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Theorem mplsubrglemcl 15249
Description: Lemma for mplsubrgfi 15250. Polynomials are closed under multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.) (Revised by AV, 18-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mplsubg.s |- S = ( I mPwSer R )
mplsubg.p |- P = ( I mPoly R )
mplsubg.u |- U = ( Base ` P )
mplsubg.i |- ( ph -> I e. Fin )
mpllss.r |- ( ph -> R e. Ring )
mplsubrglem.x |- ( ph -> X e. U )
mplsubrglem.y |- ( ph -> Y e. U )
Assertion
Ref Expression
mplsubrglemcl |- ( ph -> ( X ( .r ` S ) Y ) e. U )
Proof of Theorem mplsubrglemcl
Dummy variables k s p t x u v y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mplsubg.s . . 3 |- S = ( I mPwSer R )
2 eqid 2238 . . 3 |- ( Base ` S ) = ( Base ` S )
3 eqid 2238 . . 3 |- ( .r ` S ) = ( .r ` S )
4 mpllss.r . . 3 |- ( ph -> R e. Ring )
5 mplsubg.i . . 3 |- ( ph -> I e. Fin )
6 mplsubg.p . . . . 5 |- P = ( I mPoly R )
7 mplsubg.u . . . . 5 |- U = ( Base ` P )
86, 1, 7, 2mplbasss 15243 . . . 4 |- U C_ ( Base ` S )
9 mplsubrglem.x . . . 4 |- ( ph -> X e. U )
108, 9sselid 3246 . . 3 |- ( ph -> X e. ( Base ` S ) )
11 mplsubrglem.y . . . 4 |- ( ph -> Y e. U )
128, 11sselid 3246 . . 3 |- ( ph -> Y e. ( Base ` S ) )
131, 2, 3, 4, 5, 10, 12psrmulclfi 15210 . 2 |- ( ph -> ( X ( .r ` S ) Y ) e. ( Base ` S ) )
14 eqid 2238 . . . . 5 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
151, 14, 5, 2, 10psrelbasfi 15199 . . . 4 |- ( ph -> X : ( NN0 ^m I ) --> ( Base ` R ) )
164ringgrpd 14416 . . . . 5 |- ( ph -> R e. Grp )
17 eqid 2238 . . . . . 6 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
1814, 17grpidcl 13893 . . . . 5 |- ( R e. Grp -> ( 0g ` R ) e. ( Base ` R ) )
1916, 18syl 14 . . . 4 |- ( ph -> ( 0g ` R ) e. ( Base ` R ) )
206, 7, 17, 9mplelsfi 15241 . . . 4 |- ( ph -> X finSupp ( 0g ` R ) )
2115, 19, 5, 20psrbagfsuppub 15192 . . 3 |- ( ph -> E. s e. ( NN0 ^m I ) A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ s -> ( X ` p ) = ( 0g ` R ) ) )
221, 14, 5, 2, 12psrelbasfi 15199 . . . . . 6 |- ( ph -> Y : ( NN0 ^m I ) --> ( Base ` R ) )
236, 7, 17, 11mplelsfi 15241 . . . . . 6 |- ( ph -> Y finSupp ( 0g ` R ) )
2422, 19, 5, 23psrbagfsuppub 15192 . . . . 5 |- ( ph -> E. t e. ( NN0 ^m I ) A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ t -> ( Y ` p ) = ( 0g ` R ) ) )
2524adantr 276 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( s e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ s -> ( X ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) -> E. t e. ( NN0 ^m I ) A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ t -> ( Y ` p ) = ( 0g ` R ) ) )
261, 14, 5, 2, 13psrelbasfi 15199 . . . . . 6 |- ( ph -> ( X ( .r ` S ) Y ) : ( NN0 ^m I ) --> ( Base ` R ) )
2726ad2antrr 492 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( s e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ s -> ( X ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( t e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ t -> ( Y ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) -> ( X ( .r ` S ) Y ) : ( NN0 ^m I ) --> ( Base ` R ) )
2819ad2antrr 492 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( s e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ s -> ( X ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( t e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ t -> ( Y ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) -> ( 0g ` R ) e. ( Base ` R ) )
295ad2antrr 492 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( s e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ s -> ( X ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( t e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ t -> ( Y ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) -> I e. Fin )
30 nn0addcl 9610 . . . . . . . 8 |- ( ( u e. NN0 /\ v e. NN0 ) -> ( u + v ) e. NN0 )
3130adantl 277 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ s -> ( X ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( t e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ t -> ( Y ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( u e. NN0 /\ v e. NN0 ) ) -> ( u + v ) e. NN0 )
32 simplrl 541 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( s e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ s -> ( X ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( t e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ t -> ( Y ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) -> s e. ( NN0 ^m I ) )
33 elmapi 6949 . . . . . . . 8 |- ( s e. ( NN0 ^m I ) -> s : I --> NN0 )
3432, 33syl 14 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( s e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ s -> ( X ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( t e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ t -> ( Y ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) -> s : I --> NN0 )
35 simprl 535 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( s e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ s -> ( X ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( t e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ t -> ( Y ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) -> t e. ( NN0 ^m I ) )
36 elmapi 6949 . . . . . . . 8 |- ( t e. ( NN0 ^m I ) -> t : I --> NN0 )
3735, 36syl 14 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( s e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ s -> ( X ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( t e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ t -> ( Y ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) -> t : I --> NN0 )
38 inidm 3440 . . . . . . 7 |- ( I i^i I ) = I
3931, 34, 37, 29, 29, 38off 6319 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( s e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ s -> ( X ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( t e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ t -> ( Y ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) -> ( s oF + t ) : I --> NN0 )
40 nn0ex 9581 . . . . . . . 8 |- NN0 e. _V
4140a1i 9 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( s e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ s -> ( X ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( t e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ t -> ( Y ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) -> NN0 e. _V )
4241, 29elmapd 6941 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( s e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ s -> ( X ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( t e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ t -> ( Y ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) -> ( ( s oF + t ) e. ( NN0 ^m I ) <-> ( s oF + t ) : I --> NN0 ) )
4339, 42mpbird 167 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( s e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ s -> ( X ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( t e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ t -> ( Y ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) -> ( s oF + t ) e. ( NN0 ^m I ) )
44 eqid 2238 . . . . . . . . 9 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
4510adantr 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( NN0 ^m I ) ) -> X e. ( Base ` S ) )
4612adantr 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( NN0 ^m I ) ) -> Y e. ( Base ` S ) )
47 simpr 110 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( NN0 ^m I ) ) -> k e. ( NN0 ^m I ) )
485adantr 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( NN0 ^m I ) ) -> I e. Fin )
494adantr 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( NN0 ^m I ) ) -> R e. Ring )
501, 2, 44, 3, 45, 46, 47, 48, 49psrmulvalfifi 15208 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( NN0 ^m I ) ) -> ( ( X ( .r ` S ) Y ) ` k ) = ( R gsumg ( x e. { y e. ( NN0 ^m I ) | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) ) )
5150ad5ant14 524 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ s -> ( X ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( t e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ t -> ( Y ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ k e. ( NN0 ^m I ) ) /\ -. k oR <_ ( s oF + t ) ) -> ( ( X ( .r ` S ) Y ) ` k ) = ( R gsumg ( x e. { y e. ( NN0 ^m I ) | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) ) )
52 breq1 4134 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( p = x -> ( p oR <_ s <-> x oR <_ s ) )
5352notbid 677 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( p = x -> ( -. p oR <_ s <-> -. x oR <_ s ) )
54 fveqeq2 5707 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( p = x -> ( ( X ` p ) = ( 0g ` R ) <-> ( X ` x ) = ( 0g ` R ) ) )
5553, 54imbi12d 234 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( p = x -> ( ( -. p oR <_ s -> ( X ` p ) = ( 0g ` R ) ) <-> ( -. x oR <_ s -> ( X ` x ) = ( 0g ` R ) ) ) )
56 simplrr 542 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( s e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ s -> ( X ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( t e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ t -> ( Y ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) -> A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ s -> ( X ` p ) = ( 0g ` R ) ) )
5756ad4antr 498 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ s -> ( X ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( t e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ t -> ( Y ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ k e. ( NN0 ^m I ) ) /\ -. k oR <_ ( s oF + t ) ) /\ x e. { y e. ( NN0 ^m I ) | y oR <_ k } ) /\ -. x oR <_ s ) -> A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ s -> ( X ` p ) = ( 0g ` R ) ) )
58 elrabi 2979 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. { y e. ( NN0 ^m I ) | y oR <_ k } -> x e. ( NN0 ^m I ) )
5958adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ s -> ( X ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( t e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ t -> ( Y ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ k e. ( NN0 ^m I ) ) /\ -. k oR <_ ( s oF + t ) ) /\ x e. { y e. ( NN0 ^m I ) | y oR <_ k } ) -> x e. ( NN0 ^m I ) )
6059adantr 276 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ s -> ( X ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( t e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ t -> ( Y ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ k e. ( NN0 ^m I ) ) /\ -. k oR <_ ( s oF + t ) ) /\ x e. { y e. ( NN0 ^m I ) | y oR <_ k } ) /\ -. x oR <_ s ) -> x e. ( NN0 ^m I ) )
6155, 57, 60rspcdva 2934 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ s -> ( X ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( t e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ t -> ( Y ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ k e. ( NN0 ^m I ) ) /\ -. k oR <_ ( s oF + t ) ) /\ x e. { y e. ( NN0 ^m I ) | y oR <_ k } ) /\ -. x oR <_ s ) -> ( -. x oR <_ s -> ( X ` x ) = ( 0g ` R ) ) )
6261syldbl2 1333 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ s -> ( X ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( t e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ t -> ( Y ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ k e. ( NN0 ^m I ) ) /\ -. k oR <_ ( s oF + t ) ) /\ x e. { y e. ( NN0 ^m I ) | y oR <_ k } ) /\ -. x oR <_ s ) -> ( X ` x ) = ( 0g ` R ) )
6362oveq1d 6103 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ s -> ( X ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( t e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ t -> ( Y ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ k e. ( NN0 ^m I ) ) /\ -. k oR <_ ( s oF + t ) ) /\ x e. { y e. ( NN0 ^m I ) | y oR <_ k } ) /\ -. x oR <_ s ) -> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) = ( ( 0g ` R ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) )
644ad6antr 502 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ s -> ( X ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( t e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ t -> ( Y ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ k e. ( NN0 ^m I ) ) /\ -. k oR <_ ( s oF + t ) ) /\ x e. { y e. ( NN0 ^m I ) | y oR <_ k } ) /\ -. x oR <_ s ) -> R e. Ring )
6522ad6antr 502 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ s -> ( X ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( t e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ t -> ( Y ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ k e. ( NN0 ^m I ) ) /\ -. k oR <_ ( s oF + t ) ) /\ x e. { y e. ( NN0 ^m I ) | y oR <_ k } ) /\ -. x oR <_ s ) -> Y : ( NN0 ^m I ) --> ( Base ` R ) )
66 simpllr 540 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ s -> ( X ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( t e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ t -> ( Y ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ k e. ( NN0 ^m I ) ) /\ -. k oR <_ ( s oF + t ) ) /\ x e. { y e. ( NN0 ^m I ) | y oR <_ k } ) -> k e. ( NN0 ^m I ) )
67 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ s -> ( X ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( t e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ t -> ( Y ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ k e. ( NN0 ^m I ) ) /\ -. k oR <_ ( s oF + t ) ) /\ x e. { y e. ( NN0 ^m I ) | y oR <_ k } ) -> x e. { y e. ( NN0 ^m I ) | y oR <_ k } )
6829ad3antrrr 496 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ s -> ( X ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( t e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ t -> ( Y ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ k e. ( NN0 ^m I ) ) /\ -. k oR <_ ( s oF + t ) ) /\ x e. { y e. ( NN0 ^m I ) | y oR <_ k } ) -> I e. Fin )
69 eqid 2238 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- { y e. ( NN0 ^m I ) | y oR <_ k } = { y e. ( NN0 ^m I ) | y oR <_ k }
7069psrbagconclfi 15182 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( k e. ( NN0 ^m I ) /\ x e. { y e. ( NN0 ^m I ) | y oR <_ k } /\ I e. Fin ) -> ( k oF - x ) e. { y e. ( NN0 ^m I ) | y oR <_ k } )
71 elrabi 2979 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( k oF - x ) e. { y e. ( NN0 ^m I ) | y oR <_ k } -> ( k oF - x ) e. ( NN0 ^m I ) )
7270, 71syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k e. ( NN0 ^m I ) /\ x e. { y e. ( NN0 ^m I ) | y oR <_ k } /\ I e. Fin ) -> ( k oF - x ) e. ( NN0 ^m I ) )
7366, 67, 68, 72syl3anc 1278 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ s -> ( X ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( t e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ t -> ( Y ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ k e. ( NN0 ^m I ) ) /\ -. k oR <_ ( s oF + t ) ) /\ x e. { y e. ( NN0 ^m I ) | y oR <_ k } ) -> ( k oF - x ) e. ( NN0 ^m I ) )
7473adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ s -> ( X ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( t e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ t -> ( Y ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ k e. ( NN0 ^m I ) ) /\ -. k oR <_ ( s oF + t ) ) /\ x e. { y e. ( NN0 ^m I ) | y oR <_ k } ) /\ -. x oR <_ s ) -> ( k oF - x ) e. ( NN0 ^m I ) )
7565, 74ffvelcdmd 5847 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ s -> ( X ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( t e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ t -> ( Y ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ k e. ( NN0 ^m I ) ) /\ -. k oR <_ ( s oF + t ) ) /\ x e. { y e. ( NN0 ^m I ) | y oR <_ k } ) /\ -. x oR <_ s ) -> ( Y ` ( k oF - x ) ) e. ( Base ` R ) )
7614, 44, 17, 64, 75ringlzd 14457 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ s -> ( X ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( t e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ t -> ( Y ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ k e. ( NN0 ^m I ) ) /\ -. k oR <_ ( s oF + t ) ) /\ x e. { y e. ( NN0 ^m I ) | y oR <_ k } ) /\ -. x oR <_ s ) -> ( ( 0g ` R ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) = ( 0g ` R ) )
7763, 76eqtrd 2271 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ s -> ( X ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( t e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ t -> ( Y ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ k e. ( NN0 ^m I ) ) /\ -. k oR <_ ( s oF + t ) ) /\ x e. { y e. ( NN0 ^m I ) | y oR <_ k } ) /\ -. x oR <_ s ) -> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) = ( 0g ` R ) )
78 breq1 4134 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( p = ( k oF - x ) -> ( p oR <_ t <-> ( k oF - x ) oR <_ t ) )
7978notbid 677 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( p = ( k oF - x ) -> ( -. p oR <_ t <-> -. ( k oF - x ) oR <_ t ) )
80 fveqeq2 5707 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( p = ( k oF - x ) -> ( ( Y ` p ) = ( 0g ` R ) <-> ( Y ` ( k oF - x ) ) = ( 0g ` R ) ) )
8179, 80imbi12d 234 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( p = ( k oF - x ) -> ( ( -. p oR <_ t -> ( Y ` p ) = ( 0g ` R ) ) <-> ( -. ( k oF - x ) oR <_ t -> ( Y ` ( k oF - x ) ) = ( 0g ` R ) ) ) )
82 simprr 537 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( s e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ s -> ( X ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( t e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ t -> ( Y ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) -> A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ t -> ( Y ` p ) = ( 0g ` R ) ) )
8382ad4antr 498 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ s -> ( X ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( t e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ t -> ( Y ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ k e. ( NN0 ^m I ) ) /\ -. k oR <_ ( s oF + t ) ) /\ x e. { y e. ( NN0 ^m I ) | y oR <_ k } ) /\ -. ( k oF - x ) oR <_ t ) -> A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ t -> ( Y ` p ) = ( 0g ` R ) ) )
8473adantr 276 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ s -> ( X ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( t e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ t -> ( Y ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ k e. ( NN0 ^m I ) ) /\ -. k oR <_ ( s oF + t ) ) /\ x e. { y e. ( NN0 ^m I ) | y oR <_ k } ) /\ -. ( k oF - x ) oR <_ t ) -> ( k oF - x ) e. ( NN0 ^m I ) )
8581, 83, 84rspcdva 2934 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ s -> ( X ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( t e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ t -> ( Y ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ k e. ( NN0 ^m I ) ) /\ -. k oR <_ ( s oF + t ) ) /\ x e. { y e. ( NN0 ^m I ) | y oR <_ k } ) /\ -. ( k oF - x ) oR <_ t ) -> ( -. ( k oF - x ) oR <_ t -> ( Y ` ( k oF - x ) ) = ( 0g ` R ) ) )
8685syldbl2 1333 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ s -> ( X ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( t e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ t -> ( Y ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ k e. ( NN0 ^m I ) ) /\ -. k oR <_ ( s oF + t ) ) /\ x e. { y e. ( NN0 ^m I ) | y oR <_ k } ) /\ -. ( k oF - x ) oR <_ t ) -> ( Y ` ( k oF - x ) ) = ( 0g ` R ) )
8786oveq2d 6104 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ s -> ( X ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( t e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ t -> ( Y ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ k e. ( NN0 ^m I ) ) /\ -. k oR <_ ( s oF + t ) ) /\ x e. { y e. ( NN0 ^m I ) | y oR <_ k } ) /\ -. ( k oF - x ) oR <_ t ) -> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) = ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( 0g ` R ) ) )
884ad6antr 502 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ s -> ( X ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( t e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ t -> ( Y ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ k e. ( NN0 ^m I ) ) /\ -. k oR <_ ( s oF + t ) ) /\ x e. { y e. ( NN0 ^m I ) | y oR <_ k } ) /\ -. ( k oF - x ) oR <_ t ) -> R e. Ring )
8915ad6antr 502 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ s -> ( X ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( t e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ t -> ( Y ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ k e. ( NN0 ^m I ) ) /\ -. k oR <_ ( s oF + t ) ) /\ x e. { y e. ( NN0 ^m I ) | y oR <_ k } ) /\ -. ( k oF - x ) oR <_ t ) -> X : ( NN0 ^m I ) --> ( Base ` R ) )
9059adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ s -> ( X ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( t e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ t -> ( Y ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ k e. ( NN0 ^m I ) ) /\ -. k oR <_ ( s oF + t ) ) /\ x e. { y e. ( NN0 ^m I ) | y oR <_ k } ) /\ -. ( k oF - x ) oR <_ t ) -> x e. ( NN0 ^m I ) )
9189, 90ffvelcdmd 5847 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ s -> ( X ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( t e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ t -> ( Y ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ k e. ( NN0 ^m I ) ) /\ -. k oR <_ ( s oF + t ) ) /\ x e. { y e. ( NN0 ^m I ) | y oR <_ k } ) /\ -. ( k oF - x ) oR <_ t ) -> ( X ` x ) e. ( Base ` R ) )
9214, 44, 17, 88, 91ringrzd 14458 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ s -> ( X ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( t e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ t -> ( Y ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ k e. ( NN0 ^m I ) ) /\ -. k oR <_ ( s oF + t ) ) /\ x e. { y e. ( NN0 ^m I ) | y oR <_ k } ) /\ -. ( k oF - x ) oR <_ t ) -> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) )
9387, 92eqtrd 2271 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ s -> ( X ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( t e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ t -> ( Y ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ k e. ( NN0 ^m I ) ) /\ -. k oR <_ ( s oF + t ) ) /\ x e. { y e. ( NN0 ^m I ) | y oR <_ k } ) /\ -. ( k oF - x ) oR <_ t ) -> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) = ( 0g ` R ) )
94 elmapi 6949 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. ( NN0 ^m I ) -> x : I --> NN0 )
9559, 94syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ s -> ( X ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( t e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ t -> ( Y ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ k e. ( NN0 ^m I ) ) /\ -. k oR <_ ( s oF + t ) ) /\ x e. { y e. ( NN0 ^m I ) | y oR <_ k } ) -> x : I --> NN0 )
9695adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ s -> ( X ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( t e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ t -> ( Y ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ k e. ( NN0 ^m I ) ) /\ -. k oR <_ ( s oF + t ) ) /\ x e. { y e. ( NN0 ^m I ) | y oR <_ k } ) /\ ( x oR <_ s /\ ( k oF - x ) oR <_ t ) ) -> x : I --> NN0 )
97 nn0sscn 9580 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- NN0 C_ CC
98 fss 5549 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x : I --> NN0 /\ NN0 C_ CC ) -> x : I --> CC )
9996, 97, 98sylancl 417 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ s -> ( X ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( t e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ t -> ( Y ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ k e. ( NN0 ^m I ) ) /\ -. k oR <_ ( s oF + t ) ) /\ x e. { y e. ( NN0 ^m I ) | y oR <_ k } ) /\ ( x oR <_ s /\ ( k oF - x ) oR <_ t ) ) -> x : I --> CC )
100 elmapi 6949 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. ( NN0 ^m I ) -> k : I --> NN0 )
101100ad4antlr 499 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ s -> ( X ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( t e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ t -> ( Y ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ k e. ( NN0 ^m I ) ) /\ -. k oR <_ ( s oF + t ) ) /\ x e. { y e. ( NN0 ^m I ) | y oR <_ k } ) /\ ( x oR <_ s /\ ( k oF - x ) oR <_ t ) ) -> k : I --> NN0 )
102 fss 5549 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k : I --> NN0 /\ NN0 C_ CC ) -> k : I --> CC )
103101, 97, 102sylancl 417 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ s -> ( X ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( t e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ t -> ( Y ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ k e. ( NN0 ^m I ) ) /\ -. k oR <_ ( s oF + t ) ) /\ x e. { y e. ( NN0 ^m I ) | y oR <_ k } ) /\ ( x oR <_ s /\ ( k oF - x ) oR <_ t ) ) -> k : I --> CC )
10468adantr 276 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ s -> ( X ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( t e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ t -> ( Y ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ k e. ( NN0 ^m I ) ) /\ -. k oR <_ ( s oF + t ) ) /\ x e. { y e. ( NN0 ^m I ) | y oR <_ k } ) /\ ( x oR <_ s /\ ( k oF - x ) oR <_ t ) ) -> I e. Fin )
10599, 103, 104ofpncan3 15181 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ s -> ( X ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( t e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ t -> ( Y ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ k e. ( NN0 ^m I ) ) /\ -. k oR <_ ( s oF + t ) ) /\ x e. { y e. ( NN0 ^m I ) | y oR <_ k } ) /\ ( x oR <_ s /\ ( k oF - x ) oR <_ t ) ) -> ( x oF + ( k oF - x ) ) = k )
106 nn0ssre 9579 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- NN0 C_ RR
107 fss 5549 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x : I --> NN0 /\ NN0 C_ RR ) -> x : I --> RR )
10896, 106, 107sylancl 417 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ s -> ( X ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( t e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ t -> ( Y ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ k e. ( NN0 ^m I ) ) /\ -. k oR <_ ( s oF + t ) ) /\ x e. { y e. ( NN0 ^m I ) | y oR <_ k } ) /\ ( x oR <_ s /\ ( k oF - x ) oR <_ t ) ) -> x : I --> RR )
109 elmapi 6949 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( k oF - x ) e. ( NN0 ^m I ) -> ( k oF - x ) : I --> NN0 )
11073, 109syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ s -> ( X ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( t e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ t -> ( Y ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ k e. ( NN0 ^m I ) ) /\ -. k oR <_ ( s oF + t ) ) /\ x e. { y e. ( NN0 ^m I ) | y oR <_ k } ) -> ( k oF - x ) : I --> NN0 )
111110adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ s -> ( X ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( t e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ t -> ( Y ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ k e. ( NN0 ^m I ) ) /\ -. k oR <_ ( s oF + t ) ) /\ x e. { y e. ( NN0 ^m I ) | y oR <_ k } ) /\ ( x oR <_ s /\ ( k oF - x ) oR <_ t ) ) -> ( k oF - x ) : I --> NN0 )
112 fss 5549 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( k oF - x ) : I --> NN0 /\ NN0 C_ RR ) -> ( k oF - x ) : I --> RR )
113111, 106, 112sylancl 417 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ s -> ( X ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( t e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ t -> ( Y ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ k e. ( NN0 ^m I ) ) /\ -. k oR <_ ( s oF + t ) ) /\ x e. { y e. ( NN0 ^m I ) | y oR <_ k } ) /\ ( x oR <_ s /\ ( k oF - x ) oR <_ t ) ) -> ( k oF - x ) : I --> RR )
11434ad4antr 498 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ s -> ( X ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( t e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ t -> ( Y ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ k e. ( NN0 ^m I ) ) /\ -. k oR <_ ( s oF + t ) ) /\ x e. { y e. ( NN0 ^m I ) | y oR <_ k } ) /\ ( x oR <_ s /\ ( k oF - x ) oR <_ t ) ) -> s : I --> NN0 )
115 fss 5549 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( s : I --> NN0 /\ NN0 C_ RR ) -> s : I --> RR )
116114, 106, 115sylancl 417 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ s -> ( X ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( t e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ t -> ( Y ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ k e. ( NN0 ^m I ) ) /\ -. k oR <_ ( s oF + t ) ) /\ x e. { y e. ( NN0 ^m I ) | y oR <_ k } ) /\ ( x oR <_ s /\ ( k oF - x ) oR <_ t ) ) -> s : I --> RR )
11737ad4antr 498 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ s -> ( X ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( t e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ t -> ( Y ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ k e. ( NN0 ^m I ) ) /\ -. k oR <_ ( s oF + t ) ) /\ x e. { y e. ( NN0 ^m I ) | y oR <_ k } ) /\ ( x oR <_ s /\ ( k oF - x ) oR <_ t ) ) -> t : I --> NN0 )
118 fss 5549 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( t : I --> NN0 /\ NN0 C_ RR ) -> t : I --> RR )
119117, 106, 118sylancl 417 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ s -> ( X ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( t e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ t -> ( Y ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ k e. ( NN0 ^m I ) ) /\ -. k oR <_ ( s oF + t ) ) /\ x e. { y e. ( NN0 ^m I ) | y oR <_ k } ) /\ ( x oR <_ s /\ ( k oF - x ) oR <_ t ) ) -> t : I --> RR )
120 simprl 535 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ s -> ( X ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( t e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ t -> ( Y ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ k e. ( NN0 ^m I ) ) /\ -. k oR <_ ( s oF + t ) ) /\ x e. { y e. ( NN0 ^m I ) | y oR <_ k } ) /\ ( x oR <_ s /\ ( k oF - x ) oR <_ t ) ) -> x oR <_ s )
121 simprr 537 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ s -> ( X ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( t e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ t -> ( Y ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ k e. ( NN0 ^m I ) ) /\ -. k oR <_ ( s oF + t ) ) /\ x e. { y e. ( NN0 ^m I ) | y oR <_ k } ) /\ ( x oR <_ s /\ ( k oF - x ) oR <_ t ) ) -> ( k oF - x ) oR <_ t )
122108, 113, 116, 119, 104, 120, 121ofrle2add 15180 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ s -> ( X ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( t e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ t -> ( Y ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ k e. ( NN0 ^m I ) ) /\ -. k oR <_ ( s oF + t ) ) /\ x e. { y e. ( NN0 ^m I ) | y oR <_ k } ) /\ ( x oR <_ s /\ ( k oF - x ) oR <_ t ) ) -> ( x oF + ( k oF - x ) ) oR <_ ( s oF + t ) )
123105, 122eqbrtrrd 4155 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ s -> ( X ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( t e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ t -> ( Y ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ k e. ( NN0 ^m I ) ) /\ -. k oR <_ ( s oF + t ) ) /\ x e. { y e. ( NN0 ^m I ) | y oR <_ k } ) /\ ( x oR <_ s /\ ( k oF - x ) oR <_ t ) ) -> k oR <_ ( s oF + t ) )
124 simpllr 540 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ s -> ( X ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( t e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ t -> ( Y ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ k e. ( NN0 ^m I ) ) /\ -. k oR <_ ( s oF + t ) ) /\ x e. { y e. ( NN0 ^m I ) | y oR <_ k } ) /\ ( x oR <_ s /\ ( k oF - x ) oR <_ t ) ) -> -. k oR <_ ( s oF + t ) )
125123, 124pm2.65da 671 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ s -> ( X ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( t e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ t -> ( Y ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ k e. ( NN0 ^m I ) ) /\ -. k oR <_ ( s oF + t ) ) /\ x e. { y e. ( NN0 ^m I ) | y oR <_ k } ) -> -. ( x oR <_ s /\ ( k oF - x ) oR <_ t ) )
12632ad3antrrr 496 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ s -> ( X ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( t e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ t -> ( Y ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ k e. ( NN0 ^m I ) ) /\ -. k oR <_ ( s oF + t ) ) /\ x e. { y e. ( NN0 ^m I ) | y oR <_ k } ) -> s e. ( NN0 ^m I ) )
127 psrbagdcle 15191 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ( NN0 ^m I ) /\ s e. ( NN0 ^m I ) /\ I e. Fin ) -> DECID x oR <_ s )
12859, 126, 68, 127syl3anc 1278 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ s -> ( X ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( t e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ t -> ( Y ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ k e. ( NN0 ^m I ) ) /\ -. k oR <_ ( s oF + t ) ) /\ x e. { y e. ( NN0 ^m I ) | y oR <_ k } ) -> DECID x oR <_ s )
129 ianordc 911 . . . . . . . . . . . 12 |- (DECID x oR <_ s -> ( -. ( x oR <_ s /\ ( k oF - x ) oR <_ t ) <-> ( -. x oR <_ s \/ -. ( k oF - x ) oR <_ t ) ) )
130128, 129syl 14 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ s -> ( X ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( t e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ t -> ( Y ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ k e. ( NN0 ^m I ) ) /\ -. k oR <_ ( s oF + t ) ) /\ x e. { y e. ( NN0 ^m I ) | y oR <_ k } ) -> ( -. ( x oR <_ s /\ ( k oF - x ) oR <_ t ) <-> ( -. x oR <_ s \/ -. ( k oF - x ) oR <_ t ) ) )
131125, 130mpbid 147 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ s -> ( X ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( t e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ t -> ( Y ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ k e. ( NN0 ^m I ) ) /\ -. k oR <_ ( s oF + t ) ) /\ x e. { y e. ( NN0 ^m I ) | y oR <_ k } ) -> ( -. x oR <_ s \/ -. ( k oF - x ) oR <_ t ) )
13277, 93, 131mpjaodan 810 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ s -> ( X ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( t e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ t -> ( Y ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ k e. ( NN0 ^m I ) ) /\ -. k oR <_ ( s oF + t ) ) /\ x e. { y e. ( NN0 ^m I ) | y oR <_ k } ) -> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) = ( 0g ` R ) )
133132mpteq2dva 4223 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ s -> ( X ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( t e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ t -> ( Y ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ k e. ( NN0 ^m I ) ) /\ -. k oR <_ ( s oF + t ) ) -> ( x e. { y e. ( NN0 ^m I ) | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) = ( x e. { y e. ( NN0 ^m I ) | y oR <_ k } |-> ( 0g ` R ) ) )
134133oveq2d 6104 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ s -> ( X ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( t e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ t -> ( Y ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ k e. ( NN0 ^m I ) ) /\ -. k oR <_ ( s oF + t ) ) -> ( R gsumg ( x e. { y e. ( NN0 ^m I ) | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) ) = ( R gsumg ( x e. { y e. ( NN0 ^m I ) | y oR <_ k } |-> ( 0g ` R ) ) ) )
1354ringcmnd 14447 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> R e. CMnd )
136135ad4antr 498 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ s -> ( X ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( t e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ t -> ( Y ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ k e. ( NN0 ^m I ) ) /\ -. k oR <_ ( s oF + t ) ) -> R e. CMnd )
137 psrbaglefimap 15183 . . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. ( NN0 ^m I ) /\ I e. Fin ) -> { y e. ( NN0 ^m I ) | y oR <_ k } e. Fin )
13847, 48, 137syl2anc 415 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( NN0 ^m I ) ) -> { y e. ( NN0 ^m I ) | y oR <_ k } e. Fin )
139138ad5ant14 524 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ s -> ( X ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( t e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ t -> ( Y ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ k e. ( NN0 ^m I ) ) /\ -. k oR <_ ( s oF + t ) ) -> { y e. ( NN0 ^m I ) | y oR <_ k } e. Fin )
14017gsumzfi 14248 . . . . . . . 8 |- ( ( R e. CMnd /\ { y e. ( NN0 ^m I ) | y oR <_ k } e. Fin ) -> ( R gsumg ( x e. { y e. ( NN0 ^m I ) | y oR <_ k } |-> ( 0g ` R ) ) ) = ( 0g ` R ) )
141136, 139, 140syl2anc 415 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ s -> ( X ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( t e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ t -> ( Y ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ k e. ( NN0 ^m I ) ) /\ -. k oR <_ ( s oF + t ) ) -> ( R gsumg ( x e. { y e. ( NN0 ^m I ) | y oR <_ k } |-> ( 0g ` R ) ) ) = ( 0g ` R ) )
14251, 134, 1413eqtrd 2275 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ s -> ( X ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( t e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ t -> ( Y ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ k e. ( NN0 ^m I ) ) /\ -. k oR <_ ( s oF + t ) ) -> ( ( X ( .r ` S ) Y ) ` k ) = ( 0g ` R ) )
143142ex 115 . . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ s -> ( X ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( t e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ t -> ( Y ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ k e. ( NN0 ^m I ) ) -> ( -. k oR <_ ( s oF + t ) -> ( ( X ( .r ` S ) Y ) ` k ) = ( 0g ` R ) ) )
14427, 28, 29, 43, 143psrbagfsuppd 15193 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( s e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ s -> ( X ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( t e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ t -> ( Y ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) -> ( X ( .r ` S ) Y ) finSupp ( 0g ` R ) )
14525, 144rexlimddv 2673 . . 3 |- ( ( ph /\ ( s e. ( NN0 ^m I ) /\ A. p e. ( NN0 ^m I ) ( -. p oR <_ s -> ( X ` p ) = ( 0g ` R ) ) ) ) -> ( X ( .r ` S ) Y ) finSupp ( 0g ` R ) )
14621, 145rexlimddv 2673 . 2 |- ( ph -> ( X ( .r ` S ) Y ) finSupp ( 0g ` R ) )
1476, 1, 2, 17, 7mplelbas 15236 . 2 |- ( ( X ( .r ` S ) Y ) e. U <-> ( ( X ( .r ` S ) Y ) e. ( Base ` S ) /\ ( X ( .r ` S ) Y ) finSupp ( 0g ` R ) ) )
14813, 146, 147sylanbrc 421 1 |- ( ph -> ( X ( .r ` S ) Y ) e. U )
Colors of variables:    wff set class
This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720  DECID wdc 846   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   E.wrex 2529   {crab 2532   _Vcvv 2821   C_ wss 3220   class class class wbr 4131   |-> cmpt 4193   -->wf 5376   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   oFcof 6303   oRcofr 6304   ^m cmap 6927   Fincfn 7028   finSupp cfsupp 7292   CCcc 8184   RRcr 8185   + caddc 8189   <_ cle 8368   - cmin 8505   NN0cn0 9575   Basecbs 13410   .rcmulr 13491   0gc0g 13669   Grpcgrp 13864  CMndccmn 14177   gsumg cgsu 14240   Ringcrg 14407   mPwSer cmps 15154   mPoly cmpl 15156
This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-mulrcl 8285  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-precex 8296  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302  ax-pre-mulgt0 8303  ax-pre-mulext 8304  ax-arch 8305  ax-caucvg 8306
This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-of 6305  df-ofr 6306  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6581  df-irdg 6646  df-frec 6667  df-1o 6692  df-oadd 6696  df-er 6812  df-map 6929  df-ixp 6987  df-en 7029  df-dom 7030  df-fin 7031  df-fsuppfi 7293  df-sup 7331  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-reap 8912  df-ap 8919  df-div 9012  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-4 9375  df-5 9376  df-6 9377  df-7 9378  df-8 9379  df-9 9380  df-n0 9576  df-z 9655  df-uz 9938  df-rp 10072  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-seqfrec 10906  df-exp 10997  df-ihash 11237  df-cj 11629  df-re 11630  df-im 11631  df-rsqrt 11786  df-abs 11787  df-struct 13412  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-sets 13417  df-iress 13418  df-plusg 13503  df-mulr 13504  df-sca 13506  df-vsca 13507  df-tset 13509  df-rest 13654  df-topn 13655  df-0g 13671  df-gzsum 13672  df-topgen 13673  df-pt 13674  df-mgm 13735  df-sgrp 13776  df-mnd 13789  df-grp 13867  df-minusg 13868  df-mulg 13982  df-cmn 14179  df-abl 14180  df-gsumfi 14241  df-mgp 14325  df-ur 14370  df-ring 14409  df-psr 15157  df-mpl 15159
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