcz 9469   mod cmo 10574   ∥ cdvds 12338   gcd cgcd 12514  ℙcprime 12669   /_L clgs 15716

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-mulrcl 8121  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-precex 8132  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138  ax-pre-mulgt0 8139  ax-pre-mulext 8140  ax-arch 8141  ax-caucvg 8142

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-xor 1418  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-isom 5333  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-irdg 6531  df-frec 6552  df-1o 6577  df-2o 6578  df-oadd 6581  df-er 6697  df-en 6905  df-dom 6906  df-fin 6907  df-sup 7174  df-inf 7175  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-reap 8745  df-ap 8752  df-div 8843  df-inn 9134  df-2 9192  df-3 9193  df-4 9194  df-5 9195  df-6 9196  df-7 9197  df-8 9198  df-n0 9393  df-z 9470  df-uz 9746  df-q 9844  df-rp 9879  df-fz 10234  df-fzo 10368  df-fl 10520  df-mod 10575  df-seqfrec 10700  df-exp 10791  df-ihash 11028  df-cj 11393  df-re 11394  df-im 11395  df-rsqrt 11549  df-abs 11550  df-clim 11830  df-proddc 12102  df-dvds 12339  df-gcd 12515  df-prm 12670  df-phi 12773  df-pc 12848  df-lgs 15717

This theorem is referenced by: (None)