Theorem nnap0 9215

Description: A positive integer is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nnap0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 # 0)

Proof of Theorem nnap0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 9193	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nngt0 9211	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)
3	1, 2	gt0ap0d 8852	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 # 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4093  0cc0 8075   # cap 8804  ℕcn 9186

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263  df-sub 8395  df-neg 8396  df-reap 8798  df-ap 8805  df-inn 9187

This theorem is referenced by:  nndivre  9222  nndiv  9227  nndivtr  9228  nnap0d  9232  zdiv  9611  zdivadd  9612  zdivmul  9613  divfnzn  9898  qmulz  9900  qre  9902  qaddcl  9912  qnegcl  9913  qmulcl  9914  qapne  9916  nn0ledivnn  10045  flqdiv  10627  facdiv  11044  caucvgrelemcau  11601  expcnvap0  12124  ef0lem  12282  qredeq  12729  qredeu  12730  divgcdcoprm0  12734  isprm6  12780  sqrt2irr  12795  hashgcdlem  12871  pythagtriplem10  12903  pcqcl  12940  pcneg  12959  fldivp1  12982  infpnlem2  12994  znidomb  14734  rpcxproot  15705  pellexlem1  15771