ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnap0 GIF version

Theorem nnap0 9013
Description: A positive integer is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Mar-2020.)
Assertion
Ref Expression
nnap0 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 # 0)

Proof of Theorem nnap0
StepHypRef Expression
1 nnre 8991 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
2 nngt0 9009 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)
31, 2gt0ap0d 8650 1 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 # 0)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2164   class class class wbr 4030  0cc0 7874   # cap 8602  cn 8984
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-br 4031  df-opab 4092  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-inn 8985
This theorem is referenced by:  nndivre  9020  nndiv  9025  nndivtr  9026  nnap0d  9030  zdiv  9408  zdivadd  9409  zdivmul  9410  divfnzn  9689  qmulz  9691  qre  9693  qaddcl  9703  qnegcl  9704  qmulcl  9705  qapne  9707  nn0ledivnn  9836  flqdiv  10395  facdiv  10812  caucvgrelemcau  11127  expcnvap0  11648  ef0lem  11806  qredeq  12237  qredeu  12238  divgcdcoprm0  12242  isprm6  12288  sqrt2irr  12303  hashgcdlem  12379  pythagtriplem10  12410  pcqcl  12447  pcneg  12466  fldivp1  12489  infpnlem2  12501  znidomb  14157  rpcxproot  15089
  Copyright terms: Public domain W3C validator