ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  climeq GIF version

Theorem climeq 11306
Description: Two functions that are eventually equal to one another have the same limit. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Nov-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
climeq.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
climeq.2 (𝜑𝐹𝑉)
climeq.3 (𝜑𝐺𝑊)
climeq.5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climeq.6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
Assertion
Ref Expression
climeq (𝜑 → (𝐹𝐴𝐺𝐴))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem climeq
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climeq.1 . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 climeq.5 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 climeq.2 . . 3 (𝜑𝐹𝑉)
4 climeq.6 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
51, 2, 3, 4clim2 11290 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑦)((𝐺𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))))
6 climeq.3 . . 3 (𝜑𝐺𝑊)
7 eqidd 2178 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = (𝐺𝑘))
81, 2, 6, 7clim2 11290 . 2 (𝜑 → (𝐺𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑦)((𝐺𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))))
95, 8bitr4d 191 1 (𝜑 → (𝐹𝐴𝐺𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1353  wcel 2148  wral 2455  wrex 2456   class class class wbr 4003  cfv 5216  (class class class)co 5874  cc 7808   < clt 7991  cmin 8127  cz 9252  cuz 9527  +crp 9652  abscabs 11005  cli 11285
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-addass 7912  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-inn 8919  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-clim 11286
This theorem is referenced by:  climmpt  11307  climres  11310  climshft  11311  climshft2  11313  isumclim3  11430
  Copyright terms: Public domain W3C validator