Theorem lgsprme0 15594

Description: The Legendre symbol at any prime (even at 2) is 0 iff the prime does not divide the first argument. See definition in [ApostolNT] p. 179. (Contributed by AV, 20-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
lgsprme0	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((𝐴 /L 𝑃) = 0 ↔ (𝐴 mod 𝑃) = 0))

Proof of Theorem lgsprme0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmz 12508	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
2		lgscl 15566	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 𝑃) ∈ ℤ)
3	1, 2	sylan2 286	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝐴 /L 𝑃) ∈ ℤ)
4		0z 9403	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
5		zdceq 9468	. . 3 ⊢ (((𝐴 /L 𝑃) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID (𝐴 /L 𝑃) = 0)
6	3, 4, 5	sylancl 413	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → DECID (𝐴 /L 𝑃) = 0)
7		simpl 109	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℤ)
8		prmnn 12507	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
9	8	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℕ)
10	7, 9	zmodcld 10512	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝐴 mod 𝑃) ∈ ℕ0)
11	10	nn0zd 9513	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝐴 mod 𝑃) ∈ ℤ)
12		zdceq 9468	. . 3 ⊢ (((𝐴 mod 𝑃) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID (𝐴 mod 𝑃) = 0)
13	11, 4, 12	sylancl 413	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → DECID (𝐴 mod 𝑃) = 0)
14		lgsne0 15590	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((𝐴 /L 𝑃) ≠ 0 ↔ (𝐴 gcd 𝑃) = 1))
15	1, 14	sylan2 286	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((𝐴 /L 𝑃) ≠ 0 ↔ (𝐴 gcd 𝑃) = 1))
16		coprm 12541	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃 ∥ 𝐴 ↔ (𝑃 gcd 𝐴) = 1))
17	16	ancoms 268	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (¬ 𝑃 ∥ 𝐴 ↔ (𝑃 gcd 𝐴) = 1))
18	1	anim1i 340	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ))
19	18	ancoms 268	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ))
20		gcdcom 12369	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 gcd 𝐴) = (𝐴 gcd 𝑃))
21	19, 20	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 gcd 𝐴) = (𝐴 gcd 𝑃))
22	21	eqeq1d 2215	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((𝑃 gcd 𝐴) = 1 ↔ (𝐴 gcd 𝑃) = 1))
23	17, 22	bitr2d 189	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((𝐴 gcd 𝑃) = 1 ↔ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴))
24		dvdsval3 12177	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 mod 𝑃) = 0))
25	8, 24	sylan 283	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 mod 𝑃) = 0))
26	25	ancoms 268	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 mod 𝑃) = 0))
27	26	notbid 669	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (¬ 𝑃 ∥ 𝐴 ↔ ¬ (𝐴 mod 𝑃) = 0))
28	15, 23, 27	3bitrd 214	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((𝐴 /L 𝑃) ≠ 0 ↔ ¬ (𝐴 mod 𝑃) = 0))
29	28	2a1d 23	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (DECID (𝐴 /L 𝑃) = 0 → (DECID (𝐴 mod 𝑃) = 0 → ((𝐴 /L 𝑃) ≠ 0 ↔ ¬ (𝐴 mod 𝑃) = 0))))
30	29	necon4abiddc 2450	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (DECID (𝐴 /L 𝑃) = 0 → (DECID (𝐴 mod 𝑃) = 0 → ((𝐴 /L 𝑃) = 0 ↔ (𝐴 mod 𝑃) = 0))))
31	6, 13, 30	mp2d 47	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((𝐴 /L 𝑃) = 0 ↔ (𝐴 mod 𝑃) = 0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  DECID wdc 836   = wceq 1373   ∈ wcel 2177   ≠ wne 2377   class class class wbr 4051  (class class class)co 5957  0cc0 7945  1c1 7946  ℕcn 9056  ℤcz 9392   mod cmo 10489   ∥ cdvds 12173   gcd cgcd 12349  ℙcprime 12504   /_L clgs 15549

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4167  ax-sep 4170  ax-nul 4178  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-iinf 4644  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-mulrcl 8044  ax-addcom 8045  ax-mulcom 8046  ax-addass 8047  ax-mulass 8048  ax-distr 8049  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-1rid 8052  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-precex 8055  ax-cnre 8056  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-ltwlin 8058  ax-pre-lttrn 8059  ax-pre-apti 8060  ax-pre-ltadd 8061  ax-pre-mulgt0 8062  ax-pre-mulext 8063  ax-arch 8064  ax-caucvg 8065

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 833  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-xor 1396  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-if 3576  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-tr 4151  df-id 4348  df-po 4351  df-iso 4352  df-iord 4421  df-on 4423  df-ilim 4424  df-suc 4426  df-iom 4647  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-fv 5288  df-isom 5289  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-1st 6239  df-2nd 6240  df-recs 6404  df-irdg 6469  df-frec 6490  df-1o 6515  df-2o 6516  df-oadd 6519  df-er 6633  df-en 6841  df-dom 6842  df-fin 6843  df-sup 7101  df-inf 7102  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-xr 8131  df-ltxr 8132  df-le 8133  df-sub 8265  df-neg 8266  df-reap 8668  df-ap 8675  df-div 8766  df-inn 9057  df-2 9115  df-3 9116  df-4 9117  df-5 9118  df-6 9119  df-7 9120  df-8 9121  df-n0 9316  df-z 9393  df-uz 9669  df-q 9761  df-rp 9796  df-fz 10151  df-fzo 10285  df-fl 10435  df-mod 10490  df-seqfrec 10615  df-exp 10706  df-ihash 10943  df-cj 11228  df-re 11229  df-im 11230  df-rsqrt 11384  df-abs 11385  df-clim 11665  df-proddc 11937  df-dvds 12174  df-gcd 12350  df-prm 12505  df-phi 12608  df-pc 12683  df-lgs 15550

This theorem is referenced by: (None)