Theorem zncrng 14625

Description: ℤ/nℤ is a commutative ring. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
zncrng.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)

Assertion

Ref	Expression
zncrng	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ CRing)

Proof of Theorem zncrng

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0z 9477	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
2		eqid 2229	. . . 4 ⊢ (RSpan‘ℤring) = (RSpan‘ℤring)
3		eqid 2229	. . . 4 ⊢ (ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))) = (ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))
4	2, 3	zncrng2 14615	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))) ∈ CRing)
5	1, 4	syl 14	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))) ∈ CRing)
6		eqidd 2230	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) = (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))))
7		zncrng.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
8	2, 3, 7	znbas2 14620	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) = (Base‘𝑌))
9	2, 3, 7	znadd 14621	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (+g‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) = (+g‘𝑌))
10	9	oveqdr 6035	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))))) → (𝑥(+g‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))))𝑦) = (𝑥(+g‘𝑌)𝑦))
11	2, 3, 7	znmul 14622	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (.r‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) = (.r‘𝑌))
12	11	oveqdr 6035	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))))) → (𝑥(.r‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))))𝑦) = (𝑥(.r‘𝑌)𝑦))
13	6, 8, 10, 12	crngpropd 14018	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))) ∈ CRing ↔ 𝑌 ∈ CRing))
14	5, 13	mpbid 147	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ CRing)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  {csn 3666  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007  ℕ₀cn0 9380  ℤcz 9457  Basecbs 13048  +_gcplusg 13126  ._rcmulr 13127   /_s cqus 13349   ~_QG cqg 13722  CRingccrg 13976  RSpancrsp 14448  ℤ_ringczring 14570  ℤ/nℤczn 14593

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-mulrcl 8109  ax-addcom 8110  ax-mulcom 8111  ax-addass 8112  ax-mulass 8113  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-1rid 8117  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-precex 8120  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-apti 8125  ax-pre-ltadd 8126  ax-pre-mulgt0 8127  ax-addf 8132  ax-mulf 8133

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-tp 3674  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-tpos 6397  df-er 6688  df-ec 6690  df-qs 6694  df-map 6805  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-reap 8733  df-inn 9122  df-2 9180  df-3 9181  df-4 9182  df-5 9183  df-6 9184  df-7 9185  df-8 9186  df-9 9187  df-n0 9381  df-z 9458  df-dec 9590  df-uz 9734  df-rp 9862  df-fz 10217  df-cj 11369  df-abs 11526  df-struct 13050  df-ndx 13051  df-slot 13052  df-base 13054  df-sets 13055  df-iress 13056  df-plusg 13139  df-mulr 13140  df-starv 13141  df-sca 13142  df-vsca 13143  df-ip 13144  df-tset 13145  df-ple 13146  df-ds 13148  df-unif 13149  df-0g 13307  df-topgen 13309  df-iimas 13351  df-qus 13352  df-mgm 13405  df-sgrp 13451  df-mnd 13466  df-grp 13552  df-minusg 13553  df-sbg 13554  df-subg 13723  df-nsg 13724  df-eqg 13725  df-cmn 13839  df-abl 13840  df-mgp 13900  df-rng 13912  df-ur 13939  df-srg 13943  df-ring 13977  df-cring 13978  df-oppr 14047  df-rhm 14132  df-subrg 14199  df-lmod 14269  df-lssm 14333  df-lsp 14367  df-sra 14415  df-rgmod 14416  df-lidl 14449  df-rsp 14450  df-2idl 14480  df-bl 14526  df-mopn 14527  df-fg 14529  df-metu 14530  df-cnfld 14537  df-zring 14571  df-zrh 14594  df-zn 14596

This theorem is referenced by:  zndvds0  14630  znf1o  14631  znleval  14633  znidom  14637  znunit  14639  znrrg  14640  lgseisenlem4  15768