Theorem psrbagfsuppub 15192

Description: Given a finitely supported function on finite bags, there is an upper bound of values which can map to anything other than zero. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Nov-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrbagfsuppub.f	|- ( ph -> F : ( NN0 ^m I ) --> B )
psrbagfsuppub.z	|- ( ph -> Z e. B )
psrbagfsuppub.i	|- ( ph -> I e. Fin )
psrbagfsuppub.s	|- ( ph -> F finSupp Z )

Assertion

Ref	Expression
psrbagfsuppub	|- ( ph -> E. k e. ( NN0 ^m I ) A. y e. ( NN0 ^m I ) ( -. y oR <_ k -> ( F ` y ) = Z ) )

Distinct variable groups:   y, F, k   y, I, k   y, Z, k   ph, y

Allowed substitution hints:   ph( k)   B( y, k)

Proof of Theorem psrbagfsuppub

Dummy variables j p w x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrbagfsuppub.s	. . 3 |- ( ph -> F finSupp Z )
2	1	fsuppfiss 7301	. 2 |- ( ph -> E. w ( w e. Fin /\ w C_ dom F /\ ( F " ( dom F \ w ) ) C_ { Z } ) )
3		simpr2 1035	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( w e. Fin /\ w C_ dom F /\ ( F " ( dom F \ w ) ) C_ { Z } ) ) -> w C_ dom F )
4		psrbagfsuppub.f	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : ( NN0 ^m I ) --> B )
5	4	fdmd 5543	. . . . . . 7 |- ( ph -> dom F = ( NN0 ^m I ) )
6	5	sseq2d 3278	. . . . . 6 |- ( ph -> ( w C_ dom F <-> w C_ ( NN0 ^m I ) ) )
7	6	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( w e. Fin /\ w C_ dom F /\ ( F " ( dom F \ w ) ) C_ { Z } ) ) -> ( w C_ dom F <-> w C_ ( NN0 ^m I ) ) )
8	3, 7	mpbid 147	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( w e. Fin /\ w C_ dom F /\ ( F " ( dom F \ w ) ) C_ { Z } ) ) -> w C_ ( NN0 ^m I ) )
9		simpr1 1034	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( w e. Fin /\ w C_ dom F /\ ( F " ( dom F \ w ) ) C_ { Z } ) ) -> w e. Fin )
10		psrbagfsuppub.i	. . . . 5 |- ( ph -> I e. Fin )
11	10	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( w e. Fin /\ w C_ dom F /\ ( F " ( dom F \ w ) ) C_ { Z } ) ) -> I e. Fin )
12	8, 9, 11	psrbagmaxlem1 15185	. . 3 |- ( ( ph /\ ( w e. Fin /\ w C_ dom F /\ ( F " ( dom F \ w ) ) C_ { Z } ) ) -> E. p ( p : I --> NN0 /\ A. j e. I A. x e. w ( x ` j ) <_ ( p ` j ) ) )
13		simprl 535	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( w e. Fin /\ w C_ dom F /\ ( F " ( dom F \ w ) ) C_ { Z } ) ) /\ ( p : I --> NN0 /\ A. j e. I A. x e. w ( x ` j ) <_ ( p ` j ) ) ) -> p : I --> NN0 )
14		nn0ex 9581	. . . . . . 7 |- NN0 e. _V
15	14	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( w e. Fin /\ w C_ dom F /\ ( F " ( dom F \ w ) ) C_ { Z } ) ) /\ ( p : I --> NN0 /\ A. j e. I A. x e. w ( x ` j ) <_ ( p ` j ) ) ) -> NN0 e. _V )
16	11	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( w e. Fin /\ w C_ dom F /\ ( F " ( dom F \ w ) ) C_ { Z } ) ) /\ ( p : I --> NN0 /\ A. j e. I A. x e. w ( x ` j ) <_ ( p ` j ) ) ) -> I e. Fin )
17	15, 16	elmapd 6941	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( w e. Fin /\ w C_ dom F /\ ( F " ( dom F \ w ) ) C_ { Z } ) ) /\ ( p : I --> NN0 /\ A. j e. I A. x e. w ( x ` j ) <_ ( p ` j ) ) ) -> ( p e. ( NN0 ^m I ) <-> p : I --> NN0 ) )
18	13, 17	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( w e. Fin /\ w C_ dom F /\ ( F " ( dom F \ w ) ) C_ { Z } ) ) /\ ( p : I --> NN0 /\ A. j e. I A. x e. w ( x ` j ) <_ ( p ` j ) ) ) -> p e. ( NN0 ^m I ) )
19		simpr3 1036	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( w e. Fin /\ w C_ dom F /\ ( F " ( dom F \ w ) ) C_ { Z } ) ) -> ( F " ( dom F \ w ) ) C_ { Z } )
20	19	ad3antrrr 496	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( w e. Fin /\ w C_ dom F /\ ( F " ( dom F \ w ) ) C_ { Z } ) ) /\ ( p : I --> NN0 /\ A. j e. I A. x e. w ( x ` j ) <_ ( p ` j ) ) ) /\ y e. ( NN0 ^m I ) ) /\ -. y oR <_ p ) -> ( F " ( dom F \ w ) ) C_ { Z } )
21	4	ffnd 5537	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F Fn ( NN0 ^m I ) )
22	21	ad4antr 498	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( w e. Fin /\ w C_ dom F /\ ( F " ( dom F \ w ) ) C_ { Z } ) ) /\ ( p : I --> NN0 /\ A. j e. I A. x e. w ( x ` j ) <_ ( p ` j ) ) ) /\ y e. ( NN0 ^m I ) ) /\ -. y oR <_ p ) -> F Fn ( NN0 ^m I ) )
23		simplr 533	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( w e. Fin /\ w C_ dom F /\ ( F " ( dom F \ w ) ) C_ { Z } ) ) /\ ( p : I --> NN0 /\ A. j e. I A. x e. w ( x ` j ) <_ ( p ` j ) ) ) /\ y e. ( NN0 ^m I ) ) /\ -. y oR <_ p ) -> y e. ( NN0 ^m I ) )
24	5	ad4antr 498	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( w e. Fin /\ w C_ dom F /\ ( F " ( dom F \ w ) ) C_ { Z } ) ) /\ ( p : I --> NN0 /\ A. j e. I A. x e. w ( x ` j ) <_ ( p ` j ) ) ) /\ y e. ( NN0 ^m I ) ) /\ -. y oR <_ p ) -> dom F = ( NN0 ^m I ) )
25	23, 24	eleqtrrd 2318	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( w e. Fin /\ w C_ dom F /\ ( F " ( dom F \ w ) ) C_ { Z } ) ) /\ ( p : I --> NN0 /\ A. j e. I A. x e. w ( x ` j ) <_ ( p ` j ) ) ) /\ y e. ( NN0 ^m I ) ) /\ -. y oR <_ p ) -> y e. dom F )
26		fveq1 5697	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = y -> ( x ` j ) = ( y ` j ) )
27	26	breq1d 4141	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = y -> ( ( x ` j ) <_ ( p ` j ) <-> ( y ` j ) <_ ( p ` j ) ) )
28	27	ralbidv 2550	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = y -> ( A. j e. I ( x ` j ) <_ ( p ` j ) <-> A. j e. I ( y ` j ) <_ ( p ` j ) ) )
29		simprr 537	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( w e. Fin /\ w C_ dom F /\ ( F " ( dom F \ w ) ) C_ { Z } ) ) /\ ( p : I --> NN0 /\ A. j e. I A. x e. w ( x ` j ) <_ ( p ` j ) ) ) -> A. j e. I A. x e. w ( x ` j ) <_ ( p ` j ) )
30	29	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( w e. Fin /\ w C_ dom F /\ ( F " ( dom F \ w ) ) C_ { Z } ) ) /\ ( p : I --> NN0 /\ A. j e. I A. x e. w ( x ` j ) <_ ( p ` j ) ) ) /\ y e. ( NN0 ^m I ) ) /\ -. y oR <_ p ) /\ y e. w ) -> A. j e. I A. x e. w ( x ` j ) <_ ( p ` j ) )
31		ralcom 2714	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. j e. I A. x e. w ( x ` j ) <_ ( p ` j ) <-> A. x e. w A. j e. I ( x ` j ) <_ ( p ` j ) )
32	30, 31	sylib 122	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( w e. Fin /\ w C_ dom F /\ ( F " ( dom F \ w ) ) C_ { Z } ) ) /\ ( p : I --> NN0 /\ A. j e. I A. x e. w ( x ` j ) <_ ( p ` j ) ) ) /\ y e. ( NN0 ^m I ) ) /\ -. y oR <_ p ) /\ y e. w ) -> A. x e. w A. j e. I ( x ` j ) <_ ( p ` j ) )
33		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( w e. Fin /\ w C_ dom F /\ ( F " ( dom F \ w ) ) C_ { Z } ) ) /\ ( p : I --> NN0 /\ A. j e. I A. x e. w ( x ` j ) <_ ( p ` j ) ) ) /\ y e. ( NN0 ^m I ) ) /\ -. y oR <_ p ) /\ y e. w ) -> y e. w )
34	28, 32, 33	rspcdva 2934	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( w e. Fin /\ w C_ dom F /\ ( F " ( dom F \ w ) ) C_ { Z } ) ) /\ ( p : I --> NN0 /\ A. j e. I A. x e. w ( x ` j ) <_ ( p ` j ) ) ) /\ y e. ( NN0 ^m I ) ) /\ -. y oR <_ p ) /\ y e. w ) -> A. j e. I ( y ` j ) <_ ( p ` j ) )
35		simp-5l 549	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( w e. Fin /\ w C_ dom F /\ ( F " ( dom F \ w ) ) C_ { Z } ) ) /\ ( p : I --> NN0 /\ A. j e. I A. x e. w ( x ` j ) <_ ( p ` j ) ) ) /\ y e. ( NN0 ^m I ) ) /\ -. y oR <_ p ) /\ y e. w ) -> ph )
36	23	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( w e. Fin /\ w C_ dom F /\ ( F " ( dom F \ w ) ) C_ { Z } ) ) /\ ( p : I --> NN0 /\ A. j e. I A. x e. w ( x ` j ) <_ ( p ` j ) ) ) /\ y e. ( NN0 ^m I ) ) /\ -. y oR <_ p ) /\ y e. w ) -> y e. ( NN0 ^m I ) )
37		elmapi 6949	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. ( NN0 ^m I ) -> y : I --> NN0 )
38	36, 37	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( w e. Fin /\ w C_ dom F /\ ( F " ( dom F \ w ) ) C_ { Z } ) ) /\ ( p : I --> NN0 /\ A. j e. I A. x e. w ( x ` j ) <_ ( p ` j ) ) ) /\ y e. ( NN0 ^m I ) ) /\ -. y oR <_ p ) /\ y e. w ) -> y : I --> NN0 )
39	13	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( w e. Fin /\ w C_ dom F /\ ( F " ( dom F \ w ) ) C_ { Z } ) ) /\ ( p : I --> NN0 /\ A. j e. I A. x e. w ( x ` j ) <_ ( p ` j ) ) ) /\ y e. ( NN0 ^m I ) ) /\ -. y oR <_ p ) /\ y e. w ) -> p : I --> NN0 )
40		simp2 1029	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ y : I --> NN0 /\ p : I --> NN0 ) -> y : I --> NN0 )
41	40	ffnd 5537	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ y : I --> NN0 /\ p : I --> NN0 ) -> y Fn I )
42		simp3 1030	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ y : I --> NN0 /\ p : I --> NN0 ) -> p : I --> NN0 )
43	42	ffnd 5537	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ y : I --> NN0 /\ p : I --> NN0 ) -> p Fn I )
44	10	3ad2ant1 1049	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ y : I --> NN0 /\ p : I --> NN0 ) -> I e. Fin )
45		inidm 3440	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( I i^i I ) = I
46		eqidd 2239	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y : I --> NN0 /\ p : I --> NN0 ) /\ j e. I ) -> ( y ` j ) = ( y ` j ) )
47		eqidd 2239	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y : I --> NN0 /\ p : I --> NN0 ) /\ j e. I ) -> ( p ` j ) = ( p ` j ) )
48	41, 43, 44, 44, 45, 46, 47	ofrfval 6315	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y : I --> NN0 /\ p : I --> NN0 ) -> ( y oR <_ p <-> A. j e. I ( y ` j ) <_ ( p ` j ) ) )
49	35, 38, 39, 48	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( w e. Fin /\ w C_ dom F /\ ( F " ( dom F \ w ) ) C_ { Z } ) ) /\ ( p : I --> NN0 /\ A. j e. I A. x e. w ( x ` j ) <_ ( p ` j ) ) ) /\ y e. ( NN0 ^m I ) ) /\ -. y oR <_ p ) /\ y e. w ) -> ( y oR <_ p <-> A. j e. I ( y ` j ) <_ ( p ` j ) ) )
50	34, 49	mpbird 167	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( w e. Fin /\ w C_ dom F /\ ( F " ( dom F \ w ) ) C_ { Z } ) ) /\ ( p : I --> NN0 /\ A. j e. I A. x e. w ( x ` j ) <_ ( p ` j ) ) ) /\ y e. ( NN0 ^m I ) ) /\ -. y oR <_ p ) /\ y e. w ) -> y oR <_ p )
51		simplr 533	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( w e. Fin /\ w C_ dom F /\ ( F " ( dom F \ w ) ) C_ { Z } ) ) /\ ( p : I --> NN0 /\ A. j e. I A. x e. w ( x ` j ) <_ ( p ` j ) ) ) /\ y e. ( NN0 ^m I ) ) /\ -. y oR <_ p ) /\ y e. w ) -> -. y oR <_ p )
52	50, 51	pm2.65da 671	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( w e. Fin /\ w C_ dom F /\ ( F " ( dom F \ w ) ) C_ { Z } ) ) /\ ( p : I --> NN0 /\ A. j e. I A. x e. w ( x ` j ) <_ ( p ` j ) ) ) /\ y e. ( NN0 ^m I ) ) /\ -. y oR <_ p ) -> -. y e. w )
53	25, 52	eldifd 3230	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( w e. Fin /\ w C_ dom F /\ ( F " ( dom F \ w ) ) C_ { Z } ) ) /\ ( p : I --> NN0 /\ A. j e. I A. x e. w ( x ` j ) <_ ( p ` j ) ) ) /\ y e. ( NN0 ^m I ) ) /\ -. y oR <_ p ) -> y e. ( dom F \ w ) )
54	22, 23, 53	fnfvimad 5957	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( w e. Fin /\ w C_ dom F /\ ( F " ( dom F \ w ) ) C_ { Z } ) ) /\ ( p : I --> NN0 /\ A. j e. I A. x e. w ( x ` j ) <_ ( p ` j ) ) ) /\ y e. ( NN0 ^m I ) ) /\ -. y oR <_ p ) -> ( F ` y ) e. ( F " ( dom F \ w ) ) )
55	20, 54	sseldd 3249	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( w e. Fin /\ w C_ dom F /\ ( F " ( dom F \ w ) ) C_ { Z } ) ) /\ ( p : I --> NN0 /\ A. j e. I A. x e. w ( x ` j ) <_ ( p ` j ) ) ) /\ y e. ( NN0 ^m I ) ) /\ -. y oR <_ p ) -> ( F ` y ) e. { Z } )
56		elsni 3727	. . . . . . 7 |- ( ( F ` y ) e. { Z } -> ( F ` y ) = Z )
57	55, 56	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( w e. Fin /\ w C_ dom F /\ ( F " ( dom F \ w ) ) C_ { Z } ) ) /\ ( p : I --> NN0 /\ A. j e. I A. x e. w ( x ` j ) <_ ( p ` j ) ) ) /\ y e. ( NN0 ^m I ) ) /\ -. y oR <_ p ) -> ( F ` y ) = Z )
58	57	ex 115	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ ( w e. Fin /\ w C_ dom F /\ ( F " ( dom F \ w ) ) C_ { Z } ) ) /\ ( p : I --> NN0 /\ A. j e. I A. x e. w ( x ` j ) <_ ( p ` j ) ) ) /\ y e. ( NN0 ^m I ) ) -> ( -. y oR <_ p -> ( F ` y ) = Z ) )
59	58	ralrimiva 2623	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( w e. Fin /\ w C_ dom F /\ ( F " ( dom F \ w ) ) C_ { Z } ) ) /\ ( p : I --> NN0 /\ A. j e. I A. x e. w ( x ` j ) <_ ( p ` j ) ) ) -> A. y e. ( NN0 ^m I ) ( -. y oR <_ p -> ( F ` y ) = Z ) )
60		breq2 4135	. . . . . 6 |- ( k = p -> ( y oR <_ k <-> y oR <_ p ) )
61	60	notbid 677	. . . . 5 |- ( k = p -> ( -. y oR <_ k <-> -. y oR <_ p ) )
62	61	rspceaimv 2938	. . . 4 |- ( ( p e. ( NN0 ^m I ) /\ A. y e. ( NN0 ^m I ) ( -. y oR <_ p -> ( F ` y ) = Z ) ) -> E. k e. ( NN0 ^m I ) A. y e. ( NN0 ^m I ) ( -. y oR <_ k -> ( F ` y ) = Z ) )
63	18, 59, 62	syl2anc 415	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ( w e. Fin /\ w C_ dom F /\ ( F " ( dom F \ w ) ) C_ { Z } ) ) /\ ( p : I --> NN0 /\ A. j e. I A. x e. w ( x ` j ) <_ ( p ` j ) ) ) -> E. k e. ( NN0 ^m I ) A. y e. ( NN0 ^m I ) ( -. y oR <_ k -> ( F ` y ) = Z ) )
64	12, 63	exlimddv 1954	. 2 |- ( ( ph /\ ( w e. Fin /\ w C_ dom F /\ ( F " ( dom F \ w ) ) C_ { Z } ) ) -> E. k e. ( NN0 ^m I ) A. y e. ( NN0 ^m I ) ( -. y oR <_ k -> ( F ` y ) = Z ) )
65	2, 64	exlimddv 1954	1 |- ( ph -> E. k e. ( NN0 ^m I ) A. y e. ( NN0 ^m I ) ( -. y oR <_ k -> ( F ` y ) = Z ) )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   E.wrex 2529   _Vcvv 2821   \ cdif 3217   C_ wss 3220   {csn 3709   class class class wbr 4131   dom cdm 4776   "cima 4779   Fn wfn 5375   -->wf 5376   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   oRcofr 6304   ^m cmap 6927   Fincfn 7028   finSupp cfsupp 7292   <_ cle 8368   NN0cn0 9575

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-mulrcl 8285  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-precex 8296  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302  ax-pre-mulgt0 8303  ax-pre-mulext 8304  ax-arch 8305  ax-caucvg 8306

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-ofr 6306  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6581  df-frec 6667  df-er 6812  df-map 6929  df-en 7029  df-fin 7031  df-fsuppfi 7293  df-sup 7331  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-reap 8912  df-ap 8919  df-div 9012  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-4 9375  df-n0 9576  df-z 9655  df-uz 9938  df-rp 10072  df-seqfrec 10906  df-exp 10997  df-cj 11629  df-re 11630  df-im 11631  df-rsqrt 11786  df-abs 11787

This theorem is used by:  mplsubrglemcl  15249