Theorem nnap0 8451

Description: A positive integer is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nnap0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 # 0)

Proof of Theorem nnap0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 8429	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nngt0 8447	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)
3	1, 2	gt0ap0d 8105	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 # 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1438   class class class wbr 3845  0cc0 7350   # cap 8058  ℕcn 8422

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-cnex 7436  ax-resscn 7437  ax-1cn 7438  ax-1re 7439  ax-icn 7440  ax-addcl 7441  ax-addrcl 7442  ax-mulcl 7443  ax-mulrcl 7444  ax-addcom 7445  ax-mulcom 7446  ax-addass 7447  ax-mulass 7448  ax-distr 7449  ax-i2m1 7450  ax-0lt1 7451  ax-1rid 7452  ax-0id 7453  ax-rnegex 7454  ax-precex 7455  ax-cnre 7456  ax-pre-ltirr 7457  ax-pre-ltwlin 7458  ax-pre-lttrn 7459  ax-pre-apti 7460  ax-pre-ltadd 7461  ax-pre-mulgt0 7462

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-br 3846  df-opab 3900  df-id 4120  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-pnf 7524  df-mnf 7525  df-xr 7526  df-ltxr 7527  df-le 7528  df-sub 7655  df-neg 7656  df-reap 8052  df-ap 8059  df-inn 8423

This theorem is referenced by:  nndivre  8458  nndiv  8463  nndivtr  8464  nnap0d  8468  zdiv  8834  zdivadd  8835  zdivmul  8836  divfnzn  9106  qmulz  9108  qre  9110  qaddcl  9120  qnegcl  9121  qmulcl  9122  qapne  9124  nn0ledivnn  9238  flqdiv  9728  facdiv  10146  caucvgrelemcau  10413  expcnvap0  10896  ef0lem  10950  qredeq  11356  qredeu  11357  divgcdcoprm0  11361  isprm6  11404  sqrt2irr  11419  hashgcdlem  11481