Theorem zaddcld 9772

Description: Closure of addition of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zaddcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zaddcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zaddcl 9684	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2anc 415	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6085   + caddc 8182  ℤcz 9644

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-n0 9564  df-z 9645

This theorem is used by:  zadd2cl  9775  eluzadd  9951  eluzsub  9952  qaddcl  10035  fzen  10447  elincfzoext  10611  eluzgtdifelfzo  10615  exbtwnzlemstep  10682  qbtwnre  10691  flqaddz  10732  modaddmodup  10824  addmodlteq  10835  uzennn  10873  seq3shft2  10918  seqshft2g  10919  expaddzaplem  11019  sqoddm1div8  11131  ccatlen  11363  ccatass  11376  swrdlen  11424  swrdfv  11425  swrdwrdsymbg  11436  swrdswrd  11477  iser3shft  12112  mptfzshft  12209  fsumshft  12211  fsumshftm  12212  fisumrev2  12213  isumshft  12257  fprodshft  12385  dvds2ln  12591  gcdaddm  12761  uzwodc  12814  lcmgcdlem  12855  divgcdcoprm0  12879  hashdvds  12999  pythagtriplem4  13047  pythagtriplem11  13053  pcaddlem  13118  gzmulcl  13157  4sqlem8  13164  4sqlem10  13166  4sqexercise2  13178  4sqlem11  13180  4sqlem14  13183  4sqlem16  13185  mulgdir  13957  gzsumshift  14149  plymullem1  15849  lgsquad2lem1  16200  2lgsoddprmlem2  16225  2sqlem4  16237  2sqlem8  16242