ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addlocprlemeq GIF version

Theorem addlocprlemeq 7013
Description: Lemma for addlocpr 7016. The 𝑄 = (𝐷 +Q 𝐸) case. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
addlocprlem.a (𝜑𝐴P)
addlocprlem.b (𝜑𝐵P)
addlocprlem.qr (𝜑𝑄 <Q 𝑅)
addlocprlem.p (𝜑𝑃Q)
addlocprlem.qppr (𝜑 → (𝑄 +Q (𝑃 +Q 𝑃)) = 𝑅)
addlocprlem.dlo (𝜑𝐷 ∈ (1st𝐴))
addlocprlem.uup (𝜑𝑈 ∈ (2nd𝐴))
addlocprlem.du (𝜑𝑈 <Q (𝐷 +Q 𝑃))
addlocprlem.elo (𝜑𝐸 ∈ (1st𝐵))
addlocprlem.tup (𝜑𝑇 ∈ (2nd𝐵))
addlocprlem.et (𝜑𝑇 <Q (𝐸 +Q 𝑃))
Assertion
Ref Expression
addlocprlemeq (𝜑 → (𝑄 = (𝐷 +Q 𝐸) → 𝑅 ∈ (2nd ‘(𝐴 +P 𝐵))))

Proof of Theorem addlocprlemeq
StepHypRef Expression
1 addlocprlem.a . . . . . 6 (𝜑𝐴P)
2 addlocprlem.b . . . . . 6 (𝜑𝐵P)
3 addlocprlem.qr . . . . . 6 (𝜑𝑄 <Q 𝑅)
4 addlocprlem.p . . . . . 6 (𝜑𝑃Q)
5 addlocprlem.qppr . . . . . 6 (𝜑 → (𝑄 +Q (𝑃 +Q 𝑃)) = 𝑅)
6 addlocprlem.dlo . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ (1st𝐴))
7 addlocprlem.uup . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ (2nd𝐴))
8 addlocprlem.du . . . . . 6 (𝜑𝑈 <Q (𝐷 +Q 𝑃))
9 addlocprlem.elo . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ (1st𝐵))
10 addlocprlem.tup . . . . . 6 (𝜑𝑇 ∈ (2nd𝐵))
11 addlocprlem.et . . . . . 6 (𝜑𝑇 <Q (𝐸 +Q 𝑃))
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11addlocprlemeqgt 7012 . . . . 5 (𝜑 → (𝑈 +Q 𝑇) <Q ((𝐷 +Q 𝐸) +Q (𝑃 +Q 𝑃)))
1312adantr 270 . . . 4 ((𝜑𝑄 = (𝐷 +Q 𝐸)) → (𝑈 +Q 𝑇) <Q ((𝐷 +Q 𝐸) +Q (𝑃 +Q 𝑃)))
14 oveq1 5601 . . . . 5 (𝑄 = (𝐷 +Q 𝐸) → (𝑄 +Q (𝑃 +Q 𝑃)) = ((𝐷 +Q 𝐸) +Q (𝑃 +Q 𝑃)))
155, 14sylan9req 2138 . . . 4 ((𝜑𝑄 = (𝐷 +Q 𝐸)) → 𝑅 = ((𝐷 +Q 𝐸) +Q (𝑃 +Q 𝑃)))
1613, 15breqtrrd 3840 . . 3 ((𝜑𝑄 = (𝐷 +Q 𝐸)) → (𝑈 +Q 𝑇) <Q 𝑅)
171, 7jca 300 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴P𝑈 ∈ (2nd𝐴)))
182, 10jca 300 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵P𝑇 ∈ (2nd𝐵)))
19 ltrelnq 6845 . . . . . . . 8 <Q ⊆ (Q × Q)
2019brel 4451 . . . . . . 7 (𝑄 <Q 𝑅 → (𝑄Q𝑅Q))
2120simprd 112 . . . . . 6 (𝑄 <Q 𝑅𝑅Q)
223, 21syl 14 . . . . 5 (𝜑𝑅Q)
23 addnqpru 7010 . . . . 5 ((((𝐴P𝑈 ∈ (2nd𝐴)) ∧ (𝐵P𝑇 ∈ (2nd𝐵))) ∧ 𝑅Q) → ((𝑈 +Q 𝑇) <Q 𝑅𝑅 ∈ (2nd ‘(𝐴 +P 𝐵))))
2417, 18, 22, 23syl21anc 1171 . . . 4 (𝜑 → ((𝑈 +Q 𝑇) <Q 𝑅𝑅 ∈ (2nd ‘(𝐴 +P 𝐵))))
2524adantr 270 . . 3 ((𝜑𝑄 = (𝐷 +Q 𝐸)) → ((𝑈 +Q 𝑇) <Q 𝑅𝑅 ∈ (2nd ‘(𝐴 +P 𝐵))))
2616, 25mpd 13 . 2 ((𝜑𝑄 = (𝐷 +Q 𝐸)) → 𝑅 ∈ (2nd ‘(𝐴 +P 𝐵)))
2726ex 113 1 (𝜑 → (𝑄 = (𝐷 +Q 𝐸) → 𝑅 ∈ (2nd ‘(𝐴 +P 𝐵))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102   = wceq 1287  wcel 1436   class class class wbr 3814  cfv 4972  (class class class)co 5594  1st c1st 5847  2nd c2nd 5848  Qcnq 6760   +Q cplq 6762   <Q cltq 6765  Pcnp 6771   +P cpp 6773
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3922  ax-sep 3925  ax-nul 3933  ax-pow 3977  ax-pr 4003  ax-un 4227  ax-setind 4319  ax-iinf 4369
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rab 2364  df-v 2616  df-sbc 2829  df-csb 2922  df-dif 2988  df-un 2990  df-in 2992  df-ss 2999  df-nul 3273  df-pw 3411  df-sn 3431  df-pr 3432  df-op 3434  df-uni 3631  df-int 3666  df-iun 3709  df-br 3815  df-opab 3869  df-mpt 3870  df-tr 3905  df-eprel 4083  df-id 4087  df-po 4090  df-iso 4091  df-iord 4160  df-on 4162  df-suc 4165  df-iom 4372  df-xp 4410  df-rel 4411  df-cnv 4412  df-co 4413  df-dm 4414  df-rn 4415  df-res 4416  df-ima 4417  df-iota 4937  df-fun 4974  df-fn 4975  df-f 4976  df-f1 4977  df-fo 4978  df-f1o 4979  df-fv 4980  df-ov 5597  df-oprab 5598  df-mpt2 5599  df-1st 5849  df-2nd 5850  df-recs 6005  df-irdg 6070  df-1o 6116  df-oadd 6120  df-omul 6121  df-er 6225  df-ec 6227  df-qs 6231  df-ni 6784  df-pli 6785  df-mi 6786  df-lti 6787  df-plpq 6824  df-mpq 6825  df-enq 6827  df-nqqs 6828  df-plqqs 6829  df-mqqs 6830  df-1nqqs 6831  df-rq 6832  df-ltnqqs 6833  df-inp 6946  df-iplp 6948
This theorem is referenced by:  addlocprlem  7015
  Copyright terms: Public domain W3C validator