ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnap0 GIF version

Theorem nnap0 8773
Description: A positive integer is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Mar-2020.)
Assertion
Ref Expression
nnap0 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 # 0)

Proof of Theorem nnap0
StepHypRef Expression
1 nnre 8751 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
2 nngt0 8769 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)
31, 2gt0ap0d 8415 1 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 # 0)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1481   class class class wbr 3937  0cc0 7644   # cap 8367  cn 8744
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-inn 8745
This theorem is referenced by:  nndivre  8780  nndiv  8785  nndivtr  8786  nnap0d  8790  zdiv  9163  zdivadd  9164  zdivmul  9165  divfnzn  9440  qmulz  9442  qre  9444  qaddcl  9454  qnegcl  9455  qmulcl  9456  qapne  9458  nn0ledivnn  9584  flqdiv  10125  facdiv  10516  caucvgrelemcau  10784  expcnvap0  11303  ef0lem  11403  qredeq  11813  qredeu  11814  divgcdcoprm0  11818  isprm6  11861  sqrt2irr  11876  hashgcdlem  11939  rpcxproot  13042
  Copyright terms: Public domain W3C validator