Theorem climeq 12043

Description: Two functions that are eventually equal to one another have the same limit. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Nov-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
climeq.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climeq.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
climeq.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)
climeq.5	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climeq.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))

Assertion

Ref	Expression
climeq	⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ 𝐺 ⇝ 𝐴))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem climeq

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climeq.1	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		climeq.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		climeq.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
4		climeq.6	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
5	1, 2, 3, 4	clim2 12027	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑦)((𝐺‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))))
6		climeq.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)
7		eqidd 2239	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
8	1, 2, 6, 7	clim2 12027	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ⇝ 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑦)((𝐺‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))))
9	5, 8	bitr4d 191	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ 𝐺 ⇝ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  ∃wrex 2529   class class class wbr 4125  ‘cfv 5372  (class class class)co 6075  ℂcc 8167   < clt 8350   − cmin 8487  ℤcz 9623  ℤ_≥cuz 9900  ℝ⁺crp 10033  abscabs 11741   ⇝ cli 12022

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-clim 12023

This theorem is referenced by:  climmpt  12044  climres  12047  climshft  12048  climshft2  12050  isumclim3  12168